G(s) H(s) Introduzione

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1 Apput d Cotroll Autotc Cptolo 5 prte I Il luogo delle rdc Itroduzoe... Le equzo del etodo del luogo delle rdc... 7 Eepo... 8 Eepo... gole forl per l cotruzoe del luogo delle rdc... Eep...5 Deterzoe delle drezoe totche...8 Eepo... Eepo... Itroduzoe Etoo dver etod che coetoo u vlutzoe opertv delle crttertche dche de te retrozoe e u cofroto degl effett che potrebbero vere u e vre pobl celte u progetto d. L ggor prte d quet etod, peclete quell el doo dell frequez coe l crtero d tbltà d Nyqut e crter bt u rg d tbltà, coetoo u l eplce che olto pprotv. Al cotrro, u progetto ccurto rchede l coocez de pol retrozoe e dell fluez che u d e ho le vrzo de pù portt dpozoe del progettt. A tl fe, rult d grde utltà l coddetto etodo del luogo delle rdc, che cottuce u procedeto grfco per l cotruzoe del trccto decrtto, el po copleo, dlle rdc dell equzoe crttertc l vrre d u pretro che orlete è l cotte d gudgo d ello. Oggetto d queto cptolo è l llutrzoe delle propretà del luogo delle rdc e delle regole per l u cotruzoe. Codero duque lo che geerco d u te lere tzoro pretr cocetrt erto u ello d cotrollo retrozoe: R() + E() G() C() H()

2 Apput d Cotroll Autotc Cptolo 5 prte I Suppoo che queto te bb u fuzoe d trfereto rzole frtt, del tpo eguete: G () b() () ( z ) ( p ) Coe be ppo, quet prede l oe d fuzoe d trfereto ello perto. Abbo dcto co p, p,..., p pol del te ello perto e co z, z,..., z uo zer. Nel oeto cu chudo l te ell ello d retrozoe pr rffgurto, otteo u uovo te l cu fuzoe d trfereto, dett fuzoe d trfereto ello chuo G (), h l eguete epreoe: G G() () + G()H() R() G () C() Per eplctà, fcco l pote che l retrozoe utr: cò equvle porre H(), per cu l fuzoe d trfereto ello chuo rult eere G() G () + G() Avedo detto che G() è d tpo rzole frtto, poo eplctrl eglo: G () G() + G() b() () + b() ( p ( z ) ) + ( z ) D quet epreoe deduce u pr cocluoe fodetle: oerv, ftt, che l G () h gl te zer dell fuzoe G(), etre h pol geerle dver. Poo qud fferre che l ello d rezoe o odfc gl zer del te, etre odfc pol. I ltre prole, l ftto d cludere l G() u ello d rezoe c port d u G () che coerv gl te zer d G(), preet pol, geerle, dver. Autore: Sdro Petrzzell

3 Il luogo delle rdc A ttolo d eplce rcho, rcordo che l te rppreetto d G() è reltà cottuto dll cct d due dtt te: R() G C () G P () C() G P() rppreet l te che deder cotrollre (l coddetto plt), per cu trtt, geere, d u fuzoe d trfereto egt, u cu o è poble gre. Al cotrro, G C() è l fuzoe d trfereto del coddetto cotrollore, che è otto l otro totle cotrollo: tedo progettre quet fuzoe (oltre ll evetule ello d rezoe) odo d coferre l te coplevo fle le propretà dederte. Abbo pù volte pegto che l tbltà d u te co fuzoe d trfereto rzole frtt è legt ll pozoe de pol d tle fuzoe el po copleo. A tl propoto, l uco crtero che fo d or cooco, per l l dell tbltà, è quello d Routh, eo preet de lt che o lo redoo uffceteete copleto. Voglo llor trodurre u uovo etodo d l dell tbltà per te vet fuzoe d trfereto rzole frtt. Il prcpo d fodo è epre quello d dover dvdure pol dell fuzoe d trfereto ello chuo G (), ot che o gl zer e pol dell fuzoe d trfereto ello perto G(). I pol d G () o oo ltro che le rdc dell coddett equzoe crttertc, che ottee ugugldo zero l deotore dell G (): + G ( ) I be ll epreoe pr rcvt per G (), poo crvere quet equzoe ell for ( p ) + ( z ) Quet epreoe ette evdez due coe fodetl: trtt d u equzoe d orde ( quto fcco epre l pote che ), per cu ette zer, o l G () preet tt pol qut e preet che G(); ecodo luogo, è evdete che quete rdc oo fuzo del gudgo : per og egto vlore d, ho pol dver. Allor, l vrre d (tr ed ), le rdc dell equzoe crttertc decrvoo el po copleo u o pù curve (tte qute oo le ue rdc) cu dà pputo l oe d luogo delle rdc. 3 Autore: Sdro Petrzzell

