CALENDARIO BOREALE 2 AMERICHE 2015 PROBLEMA 1

Transcript

1 Indirizzi: LI, EA SCIENTIFICO; LI3 - SCIENTIFICO - OPZIONE SCIENZE APPLICATE CALENDARIO BOREALE AMERICHE 5 PROBLEMA Stai seguendo un corso, nell'ambito dell'orientamento universitario, per la preparazione agli studi di Medicina. Il docente introduce la lezione dicendo che un medico ben preparato deve disporre di conoscenze, anche matematiche, che permettano di costruire modelli ed interpretare i dati che definiscono lo stato di salute e la situazione clinica dei pazienti. Al tuo gruppo di lavoro viene assegnato il compito di preparare una lezione sul tema: "come varia nel tempo la concentrazione di un farmaco nel sangue?". Se il farmaco viene somministrato per via endovenosa, si ipotizza per semplicità che la concentrazione del farmaco nel sangue raggiunga subito il valore massimo e che immediatamente inizi a diminuire, in modo proporzionale alla concentrazione stessa; nel caso che il docente ti ha chiesto di discutere, per ogni ora che passa la concentrazione diminuisce di /7 del valore che aveva nell ora precedente. ) Individua la funzione y(t) che presenta l andamento richiesto, ipotizzando una concentrazione iniziale y() = μg (microgrammi a millilitro) e rappresentala ml graficamente in un piano cartesiano avente in ascisse il tempo t espresso in ore e in ordinate la concentrazione espressa in μg ml. Per t= risulta y()=; per t= risulta y()=(/7)y()=/7; per t= risulta y()=/7(y())=/7(/7)=/49 In generale quindi: y(t) = ( 7 )t Si tratta di una funzione esponenziale di base /7, il cui grafico è il seguente: Americhe 5 - Problema / 8

2 Se invece la somministrazione avviene per via intramuscolare, il farmaco viene dapprima iniettato nel muscolo e progressivamente passa nel sangue. Si ipotizza pertanto che la sua concentrazione nel sangue aumenti per un certo tempo, raggiunga un massimo e poi inizi a diminuire con un andamento simile a quello riscontrato nel caso della somministrazione per via endovenosa. ) Scegli tra le seguenti funzioni quella che ritieni più adatta per rappresentare l andamento descritto per il caso della somministrazione per via intramuscolare, giustificando la tua scelta: (t 4) y(t) = 6 y(t) = sen(3t) e t y(t) = t 3 + 3t + t y(t) = 7 (e t 7 e t 5) Siccome per t che tende all infinito la concentrazione tende a zero (come si deduce dall andamento della concentrazione relativa al caso della somministrazione per via endovenosa), si escludono le funzioni e 3 (che tendono a meno infinito per t che tende a più infinito). La seconda funzione, per la presenza del fattore sen(3t), oscilla fino a più infinito; essendo sen(3t) compreso tra - e +, la funzione y(t) = sen(3t) e t è compresa tra le due funzioni e t e +e t, quindi non è vero che ad un certo punto, raggiunto il massimo, la concentrazione inizi a diminuire. La funzione che è più adatta per rappresentare l andamento descritto è pertanto la quarta: 3) y(t) = 7 (e t 7 e t 5) Traccia il grafico della funzione scelta in un piano cartesiano avente in ascisse il tempo t espresso in ore e in ordinate la concentrazione y espressa in μg e descrivi le sue ml caratteristiche principali, in rapporto al grafico della funzione relativa alla somministrazione per via endovenosa. Studiamo la funzione y(t) = 7 (e t 7 e t 5) per t < + Americhe 5 - Problema / 8

