Richiami di calcolo vettoriale

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1 Appunti di Cmpi elettomgnetici Richimi di clcolo vettoile Intoduzione... Opetoe immginio j... Opetoe diffeenzile nbl... Gdiente... Deivt diezionle... Flusso di un vettoe...4 Divegenz di un vettoe...4 Cicuitzione di un vettoe...5 Rotoe...5 Lplcino...6 Alcune identità di clcolo vettoile...7 Esecizio...8 Teoemi degli integli...9 Teoemi di Geen... 0 Tsfomzioni di coodinte... Coodinte cuvilinee... INTRODUIONE Pe i vettoi è possibile definie lcune delle opezioni vlide nche pe gli scli: in pticole, si definiscono l opezione di somm t vettoi e quell di diffeenz t vettoi, effettubili entmbe si medinte l cosiddett egol del pllelogmm si sommndo o sottendo le componenti omologhe. i definisce inolte l opezione di podotto di uno scle pe un vettoe. Due vettoi possono essee moltiplicti t loo in due modi divesi: l moltipliczione di tipo scle, dett ppunto podotto scle, dà come isultto uno scle; l moltipliczione vettoile, dett ppunto podotto vettoile, dà come isultto un vettoe. In coodinte ctesine, pesi i vettoi A ( A, A, A ) e B ( B, B, B ), che fomno t loo un ceto ngolo θ, bbimo qunto segue: A B = ABcosθ = A B A B A B podotto scle A B = ( ABsinθ) AB = A A A B B B podotto vettoile

2 Appunti di Cmpi Elettomgnetici Pe qunto igud, in pticole, il podotto vettoile, bbimo indicto con AB il vesoe vente come diezione quell dell nomle l pino individuto di vettoi A e B e come veso quello ottenuto con l egol del cvtppi o con l egol dell mno dest (ossi il veso tle che il vettoe A si sovppong l vettoe B descivendo l ngolo minoe). i definisce inolte podotto misto t vettoi ciò che si indic con l seguente scittu: A B C E evidente che, in quest opezione, il pimo dove essee clcolto è il podotto vettoile, seguito poi d quello scle: d ciò si deduce che il isultto di un podotto misto è uno scle. Popio il ftto pe cui le due opezioni debbno succedesi in quest odine consente di non indice lcun pentesi in quell elzione. Un impotnte popietà dell opezione di podotto misto è quell secondo cui ciclndo i te vettoi, il isultto non cmbi: in fomule ciò signific che A B C = C A B = B C A i definisce, infine, doppio podotto vettoile ciò che si indic con l scittu A B C ( ) L pim cos che si ossev, ispetto l podotto misto, è che, in questo cso, è necessio specifice le pentesi: è inftti fcile veifice che, in genele, isult A B C A B C ( ) ( ) Pe concludee, poposito del doppio podotto vettoile è possibile dimoste che sussiste l seguente elzione: A B C = A C B A B C ( ) ( ) ( ) OPERATORE IMMAGINARIO J Un opetoe è semplicemente un entità che viene pplict (ossi ope ) ll funzione che immeditmente lo segue. Un esempio estemmente semplice di opetoe è l opetoe immginio j: esso, pplicto ll quntità fsoe che lo segue, l f semplicemente uote di 90 in nticipo, lscindo il suo modulo invito. Ricodimo, questo poposito, che un vettoe può essee nche un fsoe, nel senso che può nche vee un fse dives d 0 ispetto d un lto vettoe peso come ifeimento (cioè con fse zeo): quest situzione si pesent qundo si h che fe con gndezze che vino nel tempo con ndmento sinusoidle, ossi con un fttoe del tipo e jω t, dove icodimo che ω=πf è l cosiddett pulszione ngole, mente f è l fequenz. Autoe: ndo Petizzelli