4 Apput d Cotroll Autotc Cptolo 5 prte I Il luogo delle rdc rult eere u etodo d grde utltà per gudcre l effetto delle vrzo dell cotte d gudgo ull tbltà e ull rpot del te retrozoe ( ). Per copredere eglo quet quetoe, codero u eplce eepo el qule l luogo delle rdc può cotrure ez prtcolr regole forl che ro trodotte eguto, co eplc coderzo tetche. Codero percò u te vete l eguete fuzoe d trfereto ello perto: G() > ( + ) Co quet fuzoe d trfereto potrebbe, d eepo, odellre u ervootore cotrollto pozoe, el qul co rebbe l vero dell cotte d tepo elettroeccc. E edto trccre l pp de pol (due, d cu uo ell orge) e degl zer (o ce e oo) d queto te ( ello perto): - Suppoo or d chudere queto te u ello d retrozoe utr, per cu l fuzoe d trfereto ello chuo rult eere G() ( + ) () + G() + ( + ) G + + Coe c pettvo, etre o bbo zer (coì coe el te ello perto), pol o oo pù quell d G(); do llor d dvdure tl pol, rolvedo l equzoe crttertc + + C covee porre quet equzoe for pù opportu: prtcolre, poedo ω e ρω, è fcle ccorger che l equzoe v ell for + ρω + ω Atcpo d or che l etodo può odfcre fclete per otteere le vrzo delle rdc dell equzoe +G()H() fuzoe d pretr dver dll cotte d gudgo d ello, coe d eepo pol o zer del te d ello perto (coè dell fuzoe d trfereto G()). I tl vero odfcte, l etodo vee dcto col oe d cotoro delle rdc. Autore: Sdro Petrzzell

5 Il luogo delle rdc Rolvedo quet equzoe (che trov u for be ot), otteo le eguet rdc: p / ω ( ρ ± ρ ) ± p p + Quet oo duque pol dell fuzoe d trfereto ello chuo. E evdete che l loro vlore (coè qud l loro pozoe el po copleo) è dver l vrre del gudgo. Alzzo llor le vre tuzo pobl. Il co pù eplce è ovvete quello cu rult ( ), el qul co due pol cocdoo co quell dell G(). L ecod pobltà è che rult ρ ->, o ρ>, el qul co l rgoeto d quell rdce è potvo e qud ho due pol rel e dtt (ovrorzeto): p / ± p p + Oervdo fclete che ρ, l codzoe ρ> equvle >, o <. I deftv, qud, e < <, pol dell G () oo rel e dtt e, oltre, oervdo le loro epreo, oerv che che e tedoo d vvcr o che uet vero l vlore lte / : - -/ Il lte ll vvceto de due pol h qudo : queto co, rult ρ e qud due pol dveto rel e cocdet (orzeto crtco) e No h olto eo coderre, quto l te ello perto vrebbe G(). 5 Autore: Sdro Petrzzell

6 Apput d Cotroll Autotc Cptolo 5 prte I trovo el puto /, o el puto edo del egeto che uce pol dell G(). Se uet cor, rult > : queto puto, due pol dveto cople e cougt (otto-orzeto) e pooo eprere ell for p p + j j D quet epreoe deduce che due pol tedoo deo d llotr, teedo cotte l loro prte rele (-/) e evdezdo u coeffcete dell prte gr tto pù grde, vlore oluto, quto ggore è l vlore d. Lo poteto de due pol, ll uetre d, è duque quello decrtto ell fgur eguete: - -/ I due r che decrvoo l oveto de pol l vrre d cottucoo propro l luogo delle rdc del te ee. Queto luogo è olto utle per oervre quto egue: dto che pol rgoo epre el epo tro (o coervo prte rele egtv), poo regolre otro pceto ez correre proble d tbltà per l te ello chuo ( 3 ). I le d, rcorddo quto detto precedez crc l ebltà de te del orde lle vrzo pretrche ed dturb, rebbe dederble u forte ueto d (etro ovvete lt dell relzzbltà fc), quto eo port beefc ter d fedeltà, o pputo ter d ebltà lle vrzo pretrche ed dturb. I geerle, qud, l coocez del luogo delle rdc del te ello chuo coete d cpre e l te po dvetre tble per uo o pù vlor d e, co evetulete ffertvo, coete che d dvdure tl vlor (coe vedrà pù vt). Tordo l co prtcolre ee, è bee couque ottolere che l tuzoe o è coì eplce coì coe l bbo decrtt: ftt, è vero che l ueto d lc pol el epo tro e uet l fedeltà, è che vero che poe ltr proble, coe per eepo u duzoe dell 3 I reltà, coe dreo pù vt, queto vle olo lvello teorco, quto, l tuzoe rele potrebbe eere dver e pù percolo Autore: Sdro Petrzzell 6

