Lagrangiane. Fenomenologia delle Interazioni Forti. Diego Bettoni Anno Accademico

Transcript

1 Lgngine Fenomenologi delle Intezioni Foti Diego Bettoni Anno Accdemico 8-9

2 D. Bettoni Fenomenologi Intezioni Foti Notzione Reltivistic ( ) ( ) ( ),, ;,, ;,, ; g g b b b b b tensoe metico somm sugli indici ipetuti podotto scle ( ) ; ; z y x t x t + z y x t

3 Lgngine L T V t S Ldt t Lgngin Azione. Minimizzt dà oigine lle equzioni di Eule-Lgnge Esempio: Elettodinmic E, B A, V J, ρ Cmpi Potenzili Coenti E B V A A t D. Bettoni Fenomenologi Intezioni Foti

4 A F ( V; A) ( A ; A) J A ( ρ; J ) A Qudipotenzile Qudicoente Tensoe del cmpo elettomgnetico F i i i i ij i j j i ijk k A A E ( E B ) V + J A F Ossevimo che F è esplicitmente invinte pe tsfomzioni: F L ρ F A A + + A χ χ L 4 A χ F ε F B temine cinetico J A Lgngin di intezione Dt quest lgngin le equzioni di Eule-Lgnge dnno le equzioni di Mxwell. D. Bettoni Fenomenologi Intezioni Foti 4

5 Lgngine in Fisic delle Pticelle L fisic delle pticelle viene fomult dndo l Lgngin. L Lgngin definisce l teoi. Contiene le pticelle elementi Gli oggetti composti sono stti legti che emegono come soluzioni. Pe l elettodinmic il fotone è qunto del cmpo ed è ppesentto dl potenzile A. L elettone è ppesentto dl cmpo femionico ψ. L intezione è il temine J A. Più pecismente è l pte di enegi potenzile dell Lgngin che definisce l teoi. L lgngin è un singol funzione che detemin l dinmic e deve essee invinte in ogni spzio. D. Bettoni Fenomenologi Intezioni Foti 5

6 Cmpo Rele Scle ( x) Cmpo ele scle. L ( m ) temine di mss temine cinetico Quest lgngin implic che il cmpo soddisfi l equzione d ond: + m Equzione di Klein-Godon E p + m E i p i E p + L definit fino è l densità lgngin. L Lgngin ve e popi è: L L 4 ( x, t) d x D. Bettoni Fenomenologi Intezioni Foti 6

7 Come esempio costuimo k un cmpo nomlizzto un singolo qunto di enegi e impulso. C cos k t soluzione dell equzione d ond se k + m L & & ( ) Hmiltonin ssocit d un lgngin: Enegi Totle: E Hd x ( ( ) ) & + m H + ( ( ) ) & + m L H & L & E + d x D. Bettoni Fenomenologi Intezioni Foti 7

8 D. Bettoni Fenomenologi Intezioni Foti 8 ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) cos sin C m k C x d t k m t k k C E C E h ( ) ( ) [ ] t k i t k i e e +

9 Cezione e Distuzione di Pticelle n k Supponimo k di vee uno stto con n pticelle l tempo t, tutte di enegi e impulso : n k e int Uno stto con un pticell in meno sà descitto d: Opetoe di cezione Opetoe di distuzione [ ( ) ( )] i k t i k t e + e n k e i ( n) t Ogni cmpo quntistico può cee o distuggee pticelle. Pe un deivzione complet bisogn quntizze il cmpo scle, nlogmente ll quntizzzione del cmpo elettomgnetico che pot ll intepetzione del fotone come qunto dell intezione. D. Bettoni Fenomenologi Intezioni Foti 9

10 Sogenti e Coenti in Teoi di Cmpo non Reltivistic Equzione di Schödinge: iψ ρ Ψ v i J m Ψ mi + t ( Ψ Ψ Ψ Ψ ) ρ + J t Ψ i Ce Ψ ( p t ) iψ Moltiplichimo pe l equzione e pe l compless coniugt. Definimo: ottenimo: Pe un pticell libe: C ρ Densità di pobbilità J p ρ m Densità di coente D. Bettoni Fenomenologi Intezioni Foti

11 Cmpo Complesso Scle L ( m ) + ( m ) + i, Consideimo due cmpi scli con l stess mss m. Possimo combine i due cmpi in un unico cmpo complesso : Ottenimo pe l Lgngin: L * m i * * D. Bettoni Fenomenologi Intezioni Foti