3 Dominio: t < + Intersezioni con gli assi: Se t=: y= Se y=: 7 t (e 7 e t 5) = e t 7 = e t 5 t = Segno della funzione: La funzione è positiva se: 7 t (e 7 e t 5) > e t 7 > e t 5 t 7 > t 5 5 t < 7t t > Quindi la funzione si annulla per t= ed è sempre positiva per t>. Limiti: Come già notato nel punto precedente, se t tende a più infinito la funzione tende a zero (più esattamente a + ): y= è un asintoto orizzontale per t che tende a più infinito. Derivata prima: y = 7 ( 7 e t e t 5) = ( 5e t 7 + 7e t 5) se 5e t 7 + 7e t 5 ; 7e t 5 5e t 7 ; e t 5 e t ; e t 7 t ; e 35 t 5 7 ; 35 t ln (5 7 ) ; t 35 ln (5 7 ) ; t 35 ln (7 5 ) 5.89 La funzione è quindi crescente per < t < 35 ln (7 ) 5.89 e decrescente per 5 t > 35 ln (7 ) 5.89 : ha quindi un massimo relativo (che è anche assoluto) per 5 t = 35 ln (7 ) 5.89 ore (in termini medici questo tempo è detto TEMPO DI PICCO); la 5 concentrazione (massima) raggiunta in tale istante è: concentrazione massima = y ( 35 ln (7 5 )) y(5.89) = 7 (e e ).43 μg ml (in termini medici questa concentrazione è detta CONCENTRAZIONE DI PICCO) Americhe 5 - Problema 3/ 8

4 Derivata seconda: y = D [ t ( 5e 7 + 7e t 5)] = (5 t 7 e e t 5) = t 35 (5e 7 49e t 5) se 5e t 7 49e t 5 ; 5e t 7 49e t 5 ; e t 7 +t ; e 35 t 49 5 ; 35 t 35 ln (49).78: il grafico quindi volge la concavità verso l alto se 5 t > 35 ln (49 5 Ha un flesso se t = 35 y ( 35 t ln (49 5 ) ; 35 ).78 e verso il basso se t < ln (49 ).78 5 ln (49).78; la concentrazione per tale valore del tempo è: 5 ln (49 5 )) y(.78) = 7.78 (e 7 e.78 5 ).3 μg ml Il grafico della funzione (somministrazione intramuscolare) è il seguente: Mettiamo a confronto il grafico relativo al caso della somministrazione per via intramuscolare con quello relativo al caso della somministrazione per via endovenosa: Americhe 5 - Problema 4/ 8

5 Confrontando i due grafici notiamo che nel caso della somministrazione endovenosa la concentrazione del farmaco nel sangue, ipotizzando che raggiunga subito il valore massimo, diminuisce rapidamente, raggiungendo, dopo tre ore, una concentrazione molto bassa, pari a ( 7 )3.3 μg. Ne caso della somministrazione intramuscolare, ml come detto nella premessa, il farmaco viene dapprima iniettato nel muscolo e progressivamente passa nel sangue, pertanto si può ipotizzare che la sua concentrazione nel sangue aumenti per un certo tempo e, in particolare, con la legge in esame, raggiunge il massimo dopo circa 5.89 ore, massimo che è uguale a circa.43 μg ml ; dopo aver raggiunto tale massimo la concentrazione diminuisce, ma più lentamente rispetto al caso della somministrazione endovenosa; per esempio dopo circa.78 ore (tempo relativo al flesso della curva), si ha una concentrazione pari a circa.3 μg ml ; dopo lo stesso tempo, nel caso della somministrazione endovenosa, la concentrazione è praticamente nulla: ( 7 ).78 μg.. ml Osserviamo che le due concentrazioni sono uguali dopo un tempo t corrispondente al punto di incontro dei due grafici, pari a circa.94 ore; la concentrazione comune è pari a circa.6 μg. ml Osserviamo che le derivate prime delle due funzioni indicano la velocità di variazione della concentrazione del farmaco nel sangue; abbiamo nei due casi: somministrazione endovenosa: v = d dt ( 7 )t = ( 7 )t ln ( 7 ) = ln(7) ( 7 )t < per ogni t, vuol dire che la concentrazione diminuisce sempre; infatti si è ipotizzato che raggiunga pressoché istantaneamente la massima concentrazione. somministrazione intramuscolare: v = d dt (7 (e t 7 e t 5)) = ( 5e t 7 + 7e t 5), che, come già visto nello studio della funzione, è positiva per < t < 35 ln (7 ) 5.89 e negativa 5 per t > 35 ln (7 ) 5.89 : vuol dire che la concentrazione aumenta fino a circa 5.89 ore, 5 raggiunge il massimo e poi diminuisce. Osserviamo poi che le derivate seconde delle due funzioni indicano se aumenta o diminuisce la velocità di variazione della concentrazione del farmaco nel sangue (come dire l accelerazione); abbiamo nei due casi: somministrazione endovenosa: a = dv = d dt dt (( 7 )t ln ( )) = 7 ( 7 )t ln ( ) > per ogni t, 7 vuol dire che la velocità di variazione della concentrazione del farmaco nel sangue cresce sempre: in realtà, essendo la velocità sempre negativa, in valore assoluto la velocità di variazione diminuisce. somministrazione intramuscolare: a = dv dt = d dt ( ( 5e t 7 + 7e t 5)) = 35 (5e t 7 49e t 5) > per t 35 ln (49).78 vuol dire che la velocità di 5 Americhe 5 - Problema 5/ 8

