Il numero. Indice. esercizi mi autovaluto 14. mi autovaluto 28. Il sistema di numerazione decimale 5. Le operazioni fondamentali 15

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1 Indice Il numero Per orientarti 2 unità di apprendimento 1 Il sistema di numerazione decimale 5 Cifre e numeri 6 Valore assoluto e valore relativo, p. 7 La scrittura polinomiale 8 L insieme N 9 Rappresentazione grafica dei numeri naturali, p. 11; Numeri cardinali e numeri ordinali, p. 11; I numeri con la virgola, p. 12 mi autovaluto 14 Esercizi per verificare gli obiettivi Esercizi di recupero unità di apprendimento 2 Le operazioni fondamentali 15 L addizione e le sue proprietà 16 Il calcolo rapido, p. 17 La sottrazione e la sua proprietà 18 Il calcolo rapido, p. 19 La moltiplicazione e le sue proprietà 20 Il calcolo rapido, p. 21 La divisione e le sue proprietà 22 Il calcolo rapido, p. 24; Moltiplicazioni e divisioni per 10, 100, 1000,..., p. 24 Lo 0 e l 1 nelle quattro operazioni 26 L addizione e lo 0, p. 26; La sottrazione e lo 0, p. 26; La moltiplicazione e lo 0, p. 26; La divisione e lo 0, p. 26; L addizione, la sottrazione e l 1, p. 27; La moltiplicazione e l 1, p. 27; La divisione e l 1, p. 27 mi autovaluto 28 Esercizi per verificare gli obiettivi Esercizi di recupero unità di apprendimento 3 Operazioni e problemi 29 Problemi, dati e incognite 30 Analisi, formalizzazione ed elaborazione

2 Indice VII Usiamo le espressioni 33 L espressione aritmetica 35 mi autovaluto 38 Esercizi per verificare gli obiettivi Esercizi di recupero unità di apprendimento 4 Potenza e divisibilità 39 La potenza in N 40 Proprietà delle potenze, p. 41; Particolari potenze, p. 43; Espressioni con le potenze, p. 45 La notazione esponenziale 46 Ordine di grandezza 47 La divisibilità 48 Multipli, sottomultipli e divisori, p. 49; I criteri di divisibilità, p. 50 Numeri primi e numeri composti 52 Scomposizione in fattori primi 53 Applicazioni della scomposizione in fattori primi, p. 55 mi autovaluto 60 Esercizi per verificare gli obiettivi Esercizi di recupero unità di apprendimento 5 M.C.D. e m.c.m. 61 Il più grande dei divisori comuni 62 Il calcolo del M.C.D. 63 Numeri primi tra loro, p. 64 Il più piccolo dei multipli comuni 65 Il calcolo del m.c.m. 66 Problemi con il M.C.D. e il m.c.m. 67 mi autovaluto 70 Esercizi per verificare gli obiettivi Esercizi di recupero RCS LIBRI EDUCATION SPA unità di apprendimento 6 La frazione come operatore 71 L unità frazionaria 72 La frazione 73 Frazioni proprie, improprie e apparenti 75 Frazioni complementari

3 VIII Indice Frazioni equivalenti 77 Applicazioni del concetto di equivalenza, p. 78 Frazioni a confronto 83 mi autovaluto 86 Esercizi per verificare gli obiettivi Esercizi di recupero unità di apprendimento 7 I numeri razionali 87 La frazione come numero razionale 88 Rappresentazione dei numeri razionali, p. 90 Le operazioni con i numeri razionali 90 L addizione, p. 90; La sottrazione, p. 91; La moltiplicazione, p. 93; Frazioni inverse o reciproche, p. 95; La divisione, p. 96; La potenza, p. 97 Le espressioni con i numeri razionali 98 I numeri decimali 100 Frazioni e problemi 102 mi autovaluto 108 Esercizi per verificare gli obiettivi Esercizi di recupero Dati e previsioni Per orientarti 110 unità di apprendimento 8 Indagini e statistica 111 La statistica 112 Fenomeni e popolazione 113 Il rilevamento dati 114 Dati statistici e frequenza 117 Frequenza assoluta e frequenza relativa, p. 119 mi autovaluto 120 Esercizi per verificare gli obiettivi

4 Indice IX unità di apprendimento 9 Statistica e grafici 121 Gli ideogrammi 122 Ortogrammi e istogrammi 124 I cartogrammi 127 I diagrammi cartesiani 128 mi autovaluto 130 Esercizi per verificare gli obiettivi Geometria e misura Per orientarti 132 unità di apprendimento 1 Per rappresentare la realtà 133 Dagli oggetti alle figure geometriche 134 Tre, due, una, zero... dimensioni 135 Gli enti fondamentali 136 I primi assiomi della geometria 138 Posizioni reciproche di una retta e un piano 140 Posizioni reciproche di due rette 141 mi autovaluto 142 Esercizi per verificare gli obiettivi unità di apprendimento 2 Semirette, segmenti e angoli 143 Semiretta e segmento 144 Confronto di segmenti 145 Somma e differenza di segmenti, p. 146; Segmenti multipli e sottomultipli, p. 147 Gli angoli 148 Angolo concavo e angolo convesso, p. 148; Angoli consecutivi, adiacenti e opposti al vertice, p. 149; Angolo giro, piatto e retto, p. 150; Angoli acuti e ottusi, p. 151 Confronto di angoli 151 Angoli multipli e sottomultipli, p. 152; Angoli complementari, supplementari, esplementari, p