7 Il luogo delle rdc tbltà reltv ed u duzoe dell cotte d orzeto ρ (che è verete proporzole ); quet ult coderzoe coport, d eepo, che l rpot del te ( ello chuo) d u grdo poto greo u ocllzoe d pezz zle bbtz prouct. S dce, queto co, che uet l tttude del te d ocllre: ell prtc, peo verfc che l te pred effettvete d ocllre, etre vece, lvello teorco, be lle coderzo ftte pr, c pett olo u ocllzoe orzt. Il otvo per cu l te prede d ocllre, ootte le prevo teorche cotrre, rede peo el ftto che l odello tetco utlzzto per decrvere l te troppo pproto, per cu trcur que fttor che vece detero u coporteto rele dvero d quello teorco prevto. Le equzo del etodo del luogo delle rdc Nell eepo del prgrfo precedete bbo vto quto po eere utle l coocez del luogo delle rdc d u te ello chuo, l fe d tudre l tbltà l vrre d. Voglo llor otrre coe cotruce, odo rgoroo, tle luogo. Abbo detto che l otro copo è quello d deterre, l vrre d, pol dell fuzoe d trfereto ello chuo, l qule può eere crtt ell for eguete: G () G() + G() b() () + b() ( p ( z ) ) + ( z ) I pol d quet fuzoe oo le rdc dell equzoe crttertc +G(), che for ete può eere epre el odo eguete: ( p ) + ( z ) Al fe d ettere evdez l dpedez dell rdc d quet equzoe dl gudgo (che uppoo eere potvo), poo porre ell equzoe crttertc ell for + G (), dove, ovvete, to uppoedo che G () G() ( z ) ( p ) Dto, però, che è olto coodo portrc detro l pedce, d or po porreo epre l equzoe crttertc ell for + G() e qud che 7 Autore: Sdro Petrzzell

8 Apput d Cotroll Autotc Cptolo 5 prte I G () ( z ) ( p ) I ltre prole, to uppoedo che l fuzoe d trfereto ello perto G() e o pù G(). Co quete preee, l equzoe crttertc può eere pot ell for G() ( z ) ( p ) Al vrre d, quet equzoe ette rdc dvere. Avedo che fre co quttà coplee, e è equvlete due dvere equzo clr, u per l uguglz de odul e l ltr per l uguglz degl rgoet: teedo coto che l odulo e l rgoeto dell quttà / oo rpettvete / e (ν+)π (co ν tero potvo o egtvo), le due equzo oo odul rgoet z p rg ( z ) rg( p ) ( ν + )π Quete due relzo defcoo duque ltcete l luogo delle rdc del te ello chuo. Coe vedreo eguto, l ecod relzoe è effettvete quell pù portte, quto defce tutt put che pprtegoo l luogo coderto, etre l pr relzoe erve olo d dvdure l vlore d corrpodete gol put del luogo teo. Eepo Codero u te vete l eguete fuzoe d trfereto ello perto: G() >, > + ( ) Applcdo quto vto el precedete prgrfo, deduco che l luogo delle rdc d queto te è defto dlle eguet relzo: G() rgg() ( ν + ) π ν tero Autore: Sdro Petrzzell 8

9 Il luogo delle rdc Quete due equzo defcoo duque l ee de put che, l vrre del gudgo, oo pol per l te ello chuo. Sottuedo l epreoe d G(), le due equzo uoo le eguet epreo: + rg() rg( + ) ( ν + ) π ν tero Tutt put C che oddfo quete due equzo fo prte del luogo delle rdc del te ello chuo coderto. Cercho llor d cpre d qul put trtt. Codero l pr equzoe, che ovvete può che eere crtt ell for + : l quttà + è l prodotto de odul del uero copleo σ+jω e del uero copleo +; dct rpettvete co ρ e ρ tl odul ( trtt, evdeteete, d fuzo d σ e d ω), l odulo d tle quttà è ρ ρ, per cu l equzoe può crvere ell for ρ ρ Cercho d cpre co c dce quet equzoe co rfereto ll fgur eguete: ρ ρ θ θ - Fto l geerco puto, oerv che ρ e ρ rppreeto l dtz del puto rpettvete d due pol e dell fuzoe ello perto: qudo è pccolo, che l prodotto ρ ρ rult pccolo, l che corrpode put vc due pol; vece, qudo è grde, rult grde che ρ ρ e qud queto corrpode put lot d due pol. I queto odo, ruco duque d otteere delle forzo eezlete qulttve ull pozoe de put del luogo delle rdc. Per forzo pù dettglte, dobbo vece rolvere l ltr equzoe, quell che covolge l rgoeto d G(): el otro eepo, e corrpode rg( ) rg( + ) ( ν + ) π ν tero 9 Autore: Sdro Petrzzell

10 Apput d Cotroll Autotc Cptolo 5 prte I Idct co θ e θ gl rgoet (epre fuzo d σ e ω), rpettvete, delle quttà e (+), deduco che l rgoeto d (+) è l o θ +θ e qud che l equzoe può crvere ell for ( θ + θ ) ( ν + )π Coe detto precedez, quet è l relzoe fodetle per l defzoe del luogo delle rdc: e, ftt, dce che, ffché u puto del luogo, l o, cbt d ego, degl rgoet θ e θ deve eere u ultplo dpr d π. Ado duque cercre put σ+jω che oddfo quet codzoe. Codero d eepo l puto dcto ell fgur eguete: ρ ρ θ θ - -/ Geoetrcete, oerv edtete che -θ -θ o è u ultplo dpr d π, per cu o cert che put d quel tpo o pprtegoo l luogo. Codero llor u ltro puto, tuto d eepo ull e del egeto che uce due pol del te ello perto: ρ ρ θ θ - -/ I queto co, è evdete che ( θ + θ ) ( ν + )π : ftt, e trov ull e, quel trgolo è ocele (coè ρ ρ ) e qud θ +θ π. Steo dcoro, ovvete, per u puto preo l d otto dell e rele epre ull rett vertcle pte per /, per cu deduco che tutt put d tle rett fo prte del luogo delle rdc. Codero deo u puto tuto ull e rele potvo: Autore: Sdro Petrzzell