6 variazione della concentrazione del farmaco nel sangue diminuisce fino a circa.78 ore ed aumenta dopo tale tempo (notiamo che nel punto di flesso, che si ha per t=.78, la velocità raggiunge il minimo). Nella figura seguente sono rappresentati i vari metodi di somministrazione di un farmaco, tra cui, come nei nostri casi di studio, quello per via endovenosa e quello per via intramuscolare. Per evitare danni agli organi nei quali il farmaco si accumula è necessario tenere sotto controllo la concentrazione del farmaco nel sangue. Supponendo che in un organo il μg farmaco si accumuli con una velocità v, espressa in (microgrammi a millilitro all ora), ml h proporzionale alla sua concentrazione nel sangue: 4) v(t) = k y(t) Determina la quantità totale di farmaco accumulata nell organo nel caso della somministrazione endovenosa e di quella intramuscolare studiate in precedenza. In quale delle due l accumulo sarà maggiore? Detta q(t) la quantità di farmaco assorbita nell organo, espressa in μg, dalla legge della ml velocità fornita si ottiene: Americhe 5 - Problema 6/ 8

7 v(t) = dq(t) dt = k y(t), da cui: dq = k y(t) dt, k ha per dimensioni h La quantità q di farmaco accumulato nell organo si ottiene integrando la precedente equazione differenziale tra e più infinito: q q = + k y(t) dt + = k y(t) dt Analizziamo i due casi in esame: (con q = q() = in entrambi i casi) Somministrazione endovenosa: + q = k ( t 7 ) dt = k ( b ln(7) ) lim [( b + 7 ) ] = = k ( ) [ ] = k ln(7) b t = k lim ( b + 7 ) dt = k lim b + ln ( 7 ) [( 7 ) ln(7) (.54 k) μg h (microgrammi al millilitro) ml Ciò vuol dire che vengono accumulati nell organo (.54 k) microgrammi di farmaco, teoricamente in un tempo infinito, praticamente dopo poche ore; per esempio dopo ore, ponendo b= nel calcolo precedente, si ottiene circa il 98 %: t ] b = k ln ( 7 ) [( 7 ) t ] = k ln ( [( 7 ) 7 ) ] (.53 k) μg ml h (microgrammi al millilitro) Somministrazione intramuscolare: + q = k 7 (e t 7 e t 5) dt b = 7 k lim b t b + (e 7 e t 5) dt = 7 k lim b + [ 7e 7 + 5e t 5] = 7 k lim b + [ 7e 7 + 5e b 5 ( 7 + 5)] = 7 k [ + + ] = = (7 k) μg h (microgrammi al millilitro) ml Ciò vuol dire che vengono accumulati nell organo (7 k) microgrammi al millilitro di farmaco, teoricamente in un tempo infinito, praticamente dopo ore si ha: t b = 7 k [ 7e t 7 + 5e t 7 5] k ( 7e 7 + 5e 5 + ) (3.5 k) μg h (microgrammi al ml millilitro), la metà del totale; Americhe 5 - Problema 7/ 8

