Capitolo 6 - Analisi armonica

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1 Apputi di Cotrolli Autotici Cpitolo 6 - Alii roic Itroduzioe... L fuzioe di ripot roic... Digri di Bode... 4 Itroduzioe: digri dell ripot roic... 4 Cotruzioe dei digri di Bode... 4 Digri di Bode delle fuzioi eleetri... 8 Eepi vri... Eepio... Eepio... 4 Digri di Nyquit... 6 Itroduzioe... 6 Regole per il trccieto dei digri polri... 8 Coporteto lle e frequeze... 8 Coporteto lle lte frequeze... 3 Coporteto lle frequeze iteredie Co prticolre di poli coplei coiugti: itoto oliquo Digr per (-, Eepio Eepio Eepio... 4 INTRODUZIONE Nei cpitoli precedeti io eito procedieti per l oluzioe delle equzioi differezili lieri, poedo i prticolre rilievo quelli ti ull trforzioe di Lplce: il otro oiettivo er l deduzioe dell ripot dei itei lieri eccitzioi tipiche, coe il grdio, oppure, più i geerle, quluque egle di igreo. Quet procedur di lii viee coueete dett lii el doiio del tepo. Ad e, ello tudio dei itei di cotrollo lieri i ffic l lii el doiio dell frequez, dett che lii roic, che i u u divero odello tetico dei itei lieri: i trtt dell coiddett fuzioe di ripot roic. L fuzioe di ripot roic cotituice u rppreetzioe dei itei lieri tziori trettete legt ll fuzioe di trferieto ed è pertto equivlete lle equzioi differezili qulor i coiderio itei iizilete i quiete. Tuttvi, e è peo più vtggio per lcue ue crtteritiche, priciple tr le quli è l ttitudie d ee rilevt perietlete: i ltre prole, l fuzioe di ripot roic rppreet, ripetto ll equzioe differezile, u odello tetico di più gevole idetificzioe prtire di dti perietli.

2 Apputi di Cotrolli Autotici - Cpitolo 6 LA FUNZIONE DI RISPOSTA ARMONICA Per defiire l fuzioe di ripot roic, doio prtire d u proprietà crtteritic dei itei lieri tziori: coiderio u ite liere tziorio l cui igreo è pplicto u igreo iuoidle del tipo x(t Xi( t Se il ite è itoticete tile, l u ucit regie (cioè u volt eurito il tritorio vri ch e co legge iuoidle crtterizzt dll te pulzioe e può quidi eere epre co l relzioe y(t Y( i t ( ϕ( Quet epreioe otr che l piezz dell ucit e l golo di fe ripetto ll igreo oo, i geerle, fuzioi dell pulzioe del egle di igreo pplicto. Si defiice, llor, fuzioe di ripot roic l fuzioe F(, di vriile rele ed vlori coplei, vete coe odulo il rpporto Y(/X e coe rgoeto l golo ϕ(: F( Y( e X ϕ Y( X ( ( co( ϕ( i( ϕ( Quet fuzioe, i virtù dell lierità del ite, è idipedete dll piezz X del egle i igreo e decrive copletete il coporteto del ite i codizioe di regie (periodico lle vrie frequeze (ovviete riult <. Pree l defiizioe, coiderio deo u ite liere tziorio co fuzioe di trferieto G( rziole frtt. Dto che io itereti itei itoticete tili, l fuzioe G( deve vere tutti i poli prte rele egtiv. Suppoio llor di pplicre i igreo l ite il egle x(t Xi( t : l u trfort di Lplce è X( X Suppoedo che il ite prt d u codizioe iizile di quiete, l ripot del ite tle igreo è u ripot forzt l cui trfort di Lplce, per defiizioe, è dt d ( G(X( G( X Y G( X ( ( E evidete, d quet epreioe, che i poli dell fuzioe Y( oo gli tei dell fuzioe di trferieto G(, più quelli corripodeti l egle igreo, che oo p e p -. Effettudo, llor, l titrforzioe, i poli di G( corripodoo d u terie tritorio y (t, etre gli ltri d u terie perete y P (t che, coe i vedrà tr reve, è iuoidle: poio duque crivere, i geerle, che t t y(t y (t y (t y (t K e K P e I quet epreioe, K è il reiduo corripodete l polo p, etre K è il reiduo corripodete p -:

3 Alii roic K K [ Y( ( ] [ Y( ( ] G( G( X ( X ( G ( G X ( X A queto puto, ricorddo l proprietà dell trfort di Lplce ecodo cui F(*F*(, poio crivere che ϕ ϕ G G e G G e ( ( ( ( ( ( dove ovviete ϕ( è l rgoeto di G(, etre G ( è il uo odulo. Co quet poizioe, poio epriere l y(t el odo eguete: y(t y (t X G X ( ( ( tϕ ( ( tϕ ( e G e y (t G( e X ( tϕ( ( tϕ( Adeo, dto che il ite è per ipotei itoticete tile, poio trcurre il terie tritorio y (t ell ipotei di coiderre itti t ufficieteete grdi: e y(t G ( e X ( tϕ( ( tϕ( e G ( Xi( t ϕ( D ltr prte, io i precedez detto che l ucit del ite deve eere ell for geerle y (t Y( i( t ϕ( ed io ioltre defiito l fuzioe di ripot roic edite l Y( F ( ( co( ϕ i( ϕ( : poio llor cocludere che X relzioe ( F( G ( I defiitiv, io diotrto il eguete teore: dto u ite liere tziorio co fuzioe di trferieto rziole frtt vete tutti i poli prte rele egtiv e oggetto d eccitzioe iuoidle, eo preet, regie, u ripot iuoidle vete l te frequez dell eccitzioe; ioltre, l fuzioe di ripot roic del ite i ottiee dll fuzioe di trferieto G( poedo. N.B. L fuzioe di ripot roic i può defiire che per itei itili: tuttvi, i queto co e o h lcu igificto fiico é riult iurile perietlete. A queto puto, ricorddo che l fuzioe di trferieto h corripodete iuivoc co l u titrfort di Lplce, oi l fuzioe di ripot ll ipulo, poio che fferre che l ripot ll ipulo di u ite liere itoticete tile deteri uivocete l u ripot roic. Si può diotrre fcilete che il cotrrio, oi che l ripot roic di u ite liere itoticete tile deteri uivocete l u ripot ll ipulo. 3

