18p = 2 2; 5 = 4; 5 p = 4; Procedo nello stesso modo per la progressione geometrica b. p 3. p 3. p 3. q 7 = = p 3 7

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1 Università di Siena - Anno accademico 0- Corso di laurea in farmacia - Corso di matematica (rof. a.attinelli) Prova di valutazione in itinere n. del Svolgimento del testo A A Utilizzo due volte (una er ciascun dato fornitomi) la formula che fornisce il termine generale di una rogressione aritmetica er ricavare asso e valore iniziale di a a 0 + = a 0 + = ; 8 = ; = ; = ; 8 a 0 = a = ; + ; = ; 7 Procedo nello stesso modo er la rogressione geometrica 0 q = 8 0 q 8 = = 0; = 0 q 0 q 8 = 8 = q 7 = 8 = 7 q = 0 = 8 q 8 = 8 = 8 Per la determinazione dei valori numerici delle due sommatorie, rocedo come nello svolgimento del gruo di esercizi n. 7X n=7 0X n=0 n = a n = 0X a n n= = 0a 0 + 9X a n n= 0 9a 0 + = a 0 + ( 9) 68 = 78; 7 = ; 7X n=7! X0 0 q n = 0 q 7 q k k=0 9 0 = 8 q q = + = = 79 + = 6 +

2 B Se chiamo t il livello di coltura atterica nel eriodo t, la storia della oolazione di atteri viene raresentata dalla successione ( t ) tn, e osso iniziare a descriverla dal mezzogiorno di domenica; chiamo la quantità di atteri entrati nell organismo in questo istante. Risulta allora: domenica ore.00 0 = domenica ore 0.00 = lunedì ore 0-00 = = lunedì ore -00 = = lunedì ore 0-00 = = Quando giunge la mezzanotte tra lunedì e martedì, momento in cui mi somministro una iniezione di antiiotici, non sono ancora assate 8 ore, cioè il temo di un incremento del % dal livello delle 0.00; ma ne sono assate esattamente la metà, e devo in qualche modo avanzare una iotesi sul livello raggiunto dalla oolazione atterica in questo momento, suito rima della somministrazione. Sono ossiili svariate iotesi, ciascuna con i suoi regi e difetti. Una aastanza semlice consiste nel dividere er il tasso di incremento, cioè %, ottenendo ; %, e stailire a = 9 8 (dove l aice a sta er ante cioè aunto rima della somministrazione). Un altra iotesi, leggermente iù so sticata, muove dall osservazione che due incrementi successivi del ; % in due eriodi successivi di ore non conducono ad un incremento del % nelle 8 ore, ma ad uno un o maggiore 9 ; % ; % = = = 6; 6% cioè del 6; 6%. Pertanto, il tasso di incremento v nell arco di ore deve soddisfare l equazione ( + v) = % da cui v = r 00 ' 0; 8 = ; 8% Per semlicità di calcolo scelgo la rima iotesi (; % = ), e assumo 8 a = (; %) = 9 8

3 osso così continuare la mia taella, osservando che dal momento della somministrazione i temi di calcolo dello sviluo della oolazione atterica decorrono dalla mezzanotte (quindi alle 8 del mattino, alle 6 del omeriggio, e alla mezzanotte successiva) anziché dal mezzogiorno.(seguito dalle 0 della sera, dalle della notte, e dal mezzogiorno successivo), e che una riduzione del % equivale ad un residuo del 8% = lunedì ore.00 avanti somministrazione a = 9 8 = 9 8 lunedì ore.00 doo somministrazione = a martedì ore = = martedì ore = 6 = martedì ore.00 avanti somministrazione 7 8 = 7 = martedì ore.00 doo somministrazione 8 = 7 8 = 7 mercoledì ore = 8 = 7 Comrendo così che, dal momento della rima somministrazione in oi er tutto il eriodo di somministrazione, nell arco di ore si hanno incrementi ercentuali del % e un decremento del 8%; dunque 8 = = 6 8 e la successione 0 = ( 0 k ) kn, dove = 6 = 6 : : : k+8 = 6 k+ (k N) 0 k k+