8 dopo 4 ore abbiamo: 4 = 7 k [ 7e t 7 + 5e t 7 5] k ( 7e e ) (6.3 k) μg h (microgrammi al ml millilitro), il 9 % del totale; dopo 48 ore abbiamo: 48 = 7 k [ 7e t 7 + 5e t 7 5] k ( 7e e ) (6.98 k) μg h (microgrammi al ml millilitro), quasi il % del totale. Calcoliamo la quantità di farmaco accumulata dopo ore, per fare un confronto con il caso della somministrazione per via endovenosa): 4 7 k [ 7e t 7 + 5e t 5] = 7 k ( 7e 7 + 5e 5 + ) (.3 k) μg h (microgrammi al ml millilitro), pari a circa il 4.6 % del totale; ricordiamo che nel caso della somministrazione endovenosa dopo ore si aveva circa il 98 % del totale. Questo vuol dire, come già osservato, che l accumulo di farmaco nel caso della somministrazione endovenosa è molto più rapido. In conclusione: La quantità di farmaco accumulata nell organo nel caso della somministrazione intramuscolare è di gran lunga maggiore di quella accumulata nel caso della somministrazione endovenosa. Con la collaborazione di Angela Santamaria e Stefano Scoleri Americhe 5 - Problema 8/ 8

9 Indirizzi: LI, EA SCIENTIFICO; LI3 - SCIENTIFICO - OPZIONE SCIENZE APPLICATE CALENDARIO BOREALE AMERICHE 5 PROBLEMA Sia f la funzione definita da f(x) = (4x ) e x. ) Dimostra che la funzione possiede un unico punto di minimo e un unico punto di flesso. Calcola le coordinate del minimo e del flesso e traccia il grafico G f della funzione. Studiamo la funzione f(x) = (4x ) e x. Dominio: < x < + Intersezioni con gli assi: Se x = : y = Se y = : (4x ) e x = da cui x = Segno della funzione: La funzione è positiva se (4x ) e x >, x > Limiti: lim x (4x ) e x = (si ricordi il limite notevole lim x (x e x ) = ). lim x + (4x ) e x = + ; non c è asintoto obliquo perché la funzione, per x che tende a più infinito, si comporta come 4x e x, che non è un infinito del primo ordine. Derivata prima: y = 8xe x se x : quindi la funzione è crescente se x> e decrescente se x<o; x= è quindi punto di minimo relativo (e assoluto), con ordinata y =. La funzione ammette quindi un unico punto di minimo m, con coordinate m = (; ). Americhe 5 - Problema / 5

10 Derivata seconda: y = 6xe x + 8e x = 8e x (x + ) se x : quindi il grafico di f volge la concavità verso l alto se x > e verso il basso se x < : x = è quindi l unico punto di flesso, con ordinata y = 4e = 4. e La funzione ammette un unico flesso F, di coordinate F = ( ; 4 e ). Il grafico della funzione è il seguente: ) Dimostra che la funzione g(x) = ( 4x ) e x è simmetrica a f rispetto all asse y e tracciarne il grafico G g. La simmetrica di f rispetto all asse delle y ha equazione che si ottiene scambiando x in x, quindi l equazione è: f( x) = ( 4x ) e x = g(x) Il grafico G g della g(x), affiancato a quello della f(x), è il seguente: Americhe 5 - Problema / 5

11 Verifichiamo se i due grafici hanno altre intersezioni oltre a quella sull asse y: (4x ) e x = ( 4x ) e x, e 4x = 4x 4x = x x Rappresentiamo nello stesso piano cartesiano le due curve: y = e 4x funzione esponenziale che interseca l asse y nel punto di ordinata. y = x : funzione omografica di centro x ( ; ), asintoti x = per il punto di coordinate (; ). e y =, passante Si ha la seguente situazione grafica: Si deduce dal grafico che le due curve si intersecano solo se x=: quindi G f e G g hanno la sola intersezione (;-). 3) Detti P e Q i punti di intersezione rispettivamente del grafico G f e del grafico G g con l asse x, determina l area A della porzione di piano delimitata dal segmento PQ e dai grafici G f e G g. Per la simmetria verificata nel punto precedente l area A richiesta è il doppio dell area S della porzione di piano delimitata dagli assi cartesiani e dal grafico G f ; tale zona è nel quarto quadrante: Americhe 5 - Problema 3/ 5

