Lavoro. Teorema delle forze vive. Forze conservative. Teorema di conservazione dell energia meccanica.

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1 Lavoro. Teorema delle forze vive. Forze conservative. Teorema di conservazione dell energia meccanica. In Fisica, parlando di forze e di spostamenti, si fa ampio riferimento ad una grandezza scalare, il lavoro (compiuto da una forza). Tale grandezza si indica, generalmente, col simbolo LL e vale LL = FF ss = FFFF cccccc θθ, dove FF è la forza (o la risultante delle forze agenti), ss è lo spostamento del punto di applicazione della forza e θθ e l angolo compreso tra FF e ss. Stante la suddetta definizione di lavoro, risulta di semplice verifica che: se θθ = 0, allora LL = FF ss ; se θθ = 90 (θθ = 270 ), allora LL = 0; se θθ = 180, allora LL = FF ss ; supposto FF 0, allora LL 0 ss 0. Qualora si affronti il problema di calcolare il lavoro quando FF e (o) ss non sono costanti, ovvero lungo un generico percorso mistilineo, è possibile procedere nel seguente modo: si suddivide il tratto del percorso sul quale si intende calcolare il lavoro in elementi infinitesimali di lunghezza, dddd. Per ogni elemento di lunghezza è possibile assumere con precisione (tanto più elevata quanto più è minuziosa la suddivisione di ) FF ed ss costanti. A questo punto, si possono calcolare i corrispondenti elementi infinitesimali di lavoro δδδδ = FF ddss. La somma di tutti i contributi infinitesimi fornirà, evidentemente, il lavoro compiuto sull intero percorso. Tale somma vale: nn LL = δδll ii ii=1 nn = FF ddss ii ii=1 = FF ddss

2 Questo modo di calcolare il lavoro compiuto da una forza lungo un percorso qualsiasi torna utile nell ambito della verifica del cosiddetto Teorema delle forze vive. Il nome del teorema, oggi sostituito frequentemente da Teorema dell energia cinetica, deriva dall antica denominazione del semiprodotto della massa per il quadrato della velocità, definito vis viva, ovvero forza viva. Il teorema afferma che il lavoro compiuto da una qualunque forza FF su un corpo di massa mm, che si sposta da un punto ad un punto, è uguale alla variazione di energia cinetica KK = mm 2 vv2 tra il punto iniziale e finale. La dimostrazione parte dal secondo principio della dinamica: FF = mmaa = mm ddvv dddd FF ddss = mm ddvv dddd ddss Per ottenere dalla precedente espressione il lavoro, si procede ad integrare: LL = FF ddss = mm ddvv dddd ddss = mm ddvv Poiché esiste una sola componente della velocità, ovvero quella lungo la direzione tangenziale al percorso mistilineo, è possibile omettere la notazione vettoriale e procedere al calcolo dell integrale. Si ottiene, così: vv LL = mm dddd vv = 1 2 mmvv2 1 = 2 mmvv mmvv 2 = KK KK Si definisce, pertanto, energia cinetica la funzione: KK = 1 2 mmvv2 Il teorema sancisce, evidentemente, la sostanziale identità fra energia di un corpo (attitudine a compiere lavoro da parte del corpo stesso) e lavoro compiuto (dal corpo o sul corpo).

3 Il Teorema delle forze vive è applicabile esclusivamente quando si esamini un sistema in cui non agiscano forze dissipative. Questa precisazione è necessaria quanto la distinzione che occorre fare tra forza conservativa e forza non conservativa (o dissipativa). Una forza si dice conservativa se il lavoro da essa compiuto (ovvero l integrale di linea usato per calcolarlo) dipende solo dai punti e, ovvero dipende dall energia in e dall energia in. In altre parole, è equivalente dire che il lavoro compiuto da tale forza su un generico percorso chiuso è pari a 0. Vale, dunque: LL = FF ddss = EE(rr ) EE(rr ) LL = FF ddss = 0 Una forza si dice non conservativa, invece, se il lavoro che compie dipende dal particolare percorso seguito. Dunque, lungo un generico percorso chiuso di estremi e, si verifica che: EE(rr ) EE(rr ) Per cui, essendo dissipativa la forza, il lavoro è resistente. Ovvero: LL = FF ddss < 0 N.B. In generale, ogni forza derivante dalle interazioni fondamentali (ad esempio, la forza elettromagnetica e la forza gravitazionale) è conservativa.