4 Apputi di Cotrolli Autotici - Cpitolo 6 Digri di Bode INTRODUZIONE: DIAGRAMMI DELLA RISPOSTA ARMONICA L rppreetzioe grfic dell fuzioe di ripot roic viee effettut co pecili digri, che cotituicoo l e dei procedieti grfici per l itei delle reti correttrici el doiio delle frequeze. Coiderio llor u ite liere tziorio itoticete tile vete fuzioe di trferieto G(. Aio vito, ei prgrfi precedeti, che d quet fuzioe poio ricvre l fuzioe di ripot roic epliceete poedo : otteio i tl odo l fuzioe G(. Quet fuzioe di ripot roic è u fuzioe di vriile rele ( ed vlori coplei, per cui i può rppreetre elle divere otzioi poiili per i ueri coplei: otzioe trigooetric otzioe crtei G G rg( G( ( G( e ( Re{ G( } I{ G( } I e quete otzioi, ci oo leo due odi per rppreetre grficete l fuzioe G( i fuzioe dell pulzioe : qudo i rppreet G( i terii di odulo e fe, etri fuzioi di, i ottegoo i coiddetti digri di Bode (o digri logritici; qudo ivece i rppreet G( i terii di prte rele e coefficiete dell prte igiri, epre fuzioi di, i ottegoo i coiddetti digri di Nyquit (o digri polri. Il otro oiettivo è quello di cpire coe i cotruicoo queti digri e coe e e frutto le proprietà. COSTRUZIONE DEI DIAGRAMMI DI BODE Al fie di itrodurre i digri di Bode, è itto ecerio porre i for più opportu l fuzioe di trferieto G(. I prio luogo, ppio di poter epriere l fuzioe di trferieto el odo eguete: G( K i ( z ( p I queto odo, io evidezito gli zeri ed i poli dell fuzioe di trferieto. I più, coviee eprre i poli ell origie di poli reli e dlle coppie di poli coplei coiugti e, per quto rigurd il uertore, eprre gli zeri reli dlle coppie di zeri coplei coiugti: 4 i

5 Alii roic G( p ( z h K v w ( pi i Stio i prtic uppoedo quto egue: q ( δ hh h ( δ l fuzioe G( preet poli ell origie, v poli reli e w coppie di poli coplei coiugti: ovviete riult vw; l fuzioe G( preet p zeri reli e q coppie di zeri coplei coiugti, i odo tle che riulti pq. A queto puto, l poto di evidezire i poli e gli zeri reli, evidezio le cotti di tepo d ei ocite: coiderdo che ( z z z ( T z ( T z p p T ( ( i i i io che Poedo K' G( K v p p q ( z ( T ( δ hh h h K w p ( z ( pi i v v ( p i ( Ti ( δ i i poio duque crivere G( ell for G( p ( T h K' v w ( Ti i q ( δ hh h ( δ I odo logo poio procedere per zeri e poli coplei: crivedo iftti che δ δ h / h / h / h / h / h / h / 5

6 Apputi di Cotrolli Autotici - Cpitolo 6 6 io che δ δ w q v i i q h h h h q h h p T ( T ( K' G( Poedo llor q q h h ' K K poio ifie porre l G( ell eguete for cocluiv: δ δ w v i i q h h h h p T ( T ( K G( A queto puto, otteut l G( i quet for, poio idividure l fuzioe di ripot roic G( ell for i cui ci erve: ( δ δ w v i i q h h h h p T ( T ( K G( Quet è l epreioe dell fuzioe di ripot roic ull e dell qule i cotruicoo i digri di Bode. Coe già ticipto i precedez, i digri di Bode i cotruicoo riportdo, i fuzioe dell pulzioe, il odulo e l rgoeto dell fuzioe di ripot roic: per quto rigurd l e delle cie, o viee direttete riportt l pulzioe, eì l qutità log ; i queto odo, l e delle cie viee uddivio i decdi: gli etrei di u decde oo due vlori di pulzioe di cui quello file è volte quello iizile: per quto rigurd, ivece, l e delle ordite, uite u differez tr il digr del odulo di G( e quello dell rgoeto di G(:

7 Alii roic el digr dei oduli (o digr delle piezze, o viee riportto direttete G(, eì l qutità log G(, oi il odulo di G( epreo i : log G( log.. 3 (rd el digr degli rgoeti (o digr delle fi, ivece, viee direttete riportto rg( G( : rg G( ( log.. 3 (rd E ee precire che, ootte l cl ut per le cie i quell logritic, i vlori uerici che vegoo riportti oo quelli dell pulzioe epre i rditi/ecodo, i odo d fcilitre l lettur del digr e oprttutto i clcoli che u eo i o. I vtggi che i coeguoo ipiegdo l cl logritic oo i egueti: i prio luogo, è poiile rppreetre, col dovuto dettglio, grdezze che vrio i cpi otevolete etei: i prticolre, il odulo dell fuzioe di ripot roic, geerlete, p, ll uetre dell frequez, d vlori olto lti vlori olto i; i ecodo luogo, è poiile ore i digri reltivi itei i cct, l fie di otteere il digr del ite coplei: iftti, l ripot roic copleiv i ottiee eeguedo il prodotto delle igole ripote roiche, cioè eeguedo il prodotto delle piezze (che, ipiegdo u cl logritic, i ricoduce d u o e l o delle fi; 7

8 Apputi di Cotrolli Autotici - Cpitolo 6 ifie, è poiile cotruire i digri reltivi d u fuzioe di ripot roic, dt i for fttorizzt, coe o di digri eleetri, di u uero liitto di tipi fodetli, corripodete cicuo d u igolo fttore. U volt idividute le qutità riportte ei digri di Bode e le cle ecodo cui tle qutità vegoo riportte, pio vedere le pricipli crtteritiche di tli digri. A tle copo, ripredio l epreioe dell G( trovt pri: G( K ( p v i ( ( T T i q h w h δ h δ h I quet epreioe i idividuo fcilete le egueti fuzioi eleetri: K ( ( T ± δ ± Allor, e trccio i digri di Bode, delle piezze e delle fi, corripodeti quete fuzioi eleetri, ci terà poi orli per otteere il digr di Bode dell fuzioe copleiv G(. Il otro copo divet duque quello di trccire i digri di Bode delle fuzioi eleetri. DIAGRAMMI DI BODE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI L pri fuzioe eleetre di cui ci occupio è G ( K. Quet fuzioe h evideteete odulo pri K (idipedete d e fe dipedete olo dl ego di K: e K è poitiv, l fe è, etre e K è egtiv, l fe è -π. Deducio llor quto egue: il digr dei oduli è u rett orizzotle corripodete ( log K : G log G(.. 3 log 8