12 Risulta quindi: S = ( f(x))dx = f(x)dx = (4x ) e x dx Cerchiamo una primitiva di (4x ) e x integrando per parti: (4x ) e x dx = (x ) e x dx = (x ) (e x ) dx = = (x )e x e x dx = (x )e x e x = (x )e x Pertanto: S = (4x ) e x dx = [(x )e x ] = [ e ( )] = e.78 L area A richiesta è quindi: A = S = (e ) u.44 u Americhe 5 - Problema 4/ 5

13 4) Sia f a la famiglia di funzioni definite da f a (x) = (ax ) e ax, con a ε R {}. Per ogni funzione f a la tangente al grafico nel punto di flesso interseca l asse x e l asse y delimitando un triangolo rettangolo. Determina i valori di a per i quali tale triangolo è anche isoscele, spiegando il procedimento seguito. Calcoliamo, per ogni a, la derivata prima della funzione: f a (x) = a e ax + (ax ) e ax a = a e ax (ax) = a x e ax f a (x) = a [e ax + x e ax (a)] = a e ax ( + ax) Per a la derivata seconda si annulla per x = e siccome il segno della derivata a seconda è data dal fattore + ax, siccome quest ultimo cambia il segno prima e dopo x = (sia per a positiva che per a negativa), possiamo concludere che la funzione a ammette uno ed un solo flesso per x = ; l ordinata del flesso è: a f a ( ) = ( 4) a e = 4 F = ( ; 4 ) ; notiamo che l ordinata del flesso non e a e dipende da a, quindi i flessi appartengono alla retta di equazione y = 4. e La tangente nel punto di flesso ha coefficiente angolare dato da: f a ( a ) = a e = a e ; la tangente nel punto di flesso ha quindi equazione: y + 4 e = a e (x + a ), y = a e x 6 e Cerchiamo le intersezioni della tangente inflessionale con gli assi cartesiani: Se x =, y = 6 e Se y =, x = 3 a Il triangolo rettangolo individuato dalla tangente inflessionale con gli assi cartesiani è anche isoscele se: 6 e = 3 a da cui 3 a = ± 6 e quindi: a = ± e Per a = e la tangente inflessionale ha equazione: y = x 6 e cartesiani angoli di 45. Per a = e la tangente inflessionale ha equazione: y = x 6 e cartesiani angoli di 45. che forma con gli assi che forma con gli assi Con la collaborazione di Angela Santamaria Americhe 5 - Problema 5/ 5

14 Indirizzi: LI, EA SCIENTIFICO; LI3 - SCIENTIFICO - OPZIONE SCIENZE APPLICATE CALENDARIO BOREALE AMERICHE 5 QUESITO Determinare il volume del solido generato dalla rotazione attorno alla retta di equazione y = 3 della regione di piano delimitata dalla curva di equazione y = x 3 3x + 3 e dalla retta stessa. Studiamo sommariamente la curva di equazione y = x 3 3x + 3, definita e continua su tutto R. Essa interseca l asse delle ordinate in y=3. Tende a ± se x tende a ± ; la sua derivata prima è: y = 3x 3 se: x quindi per x or x : in tali intervalli la funzione è crescente; quindi x = è punto di massimo relativo e x = punto di minimo relativo. La derivata seconda è: y = 6x se x x= è punto di flesso e, trattandosi di una cubica, il punto F=(;3) è centro di simmetria per la curva stessa. Notiamo che la retta e la curva dati si intersecano quando x 3 3x =, quindi per x = e per x = ± 3. Il suo grafico qualitativo, insieme alla retta di equazione y = 3 è il seguente: Per trovare il volume richiesto conviene effettuare la traslazione che porta la retta y=3 a coincidere con l asse x; tale traslazione ha vettore v=(;-3) ed equazioni: X = x { Y = y 3 { x = X y = Y + 3 Americhe 5 - Questionario /

15 La retta di equazione y = 3 diventa Y = e la funzione di equazione y = x 3 3x + 3 diventa: Y + 3 = X 3 3X + 3 da cui Y = X 3 3X = f(x) In base alla simmetria ricordata prima e alle intersezioni tra le due curve, il volume richiesto è dato da: V = (π 3 f (X)dX 3 ) = π (X 3 3X) dx = π [ x x5 + 3x 3 ] = π [ ( 3) u 3 V 3 = π (X 6 6X 4 + 9X ) dx 6 5 ( 3)5 + 3( 3) 3 ] = π ( ) = 44π 35 QUESITO = 3 u3 Verificare che la funzione: f(x) = 3 x + ha una discontinuità di prima specie ( a salto ), mentre la funzione: f(x) = x 3 x + ha una discontinuità di terza specie ( eliminabile ). Americhe 5 - Questionario /