12 Ruotimo i due cmpi di un ngolo α: cosα + sinα sinα + cosα + i e iα * e iα * L lgngin non cmbi in seguito quest tsfomzione, pechè dipende soltnto d *. D. Bettoni Fenomenologi Intezioni Foti

13 Consideimo α infinitesimo: + ( iα ) iα δ δ iα * δ iα * δl L δ ( ) + * ( ) Risultto indipendente di dettgli dell tsfomzione δl conseved cuent δ * * L α S S i( ) δl S D. Bettoni Fenomenologi Intezioni Foti

14 * S S se. In un teoi eltivistic se coisponde un pticell con cic elettic e, * coisponde ll ntipticell con cic elettic e ed S si può intepete come un densità di cic e di coente. Si h quindi un equzione di continuità che espime l consevzione dell cic elettic. Quest tttzione si pplic qulsisi tipo di cic, non necessimente elettic. L tsfomzione di fse tttt si chim tsfomzione di guge globle. Se il pmeto α visse con posizione e/o tempo α α(x,t) si vebbe un tsfomzione di guge locle. Quello tttto è un esempio pticole di un popietà genele delle teoie di cmpo quntistiche: ogni invinz dell lgngin sotto un cet tsfomzione coisponde un quntità consevt. ( ) ( ) dq Q t S x d x dt D. Bettoni Fenomenologi Intezioni Foti 4

15 Un esempio fisico del cso tttto è il sistem dei K neuti. K e K sono come e ; K e K sono come e *. L cic consevt è l stnezz. Pe i koni l consevzione dell stnezz viene violt dlle intezioni deboli che convetono K in K e di conseguenz intoducono un piccolo splitting dei livelli, l diffeenz di mss t K e K. In teoi quntistic di cmpo le coezioni ditive possono pote divegenz non null pe S. Tli temini divesi d zeo si chimno nomlie. D. Bettoni Fenomenologi Intezioni Foti 5

16 Intezioni Aggiungimo ll Lgngin un temine di intezione: L ρ x,t int ( ) L equzione di Klein-Godon cquist un temine di sogente: + m ρ Pe studie il sistem consideimo il cso: ρ gδ ( x) Il poblem si isolve utilizzndo le tsfomte di Fouie. ( x) k ( π ) ( + m ) gδ ( x) ik x ~ ~ d ke ( ) ( k ) ( π ) ik x d xe x ( ) D. Bettoni Fenomenologi Intezioni Foti 6

17 ( x) ik x g e d k m ( ) π k + g e 4 π m Yukw identificò con un cmpo mesonico, l cui sogente e il nucleone. In nlogi l cmpo elettomgnetico, medito d fotoni, questo cmpo e medito d pticelle, mesoni ppunto. Se l pticell h mss m il cmpo h un nge ~ /m D. Bettoni Fenomenologi Intezioni Foti 7

18 Intezione t due nucleoni, il secondo descitto d ( ) H d x x ( x) ρ ( ) e 4π x x ( x) d x ρ ( x ) ( x ) gδ ( x ) H D. Bettoni Fenomenologi Intezioni Foti 8 m xx e d xd x ρ( x) ρ( x ) 4π x x Quindi il potenzile si può scivee: V () e 4π k m m ρ m xx In teoi di cmpo quntistic tutte le intezioni sono dovute llo scmbio di qunti. Nello spzio degli impulsi l quntità che ppesent l pticell di mss m scmbit è il popgtoe: ρ x

19 Riepilogo delle Lgngine Cmpo ele scle di mss m ( m ) L + m Cmpo complesso (pseudo)scle di mss m (oppue due cmpi eli di ugule mss), L ( m ) + ( m ) + i i * L * * ( ) m D. Bettoni Fenomenologi Intezioni Foti 9

20 Femione di spin ½ e mss m L ψ ( iγ m)ψ ( iγ m) ψ Equzione di Dic Cmpo vettoile belino di mss m ll lgngin si ggiunge un temine di mss: m B B D. Bettoni Fenomenologi Intezioni Foti

21 Cmpo vettoile non belino Esempi di cmpi vettoili non belini sono i gluoni o il bosone W. Il potenzile vettoe si genelizz l cso non belino ggiungendo un indice inteno : W Pe SU(),, mente pe SU(),,..., 8. Definimo quindi (utilizzndo W come esempio): W W W + dove le f bc sono costnti di stuttu. Quest fom del tensoe del cmpo è invinte pe tsfomzioni di guge. L Lgngin è: L W 4 gf W + m bc W W W b W c D. Bettoni Fenomenologi Intezioni Foti