9 Alii roic il digr delle fi è ivece u rett orizzotle corripodete -π e K< oppure coicidete co l e delle cie e K>: rg ( G(.. K> 3 π log K< L ecod fuzioe eleetre è G( ( h ed è quell corripodete d evetuli poli ulli dell fuzioe di trferieto del ite. Clcolio per pri co il odulo di quet fuzioe: G h h ( ( L fuzioe che viee llor riportt ul digr di Bode dei oduli è G( log h h log Dto che i cie viee riportt l qutità log, deducio che G( h log corripode d u rett pte per l origie e di pedez -h(/decde dipedete dl vlore di h: il co più eplice è ovviete quello di u ite vete olo polo ell origie, per cui h: l fuzioe d coiderre è duque G( (, per cui l qutità d riportre ul digr dei oduli è G ( log l origie di pedez ( / decde :, corripodete d u rett (pte per log G( G ( (. log - -(/decde 9

10 Apputi di Cotrolli Autotici - Cpitolo 6 il ecodo co è quello di u ite vete poli ell origie, per cui h: l fuzioe d coiderre è duque G( (, per cui l qutità d riportre ul digr dei oduli è G ( 4 log 4( / decde :, corripodete d u rett (pte per l origie di pedez log G( G ( (. log (/decde Si oerv, duque, i geerle, che, uetdo il uero h dei poli ell origie (cioè il coiddetto tipo del ite, il digr dei oduli dell fuzioe G( ( h è epre u rett pte per l origie, di pedez crecete: tle pedez uet di (/decde per ogi ueto uitrio di h. Pio deo l digr delle fi dell fuzioe G( ( h : rg G h [ ] ( rg ( rg ( h h h h > Avedo u qutità purete igiri deoitore, l rgoeto è u ultiplo itero -π/, per cui vreo, el digr delle fi, cor u volt u rett orizzotle: rg ( G( K> log h -8 h

11 Alii roic L terz fuzioe eleetre di cui ci occupio è l fuzioe G( ( T epre dl odulo: G( ( T ± T L fuzioe d riportre ul digr dei oduli è duque T. Coicio G( log G( log T log T log ( T Per cpire qule deto io quet fuzioe, poio oervre quello che uccede per olto piccolo e per olto grde: e e << G( log ( T >> G( log T T I e queti riultti, idict co / B T l coiddett frequez di re (o frequez di rottur o che frequez d golo poio fferre che l deto di G( corripode d u rett coicidete co l e orizzotle per << B e, per >> B, d u rett pte per il puto (, B e co pedez di -(/decde. Si trtt llor di cpire coe qutificre le dizioi << B e >> B : i ue llor che << B equivlg pori u decde pri di B e, ovviete, che >> B equivlg pori u decde dopo B. Coì fcedo, poio trccire il digr dei oduli d - fio u decde pri di B e d u decde dopo B fio : log G( G( ( T B B B log - -(/decde Doio deo cpire l deto del digr ell itoro dell frequez B, oi tr B / e B. E poiile llor procedere i odi diveri: u prio odo ree quello di clcolri l qutità G( i corripodez di 3 o 4 puti ell itervllo coiderto e di iterpolre i vlori otteuti l fie di rccordre i due trtti etrei; u ecodo odo, più pproito, è ivece quello di

12 Apputi di Cotrolli Autotici - Cpitolo 6 cotruire il digr itotico, che i ottiee epliceete prolugdo i due trtti etrei fio cogiugeri i B : log G( G( ( T B B B log - -(/decde Coì fcedo, i ottiee u digr pproito, che però pproi olto ee (lo i può verificre liticete il digr rele. Nel eguito, quidi, freo epre uo di queto digr itotico. Pio or l digr delle fi dell fuzioe G( ( T : l fe di quet fuzioe è rg G( rg [( T ] rg rctg( T T Doio duque digrre l fuzioe rctg( T coicire d lizzre l deto itotico del digr:. Ache i queto co, poio e e e << rg G( T rg G( 45 T >> rg G( 9 T I e queti riultti, poio trccire u digr delle fi qulittivo ftto el odo eguete: rg G( B B B log -45-9

13 Alii roic Si trtt cor u volt di tilire l deto del digr ell itoro dell frequez di re B /T: poio llor pproire queto deto co u egeto di pedez pri quell dell tgete l digr rele el puto ( B, 45. Doio llor dre clcolre quet tgete e i prticolre l u pedez: liticete, doio clcolre l qutità d( rg G(, oi d( log d ( rg G( d d [ rctg( T ] [ rctg( T ] d( log d( log d T T log e d d d ( log T d( log Dto che log e.3 è u uero crtteritico, deducio che l pedez dell tgete l digr rele vle d( rg G( T.3 d log T ( ed è ovviete fuzioe di, oi del puto i cui ci tio poedo: oi itere il puto B, i corripode del qule i trov u ltro uero crtteritico: T d ( rg G( d( log T.3.5 Poio duque trccire, ell itoro dell frequez di re, u egeto di pedez.5: rg G( B B B log Ovviete, l coocez dell pedez di tle egeto coete di idividure co preciioe il puto B i cui il egeto teo iterec l e delle cie: iftti, dto che il egeto p per i puti (, B e ( B, 45 ed h pedez.5, poio crivere che log B π log π.5 4 π. 5 4 B B 4.5 log B B B 4.8 3

14 Apputi di Cotrolli Autotici - Cpitolo 6 B d cui cocludio che B. Quet relzioe è fodetle, i quto ci coete di trccire 4.8 il digr delle fi epliceete coocedo l frequez di re B : ot B, dividedo per 4.8 (i pri pproizioe, t che dividere per 5 trovio il puto B i cui il digr iterec l e delle cie per poi riere u di eo per decreceti. Ovviete, oltiplicdo per 4.8 otterreo ivece il vlore B dell pulzioe prtire dll qule il digr i et itoticete ul vlore -9 ; tr i vlori B e B, il digr è cotituito d u egeto di pedez -.5. Queto eplice procedieto prede il oe di regol del 4.8. Aio duque cpito coe digrre il odulo e l fe dell fuzioe eleetre G( T. No ci vuole olto per cpire coe digrre il odulo e l fe dell ( fuzioe G( ( T : è evidete, iftti, che i il digr del odulo i quello dell fe di quet fuzioe i ottegoo epliceete riltdo, ripetto ll e delle cie, quelli di G( ( T. Il digr dei oduli rà duque ftto el odo eguete (ovviete i trtt epre del digr itotico: log G( (/decde G( ( T B B B log Il digr delle fi, per il qule vle ovviete cor l regol del 4.8, rà del tipo eguete rg G( 9 45 B B B log 4