4 La forza gravitazionale FF (rr ) = GG mmmm 2 rr compie un lavoro pari a: rr LL = GG mmmm rr 2 dddd = GGGGGG dddd rr 2 = GG mmmm rr = GG mmmm rr GG mmmm rr Si definisce, pertanto, energia potenziale gravitazionale la funzione: UU(rr) = GG mmmm rr Tale espressione si ottiene assumendo (per convenienza) infinita la distanza (rr ) del corpo da un punto di riferimento arbitrario. Essa, pertanto, rappresenta il lavoro compiuto dalle forze del campo gravitazionale sulla massa mm per portarla dal punto fino a distanza infinita. Di conseguenza, vale dunque: LL = FF GG ddss = UU(rr ) UU(rr ) che rappresenta la formulazione matematica del concetto prima espresso. Orbene, trovandoci in un campo di forze conservative, è possibile scrivere: LL = FF ddss = UU(rr ) UU(rr ) = KK KK da cui, considerando gli ultimi due membri dell equazione, deduciamo quello che prende il nome di Teorema di conservazione dell energia meccanica (dove per energia meccanica si intende la somma dell energia potenziale gravitazionale e dell energia cinetica di un corpo in un punto): KK + UU = KK + UU = EE MM N.B. Vale la pena notare che nella formulazione delle energie potenziale e cinetica è stata azzerata una costante, derivante dal calcolo integrale e dipendente dalle condizioni iniziali del moto. In generale, poiché tali energie sono definite, come si suol dire, a meno di una costante, esse sono grandezze matematiche. La loro differenza (lavoro) è una grandezza fisica poiché non dipende da tale costante, la quale si semplifica.

5 Nel caso in cui, con buona approssimazione, si possa considerare costante la forza di attrazione gravitazionale, ovvero FF = mmgg, l energia potenziale gravitazionale assume una forma più semplice. Infatti si può scrivere: LL = FF ddss = mmgg ddh = mmmmh mmmmh dove h rappresenta la componente di ss sull asse delle quote. Tale espressione viene solitamente utilizzata per studiare fenomeni che avvengono totalmente in prossimità della (o sulla) superficie terrestre. Un applicazione del Teorema di conservazione dell energia. Una semplice applicazione del teorema è quella che consente di calcolare, ad esempio, la velocità di fuga di un corpo (di massa mm), ovvero la minima velocità iniziale che deve essere impressa al corpo stesso affinché esso si allontani indefinitamente da una sorgente gravitazionale di massa MM. La minima velocità che consente ciò ad un corpo è quella che permette al corpo stesso di arrivare a distanza infinita dalla sorgente con velocità nulla, quindi con energia cinetica KK ff = 0 nel punto in cui UU ff = 0. Applicando il teorema, imponiamo: dove KK ii = 1 2 mmvv ii 2 e UU ii = GG mmmm RR. KK ii + UU ii = KK ff + UU ff Dopo aver sostituito nell equazione quanto scritto, ricaviamo esplicitamente: 1 2 mmvv ii 2 GG mmmm RR = 0 vv ii = vv FF = 2GGGG RR In questa espressione, vv FF è proprio la velocità di fuga (minima) ricercata. In generale, per la fuga del corpo dalla sorgente del campo gravitazionale vale la seguente espressione: vv FF 2GGGG RR Qualche dato: per la Terra vv FF = 11,2kkkk/ss; per il Sole vv FF = 617,3kkkk/ss.

6 Affrontiamo, adesso, il problema della probabile presenza di forze non conservative (es. forza di attrito) agenti sul corpo, le quali, per la loro natura dissipativa, fanno sì che non vengano più rispettati il Teorema delle forze vive ed il Teorema di conservazione dell energia meccanica. Ricordando la definizione di forza non conservativa e le proprietà descritte, possiamo riscrivere il Teorema delle forze vive al seguente modo: LL = FF CC + FF DD ddss = 1 2 mmvv mmvv 2 dove FF CC è la risultante delle forze conservative e FF DD la risultante delle forze dissipative. Ancora di conseguenza alla definizione data, è possibile scrivere: LL FFDD = EE EE = FF DD ddss EE = EE + FF DD ddss da cui risulta evidente la non conservatività, poiché LL FFDD 0. Inoltre, è bene ricordare che, essendo LL FFDD < 0, risulta sempre EE < EE. Ciò sottolinea che, in presenza di forze dissipative, l energia meccanica del sistema non si conserva: piuttosto, essa si trasforma parzialmente (talvolta totalmente) in altre forme di energia, ad esempio in energia termica (calore). Vincenzo Ventriglia