11 Il luogo delle rdc - ρ ρ I queto co, gl gol θ e θ oo etrb ull, per cu l loro o o è ez ltro u ultplo dpr d π. Qud, tutt put dell e rele potvo o pprtegoo l luogo delle rdc. Provo llor co u puto tuto ull e rele egtvo tr d -: - ρ ρ I queto co gl gol θ e θ oo etrb d π, per cu l loro o o è u ultplo dpr d π. Qud, eche put rel tr d pprtegoo l luogo delle rdc. Provo vece u geerco puto tuto ul egeto che coguge e : - ρ ρ I queto co, bbo che θ π e θ, per cu θ +θ π e qud l puto pprtee l luogo. Lo teo vle, evdeteete, per u qul puto del egeto copreo tr e, per cu deduco che che queto egeto pprtee l luogo. Autore: Sdro Petrzzell

12 Apput d Cotroll Autotc Cptolo 5 prte I A queto puto, è fcle reder coto che o c oo ltr put che oddfo l codzoe ugl rgoet ( ), per cu poo rppreetre l luogo delle rdc del te ( ello chuo) coderto el odo eguete: - -/ Le frecce u r del luogo dco coe uovoo put del luogo ll uetre d : l vrre d d vero, pol del te ello chuo prtoo d pol del te d ello perto, coflucoo el puto edo tr d e e po procedoo, uo vero l lto e l ltro vero l bo ( etrb c vero ), u r vertcl del luogo. Vedreo eguto u regol che coete d dedurre queto oveto ez fr uo d equzo. Eepo Eo u ltro terete eepo. Codero u te vete l eguete fuzoe d trfereto ello perto: G() ( p )( p )( p )( p ) z I prtcolre, uppoo che lo zero e quttro pol d G() dpot, el po copleo, coe dcto ell fgur eguete: 3 I queto co, pù che u verfc ltc bt u verfc tutv Autore: Sdro Petrzzell

13 Il luogo delle rdc S oerv, duque, u polo ell orge (p ) e gl ltr tre pol prte rele egtv (uo de tre, p, è rele, etre gl ltr due oo cople cougt): poo llor eprere eglo l fuzoe G() ell for G() ( ( σ + jω ))( ( σ jω ))( σ ) Codero l puto dcto ell fgur, dvduto dl rggo ρ e dll fe ϕ : c chedo e queto puto pprteg l luogo delle rdc del te ello chuo, o, ter cocret, e ete u vlore d tle che l te ello chuo bb u polo. U proble del geere rolve el odo eguete: l codzoe ecer e uffcete ffché l puto pprteg l luogo delle rdc è che eo oddf l equzoe ugl rgoet, o rgg() r ( ν + ) π ν tero Dobbo llor deterre cor u volt l rgoeto d G(): be ll bolog ut ell fgur, è fcle ccorger che rgg() θ ϕ ϕ ϕ 3 ϕ per cu l rgoeto ϕ d deve oddfre l equzoe ( ) θ ϕ ϕ ϕ 3 ϕ ν + π ν tero Se ϕ è tto gà fto, coe o to uppoedo, llor bog olo cotrollre che quell epreoe corrpod d u dettà; l cotrro, e ϕ o foe tto fto, lo potrebbe deterre propro dll equzoe: bterebbe ftt porre che ϕ θ ϕ ϕ ϕ ( ν + )π 3 Suppoo che ϕ oddf tle codzoe, l che gfc che pprtee l luogo delle rdc del te; ret d deterre l vlore dell cotte corrpodez del qule rult eere u polo per l te; queto vlore è dto dll equzoe ul odulo d G(): G () Nel otro co, rferedoc epre ll bolog ut fgur, rult G() ρρρ3ρ, per cu bbo che ρρρ3ρ ρ ρ ρ ρ 3 I cocluoe, prededo ρρρ3ρ, o cert che è u polo per l te ello chuo coderto. 3 Autore: Sdro Petrzzell