16 La funzione f(x) = 3x+ destro ed il limite sinistro per x che tende a zero: lim x 3x+ = ; lim x + è discontinua per x= (dove non è definita); calcoliamo il limite 3x+ discontinuità di prima specie, con salto = =. La funzione f(x) = x 3x+ destro ed il limite sinistro per x che tende a zero: x lim x 3x+ = ; lim x + = : i limiti sono finiti e diversi, quindi in x= c è una è discontinua per x= (dove non è definita); calcoliamo il limite x 3x+ = : i limiti sono finiti ed uguali, quindi in x= c è una discontinuità eliminabile (terza specie). Osserviamo che il prolungamento continuo della funzione è: f f(x), se x (x) = {, se x = QUESITO 3 Durante il picco massimo di un epidemia di influenza il 5% della popolazione è a casa ammalato: a) qual è la probabilità che in una classe di alunni ce ne siano più di due assenti per l influenza? b) descrivere le operazioni da compiere per verificare che, se l intera scuola ha 5 alunni, la probabilità che ce ne siano più di 5 influenzati è maggiore del 99%. La probabilità di ammalarsi della popolazione in esame è p =.5 ; la probabilità di NON ammalarsi è q = p =.5 =.85. a) Si tratta di una distribuzione binomiale e dobbiamo calcolare la probabilità che su alunni ci siano un numero di alunni ammalati maggiore di due, come dire che non devono essere ammalati zero, uno o due; indicando con p(k, n) la probabilità che ci siano k successi (k alunni ammalati) su n prove (n alunni in totale), la nostra probabilità è data da: p(più di due ammalati su ) = p( ammalati) p( ammalato) p( ammalati) = = p(,) p(,) p(,) = ( ).5.85 ( ) ( ) = % Americhe 5 - Questionario 3/

17 b) La probabilità di avere un numero di successi (ammalati) maggiore di 5 su una popolazione di 5 alunni equivale alla probabilità di NON avere,,,,5 alunni ammalati su 5, quindi: p(più di 5 ammalati su 5) = p(,5) p(,5) p(,5) p(5,5) = = ( 5 ) ( 5 ) ( 5 5 ) = 5 = ( 5 k ).5k.85 5 k k= Queste sono le operazioni (molto lunghe) da compiere per verificare che la probabilità che ci siano più di 5 influenzati è maggiore del 99%. Il risultato valutato al computer è pari a circa :.9993 = %. QUESITO 4 Nello spazio sono dati due piani α e β rispettivamente di equazione: α) x 3y + z 5 = β) x + y z + 3 = Dopo aver determinato l'equazione parametrica della retta r da essi individuata verificare che essa appartiene al piano γ di equazione 3x + y z + =. Troveremo le equazioni parametriche della retta risolvendo il sistema formato dalle equazioni dei due piani rispetto ad una delle tre variabili: x 3y + z 5 = { x + y z + 3 = x y = sommando e sottraendo membro a membro { 5y + z 8 = { x = + y x = + t z = y poniamo y = t { y = t z = 4 + 5t Verifichiamo che la retta r appartiene al piano di equazione 3x + y z + = : 3( + t) + t (4 + 5t) + =, = ciò vuol dire che il generico punto della retta appartiene al piano al variare di t, pertanto la retta giace sul piano γ. Americhe 5 - Questionario 4/