4 è una rogressione geometrica di ragione q = 6 Osservo che nella rogressione 0 l aumento unitario dell indice k corrisonde esattamente al trascorrere di un giorno. Devo ertanto determinare quali sono i valori di k er cui 0 k si mantiene sueriore a 0 0 =. Dalla formula generale er le rogressioni geometriche sono indotto a studiare la disequazione k 0 0 > k ossia > 6 Scegliendo la ase er i logaritmi, e assando al logaritmo in tale ase di entrami i memri, ottengo k log 6 > Tenendo resente che 6 è minore di, e che quindi log è negativo, concludo 6 che la cura deve continuare nché k < log ' 7; 0 6 ossia er en settimane e mezzo. Ca Esistenza. La rima radice ha un radicando ( + ) = + che è il rodotto di due termini, il rimo dei quali camia segno er = 0 mentre il secondo lo camia er = ; essi sono allora discordi er < < 0, e la radice risulta de nita er oure er 0. Il gra co della funzione = ( + ) è una araola ad asse verticale con la concavità verso l alto ed il vertice nel unto di coordinate ( ; ). Il secondo radicando è uguale al rimo aumentato di, la araola che costituisce il gra co della funzione = ++ si ottiene er traslazione verticale verso l alto di amiezza dalla recedente, il suo vertice è allora nel unto di coordinate ( ; ) e il radicando è semre ositivo. Procedimento risolutivo. Ho aena visto che il rimo radicando è minore del secondo, la stessa cosa vale allora er le loro radici ( + ) e + +. Ne segue che la di erenza delle due radici è negativa, e non uò essere uguale ad. L equazione non ha soluzioni. C Esistenza. Nulla è camiato dall equazione recedente: la resente equazione risulta de nita er oure er 0. Procedimento risolutivo. Elevo al quadrato entrami i memri, saendo già che l equazione clandestina introdotta ( + ) + + = Ricorderai che ho usato questo termine ittoresco nello svolgimento del gruo di esercizi n.6, er riferirmi ad una equazione o disequazione le cui soluzioni ossono essere diverse da quelle della equazione o disequazione che si sta studiando, ma che vengono aggiunte in qualche stadio del articolare rocedimento risolutivo seguito.

5 non ha soluzioni. Ottengo ossia = + q + = ( + ) + ( + ) Elevo una seconda volta al quadrato entrami i memri, ottenendo = ossia + = = 0 Così facendo ho erò aggiunto le eventuali soluzioni dell equazione clandestina + q + = ( + ) + ( + ) che dovrò scartare iù avanti. Le soluzioni dell equazione cui sono ervenuto sono = 0 = e = + 0 = + Le due soluzioni trovate aartengono al dominio di esistenza dell equazione, erchè è maggiore di =, e quindi è minore di e è maggiore di 0. Controllo adesso se esse risolvono l equazione originale oure quella clandestina introdotta nel corso del secondo elevamento al quadrato: + = = + = = come sora = + = il risultato raggiunto è già su ciente er escludere che e siano soluzioni dell equazione clandestina, erché è ositivo, e non uò essere uguale al doio di una radice receduta dal segno meno (che è un numero non ositivo). Tuttavia, è rudente ed estremamente raccomandaile comletare la veri ca er assicurarsi di non aver comiuto iccoli errori di calcolo q r ( + ) + ( + ) = 6 + r 9 = 6 = q ( + ) + ( + ) = inutile roseguire

6 C Esistenza. Il dominio della funzione arcocoseno è [ ; ]. Dalla condizione [ ; ] ricavo suito [ ; ]. Procedimento risolutivo. Ottengo il gra co della funzione 7! arccos er dilatazione orizzontale di modulo da quello della funzione arcocoseno π π/ π/ / L equazione associata equivale alla condizione da cui si ricava suito 7! arccos nero, 7! arccos rosso arccos = = cos = = L insieme delle soluzioni della disequazione è già evidente er via gra ca: ;. Comunque, ad esso si erviene valutando entrami i memri della disequazione mediante la funzione coseno, tenendo resente tuttavia che la restrizione invertiile di questa funzione che dà luogo alla de nizione della funzione arcocoseno è (strettamente) defrescente - a di erenza di quanto avviene er la costruzione delle funzioni arcoseno ed arcotangente arccos () cos arccos cos () () 6