5 X Indice mi autovaluto 154 Esercizi per verificare gli obiettivi 508 unità di apprendimento 3 Perpendicolarità e parallelismo 155 Rette perpendicolari 156 Asse di un segmento 157 Distanza e proiezioni 158 Rette parallele 160 mi autovaluto 162 Esercizi per verificare gli obiettivi unità di apprendimento 4 La misura delle grandezze 163 Grandezze e misura 164 Il sistema di misura decimale 165 Le misure di lunghezza, p. 165; Le misure di superficie, p. 166; Le misure di volume, p. 167; Le misure di capacità, p. 168; Le misure di massa (peso), p. 169; Osservazioni sulle unità di misura, p. 171 La misura degli angoli 172 Le operazioni con le misure degli angoli, p. 173 La misura del tempo 175 Le operazioni con le misure del tempo, p. 176 Problemi sulle misure 177 Problemi sulle misure non decimali, p. 178 mi autovaluto 180 Esercizi per verificare gli obiettivi Esercizi di recupero RCS LIBRI EDUCATION SPA unità di apprendimento 5 Poligoni: i triangoli e le loro proprietà 181 I poligoni 182 Angoli interni e angoli esterni, p. 183; Considerazioni sui lati e sulle diagonali di un poligono, p. 185 I triangoli e le loro proprietà 187 Elementi di un triangolo, p. 188; Classifichiamo i triangoli, p. 188 Punti notevoli di un triangolo 189 Altezze e ortocentro, p. 189; Bisettrici e incentro, p. 191; Mediane e baricentro, p. 192; Assi e circocentro, p. 193 Particolari proprietà e classificazione generale 195 Triangolo isoscele, p. 195; Triangolo equilatero, p. 195; Triangolo rettangolo, p. 196; Classificazione generale, p

6 Indice XI Calcoliamo il perimetro 197 mi autovaluto 198 Esercizi per verificare gli obiettivi Esercizi di recupero unità di apprendimento 6 I quadrilateri 199 Proprietà e classificazione 200 I trapezi 202 Trapezio isoscele, p. 202; Trapezio scaleno, p. 203; Trapezio rettangolo, p. 204 I parallelogrammi 205 Il rettangolo, p. 206; Il rombo, p. 206; Il quadrato, p. 207 Il deltoide 208 Calcoliamo il perimetro 208 mi autovaluto 210 Esercizi per verificare gli obiettivi Esercizi di recupero unità di apprendimento 7 I movimenti e la congruenza 211 Trasformazioni: varianti e invarianti 212 Congruenza e isometrie 213 La traslazione 216 La rotazione 217 La simmetria assiale 218 Figure geometriche e simmetria 220 mi autovaluto 222 Esercizi per verificare gli obiettivi Aspetti storici della matematica Il sistema di numerazione dei Sumeri 224 Il sistema di numerazione romano 225 Il sistema posizionale e lo zero 226 Gli archivi degli Incas 227 Le mani per far di calcolo 229 Le origini della frazione 230 Le origini della geometria 232 Erano bravissimi ingegneri 233 Antichi sistemi di misura 235

7 XII Indice Il laboratorio matematico La tecnica della moltiplicazione 238 La moltiplicazione araba 239 Approssimare o arrotondare? 240 Sistemi di numerazione non decimali 242 Errori nelle misurazioni 244 Strumenti per il disegno geometrico 245 Il disegno geometrico (prima parte) 247 Il disegno geometrico (seconda parte) 250 Una particolare simmetria 252 Giochiamo con la matematica Operazioni e numeri 256 Quale numero? 257 Ancora numeri 258 Pescatori sconosciuti 259 Amici al mare 260 I fiammiferi 261 Quale...? 262 Un tesoro, capre e cavoli 263 Apparati Mi autovaluto: soluzioni 644 Glossario 648 Tavole numeriche 651

8 Il numero unità di apprendimento RCS LIBRI EDUCATION SPA 1 Il sistema di numerazione decimale 2 Le operazioni fondamentali 3 Operazioni e problemi 4 Potenza e divisibilità 5 M.C.D. e m.c.m. 6 La frazione come operatore 7 I numeri razionali

9 2 Il numero Per orientarti Il sistema di numerazione decimale Cifre e numeri La scrittura polinomiale L insieme N Potenza Notazione esponenziale Ordine di grandezza Divisibilità Numeri primi e numeri composti Potenza e divisibilità M.C.D. e m.c.m. La frazione come operatore M.C.D. e problemi m.c.m. e problemi L unità frazionaria La frazione Tipi di frazione