15 Alii roic Oervio deo che le fuzioi ( T e ( T, uedo T poitivo, oo reltive, ripettivete, d u polo prte rele egtiv e d uo zero prte rele egtiv. I odo del tutto logo, llor, le fuzioi ( T e ( T, uedo T epre poitivo, oo reltive, ripettivete, d u polo prte rele poitiv e d uo zero prte rele poitiv. Ci chiedio llor coe oo ftti i digri di Bode di quete fuzioi. Coiderio d eepio l fuzioe G( ( T : poio crivere che G( ( T ( ( T G' ( G( G' ( rg G( rg G' ( rg G' ( dove G' ( ( T. Queto riultto ci dice duque che il digr del odulo di G( ( T rie iutto ripetto quello di ( T, etre quello dell fe i ottiee d quello di ( T trite u rilteto ripetto ll e delle cie, per cui coicide co quello di ( T log G( (/decde G( ( T B B B log rg G( G( ( T B B B log

16 Apputi di Cotrolli Autotici - Cpitolo 6 Ovviete, i digri dell fuzioe G( ( T ppe trcciti, dell fuzioe ( T i otterro etri d quelli, trite u rilteto ripetto ll e delle cie: log G( G( ( T B B B log - -(/decde rg G( G( ( T 9 45 B B B log δ L peulti fuzioe di cui doio trccire i digri di Bode è G( (corripodete ll preez di u coppi di poli coplei coiugti.clcolio per pri co il odulo di quet fuzioe: G( δ ul digr G( log δ Evideteete, l qutità G(, oltre dipedere d, dipede che dll pulzioe turle e dl coefficiete di orzeto δ. Ovviete, è ee ricordre che fccio riferieto l co i cui δ <, i quto, e foe δ, le due rdici o reero più coplee coiugte e i potree cidere il terie di grdo el prodotto di due terii di grdo, ricoducedoi perciò i ci coiderti i precedez. 6

17 Alii roic Preeo queto, uppoio ot l pulzioe turle, etre lcio vriile δ. Poio llor vedere quto vle l fuzioe G( per olto ggiore e olto iore dell pulzioe turle: e e << G( log >> G( log 4 log Quidi, per <<, il digr coicide co l e delle cie, etre, per >>, il digr è cotituito d u rett pte per il puto (, e di pedez -4(/decde: log G( log -4-4(/decde Doio or cpire l deto del digr ell itoro dell frequez, oi tr / e. Allor, coe io ftto per i terii di prio grdo, poio pere di utilizzre che qui il digr itotico, che i ottiee epliceete prolugdo i due trtti etrei fio cogiugeri i : log G( G( δ log -4-4(/decde 7

18 Apputi di Cotrolli Autotici - Cpitolo 6 Tuttvi, i queto co uetr u copliczioe ripetto quto ccde per i terii del prio grdo: iftti, etre i quel co i può fcilete verificre che il digr itotico pproi couque ee il digr rele, i queto co l pproizioe dipede trettete dl vlore del coefficiete di orzeto δ. Vedio llor qulche dettglio i più u queto petto. Nel digr itotico ppe trccito, io uppoto G( ; e, ivece, uio l epreioe di G(, otteio che G( log δ Aio cioè che, i, l qutità G( o è ull, ue u vlore tto ggiore quto più piccolo è il coefficiete di orzeto δ. Queto è già u prio riultto che ci coete di dire che il digr rele può dicotri pprezzilete dl digr itotico. Si può trovre che u ltro riultto iportte: i trov iftti che l fuzioe G( preet u io el puto x δ Evideteete, l diiuire di δ, tle puto di io i pproi l vlore, coferdo u volt di più l differez tr il digr rele e quello itotico. Nturlete, perché il vlore x i u eo, l rgoeto dell rdice deoitore deve eere poitivo, dl che deducio che queto io eite olo e δ >, oi e δ <. Poio llor fferre quto egue: e δ <, l fuzioe G( preet u deto rele divero (che otevolete d quello itotico, per cui il digr itotico v eceriete corretto, udo i vlori idicti i ppoite telle; e, ivece, riult δ >, llor l fuzioe G( o preet u io e il digr itotico divet ccettile (i quto G( riult couque vere u deto ootoicete decrecete. Riportio, i cocluioe, ell figur eguete l deto dell fuzioe G( per diveri vlori del coefficiete di orzeto δ: 8

19 Alii roic Queto digr cofer (ovviete le cocluioi litiche ricvte pri: i prticolre, i oerv che il vlore di G( el puto di io x vle el co i cui δ. Pio deo l digr delle fi per l fuzioe quet fuzioe è rg G( rg δ rctg δ G( δ rctg δ : l fe di Si trtt, che i queto co, di u fuzioe di e di δ, per cui vreo u figli di curve l vrire di δ. Suppoedo epre fit l pulzioe turle, clcolio rgg( i lcui puti otevoli: δ << rg G( rctg δ >> rg G( rctg 8 δ rg G( rctg rctg 9 9

20 Apputi di Cotrolli Autotici - Cpitolo 6 Il corripodete digr rele, l vrire di δ, è ftto el odo eguete: Voledo pproire queto digr co u deto itotico, t oervre che, l diiuire di δ, le curve diveto più ripide ell itoro dell frequez turle, per cui i può trccire u digr del tipo eguete: rg G( ' ' ' log -9-8 L pedez dell trtto iclito può eere ricvt co lo teo procedieto eguito el co dei terii del prio ordie, oi clcoldo l pedez dell tgete l digr rele i corripodez di. Seguedo queto procedieto, i trov che, per u egto vlore di δ, l frequez i cui il trtto iclito v d iterecre l e delle cie è legt ll frequez turle dll relzioe ( 4.8 δ. Udo quet eplice forul, divet che i queto co ' iedito il trccieto del digr itotico.