18 QUESITO 5 Considerata la parabola di equazione y = 4 x, nel primo quadrante ciascuna tangente alla parabola delimita con gli assi coordinati un triangolo. Determinare il punto di tangenza in modo che l area di tale triangolo sia minima. La parabola ha vertice nel punto (;4) ed interseca l asse x nei punti di ascissa - e. Detto T il generico punto della parabola nel primo quadrante abbiamo la seguente figura: Poniamo T = (t; 4 t ), con < t < e scriviamo l equazione della tangente in T alla parabola; risulta: y = x, quindi il coefficiente angolare della tangente in t è: m = t. La tangente ha quindi equazione: y (4 t ) = t(x t), y = tx + t + 4 quindi le intersezioni con glia assi sono: A { x = t + 4 t y = x = ; B { y = t + 4 Il triangolo formato con gli assi cartesiani ha quindi area: Area(AOB) = + 4 (t ) (t + 4) = (t + 4) t 4t Quest area è massima se lo è la funzione: z = (t + 4) t Studiamo la derivata prima: z = (3 t 4)(t + 4) t se (3 t 4), t or t 3 3 ; con le nostre limitazioni di t possiamo dire che z > se < t < : in tale intervallo la funzione è crescente; invece è decrescente se Americhe 5 - Questionario 5/

19 < t < 3 : pertanto z (e quindi anche la nostra area) ha un minimo relativo (che è 3 anche assoluto) per t = 3. 3 Il punto di tangenza che individua il triangolo di area minima è quindi: T = (t; 4 t ) = ( 3 3 ; ) = ( 3 3 ; 8 3 ) = T L area minima vale: Area(minima) = (t + 4) 4t = ( ) 3 3 = u 6.6 u QUESITO 6 Determinare la funzione densità di probabilità di una variabile casuale continua che assume valori nell intervallo [,5] con una distribuzione uniforme. Determinare inoltre il valore medio, la varianza, la deviazione standard di tale variabile e la probabilità che sia 7 7 x. 3 4 Ricordiamo che una variabile casuale continua X si dice che è distribuita uniformemente (o che segue la distribuzione uniforme) se i valori possibili appartengono ad un dato intervallo [a;b] e tutti i valori di tale intervallo hanno la stessa probabilità di essere assunti; la funzione densità di probabilità ha la seguente equazione: f(x) = {, per a x b b a, altrove Ricordiamo anche che la densità di probabilità di una variabile aleatoria continua X è una funzione f(x) per la quale, detta F(x) = p(x x) la funzione di ripartizione di X (o funzione di distribuzione cumulata), risulta: F(x) = p(x x) = x Ricordiamo anche che: f(t) dt p(a x b) = f(x)dx = F(b) F(a). a b +, con f(x) e f(x) dx = Ritornando alla distribuzione uniforme, abbiamo: valor medio = m(x) = a+b, varianza = σ = (b a), deviazione standard = σ = (b a) Americhe 5 - Questionario 6/

20 Considerando l intervallo [,5], abbiamo la seguente densità di probabilità: f(x) = { 3, per x 5, altrove che ha il seguente grafico: valor medio = m(x) = a + b = + 5 (b varianza = σ a) (5 ) = = = 3.5 = 9 = 3 4 =.75 (b a) deviazione standard = σ = = p ( 7 3 x 7 4 ) = 4 f(x)dx = 4 3 dx = 3 ( ) = 3 3 = % Nota + b m(x) = x f(x) dx = x a b a dx = b a = b a [b a ] = (b a)(b + a) = b a a + b b x dx a b σ = m[(x m) ] = m(x ) m = x a + b f(x) dx ( ) a = b b a [x ] a = = b b a [x3 3 ] a a + b ( ) = Americhe 5 - Questionario 7/

21 = b a [b3 3 a3 + b ] (a 3 ) = b + ab + b 3 a + ab + b 4 = b a b3 a 3 a + b ( 3 ) = = b ab + b (b a) = Calcolare il valor medio della funzione QUESITO 7 x x 3 f(x) = { e x < x 6 nell intervallo [,6] e determinare il valore della x in cui la funzione assume il valore medio. Osserviamo che la funzione è continua nell intervallo chiuso [;6], infatti il limite sinistro e il limite destro nel 3 sono uguali a, che è anche il valore di f(3). Il valore x in cui la funzione assume il valor medio è la soluzione dell equazione f(x) = b f(x)dx a b a = 5 Quindi: = f(x)dx = 5 ( (x )dx + (ex 3 + )dx 3 3 ) {[(x ] + [e x 3 + x] 6 3 } = 5 [ + e3 + 6 ( + 3)] = 5 ( + e3 + ) = e ) = se x 3 x = e3 +4 5, x = e non accettabile se 3 < x 6 e x 3 + = e3 +4 5, e x 3 = e3 5, x 3 = ln ( e3 5 ), x = 3 + ln ( e3 ) 4.3 accettabile. 5 Il valore x in cui la funzione assume il valor medio è x = 3 + ln ( e3 5 ) 4.3 Americhe 5 - Questionario 8/