10 3 Le operazioni fondamentali Operazioni e problemi Operazioni e proprietà Lo 0 e l 1 nelle operazioni Problemi, dati e incognite Analisi, formalizzazione ed elaborazione Problemi ed espressioni I numeri razionali La frazione come numero razionale Operazioni con i numeri razionali Espressioni Frazioni e problemi

11 unità di apprendimento 1 Il sistema di numerazione decimale Cifre e numeri La scrittura polinomiale L insieme N Incomincerai il tuo studio ripassando argomenti che già sai per verificare se ricordi e hai capito bene ciò che hai studiato alla scuola elementare. Che cosa saprò e che cosa saprò fare dopo aver studiato questi argomenti? Con lo studio di questa unità di apprendimento imparerai: il sistema di numerazione decimale; l insieme N; e alla fine saprai: leggere e scrivere i numeri naturali; scriverli in forma polinomiale; rappresentarli sulla linea dei numeri; confrontarli.

12 6 Il numero Cifre e numeri Il nostro sistema di numerazione, come sai, è il sistema decimale posizionale i cui simboli, cioè le cifre, sono dieci: e con queste cifre, che sono le unità del 1 ordine, indichiamo i numeri che vanno da zero a nove. I numeri maggiori di nove si scrivono secondo queste regole: 1) Le unità si raggruppano di dieci in dieci, ecco perché il sistema si dice decimale o in base dieci, e precisamente: dieci unità del 1 ordine costituiscono una decina (unità del 2 ordine), dieci decine costituiscono un centinaio (unità del 3 ordine), dieci centinaia costituiscono un migliaio (unità del 4 ordine), dieci migliaia costituiscono una decina di migliaia (unità del 5 ordine), dieci decine di migliaia costituiscono un centinaio di migliaia (unità del 6 ordine), dieci centinaia di migliaia costituiscono un milione (unità del 7 ordine) e così via. 2) Il valore attribuito alle cifre che costituiscono un numero dipende dalla loro posizione, ecco perché il sistema di numerazione decimale è posizionale: nel numero 67 7 ha il valore di 7 unità nel numero ha il valore di 7 decine nel numero ha il valore di 7 centinaia nel numero ha il valore di 7 unità di migliaia nel numero ha il valore di 7 decine di migliaia cioè la prima cifra a partire da destra indica le unità e, andando verso sinistra, la seconda cifra le decine, la terza cifra le centinaia ecc. 3) Gli ordini si raggruppano a tre a tre in gruppi chiamati classi, secondo il seguente schema: Mi ricordo perfettamente. c d u c d u c d u c d u Ordine 4 a 3 a 2 a 1 a Miliardi Milioni Migliaia Unità Classe

13 1 Il sistema di numerazione decimale Esercizi da pag. 266 a pag Valore assoluto e valore relativo Esaminiamo, per esempio, il numero 3 279; in esso le cifre 3, 2, 7 e 9 hanno due valori: il valore intrinseco di ciascuna di esse che è rispettivamente tre, due, sette e nove e che si chiama valore assoluto; il valore che ciascuna di esse assume per la posizione che occupa nel numero che è rispettivamente 3 migliaia, 2 centinaia, 7 decine e 9 unità e che si chiama valore relativo. Consideriamo il numero e scriviamo il valore relativo delle sue cifre: milioni centinaia decine migliaia centinaia decine unità di migliaia di migliaia Per leggere il nostro numero procediamo nel seguente modo: scomponiamo il numero in gruppi di tre cifre (classi) da destra verso sinistra, ponendo uno spazio fra ogni gruppo: tale spazio assume il nome della classe relativa: milioni mila unità partiamo quindi da sinistra e leggiamo i gruppi di cifre di ogni classe facendoli seguire dal nome della classe a cui appartengono, a eccezione di quella delle unità: milioni mila unità valore assoluto valore relativo tre due sette nove nove unità sette decine due centinaia tre migliaia RCS LIBRI EDUCATION SPA tremilioninovecentosettemilacinquecentosessantasette.

14 8 Il numero La scrittura polinomiale Consideriamo un numero qualsiasi, per esempio , e scriviamo il valore relativo delle sue cifre secondo il seguente schema: decine di migliaia migliaia centinaia decine unità Il nostro numero si può quindi scrivere nel seguente modo: Possiamo verificare l esattezza di tale scrittura eseguendo i calcoli come indicato a lato = Un numero qualsiasi si può quindi scrivere come somma delle sue cifre moltiplicate per 10, 100, 1 000,..., secondo il loro valore relativo: La scrittura si chiama scrittura polinomiale. E sempi Scriviamo in forma polinomiale i seguenti numeri e verifichiamo tali scritture: ; 4 579; = = = = = = = = = 52683