21 Alii roic Sego del coefficiete di orzeto U oervzioe iportte è l eguete: etre l pulzioe turle è pri l odulo delle rdici coplee coiugte, per cui è epre poitiv, il coefficiete di orzeto δ può che eere egtivo, etre oi lo io coiderto poitivo: per otteere, llor, il digr di Bode corripodete δ<, t coiderre che il digr dei oduli rie ivrito ( ptto di coiderre δ, etre quello delle fi riult riltto ripetto ll e delle cie. L ulti fuzioe d lizzre è il terie di grdo poto uertore (corripodete cioè δ due zeri coplei coiugti, oi l fuzioe G ( : cor u volt, il procedieto è eplice, i quto t riltre, ripetto ll e delle cie, i digri (i per i oduli i per le fi otteuti poco f per l fuzioe δ G(. Eepi vri ESEMPIO Voglio trccire il digr di Bode dell fuzioe G( ( T dove uppoio che i il gudgo i l cotte di tepo T io qutità poitive. Dto che il ite o preet poli prte rele poitiv, poio ieditete ricvre l fuzioe di ripot roic epliceete poedo : G( ( T Quet fuzioe di ripot roic è duque dt dl prodotto delle fuzioi eleetri G (, ( G ( e G ( 3 ( T : il digr delle piezze di G( è llor il prodotto dei ripettivi digri delle piezze, etre il digr delle fi i ottiee fcedo l o (lgeric, che cioè teg coto dei terii uertore e di quelli deoitore dei ripettivi digri delle fi.

22 Apputi di Cotrolli Autotici - Cpitolo 6 Coicio llor dl digr delle piezze: il odulo di G( è log G( log log ( ( T T Poio procedere el odo eguete. I prio luogo, io u ol frequez di re, / B T, corripodete ll cotte di tepo T. Adio llor d idividure tle frequez ull e orizzotle, uppoedo che i trovi coe idicto ell figur eguete: B... E lecito uere che, poedoci u decde pri ripetto B (cioè i corripodez di B /, il cotriuto del terie ( T i trcurile ripetto gli ltri, per cui l fuzioe è pproiile co G ( ; il corripodete odulo (i è llor G( log G( log e i trtt chirete di u rett co pedez egtiv di /decde. Per rppreetre quet rett, dto che e coocio l pedez, ci t coocere u puto d e itercettto. Allor, co riferieto ll figur precedete, poio d eepio clcolre 3 il vlore di G( i corripodez di.: fcedo i coti, i ottiee G(, d cui 3 quidi deducio che [ G( ] log.. Dto che i uppoe oto, poio duque idividure queto puto ul digr è dre d eo u rett co pedez egtiv di /decde: log /decde. B.. Quet rett pproi ee il digr rele fio ll frequez di re, prtire dll qule il cotriuto del terie (T - o può più eere trcurto. Per teere coto di queto cotriuto, ci t uetre l pedez d -/decde -4/decde (i quto ppio che il digr

23 Alii roic delle piezze di (T - è u volt u rett co pedez -/decde. Poio perciò cocludere che il digr (itotico delle piezze di G( è ftto el odo eguete: log 3 -/decde 4 3 B.. B. -4/decde Pio deo l digr degli rgoeti: l rgoeto di G( è rg G( rg rg( rg ( T Coiderdo che >, riult rg(, per cui cocludio che π rg G( rctg π ( rg( T rg( rctg( T ( T Aio duque l fuzioe -rctg(t trlt di π/ vero il o, per cui il digr itotico, udo l regol del 4.8 per otteere l pulzioe B è ftto el odo eguete: rg G( B B 4.8 B. -9 log

24 Apputi di Cotrolli Autotici - Cpitolo 6 ESEMPIO Voglio trccire il digr di Bode dell fuzioe. G( (.5 dove uppoio epre >. Dto che il ite o preet poli prte rele poitiv, poio ieditete ricvre l fuzioe di ripot roic epliceete poedo : G(. (.5 Quet fuzioe preet u prticolrità, rppreett d uo zero prte rele poitiv (o, ciò che è lo teo, u cotte di tepo egtiv uertore. Poio llor procedere el odo eguete: oltiplicdo uertore e deoitore per l qutità (., otteio G(. (.5... (.5... I tl odo, l G( riult dt dl prodotto di u terie G ( vete olo (.5. cotti di tepo poitive e di u terie G ( ul qule doio idgre.. Queto terie G ( preet u crtteritic fodetle, che è quell di vere odulo uitrio: ciò igific che il digr delle piezze di G(, che i ottiee coe prodotto dei digri delle piezze di G ( e G (, coicide co il digr di G (, i quto il digr di G ( è u rett coicidete co l e delle cie. Per quto rigurd, ivece, il digr delle fi, rà l o del digr delle fi di G ( (che ppio trccire i quto G ( rietr tr le fuzioi lizzte i precedez e di quello di G (. Adio llor vedere coe è ftto il digr delle fi di G (: rg G ( 48. B log

25 Alii roic. I defiitiv, quidi, il terie G ( o odific il odulo di G (, etre produce. uo feto. Per queto otivo, eo prede il oe di fttore p-tutto: queto oe idic il ftto che, dto u ite vete G ( coe fuzioe di ripot roic e poedo i igreo tle ite u egle iuoidle u(t Ai( t, di pulzioe qulii, l ucit del ite è del tipo y(t Ai( t ϕ. Il ite, cioè, o tteu e o plific, i liit olete fre l igreo di u qutità dipedete d. 5

26 Apputi di Cotrolli Autotici - Cpitolo 6 Digri di Nyquit INTRODUZIONE Qudo io itrodotto l fuzioe di ripot roic G(, io detto che e può eere grficete rppreett i leo due odi: ei prgrfi precedeti ci io occupti dell u rppreetzioe i terii di odulo e fe, decrivedo i digri di Bode, etre deo voglio occuprci dell rppreetzioe i terii di prte rele e prte igiri, decrivedo i coiddetti digri di Nyquit (detti che digri polri: G ( Re{ G( } I{ G( } U digr polre è duque u rppreetzioe del vlore di G(, i terii pputo di prte rele e prte igiri (cioè el pio di Gu, l vrire dell pulzioe. U eepio di digr polre è riportto ell figur eguete: U geerico puto dell curv rppreet il vlore dell G( i corripodez di u preci pulzioe (l curv è grdut i vlori dell pulzioe, el eo che oo pecificti u di e i vlori di corripodeti i vri puti, i uero ufficiete per u gevole iterpolzioe: queto coete u iedit deterizioe dei vlori di Re { G( } e I { G( }, d leggeri ripettivete ull e orizzotle e u quello verticle. E iportte oervre il lege tr i digri polri e i digri di Bode: poiché i vlori del odulo A( e dell rgoeto ϕ( oo fcilete deteriili ul digr polre i fuzioe dell pulzioe, i digri di Bode i pooo fcilete dedurre dei digri polri; eo gevole, couque poiile, è ivece l deterizioe di Re { G( } e I { G( } ui digri di Bode, cioè l cotruzioe, prtire d queti, dei digri polri. 6