7 C 0 Posso disegnare il gra co G della funzione 7! log ( ) mediante semlici trasformazioni di quello già noto della funzione elementare 7! log (che chiamerò ) in due modi. Il rimo consiste nel sottoorre suito a traslazione orizzontale verso sinistra di amiezza, corrisondente al camio di variaile 7! +, ottenendo il gra co della funzione 7! log ( + ), e oi ri ettere il gra co ottenuto con una simmetria orizzontale avente come asse di simmetria l asse Y, corrisondente al camio di variaile 7!. Il secondo richiede l accortezza di scrivere reliminarmente il inomio nella forma ( ), e consiste nell e ettuare suito su la simmetria orizzontale risetto all asse Y, ottenendo il gra co della funzione 7! log ( ), e oi sottoorre quest ultimo a traslazione orizzontale verso destra di amiezza, corrisondente al camio di variaile 7!. Quello che non si uò fare è credere che il assaggio dal gra co di 7! log ( ) a quello di 7! log ( ) corrisonda ad una traslazione verso sinistra di amiezza, la quale dovree esrimere il camio di variaile 7!. È vero che l aggiunta di + alla variaile si raresenta con una traslazione di amiezza verso sinistra, ma il fatto qui è che l aggiunta di + è all esressione, non alla variaile. Non dovresti avere di coltà a riconoscere adesso che quest ultimo rocedimento, erroneo nel caso resente, conduce al gra co della funzione 7! log ( ). 8 6 log nero, 7! log ( + ) marrone, 7! log ( ) rosso 7

8 8 6 log nero, 7! log ( ) lu, 7! log ( ) rosso nel disegnare i 6 gra ci mi sono aiutato ssando alcuni unti notevoli di facile determinazione 7! log gra co nero unti: ;, ;, (; ), (; ) 7! log ( + ) gra co marrone unti: 7! log ( ) gra co verde unti: 7! log ( ) gra co lu unti: 7 ;, ;, (0; ), (; ) 7 ;, ;, (0; ), ( ; ) ;, ;, ( ; ), ( ; ) Esistenza. Per la de nizione della funzione logaritmica occorre e asta che sia <. Procedimento risolutivo.è su ciente valutare la funzione esonenziale di ase (che è strettamente decrescente) su amo i memri della disequazione = < log ( ) > 6 = 6 8 8

9 Una raresentazione gra ca adeguata della determinazione dell insieme delle soluzioni ; richiede l esame di una zona alquanto ristretta del gra co 6 della funzione in gioco Cc La funzione de nita dalla formula a rimo memro è * = jj 7j j = j j se 7 j j = j j se 7 = = * se 7 e se 7 e * se 7 e se 7 e 0 0 = jj 7j j lu, = nero 9

10 Posso risolvere la disequazione in quattro stadi ( ) in [; +)! S = [; +) ( ) in [7; ]! S = [7; 9] ( ) in [; 7]! S = [; 7] ( ) in ( ; ]! S = ( ; ] Poiché S ed S risultano adiacenti, essi ossono essere descritti congiuntamente come un unico intervallo. L insieme delle soluzioni della disequazione è ( ; ] [ [; 9] [ [; +). Cc 0 La disequazione richiede che i due fattori e sen aiano segno 9 oosto. Il gra co della funzione 7! si ottiene agevolmente da quello 9 noto della funzione esonenziale di ase sottoonendolo a traslazione verticale verso il asso di amiezza ; il unto di camiamento di segno (l intersezione 9 del gra co con l asse orizzontale) ha ascissa che rende uguali e, cioè. 9 Il gra co della funzione 7! sen si ottiene agevolmente da quello noto della funzione seno sottoonendolo a contrazione orizzontale verso l asse Y di modulo ; ciò ersino semli ca il disegno, erché i unti di camiamento di segno hanno ascissa intera ari (cioè multila di anziché multila di )