15 1 Il sistema di numerazione decimale Esercizi da pag. 266 a pag L insieme N Conosciamo ormai il sistema di numerazione decimale e la scrittura dei numeri in tale sistema: 0, 1, 2,, 5, 6,, 10,, 107,, 1 312, e sappiamo anche che questi numeri sono infiniti. Pensiamo infatti un numero grande, grandissimo : basta aggiungere 1 a quel numero e ci accorgiamo di aver ottenuto un numero ancora più grande a cui, per altro, possiamo aggiungere ancora 1 e così via. Nati da un esigenza naturale quale quella di contare, tutti questi numeri si dicono naturali e formano l insieme dei numeri naturali, che viene indicato con: N Ricorda quindi che l insieme N è un insieme infinito. Tra tutti i numeri naturali ce n è uno che forse ti può sembrare meno naturale degli altri: lo zero; esaminiamolo. L uomo, in effetti, ha cominciato a usare lo zero molto più tardi rispetto agli altri numeri perché, quando cominciò a contare quello che possedeva, non si preoccupò di contare qualche cosa che invece non aveva. Solo più tardi, con la necessità di scrivere i numeri in un sistema posizionale quale il nostro, ricorse all uso dello zero. Consideriamo, per esempio, i numeri settecentoquattro e settantaquattro: se dovessimo scriverli senza ancora conoscere lo zero, in entrambi i casi scriveremmo 74! Con lo zero, invece, riempiamo il vuoto delle decine nel numero settecentoquattro: 704 = 7 centinaia e 4 unità 74 = 7 decine e 4 unità senza fare confusione nella lettura dei due numeri. Consideriamo quindi lo zero una delle dieci cifre fondamentali del nostro sistema di numerazione e lo comprendiamo fra i numeri naturali. Con il simbolo N 0 indichiamo l insieme dei numeri naturali escluso lo zero. Io valgo!

16 10 Il numero Consideriamo due numeri naturali qualsiasi, per esempio 27 e 131: essi si possono sempre confrontare; più precisamente possiamo sempre dire che: (si legge 27 diverso da 131 ) 27 < 131 (si legge 27 minore di 131 ) 131 > 27 (si legge 131 maggiore di 27 ) Se indichiamo con a e b due numeri qualsiasi possiamo quindi stabilire se a precede (è più piccolo) o segue (è più grande) b. Basandoci su questo, possiamo scrivere i numeri naturali in modo ordinato partendo dal più piccolo (in ordine crescente) o dal più grande (in ordine decrescente): (ordine crescente) (ordine decrescente) Possiamo quindi dire che: Ogni numero naturale è minore di un qualsiasi altro numero naturale che lo segue e maggiore di un qualsiasi altro numero naturale che lo precede. E inoltre: Se n è un numero naturale qualsiasi, esso è sempre minore del suo successivo n + 1 ed è sempre maggiore del suo precedente n 1: n 1 < n < n + 1 Tutto ciò si esprime dicendo che: L insieme dei numeri naturali N è un insieme ordinato. I numeri sono infiniti e ordinati. RCS LIBRI EDUCATION SPA Per un primo controllo 1. Scrivi il valore relativo delle cifre dei seguenti numeri: 453; 2 598; ; Scrivi in forma polinomiale i seguenti numeri: 289; 3 506; ; Riscrivi i seguenti numeri in ordine decrescente: 45; 71; 27; 230; 50; 127; 90; 215; 31.

17 14 mi autovaluto Mettiti alla prova eseguendo quanto richiesto. Verifica i risultati alla fine del volume e segna 1 punto per ogni risposta esatta. Completa poi la tua autovalutazione. 1. Completa. Nel sistema di numerazione decimale 1 migliaio è formato da: a)... unità; b)... decine; c)... centinaia. 2. Segna il completamento esatto. L insieme dei numeri naturali è: a) infinito e non ordinato; b) finito e ordinato; c) infinito e ordinato. 3. Completa con il termine maggiore o minore. a) Ogni numero naturale è... del suo successivo. b) Ogni numero naturale è... del suo precedente. c) Un numero decimale è... della sua parte intera. 4. Scrivi il valore relativo delle cifre del numero a) 3... b) 4... c) 7... d) Scrivi in lettere i seguenti numeri. a) b) c) Scrivi in cifre i seguenti numeri. a) Seimiladuecentonove b) Ventitremilaottocento c) Novecentoseimilatrecentotredici d) Duemilionisettecentosettantamilatré 7. Scrivi in forma polinomiale i seguenti numeri. a) b) c) d) e) Scrivi in forma polinomiale i seguenti numeri. a) 0,02... b) 45,76... c) 2, d) 230,04... e) 50, Su 28 risposte, ne ho indovinate... Secondo me è stato un risultato*... Su questa unità di apprendimento penso quindi di ** Mi piacerebbe sapere che cosa ne pensa il mio insegnante * Ottimo; buono; discreto; sufficiente; appena sufficiente; insufficiente. ** Aver capito bene tutto; avere ancora qualche dubbio; avere molte incertezze.