27 Alii roic I digri polri oo di grde iportz per lo tudio dell tilità dei itei i retrozioe: u di ei, i prticolre, i u fodetle criterio di tilità (il criterio di Nyquit che verrà più vti eucito. Ftte quete preee, coicio d eire due etodi prtici per l cotruzioe dei digri polri: u pri ituzioe poiile è quell i cui i vuole rppreetre, ul digr polre, l fuzioe di ripot roic reltiv d u ite di cui è dt l fuzioe di trferieto G(: i queto co, u volt effettut l otituzioe, il digr polre di G( i può trccire per puti, eprdo le prti rele e igiri di G( e deteridoe i vlori corripodeti vri vlori di ; u ecod ituzioe poiile è ivece quell i cui è egt direttete l pp dei poli e degli zeri el pio copleo ed è fito u vlore di : l ripot roic corripodete tle vlore di i può fcilete deterire elordo i dti di u cotruzioe grfic. Per eepio, uppoio che l pp egt i quell idict ell figur eguete: L corripodete fuzioe di ripot roic h l eguete epreioe: G( ( p ( p ( p z 3 M M M 3 M 4 e ( ϕ ϕ ϕ ϕ 3 4 dove i vlori dei oduli e degli goli corripodoo, ripettivete, ditze ed goli fcilete deteriili per vi grfic. Dll cotruzioe grfic dell figur precedete i può pre d u puto del digr polre eeguedo prodotti e quozieti di vlori deteriti grficete e u o lgeric di goli. L cotruzioe i può ovviete ripetere per diveri vlori uerici di. 7

28 Apputi di Cotrolli Autotici - Cpitolo 6 8 REGOLE PER IL TRACCIAMENTO DEI DIAGRAMMI POLARI I olti ci, i prticolre qudo i digri polri i ipiego per lizzre l tilità dei itei i retrozioe, è ufficiete l coocez dell deto qulittivo del digr el uo copleo, potedoi liitre l coocez più preci porzioi di eo i poizioi deteriti. Per il trccieto qulittivo dei digri polri riulto utili lcue regole prtiche, che ci ccigio d eucire. Per eucire quete regole, utilizzio l fuzioe di trferieto G( del ite i ee epre elle egueti due fore: ( ( δ δ w v i i q h h h h p T ( T ( G( I etre le fore, coe i oerv, io poto i evidez gli evetuli poli ell origie (uppoti i uero pri. L corripodete fuzioe di ripot roic i ottiee poedo : ( ( ( ( ( ( δ δ w v i i q h h h h p T ( T ( G( Coporteto lle e frequeze Per trccire il digr polre di u geeric fuzioe di ripot roic G(, ci itereio per il oeto olo i vlori di coprei ell itervllo (,, etre i eguito coiderereo l itervllo (-,. Nell ito dell itervllo (,, coicio vlutre l deto lle e frequeze, oi l deto di G( per : fccio riferieto ll G( epre ell for ( ( ( ( ( ( G E chiro che, e divet olto piccolo ( liite, tutte le poteze di, i uertore i deoitore, rppreeto dei terii trcurili ripetto i terii cotti e, per cui poio icurete fferre che l fuzioe è pproiile co ( G(

29 Alii roic Quet è duque l fuzioe co cui, i lie del tutto geerle, i pproi il coporteto di G( per tedete. E chiro che l deto di quet fuzioe dipede dl vlore di, oi dl uero di poli ell origie, oi dl tipo del ite. Le poiilità oo ovviete due: il co più eplice è quello i cui, oi il ite è di tipo : i queto co, l fuzioe (che o preet poli ell origie è G( ed è evideteete cotte (e rele co l frequez: queto ftto idic che il digr polre prte d u puto dell e rele di vlore /. I queto puto, l fe dell fuzioe è rg G( rg π > < l ltr poiilità è quell i cui >, oi il ite preet leo u polo ell origie: i queto co, l fuzioe o è più cotte co l pulzioe e poio epriere il uo rgoeto coe π rg G( rg rg rg ( Se poio ϕ rg π > < poio crivere che π rg G( ϕ d cui deducio che l fe di G(, per, dipede i dl ego dell cotte dl uero di poli ell origie. Per quto rigurd il odulo, ivece, è ovvio che li G( li (. i Poio duque riepilogre el odo eguete il coporteto di G( per : e il ite è di tipo, il odulo è etre l fe è ull o pri π ecod che il terie 9

30 Apputi di Cotrolli Autotici - Cpitolo 6 3 i poitivo o egtivo; e il ite è di tipo leo pri d, ivece, il odulo è, etre l fe è π ϕ, dove ϕ rg. Queto è duque quello che uccede per. Adeo vedio co uccede per vlori di piccoli couque o ulli. Fccio cor riferieto ll fuzioe di ripot roic epre ell for ( ( ( ( ( ( G I queto co, ziché trcurre tutte le poteze del terie, è lecito trcurre olo quelle di grdo ggiore o ugule, per cui poio crivere che ( G( Coiderio dppri il co di ite di tipo, per cui crivio che G( Aio vito pri che, e il ite è di tipo, il digr prte d u puto dell e rele. Allor, l fie di cpire e il digr prte d tle puto co fe poitiv o egtiv, clcolio l fe di G( epre i quet ulti for: rg rg rg rg rgg( Poedo epre ϕ rg, io che ϕ ϕ rctg rctg rg rg rgg( Dto che tio rgiodo per vlori olto piccoli di, poio cofodere l tgete co l golo, per cui cocludio che ϕ rgg(