14 Apput d Cotroll Autotc Cptolo 5 prte I gole forl per l cotruzoe del luogo delle rdc So deo grdo d eucre e copredere lcue regole fodetl per l cotruzoe del luogo delle rdc d u te retrozoe. Eucereo, prtcolre, le pre 5 regole fodetl, rddo dopo le ltre due. gol - Il luogo delle rdc è etrco rpetto ll e rele. Quet propretà derv dl ftto che, corrpodez d og evetule polo o zero copleo c è epre l uo cougto poto etrcete rpetto ll e rele. gol - Se è l grdo del poloo deotore dell fuzoe d trfereto ello perto G(), llor l luogo delle rdc è cottuto d r. Quet propretà dce che l luogo delle rdc preet tt r qut oo pol dell G(): l otvo è chrete el ftto che ccuo d quet pol vr l propr pozoe l vrre d, ddo orge pputo d r. gol 3 - Il luogo delle rdc prte d pol dell fuzoe G(). Quet propretà dce che og ro del luogo delle rdc prte dl corrpodete polo e l gutfczoe può eere dt co le tee coderzo d cu l puto precedete odo pù rgoroo: ftt, codero l equzoe crttertc ell for ( z ) ( p ) Se predo, l ecodo ebro dell equzoe tede d e lo teo deve percò ccdere per l pro ebro, o deve rultre ( p ), che equvle p per,,..,. gol Il luogo delle rdc ter egl zer dell fuzoe G() oppure ll fto. Quet regol dce che r che cottucoo l luogo delle rdc tero tutt egl zer dell fuzoe G(); queto, ovvete, ptto che gl zer o uero () pr l uero () de pol; e, vece, rult <, llor c oo de r che o pooo terre lcuo zero, per cu vo ecerete ll fto. Ache d queto poo dre u gutfczoe rgoro: ftt, codert cor l equzoe crttertc ell for Autore: Sdro Petrzzell

15 Il luogo delle rdc ( z ) ( p ) e predo, l ecodo ebro dell equzoe tede e lo teo deve percò ccdere per l pro ebro; l pro ebro tede zero e ( ) e ( ) ; e gl zer oo uero pr z p pol, l pr codzoe è uffcete, etre, e <, llor c oo - r che drgoo ll fto. C può eprere, llor, dcedo che r del luogo delle rdc tedoo gl zer l fto ed gl - zer ll fto. Vedreo eguto u regol che coete d dvdure le coddette drezo totche del luogo, o l odo cu lcu r tedoo evetulete ll fto. gol 5 I put dell e rele che pprtegoo l luogo delle rdc oo quell che lco ll propr detr u uero dpr d golrtà (coè d pol o d zer) dell fuzoe G(). Quet regol coete eplceete d dvdure e c oo put (e qul oo) dell e rele che pprtegoo l luogo delle rdc. E è u drett coeguez dell relzoe ugl rgoet (dervte dll equzoe crttertc) ed è bee ottolere che vle olo el co cu >. Eep Vedo veloceete lcu eplc c cu le 5 regole ppe eucte oo uffcet per l trcceto del luogo delle rdc. Coco d u te vete l eguete fuzoe d trfereto ello perto: G(),> + S trtt d u te prvo d zer e co u olo polo (rele). Il luogo delle rdc d queto te è ftto el odo eguete: - 5 Autore: Sdro Petrzzell

16 Apput d Cotroll Autotc Cptolo 5 prte I L cotruzoe d queto luogo effettu co eguet p: l pr regol, quet crcotz, o è d olto uto quto o c oo golrtà coplee cougte; l ecod regol dce che l luogo h u olo ro; l terz regol e l qurt regol dcoo, rpettvete, che tle ro prte dl polo e ter ll fto (vto che o c oo zer l fto); l qut regol dce fe che pprtegoo l luogo tutt put dell e rele tut tr del polo, per cu tl put oo gl uc e ol cottuet l luogo. Codero deo quet ltro eepo: ( + b) G(),,b> + S trtt dell tpc fuzoe d trfereto d u rete elettrc RC: e preet uo zero rele ed u polo rele. Il luogo delle rdc d queto te è ftto el odo eguete: -b - Acor u volt, l pr regol o force lcu forzoe; l ecod regol dce che l luogo h u olo ro; l terz e l qurt regol dcoo, rpettvete, che tle ro prte dl polo e ter ello zero; l qut regol dce fe che pprtegoo l luogo tutt put dell e rele tut tr del polo e detr dello zero, per cu tl put oo gl uc e ol cottuet l luogo. Codero cor u ltro eepo: G(),> ( + + j)( + j) S trtt d u te prvo d zer e co due pol cople cougt. Applcho le 5 regole per l cotruzoe del luogo delle rdc: eedoc due pol cople cougt, l pr regol dvet quet volt portte quto dce che l luogo rà etrco rpetto ll e rele, per cu può pere cotrure olo età per po dedurre utotcete l ltr età; l ecod regol dce che l luogo h due r; l terz e l qurt regol dcoo, rpettvete, che tl r prtoo ccuo d u polo e tedoo ll fto; l qut regol dce fe che o c oo put dell e rele che pprtegoo l luogo. t duque d cpre che odo due r tedoo ll fto; dto che o cooco cor l regol che c ut queto, procedo per v ltc, ddo rolvere l equzoe crttertc: ( + + j)( + j) + Autore: Sdro Petrzzell 6