18 Aspetti storici della matematica Il sistema di numerazione dei Sumeri Il sistema di numerazione romano Il sistema posizionale e lo zero Gli archivi degli Incas Le mani per far di calcolo Le origini della frazione Le origini della geometria Erano bravissimi... ingegneri Antichi sistemi di misura RCS LIBRI EDUCATION SPA

19 224 Aspetti storici della matematica Il sistema di numerazione dei Sumeri I primi inventori di un sistema di numerazione vero e proprio sono stati i Sumeri nel III millennio a.c. Il sistema di numerazione sumero, detto cuneiforme per la forma a cuneo dei simboli usati per rappresentare i numeri, era formato da due simboli: che rappresentava il numero 1 che rappresentava il numero 10 Da 1 a 59 i numeri erano rappresentati nel seguente modo: Il modo di rappresentare i numeri fino a 59 era quindi di tipo additivo, basato cioè sulla somma dei simboli che, posti uno accanto all altro, si addizionavano. Dal 60 in poi la rappresentazione diventava di tipo posizionale in base 60, cioè lo stesso simbolo a seconda della posizione occupata nel numero assumeva il valore di 60, = 3 600, = andando dal secondo posto in poi verso sinistra. La posizione, e quindi il valore del simbolo, era evidenziata da uno spazio nella scrittura tra un gruppo e l altro di simboli. Caratteristici segni cuneiformi (chiodo e cuneo) di una tavoletta di contabilità del 2400 a.c. Leggiamo alcuni numeri nel sistema di numerazione cuneiforme. La scrittura La scrittura indica, da sinistra verso destra: 2 unità del II ordine, cioè 2 60 = unità del I ordine, cioè quindi: = 142 indica: 1 unità del III ordine, cioè = unità del II ordine, cioè 3 60 = unità del I ordine, cioè quindi: = 3 791

20 Il sistema di numerazione romano Un altro antico sistema di numerazione, ancora oggi usato per scrivere date su targhe commemorative, nasce a opera degli antichi Romani intorno al II secolo d.c. Proviamo a capirne le principali regole per poter leggere e scrivere anche noi i numeri come facevano gli antichi Romani. Questo sistema è di tipo additivo perché i numeri si scrivono sommando tra loro i vari simboli che sono: Aspetti storici della matematica 225 I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000 Per scrivere tutti gli altri numeri, gli antichi Romani avevano le seguenti regole: 1) Una cifra di valore minore posta alla destra di una di valore maggiore si somma a quest ultima: VII = = 7 LXV = = 65 DI = = 501 CXV = = 115 2) Solo le cifre I, X, C ed M si possono ripetere una accanto all altra in uno stesso numero, ma non più di tre volte, e si sommano: III = = 3 CCCV = = 305 XXI = = 21 MMDX = = ) Una cifra di valore minore, posta alla sinistra di una di valore maggiore, si sottrae da quest ultima, tenendo però presente che: la cifra I può essere sottratta solo da V e X; la cifra X può essere sottratta solo da L e C; la cifra C può essere sottratta solo da D e M; le cifre V, L e D non si sottraggono da alcuna cifra: IV = 5 1 = 4 IX = 10 1 = 9 XLl = = 41 XC = = 90 XCV = = 95 CM = = 900 4) Una lineetta sopra un numero indica un valore mille volte maggiore del numero stesso: VII = = XV = = XXV = = L = = LV = =

21 Il laboratorio matematico La tecnica della moltiplicazione La moltiplicazione araba Approssimare o arrotondare? Sistemi di numerazione non decimali Errori nelle misurazioni Strumenti per il disegno geometrico Il disegno geometrico (prima parte) Il disegno geometrico (seconda parte) Una particolare simmetria

22 238 Il laboratorio matematico La tecnica della moltiplicazione Qual è la tecnica che usi per moltiplicare due numeri? Sai spiegartela? Osserva come possiamo spiegarcela rappresentandola graficamente. Vogliamo calcolare 6 13; se eseguiamo l operazione come sappiamo fare, avremo Perché il secondo prodotto parziale, 6 1, lo scrivi 60 e non 6? Spiegazione aritmetica Possiamo scrivere la nostra moltiplicazione nel seguente modo: 6 13 = = Quando calcoliamo il secondo prodotto parziale, in effetti eseguiamo la moltiplicazione 6 10 e non 6 1. Spiegazione grafica Rappresentiamo la nostra moltiplicazione con uno schieramento di 6 per 13 quadratini: 6 Avremo uno schieramento: 6 per Possiamo disegnare il nostro schieramento anche così: Avremo gli schieramenti: 6 per per 3 18 Spieghiamoci con la rappresentazione grafica quest altra moltiplicazione: Rappresentiamo la nostra moltiplicazione con uno schieramento ramento anche così: Possiamo disegnare il nostro schie- di 10 per 15 quadratini: Avremo uno schieramento: 10 per Avremo gli schieramenti: 10 per per Spiega tu graficamente le seguenti moltiplicazioni: 7 16; 13 19; 21 17; = = RCS LIBRI EDUCATION SPA