31 Alii roic I e quet forul, e uppoio >, oi ϕ, tutto viee dipedere dl ego dell qutità : e >, llor rg G( >, oi il digr prte co fe poitiv (oi lci l e rele ruotdo i eo orrio; e <, llor rg G( <, oi il digr prte co fe egtiv (oi lci l e rele ruotdo i eo tiorrio. Nell figur eguete oo itetizzte quete cocluioi: { ( } I G > G( Re { G( } < L figur f riferieto, ovviete, l co i cui >. Pio deo l co di ite di tipo, per il qule l fuzioe di ripot roic, epre per vlori piccoli o ulli di, può eere pproit co G( Aio vito pri che, e il ite è di tipo ggiore di, il odulo di G( è ifiito per, oi il digr prte d u puto ll ifiito. Voglio llor cpire, el co di ite di tipo, i che odo prte il digr: diotrereo che eo prte eguedo u itoto verticle vete u preci ci. Coviee itto rziolizzre l epreioe di G( el odo eguete: G( ( ( ( 3

32 Apputi di Cotrolli Autotici - Cpitolo 6 Adeo, dto epre che tio coiderdo vlori piccoli di, poio trcurre, i uertore i deoitore, i terii i, per cui G( ( ( Aio i tl odo eprto l prte rele e l prte igiri di G(: i oerv llor che, etre l prte rele è cotte co, il coefficiete dell prte igiri è iverete proporziole d, il che igific che, per, riult I { G(}. Aio duque u itoto verticle: { ( } I G itoto verticle Quet figur f chirete riferieto l co i cui ( <. Re ( { G( } ( >, può che riultre Coporteto lle lte frequeze Studio deo il coporteto dell geeric fuzioe di ripot roic G( lle lte frequeze, oi per. Coiderio cor l fuzioe G( epre ell for ( (... ( (... G( ( Alle lte frequeze, prevlgoo icurete il terie i uertore e quello i - deoitore, per cui G( ( ( ( ( 3 (

33 Alii roic Portdo i terii i tutti deoitore, io duque che, lle lte frequeze, l fuzioe G( è epriiile ell for G( ( Il co più eplice che i può preetre è quello i cui (corripodete d u ite vete u ugul uero di poli e di zeri: i queto co, riult evideteete G(, per cui il odulo e l fe di G( riulto eere G( rg G( rg π e e > > I queto co, duque, il digr per h odulo fiito pri ecod che i u qutità poitiv o egtiv. e fe ull o pri π L ltro co è quello i cui < (corripodete d u ite p-o, vete cioè u uero di poli ggiore ripetto l uero di zeri: i queto co, riult li G( li ( li rg G( li rg rg li rg 443 ( ( ϕ ϕ π ( Quete forule dicoo che, per u ite p-o, il digr polre tede ll origie (dto che il odulo di G( tede co fe π ϕ (, oi tgete d uo degli i coorditi. Coporteto lle frequeze iteredie Aio duque lizzto il coporteto di G( i lle e frequeze ( i lle lte frequeze (. Ret d deterire l deto di G( per frequeze iteredie copree tr queti due etrei. I effetti, però, l cotrrio dei ci coiderti pri, i pooo trrre e poche cocluioi litiche propoito di tle deto: l deterizioe preci 33

34 Apputi di Cotrolli Autotici - Cpitolo 6 dell deto di G( per frequeze iteredie può eere ftt olo clcoldo tle fuzioe (i prticolre l u prte rele e l u prte igiri per diveri vlori di (per otteere u uero elevto di puti, è ecerio l uilio del clcoltore. I e queto, divet iportte coocere il vlore di G( i lcui puti otevoli. Per eepio, può eere iportte idividure le evetuli iterezioi di G( co gli i coorditi: per idividure evetuli iterezioi di G( co l e igirio, è ecerio riolvere l equzioe Re { G( } : e eite u vlore dell pulzioe i corripodez del qule quell codizioe è verifict, il corripodete vlore dell fuzioe di ripot roic rà ( I G( e potrà eere riportto ul digr; { } G i odo del tutto logo, per idividure evetuli iterezioi di G( co l e rele, è ecerio riolvere l equzioe I { G( } : e eite u vlore dell pulzioe i corripodez del qule quell codizioe è verifict, il corripodete vlore dell fuzioe ( Re G(. G di ripot roic rà { } Co prticolre di poli coplei coiugti: itoto oliquo Coiderio deo u co prticolre di fuzioe di ripot roic: uppoio che l fuzioe di trferieto del ite i ee i epreioe N( G( D( ( L crtteritic di G( è evideteete quell di vere due poli coplei coiugti che oo, i prticolre, igiri puri: iftti, il terie corripode i due N( poli p / ±. Se llor poio G (, poio crivere che D ( G( N( ( ( Sio itereti clcolre l fe dell fuzioe G( ell itoro di uo di queti due poli, d eepio ell itoro di p. Clcolio llor tle fe i (cioè leggerete l di opr di e i - (cioè leggerete l di otto di : G ( D ( 34

35 Alii roic I - Re Coicio dl puto : rg G( rg G rg ( ( π π [ ( ] rg[ G ( ] π Pio l puto - : rg G( rg G rg G ( ( ( π π [ ( ] rg[ G ( ] G ( rg G rg G [ ( ] rg[ ( ] rg[ ( ] [ ( ] rg[ ( ] rg[ ( ] A queto puto, dto che G ( o preet igolrità i, è ovvio che rg G ( rg G (. I e queto, deducio che rg G( rg G( Quet epreioe dice che potdoci d - e, oi d d -, l fe di G( ruot di -8 : queto ftto idic l preez di u itoto oliquo. π Digr per (-, - Metre ei prgrfi precedeti io deterito l deto del digr polre di G( per che vri ell itervllo (,, voglio deo ricvre l deto del digr polre di G( per che vri ell itervllo (-, -. Per otteere tle deto, t fre l eguete coiderzioe: i e d u ot proprietà dell * * * trfort di Lplce i e ll qule G( G (, poio crivere che G( G ( e 35

36 Apputi di Cotrolli Autotici - Cpitolo 6 quet relzioe dice che il digr per (-, - i ottiee epliceete riltdo ripetto ll e delle cie il digr otteuto per (,. ESEMPIO Voglio trccire il digr polre delle eguete fuzioe di trferieto: G( ( (.5( Oervdo che o ci oo poli ell origie, deducio che il ite è di tipo. Oervdo ioltre che il grdo del uertore ( è iferiore quello del deoitore (3, deducio che che i trtt di u ite di tipo p-o. L pri operzioe litic d copiere è quell di ettere i evidez, i i corripodez dei poli i i corripodez degli evetuli zeri, le cotti di tepo: G(.5( ( 4(.5 4 ( ( 4(.5 L ecod operzioe coite el otituire l fie di otteere l fuzioe di ripot roic: 4 G( ( ( 4(.5 Studio il coporteto lle e frequeze, i odo d idividure il puto di prtez del digr reltivo ll itervllo (,, e il coporteto lle lte frequeze, i odo d idividure il puto di rrivo del digr epre reltivo llo teo itervllo. Coicio dl coporteto lle e frequeze, oi per : io vito pri, livello del tutto geerle, che G(, per, può eere pproit trcurdo (i uertore i deoitore i terii i. Nel otro co, quidi, G( può eere pproit co li G( 4 I e quet epreioe, deducio che il digr, coe ci pettvo, prte dl puto 4, ituto ull e rele. Ioltre, dto che li G( 4 >, deducio che il digr prte d ( tle puto co fe ull, oi tgete ll e rele. Pio l coporteto lle lte frequeze, oi per : dto che < (ite po, io che li G( li rg G( ϕ ( π π π (3 3 36