22 QUESITO 8 Una sfera ha il raggio che aumenta al passare del tempo secondo una data funzione r(t). Calcolare il raggio della sfera nell istante in cui la velocità di crescita della superficie sferica e la velocità di crescita del raggio sono numericamente uguali. La superficie sferica, al variare del raggio r(t), ha valore: S = 4πr (t) La velocità di crescita della superficie sferica è data da: ds dt = d dt (4πr (t)) = 4π r(t) r (t) La velocita di crescita del raggio è r (t). Le due velocità di crescita sono uguali quando: 4π r(t) r (t) = r (t), da cui: r(t) = 8π Il raggio della sfera nell istante in cui la velocità di crescita della superficie sferica e la velocità di crescita del raggio sono uguali è uguale a r = u.4 u. 8π QUESITO 9 In un riferimento cartesiano nello spazio Oxyz, data la retta r di equazioni: x = t + { y = + t z = kt e il piano P di equazione x + y z + =, determinare per quale valore di k la retta r e il piano P sono paralleli, e la distanza tra di essi. I parametri direttori della retta sono i coefficienti del parametro t: (,,k). I parametri direttori del piano sono i coefficienti di x, y e z: (,,-). La condizione di parallelismo tra una retta ed un piano afferma che la somma dei prodotti dei parametri direttori deve essere nulla, quindi: ()() + ()() + (k)( ) = da cui: 4 k =, quindi k = 4. La retta ed il piano sono paralleli se k = 4. Americhe 5 - Questionario 9/

23 In tal caso la retta ha equazioni: x = + t { y = + t z = 4t La distanza di una retta da un piano ad essa parallela è uguale alla distanza di un qualsiasi punto della retta dal piano; per t= otteniamo il punto (;;); la distanza di un punto da un piano si ottiene applicando la seguente formula: d = ax + by + cz + d + + = = 5 a + b + c = QUESITO Scrivere l equazione della circonferenza C che ha il centro sull asse y ed è tangente al grafico G f di f(x) = x 3 3x nel suo punto di flesso. Il punto F di flesso della cubica (che esiste ed è unico) si ottiene annullando la derivata seconda: f (x) = 3x 6x ; f (x) = 6x 6 = se x = da cui f() = 3 = Quindi il flesso ha coordinate: F = (; ). Calcoliamo la tangente alla cubica in F: m = f () = 3 6 = 3 ; quindi la tangente in F ha equazione: y + = 3(x ), y = 3x +. La circonferenza C ha quindi il centro sull asse y ed è tangente alla retta y = 3x + in F = (; ). Il centro della circonferenza appartiene anche alla perpendicolare alla tangente in F, cioè alla retta di equazione: y + = 3 (x ), y = 3 x 7 3 ; ponendo x = abbiamo y = 7 3. La circonferenza ha quindi centro nel punto di coordinate A = (; 7 3 ). Il raggio della circonferenza è uguale alla distanza del centro A da punto di tangenza F: r = ( ) + ( ) = + 9 = 9 = 3 Americhe 5 - Questionario /

24 Notiamo che il raggio della circonferenza si può anche ottenere come distanza del centro dalla tangente, quindi, utilizzando la formula: d = ax +by +c con (x a +b ; y ) = A = (; 7 ) e la retta y = 3x + scritta nella forma 3 3x + y =. Risulta pertanto: r = 7 3 = 3 = = (come nel modo precedente). L equazione della circonferenza è quindi: (x ) + (y ) = ( 3 ) da cui: x + y y =, x + y y = 3x + 3y + 4y + 3 =. Questa la situazione grafica (comunque non richiesta): Con la collaborazione di Angela Santamaria Americhe 5 - Questionario /