23 Il laboratorio matematico 239 La moltiplicazione araba Un metodo diverso di eseguire la moltiplicazione è quello che usavano gli antichi Arabi, bravissimi matematici, ai quali, come sai, dobbiamo il nostro sistema di numerazione decimale. Impariamolo. Ecco, per esempio, come un tuo coetaneo arabo eseguiva la moltiplicazione 46 59: disegnava dei quadrati suddivisi in tanti quadratini a seconda delle cifre che doveva moltiplicare; nel nostro caso disegnava un quadrato suddiviso in 4 quadratini: tracciava le diagonali verticali dei quadratini e scriveva le decine e le unità dei due fattori come indicato; poi moltiplicava ciascuna cifra di un numero per le cifre dell altro numero e infine sommava in colonna le cifre che aveva ottenuto. In rosso sono scritti i risultati della moltiplicazione 46 5, in nero quelli della moltiplicazione Osserva un altra moltiplicazione, : Ora esegui tu le seguenti moltiplicazioni: 27 13; 34 52; ;

24 Giochiamo con la matematica Operazioni e numeri Quale numero? Ancora numeri Pescatori sconosciuti Amici al mare I fiammiferi Quale...? Un tesoro, capre e cavoli

25 256 Giochiamo con la matematica Operazioni e numeri Utilizzando i segni delle quattro operazioni fondamentali e i numeri dati, riesci a ottenere il numero 11? Provaci Sai ricostruire le operazioni date? A lettera o simbolo uguale corrispondono cifre uguali e le cifre date non sono riutilizzabili A 5 B 2 A = B C 62 27C 8 A 11B 2 RCS LIBRI EDUCATION SPA Completa lo schema inserendo nei cerchietti colorati i segni delle quattro operazioni in modo da ottenere, sia in orizzontale sia in verticale, i risultati dati = = = = 13 = 64 = 4 = 44 = 15 = = 75

26 Giochiamo con la matematica 257 Quale numero? Quale dei quattro numeri racchiusi nel quadrato va inserito, secondo logica, nel cerchio bianco vuoto? Quale numero va scritto, secondo logica, al posto del punto interrogativo?? Quale numero va scritto, secondo logica, nel cerchio in basso? ?

27 Il numero 1 Il sistema di numerazione decimale 2 Le operazioni fondamentali 3 Operazioni e problemi 4 Potenza e divisibilità 5 M.C.D. e m.c.m. 6 La frazione come operatore 7 I numeri razionali Dati e previsioni 8 Indagini e statistica 9 Statistica e grafici... per contenuti... per verificare gli obiettivi... di recupero RCS LIBRI EDUCATION SPA

28 266 unità di apprendimento 1 Il sistema di numerazione decimale Da ricordare Il nostro sistema di numerazione è: decimale, perché dieci sono le cifre e perché le unità vengono raggruppate di dieci in dieci; posizionale, perché il valore di ogni cifra dipende dalla posizione che occupa nel numero. L insieme N è formato dai numeri naturali ed è infinito e ordinato. Ogni numero n è sempre minore del suo successivo, n + 1, ed è sempre maggiore del suo precedente, n 1. Il valore assoluto di una cifra è il suo valore intrinseco. Il valore relativo di una cifra è il valore che ha in base alla sua posizione nel numero. Sono numeri cardinali i numeri che si usano per contare e indicano quantità intere. Sono numeri ordinali i numeri che si usano per ordinare e indicano l ordine di un gruppo di elementi. Unità, decine, centinaia... si dicono unità intere del 1, 2, 3... ordine. 10 decine formano un centinaio. 10 centinaia formano un migliaio. 10 migliaia formano una decina di migliaia. 10 decine di migliaia formano un centinaio di migliaia. 10 centinaia di migliaia formano un milione. 10 centinaia di milioni formano un miliardo. Decimi, centesimi, millesimi, decimillesimi... si dicono unità decimali del 1, 2, 3... ordine. 1 decimo 0,1 1 centesimo 0,01 1 millesimo 0,001 1 decimillesimo 0,0001 Nei numeri con la virgola la parte intera è quella che precede la virgola, a sinistra, la parte decimale è quella che segue la virgola, a destra.

29 1 Il sistema di numerazione decimale Teoria da pag. 5 a pag Esercizi per contenuti Cifre e numeri 1. Perché il nostro sistema di numerazione è detto decimale? 2. Perché il sistema di numerazione decimale è detto posizionale? 3. Spiega la differenza fra cifra e numero, e scrivi una frase dove compaiano entrambi i termini con il loro significato. 4. Che cosa si intende per classe? 5. Che cosa si intende per valore assoluto e valore relativo delle cifre di un numero? Completa la spiegazione con degli esempi. 6. Completa le seguenti frasi: a) Dieci unità del I ordine formano una..... b) Le unità del II ordine sono le... c) Dieci unità del II ordine formano un..... d) Le unità del III ordine sono le Completa le seguenti frasi: a) Il migliaio è formato da... unità del... ordine. b) Le unità del V ordine sono le... c) Un centinaio di migliaia è formato da... unità del... ordine. d) Dieci centinaia di migliaia formano... e) Il milione è l unità del... ordine. Per ciascuno dei seguenti numeri considera le sue cifre e indicane il valore assoluto e il valore relativo ; 312; 1 528; ; 2 471; ; ; 1 937; ; Completa le frasi degli seguenti. E sempio Nel numero 75 5 significa 5 unità 11. Nel numero 32 2 significa... Nel numero significa... Nel numero significa... Nel numero significa Nel numero significa... Nel numero significa... Nel numero significa... Nel numero significa Nel numero significa... Nel numero significa... Nel numero significa... Nel numero significa Nel numero significa... Nel numero significa... Nel numero significa... Nel numero significa Quali delle seguenti frasi sono sbagliate? a) In un numero qualsiasi il valore delle cifre dipende dalla loro posizione. b) In un numero la prima cifra a destra indica le centinaia. c) In un numero le unità sono rappresentate dalla prima cifra a sinistra. d) In un numero le decine occupano il secondo posto a partire da destra. 16. Per ognuno dei seguenti numeri indica la cifra delle unità: ; 2 325; ; ; Per ciascuno dei seguenti numeri indica la cifra delle decine: ; ; 9 358; ;