37 Alii roic dove ϕ rg è l fe di G( clcolt pri per. Deducio duque che il digr teri ell origie co fe -3π/, oi tgete ll e verticle. A queto puto, poio per eepio deterire evetuli iterezioi dell G( co gli i coorditi. A tl fie, coviee epriere G( eprdo l prte rele e l prte igiri: poio llor crivere, eeguedo epliceete u rziolizzzioe del deoitore, che 4 G( ( ( 4( ( 6.5 ( 5.5 A queto puto, doio verificre e le due equzioi Re { G( } e I { G( } u oluzioe: { G( } { G( } Re 6.5 / G( I ( 5.5 ettoo /. 66 G(. 37 Aio duque trovto che le iterezioi co gli i coorditi oo ei puti (,-9.64 e (-.37,. Sio llor i grdo di trccire il digr polre reltivo ll itervllo (, : { ( } I G -.37 Re { G( } A queto puto, il digr reltivo ll itervllo (-, - i ottiee epliceete riltdo, ripetto ll e delle cie, quello ppe otteuto, per cui cocludio che il digr polre (qulittivo dell fuzioe G( coidert è ftto el odo eguete: 37

38 Apputi di Cotrolli Autotici - Cpitolo 6 { ( } I G Re { G( } E iportte ottoliere che quello ppe ricvto è il digr polre tipico di u fuzioe G( priv di zeri e co 3 poli reli egtivi. ESEMPIO Voglio trccire il digr polre delle eguete fuzioe di trferieto: G( (.(.5 > Aio che fre co u ite p-o di tipo (cioè co polo ell origie e di 3 ordie (cioè co 3 poli. Dto che oo tte già ee i evidez le cotti di tepo, poio ieditete porre l fie di otteere l fuzioe di ripot roic: G( (.(.5 Coicio dl coporteto lle e frequeze, oi per. Eedo il ite di tipo, ppio che è preete u itoto verticle, il qule idividu l deto del digr per (i quto li G( : l ci di tle itoto è dt d σ (... z i i..., p...,.5 Per quto rigurd, ivece, l fe co cui il digr prte dll ifiito, ppio che e è dt dll forul π π π π rg G( ϕ rg 38

39 Alii roic Pio deo l coporteto lle lte frequeze, oi per : dto che <3 (ite p-o, io che li G( li rg G( ϕ ( π π π (3 3 dove io poto cor u volt ϕ rg. Deducio duque che il digr teri ell origie co fe -3π/, oi tgete ll e verticle. A queto puto, poio deterire evetuli iterezioi dell G( co gli i coorditi. Seprdo llor l prte rele e l prte igiri ell epreioe di G(, io che G(.5 (. D qui deducio che l prte rele o i ull i, per cui o ci oo iterezioi co l e I G( : igirio, etre l iterezioe co l e rele i ottiee riolvedo l equzioe { } { G( } I (.. G(.4 Sio queto puto i grdo di trccire il digr polre reltivo ll itervllo (, : { ( } I G -.4 Re { G( } Riltdo queto digr, otteio il digr reltivo ll itervllo (-, - : 39

40 Apputi di Cotrolli Autotici - Cpitolo 6 - { ( } I G -.4 Re { G( } No io cor fiito, i quto doio chiudere l curv, oi diegre il digr reltivo ll itervllo ( -, : - { ( } I G -.4 Re { G( } E tz ituitivo, può che eere diotrto liticete, che l curv di chiuur del digr i u curv ll ifiito. Tle curv di chiuur h epre vero di percorrez orrio e può eere fcilete dedott eguedo u regol fodetle: prtedo dl puto del digr polre corripodete -, i devoo copiere tti ezzi giri (cioè tte rotzioi di π, i eo orrio e fio l puto corripodete, quti oo i poli ell origie. Nel otro co, io olo polo ell origie e quidi l chiuur vviee edite u curv (che può eere trquillete pproit edite u eicircoferez corripodete d olo ezzo giro, i eo orrio, d -. 4

41 Alii roic ESEMPIO Voglio trccire il digr polre delle eguete fuzioe di trferieto: ( >, T> ( T G Aio che fre co u ite p-o di tipo (cioè co poli ell origie e co ordie 3. Dto che oo tte già ee i evidez le cotti di tepo, poio ieditete porre l fie di otteere l fuzioe di ripot roic: G( ( T Coicio dl coporteto lle e frequeze, oi per. Eedo il ite di tipo, riult che li G( π rg G( ϕ rg π π π per cui il digr tede ll co fe -. Pio deo l coporteto lle e frequeze, oi per : dto che < (ite p-o, io che li G( li rg G( ϕ ( π π π (3 3 dove ϕ rg. Deducio duque che il digr teri ell origie co fe -3π/, oi tgete ll e verticle. A queto puto, poio deterire evetuli iterezioi dell G( co gli i coorditi. Seprdo llor l prte rele e l prte igiri ell epreioe di G(, io che G( T 3 e d qui i oerv che o ci oo iterezioi. Sio queto puto i grdo di trccire il digr polre reltivo ll itervllo (, : 4

42 Apputi di Cotrolli Autotici - Cpitolo 6 { ( } I G Re { G( } Queto digr v copletto trccido pri l deto per (-, -, ietrico ripetto ll e rele, e poi l curv chiuur ll ifiito: rigurdo quet ulti, eedoci due poli ell origie, rà ftt d u circoferez (corripodete ezzi giri, cioè due rotzioi di π che v i vero orrio dl puto corripodete - l puto corripodete. Autore: SANDRO PETRIZZELLI e-il: dry@iol.it ito perole: uccurle: 4