11 7! sen nero, 7! 9 lu Dunque il fattore è negativo in ( ; ) e ositivo in ( ; ), mentre il 9 fattore sen è ositivo negli intervalli della famiglia (I z) zz ((z; z + )) zz e negativo in quelli della famiglia (J z ) zz ((z ; z)) zz. L estremo comune di I = ( ; ) e J 0 = ( ; 0), cioè, è così unto di camiamento di segno comune ai due fattori. Essi sono allora discordi negli intervalli I z che recedono J 0 (cioè no a I comreso), negli intervalli J z che seguono J 0 (cioè da J = (; ) in avanti), e in ne in J 0. L insieme delle soluzioni della disequazione è! [ I n [ [! J n [ J 0 nn nn D Per la resenza dei valori assoluti di entrame le variaili, i lati del quadrilatero ABCD sono determinati da una condizione diversa in ciascun quadrante ( jj + jj = ) () * I : + = se 0 e 0 II : = se 0 e 0 III : + = se 0 e 0 IV : = se 0 e 0 B C A 6 6 D Ciascun lato `i (i f; ; ; g) è l intersezione di una seci ca retta con il quadrante ertinente; attriuendo le lettere ai vertici (come d uso frequente) in modo conforme all orientamento antiorario del iano a artire dal semiasse orizzontale ositivo, osso descrivere ciascun lato mediante la coia di vertici che ne sono gli estremi: I : ` A (; 0) e B (0; ) II : ` B (0; ) e C ( ; 0)

12 III : ` C ( ; 0) e D (0; ) IV : ` D (0; ) e A (; 0) L equazione di ciascuna retta che contiene uno dei lati esrime una seci ca relazione imlicita tra le variaili e. Ognuna di queste relazioni imlicite uò venire riscritta in modo da raresentare una diendenza eslicita di una della due variaili dall altra: ` + = = = ` = = + = + ` + = = = ` = = + = + Come nel gruo di esercizi n., la frontiera F del quadrilatero (un romo er la recisione) non uò essere considerata il gra co di alcuna funzione, né dal dominio [ ; ] verso l insieme valore [ ; ], né dal dominio [ ; ] verso l insieme valore [ ; ], erché ad ogni in [0; ) sono associati unti di F con ascissa (uno in ` e l altro in `), recisamente quelli di coordinate ; e ; + ; e ad ogni in ( ; 0] sono associati i unti di F (uno in ` e l altro in `) di coordinate ; + e ; ; similmente, ad ogni in [0; ) sono associati unti di F con ordinata (uno in ` e l altro in `), recisamente quelli di coordinate ; e + ; ; e ad ogni in ( ; 0] sono associati i unti di F (uno in ` e l altro in `) di coordinate ; e + ;. Ciascun lato reso da solo, invece, uò essere considerato il gra co di una funzione iniettiva e suriettiva quindi invertiile, recisamente (`) f : [0; ]! [0; ] 7! (rosso) (`) f : [ ; 0]! [0; ] 7! + (marrone) (`) f [ ; 0]! [ ; 0] 7! (lilla) (`) f [0; ]! [ ; 0] 7! + (celeste)

13 B C A 6 6 D La costruzione dell inversa di ciascuna funzione f i si fa nello stesso modo; in sostanza, eslicitando la diendenza funzionale della risetto alla anziché la diendenza contraria; ciò è stato già fatto nella enultima taella resentata; tuttavia, er oter raresentare ciascuna funzione insieme alla sua inversa in un unico gra co come funzioni della stesa variaile, occorre scamiare le variaili nella formula funzionale dell ultima colonna di quella taella; ed è rorio questa la ragione della relazione di simmetria dei due gra ci risetto alla isettrice del rimo e terzo quadrante (L ) f : [0; ]! [0; ] 7! (lu) (L ) f : [0; ]! [ ; 0] 7! + (verde chiaro) (L ) f [ ; 0]! [ ; 0] 7! (verde scuro) (L ) f [ ; 0]! [0; ] 7! + (giallo)

14 0 0 I II 0 0 IV III IV B' C' A' 6 6 D'