30 278 per verificare... Esercizi per verificare ciò che sai 1. Scrivi vero o falso sotto a ogni affermazione: a) Per ogni numero naturale ce ne sono sempre infiniti più piccoli di esso.... b) Per ogni numero naturale ce ne sono sempre infiniti più grandi di esso.... c) Una serie di numeri naturali è scritta in ordine crescente se il primo numero è il più piccolo e l ultimo il più grande.... d) In una serie di numeri scritta in ordine decrescente, ogni numero è maggiore del precedente e minore del successivo Segna il completamento esatto. Un sistema di numerazione è posizionale se: a) le cifre, al cambiare della posizione nel numero, assumono sempre lo stesso valore; b) le cifre, al cambiare della posizione nel numero, assumono un diverso valore; c) le cifre cambiano valore indipendentemente dalla loro posizione nel numero. 3. Completa. Nel sistema posizionale decimale: a) dieci centinaia corrispondono a..... b) cento decine corrispondono a..... c) dieci centinaia di migliaia corrispondono a... d) cento decine di migliaia corrispondono a.. 4. Completa. Il valore relativo della cifra 9 nel numero: a) è... b) è... c) è Rispondi: a) Quante decine occorrono per ottenere 4 unità di migliaia?... b) Quante unità di migliaia occorrono per ottenere 30 centinaia di migliaia?..... c) Quante centinaia occorrono per ottenere 3 decine di milioni?... d) Quante decine occorrono per ottenere 21 decine di migliaia?... e) Quante migliaia occorrono per ottenere 7 milioni? Cardinali o ordinali? Completa: a) Per sapere quanti oggetti sto contando uso i numeri... b) Per indicare che posto occupo in una classifica uso i numeri... c) Per dire quanto manca per raggiungere una certa quantità uso i numeri..... d) Per stabilire la posizione di un oggetto in una serie uso i numeri... e) Per individuare in un gruppo allineato un elemento uso i numeri Segna la risposta esatta: a) La sequenza dei numeri cardinali inizia: da zero; dal primo; da 1; dall ultimo. b) La sequenza dei numeri ordinali inizia: da zero; dal primo; da 1; dall ultimo.

31 1 Il sistema di numerazione decimale Teoria da pag. 5 a pag In quali casi il punto nero sulle rette graduate rappresenta il numero 3? Segnali: 5 10 a) 0 b) c) 0 0 d) Segna la V o la F secondo che le seguenti uguaglianze siano vere o false: a) = V F b) = V F c) = V F d) = V F 10. Segna il completamento esatto: a) Nel numero 0,452 il valore della cifra 4 è: 4 decine; 4 decimi; 4 unità; 4 centesimi. b) Nel numero 0,052 il valore della cifra 5 è: 5 decine; 5 decimi; 5 unità; 5 centesimi. c) Nel numero 3,792 il valore della cifra 3 è: 3 decine; 3 decimi; 3 unità; 3 centesimi. 11. Segna la scrittura esatta dei seguenti numeri: 1,6 2,13 0,16 21,3 a) Sei decimi b) Duecentotredici centesimi 0, ,06 0, Segna il completamento esatto: 4 decine, 0 unità, 5 decimi e 8 centesimi è uguale a: 4,58 45,8 40,58 4, Scrivi "vero" o "falso" accanto a ciascuna uguaglianza: a) 1 decina, 6 unità, 7 decimi e 4 centesimi = 16,74... b) 6 unità, 4 decimi e 6 millesimi = 0, c) 5 decine, 7 decimi e 3 millesimi = 50, d) 6 decimi, 7 centesimi e 3 millesimi = 0, e) 7 centinaia, 4 unità e 6 centesimi = 0, Segna la V o la F secondo che le seguenti uguaglianze siano vere o false: a) 53,7 = V F b) 2,837 = , , V F c) 45,71 = , ,01 V F d) 13, = , ,001 V F