17 Il luogo delle rdc L poo rcrvere eglo ell for eguete: + + ( + + ) p ± ( + + ) ± j + / Dll epreoe de due pol, deduce che, ll uetre d, e rgoo co l te prte rele (-), etre l prte gr tede vero + e -. Deduco, qud, che l luogo delle rdc d queto te è ftto el odo eguete: - Coe ulto eepo, codero u te vete u polo doppo ell orge: G () > No eedoc zer, due r del luogo prtoo dll orge e drgoo ll fto odo etrco rpetto ll e rele. Ache qu, o ppo che odo drgoo ll fto (che e c petto qulco d le l co precedete), per cu procedo cor u volt per v ltc, rolvedo l equzoe crttertc: + p/ ± j S vede che due pol coervo prte rele cotte(), etre l prte gr tede vero + e -. Il luogo delle rdc d queto te è duque ftto el odo eguete: 7 Autore: Sdro Petrzzell

18 Apput d Cotroll Autotc Cptolo 5 prte I Deterzoe delle drezoe totche Abbo detto che gl r del luogo delle rdc d u te (d grdo ) prtoo d pol del te teo ( ello perto) e covergoo egl zer l fto oppure quell ll fto. Voglo llor cpre coe è poble deterre le coddette drezo totche del luogo, o l odo co cu r che o chudoo ugl zer l fto tedoo ll fto. Il puto d prtez è cor u volt l equzoe crttertc + G(), che poo ell for eguete: G() b() () () b() + + b b Rcrvo ltro odo l pro ebro dell equzoe, effettudo l dvoe tr l uertore ed l deotore: vto che to couque coderdo vlor grd d, o è ecero effetture l dvoe fo d otteere reto ullo, è poble rretr pr; prtcolre, rretdo l ecodo quozete, è fcle ccorger che l dvoe port l eguete rultto: b b ( b ) + (ter d orde uperore) Poo llor rcrvere l equzoe crttertc ell for + ( b ) Co eplc polzo lgebrche, quet equzoe può che eere pot ell for eguete: + b A queto puto, l ter tr prete pro ebro può eere epreo edte uo vluppo ere rretto l pro tere: b + ( ) Effettudo l oltplczoe pro ebro, bbo duque che b + Rcorddo deo che σ+j, poo rcrvere l equzoe ell for σ + b jω + Autore: Sdro Petrzzell 8

19 Il luogo delle rdc Il ecodo ebro può che eere epreo udo l otzoe trgooetrc de uer cople: σ + b jω + (ν + ) π (ν + ) π co + j (dove ν è u uero tero copreo tr ed --). A queto puto, vedo che fre co u uguglz tr uer cople, poo uguglre le prt rel e quelle gre: b (ν + ) π σ + co (ν + ) π ω Se, fe, fcco l rpporto tr l ecod e l pr equzoe, otteo d cu qud rcvo che (ν + ) π ω tg b σ + ω σ + b (ν + ) π tg Quet equzoe rppreet, el po copleo, u fco d - rette (dto che ν,...,--) co cetrode el puto σ C b Quete rette oo gl tot del luogo, el eo che gl - r che tedoo ll fto lo fo eguedo le drezo dcte dgl tot. Rcordo, fe, che, per u ot propretà de polo, rult che b p z per cu poo rcrvere l cetrode edte l epreoe σc. I deftv, bbo dvduto l regol che c erve per dvdure le drezo totche del luogo: trtt d rette pt tutte per l puto rele p z 9 Autore: Sdro Petrzzell

20 Apput d Cotroll Autotc Cptolo 5 prte I σ C e l geerc d ee for co l e rele u golo pr vr tr ed -. (ν + ) π, dove ν Eepo Fcco ubto u eepo cocreto d pplczoe d quet uov regol. Codero percò u te vete l eguete fuzoe d trfereto ello perto: G() + + b,,b> e <b ( )( ) S trtt d u te prvo d zer e co tre pol rel (d cu uo ell orge): -b - Detero l luogo delle rdc, cocdo d pplcre le pre 5 regole: l ftto che l luogo debb eere etrco ( regol) o è, per l oeto, d lcu uto, quto o c oo golrtà coplee, per cu po oltre; l luogo vrà tre r ( regol) che prtoo d tre pol (3 regol) e tero tutt ll fto ( regol), vto che l te o preet zer; fe, be ll 5 regol, put rel che pprtegoo l luogo oo quell copre tr e - e quell tr d -b (per cu quet ult cottucoo l pro ro che tede ll fto). Poo duque cocre trccre l luogo el odo eguete: -b - S oerv duque che pol - ed tedoo uo vero l ltro fo cocdere corrpodez d u prtcolre vlore * del gudgo; dobbo llor cpre che co uccede per >*. Autore: Sdro Petrzzell