32 1 Il sistema di numerazione decimale Teoria da pag. 5 a pag Esercizi di recupero Se hai ancora qualche difficoltà, segui gli svolti (quelli nel riquadro) e poi completa gli altri. 1. Scrivere il valore relativo della cifra 7 nei numeri: 467; 5 372; Nel numero 467, il 7 occupa il primo posto a partire da destra, quindi il suo valore relativo è 7 unità. Nel numero 5 372, il 7 occupa il secondo posto a partire da destra, quindi il suo valore relativo è 7 decine. Nel numero , il 7 occupa il quarto posto a partire da destra, quindi il suo valore relativo è 7 migliaia. 2. Scrivi il valore relativo della cifra 4 nei numeri: 5 427; ; a) Nel numero 5 427, il 4 occupa il... posto a partire da destra, quindi il suo valore relativo è.... b) Nel numero , il 4 occupa il... posto a partire da destra, quindi il suo valore relativo è.... c) Nel numero , il 4 occupa il... posto a partire da destra, quindi il suo valore relativo è Completa scrivendo il valore relativo delle cifre indicate nei seguenti numeri: a) Nel numero il valore relativo della cifra 5 è... b) Nel numero il valore relativo della cifra 2 è... c) Nel numero il valore relativo della cifra 7 è... d) Nel numero il valore relativo della cifra 3 è... e) Nel numero il valore relativo della cifra 1 è... f) Nel numero il valore relativo della cifra 4 è Scrivere in cifre i numeri: ottocentoventinove; quattromilanovecentoventi. Il numero ottocentoventinove è formato da 9 unità (nove), 2 decine (venti) e 8 centinaia (ottocento). Scriveremo quindi 829. Il numero quattromilanovecentoventi è formato da 2 decine (venti), 9 centinaia (novecento) e 4 migliaia (quattromila); mancano le unità, al cui posto metteremo uno zero. Scriveremo quindi RCS LIBRI EDUCATION SPA 5. Scrivi in cifre i seguenti numeri: tremilaseicentotré; cinquantaduemilasessantanove. a) Il numero tremilaseicentotré è formato da... unità (...),... centinaia (...) e 3... (...); mancano le... al cui posto mettiamo.... Scriverai quindi.... b) Il numero cinquantaduemilasessantanove è formato da... unità (...),... decine (...), (...) e 5... (...); mancano le..., al cui posto metteremo.... Scriverai quindi Scrivi in cifre i seguenti numeri: Seicentoottantacinque =... Duemilaquattrocentotrentacinque = Settemilatrecentoquattro =... Novemilaottantasei =... Ventiseimilacinquecentonove =... Sessantanovemilasettecento =... Duecentotrentatremilanovantasei = Cinquecentoventimilasettecentocinque =......

33 284 di recupero 7. Scrivere in cifre i numeri: venti e otto decimi; sei e quattro centesimi. Nel numero venti e otto decimi la parte intera è venti (20) e la parte decimale è otto decimi (0,8), per cui scriveremo 20,8. Nel numero sei e quattro centesimi la parte intera è sei (6) e la parte decimale è quattro centesimi (0,04), per cui scriveremo 6, Scrivi in cifre i seguenti numeri: ventisei e tre centesimi; nove e tredici millesimi. a) Nel numero ventisei e tre centesimi la parte intera è... (...) e la parte decimale è... (0,...), per cui scriverai.... b) Nel numero nove e tredici millesimi la parte intera è... (...) e la parte decimale è... (...), per cui scriverai Scrivi in cifre i seguenti numeri: Nove e otto decimi =... Trentadue e cinque decimi =... Quaranta e trentotto centesimi =... Duecentosessantuno e due millesimi =... Milleottocento e ottantadue millesimi =... Cinquecentosette e due centesimi =... Ventinove e sei decimi =... Otto e cinquantatré millesimi = Scrivere in forma polinomiale i numeri: 672; Il numero 672 è formato da 2 unità (2), 7 decine (70 = 7 10) e 6 centinaia (600 = 6 100); la sua forma polinomiale è quindi: Il numero è formato da 0 unità (0), 4 decine (40 = 4 10), 3 centinaia (300 = 3 100), 2 unità di migliaia (2 000 = ) e 5 decine di migliaia ( = ); la sua forma polinomiale è quindi: Scrivi in forma polinomiale i numeri: 348; 4 607; a) Il numero 348 è formato da 8... (8), 4... (4...) e (......); la sua forma polinomiale è quindi: b) Il numero è formato da (7), (......) e (......); la sua forma polinomiale è quindi: c) Il numero è formato da (...), (......), (......) e (......); la sua forma polinomiale è quindi: Scrivi in forma polinomiale i seguenti numeri: 502 = = = = = = = Scrivere in forma polinomiale i numeri: 46,54; 5,08. Il numero 46,54 è formato da 4 decine (4 10), 6 unità (6), 5 decimi (5 0,1) e 4 centesimi (4 0,01); la sua forma polinomiale è quindi: , ,01. Il numero 5,08 è formato da 5 unità (5), 0 decimi (0 0,1) e 8 centesimi (8 0,01); la sua forma polinomiale è quindi: ,01.