21 Il luogo delle rdc I due r devoo tedere ll fto, per cu do d dvdure gl tot (che oo 3, coè qut oo r del luogo che tedoo ll fto): l cetrode è σ C p etre gl gol fort co l e rele oo z ( b) + b 3 3 π/ 3 (ν + ) π (ν + ) π π 3 π/ 3 ν ν ν E chro che l toto vete coeffcete golre π è eplceete l e rele, ul qule gce ftt l ro del luogo che prte d b; gl ltr due tot oo vece quell dct ell fgur eguete: toto 6 -b - toto Qud, ll uetre d, pol - ed drgoo uo vero l ltro, cotro qudo * e po tedoo + e - ecodo le drezo dcte d due tot. Per trccre due r che vo l fto, co due forzo: l puto cu due pol cotro (detto puto d eergez del luogo) ed l odo (fodetlete, qud, l golo) co cu due r lloto d tle puto. Ete u crtero bbtz rpdo per l deterzoe del puto d eergez del luogo. Idcho co σ* tle puto: vto che trtt d u puto del luogo, eo oddf curete l equzoe crttertc, per cu rult + G(σ*). Rcorddo che G()b()/(), rulterà che (σ*)+ b(σ*). Poo llor ()()+ b() I be quto detto, rà curete (σ*). Codero deo l () + * ( : dto che (σ*), è evdete che σ fuzoe () tle che ( ) ) rult che (σ*). Clcolo deo l dervt d () rpetto d : [( + σ *) ()] ( + σ *) () + ( + σ *) d () d d() d d d Autore: Sdro Petrzzell

22 Apput d Cotroll Autotc Cptolo 5 prte I Poo oltplcre e dvdere l ecodo tere ecodo ebro per (): d () d ( ) ( ) () + σ * () + + σ * () d () d I queto odo, dto che (σ*), deduco che rult che d () d σ* e d qu cturce che che d d [ G() ] σ* e qud che che d d σ* Abbo coè cocluo che l puto d eergez del luogo è u puto d o per l gudgo. D coeguez, poo dvdure σ* procededo per tettv. E tutvo pettr, el otro eepo, che l puto d eergez σ* trov e pre del puto edo del egeto copreo tr ed -. Allor, clcolo l vlore d -/G() corrpodez d queto puto edo: ' G + + b b Succevete, do clcolre l vlore d u puto vco / e ltr put tut e dtor; uedo tl put, otteo l curv d vrzoe d fuzoe d e, trte quet curv, poo dvdure l puto cu ue l vlore o. Tle puto rà l puto d eergez σ* d o rcercto. U volt dvduto σ*, ret d cpre co qule golo (pprotvete) r del luogo prtoo dl puto d eergez. Vedreo eguto u ulterore regol che coet d clcolre queto golo odo rgoroo, per cu c lto copletre l luogo odo qulttvo: Autore: Sdro Petrzzell

23 Il luogo delle rdc -b - Oervdo queto luogo, deduce che due r ppe trcct tedoo totcete pre el epo detro del po copleo, l che gfc che ete u vlore d oltre l qule l te p d totcete tble d tble. S dce, llor, che l te è tbltà codzot ed l vlore d oltre l qule l te dvet tble (coè l vlore per l qule due r tereco l e delle ordte) prede l oe d gudgo crtco. C chedo llor coe po deterre queto vlore d. Per coodtà, uo vlor uerc l poto de pretr geerc e b. Suppoo percò che l fuzoe d trfereto ello perto del te l eguete: G() + + ( )( ) U etodo che rult bbtz coodo ell ggor prte de c è quello d ure l crtero d Routh. Prto llor dll equzoe crttertc del te ello chuo: + ( + )( + ) Sull be de coeffcet d quet equzoe, poo cotrure l tbell d Routh: Dobbo tudre rultt fort d quet tbell l vrre d. Itto, coderdo che >, ter dell pr colo oo tutt epre potv tre l terzo, l qule è potvo olo per <6. D qu deduco che, per <6, ho tre pereze, o 3 pol prte rele egtv, etre, per >6, ho perez e vrzo, o u polo prte rele egtv e prte rele potv. Deduco llor che l vlore crtco è propro C6. I corrpodez d queto vlore, l equzoe crttertc dvet 3 Autore: Sdro Petrzzell

24 Apput d Cotroll Autotc Cptolo 5 prte I ( + )( + 3) p 3 p j p3 j I put cu due r tereco l e delle ordte oo duque j.7 e j.7. Vedreo eguto che c è che u ltro odo per rrvre l vlore d C, eo preuppoe l coocez de put d terezoe del luogo co l e delle ordte: e h dpozoe quet forzoe, ftt, può procedere d u eplce operzoe d trtur del luogo, che cote ell utlzzre l relzoe u odul l fe d dvdure l corrpodet lle tercette co l e delle ordte ( 5 ). Eepo Nell eepo precedete, bbo vto coe è poble dvdure le drezo totche del luogo delle rdc e l evetule puto d eergez de r del luogo teo. L ult co che re d cpre è l odo co cu r del luogo prtoo dl puto d eergez: queto copo, ete u ulterore regol, che tedo eporre edte u eepo prtco. Codero percò u te vete l eguete fuzoe d trfereto ello perto: ( + ) G() ( )( ) S trtt d u te co uo zero e co 3 pol, d cu uo rele (p -3) e due cople cougt (p -+j e p 3--j): Detero l luogo delle rdc, cocdo d pplcre le pre 5 regole: dt per cott l etr rpetto ll e rele ( regol), l luogo vrà tre r ( regol) che prtoo d tre pol (3 regol); d quet tre r, uo ter ell uco zero, etre gl ltr ll fto ( regol); fe, put rel che pprtegoo l luogo oo quell copre tr - e -3 (per cu quet ult cottucoo l uco ro che chude l fto). Poo duque cocre trccre l luogo el odo eguete: 5 C rebbe effett che u ltro odo, cotete ell pplcre l relzoe ugl rgoet, è curete u etodo pù lboroo e qud eo effcete. Autore: Sdro Petrzzell

25 Il luogo delle rdc to d dvdure due r che prtoo d due pol cople cougt e drgoo ll fto. Ado llor d dvdure le drezo totche: l cetrode è σ C p etre gl gol fort co l e rele oo z 3 ( ) 3 3 (ν + ) π (ν + ) π π/ 3π / ν ν Abbo duque due tot vertcl pt per l puto 3/: -.5 C ret d cpre co qule golo due r tedet ll fto prtoo d rpettv pol. Per fre queto, pplcho u uov regol, che è u drett coeguez dell relzoe ugl rgoet. Rgoo u uo olo de due pol cople, vto che per l ltro vrrà l propretà d etr: predo d eepo l polo p vete coeffcete dell prte gr potvo. I pro luogo, codero u crcoferez cetrt p e d rggo ε pccolo pcere. Predo u puto d prov * u quet crcoferez e cogugolo co gl ltr due pol e co lo zero, coe dcto ell fgur eguete: 5 Autore: Sdro Petrzzell

26 Apput d Cotroll Autotc Cptolo 5 prte I * φ θ φ φx Idcdo gl gol coì coe fgur, ffché l puto * pprteg l luogo deve verfcre l codzoe ugl rgoet, per cu deve rultre θ φ φ φ ( ν + )π Avedo celto * odo geerco, o cooco eu delle quttro quttà pro ebro; tuttv, e predo ε, pr tre gol tedoo l vlore che uoo qudo * cocde co p : fcedo llor u eplce coto geoetrco co tl vlor (ot), pervee d u equzoe cu l uc cogt è l golo ϕ X, che qud può eere deterto. Queto golo rppreet, pr pprozoe, propro l golo co cu l luogo prte dl polo per drger ll fto ecodo l drezoe totc precedete dvdut. Coderdo che rult ϕ X leggerete ore d 9, poo duque copletre l luogo el odo eguete: X Queto luogo c dce, evdeteete, che l te ee o poe lcu proble d tbltà el oeto cu vee chuo u ello d retrozoe: per qul vlore d, ftt, uo pol ( ello chuo) rgoo epre el epo tro, o coervo prte rele egtv. D ltr prte, coe bbo vuto odo d dre gà precedez, u ueto d coport u duzoe dell tbltà reltv, quto corrpode d u duzoe dell cotte d orzeto δ. Pr d pre d u ltro eepo, è terete oervre l portz, f epre dell tbltà, dell uco zero preetto d G(). Iftt, queto zero rppreet l puto cu coverge uo de r del luogo, per cu è portte che eo trov el epo tro. Autore: Sdro Petrzzell 6

27 Il luogo delle rdc Per rederc coto bee d queto ftto, poto queto zero etrcete rpetto ll orge, l che gfc coderre per l te u fuzoe d trfereto ello perto ell for G() ( ) ( + + )( + 3) Cotruo l luogo delle rdc d queto te. Dt epre per cott l etr rpetto ll e rele ( regol), l luogo vrà tre r ( regol) che prtoo d tre pol (3 regol); d quet tre r, uo ter ello zero, etre gl ltr ll fto ( regol); fe, put rel che pprtegoo l luogo oo quell copre tr -3 e + (5 regol), per cu poo cocre trccre l luogo el odo eguete: -3 + Poo fferre d or che bbo che fre co u te tbltà codzot, vto che c oo put rel potv pprteet l luogo. to d dvdure due r che prtoo d due pol cople cougt e drgoo ll fto. Ado llor d dvdure le drezo totche: l cetrode è σ C p z etre gl gol fort co l e rele oo gl te del co precedete, o (ν + ) π (ν + ) π π/ 3π / ν ν 7 Autore: Sdro Petrzzell

28 Apput d Cotroll Autotc Cptolo 5 prte I Abbo duque due tot vertcl pt per l puto 7/. Co coderzo loghe quelle ftte el co precedete, l luogo rult eere l eguete: -3 + S oerv, duque, che ete u vlore crtco d corrpodez del qule l polo p trov. Per clcolre llor l gudgo crtco C, poo procedere tre od dtt. Quello pù veloce cote el rcordre che cooco l puto del luogo corrpodete C: poedo che tle puto (coè l orge) oddf l equzoe crttertc, otteo l corrpodete vlore d. L equzoe crttertc del te è ( ) + ( + + )( + 3) e, ottuedo, e force l vlore C3. Il ecodo odo d procedere frutt ch eo l ftto d coocere l puto corrpodete C: udo, ftt, l relzoe u odul che defce l luogo delle rdc, poo eplceete trre l luogo, o trovre l corrpodete. Ife, l ulto odo d procedere è quello pù geerle (vto che o preuppoe l coocez del puto del luogo ee) e cote ell pplcre l crtero d Routh. Autore: Sdro Petrzzell e-l: dry@ol.t to perole: Autore: Sdro Petrzzell 8