3 Richimi di clcolo vettoile OPERATORE DIFFERENIALE NABLA L opetoe nbl, che si indic con ed è peciò detto nche delt ovescito, è un opetoe diffeenzile. Esso gode nche dell popietà di essee un opetoe invinte, nel senso che si ttt di un quntità che, in un punto ssegnto dello spzio, h un unico vloe che NON dipende dl sistem di coodinte cui si f ifeimento. Ad ogni modo, pe nost comodità, è oppotuno definie questo opetoe in coodinte ettngoli ctesine: [ ] [ ] [ ] [ ] = y z In bse quest definizione, pplicndo l opetoe d un cet funzione V, si ottiene come isultto un vettoe le cui componenti sono pi lle ispettive deivte pzili di V ispetto lle componenti del ifeimento consideto. Un cos impotnte è che questo opetoe non è commuttivo, il che signific che v pplicto solo ll quntità che lo segue. e, qulche volt, l opetoe dovesse tovsi in cod d un espessione, tle espessione v oppotunmente intepett e/o modifict se è necessio. GRADIENTE Con ifeimento sempe lle coodinte ctesine, dt un geneic funzione scle ϕ(x,y,z) (qule può essee, d esempio, l funzione potenzile elettico, l tempetu e così vi), si definisce gdiente di tle funzione l somm vettoile delle sue deivte pzili ispetto lle coodinte x,y e z: quindi gdϕ ϕ x ϕ y ϕ,, = ϕ = z ( x y z) Dl punto di vist lgebico, il clcolo del gdiente di un funzione scle è un opezione del tipo moltipliczione di uno scle pe un vettoe. Fccimo osseve che, mente l scittu ϕ è geneic, ossi non specific pe un pticole sistem di ifeimento, il secondo membo di quell elzione ppesent invece specificmente il gdiente dell funzione ϕ in coodinte ctesine. DERIVATA DIREIONALE Ci mettimo sempe in un sistem di coodinte ctesine Oxyz. Consideimo un funzione scle ϕ(x,y,z), l qule sà ppesentt, nel suddetto sistem di ifeimento, medinte un cuv ϕ. Fissimo inolte un diezione l nello spzio ctesino consideto: in queste ipotesi, si definisce deivt di ϕ nell diezione l l espessione dϕ ( x, y, z) ϕ d d x ϕ y dy ϕ l = l z dz Autoe: ndo Petizzelli

4 Appunti di Cmpi Elettomgnetici FLUO DI UN VETTORE upponimo di vee un funzione vettoile qulsisi E E( x y z) =,, e supponimo di vee un elemento di supeficie d vente come nomle positiv l semiett n. i chim llo flusso elemente (si indic con dϕ) dell funzione considet ttveso l supeficie d l quntità dϕ = E nd = E d dove d è il vettoe nd vente pe modulo l'e d dell elemento di supeficie e pe diezione e veso quelli dell nomle oientt n d e dove E è il vloe che l funzione vettoile ssume nel punto in cui si tov d. Pe vee un ide chi di cos si il flusso di un cmpo vettoile pensimo i fluidi: il cmpo vettoile E ppesenteebbe l distibuzione di velocità in un fluido incompimibile, e quindi il flusso definisce il volume di fluido che pss ttveso l supeficie d nell'unità di tempo. Inftti il fttoe (scle) E nd ppesent il volume del pism vente pe bse d e pe ltezz l componente dell velocità nell diezione otogonle d. e l supeficie ttveso l qule voglimo clcole il flusso è finit, è possibile sfutte il pincipio di sovpposizione sommndo tutti i contibuti infinitesimi ttveso gli elementi d di tle supeficie: in tl modo il flusso totle del cmpo E ttveso l supeficie sà dto d ϕ = E nd = Ed cosθ dove θ è l'ngolo che il cmpo E fom con l nomle positiv ll'elemento geneico d consideto. DIVERGENA DI UN VETTORE upponimo di vee un funzione vettoile qulsisi E E( x y z) =,, : consideimo un supeficie chius che cchiude un volume infinitesimo ; indict con n l nomle uscente dl volume, il flusso del vettoe E uscente d bbimo detto che è ϕ = E nd i definisce llo divegenz (o nche convegenz, dto il significto fisico di quest quntità) di E il limite, pe 0, del ppoto t questo flusso ed il vloe di, ossi l quntità dive = E = lim 0 UP E nd Dl punto di vist fisico, l divegenz di un vettoe ppesent il flusso del vettoe stesso, ttveso un supeficie chius, pe unità di volume. Autoe: ndo Petizzelli 4

5 Richimi di clcolo vettoile In coodinte ctesine si h in pticole che E E E dive = dl che si cpisce meglio che l divegenz di un vettoe è un quntità scle. L divegenz del vettoe E si indic nche con il simbolo E che indic il podotto scle t l opetoe ed il vettoe stesso E : si h inftti che [ ] [ ] [ ] E = [ ] = x y z E E E = ( ) ( ) ( ) = = Ex Ey E E E E dive z y CIRCUITAIONE DI UN VETTORE E = E x, y, z e dt un cuv chius C, si definisce Dt l geneic funzione vettoile ( ) cicuitzione di E lungo C l quntità C E dl dove bbimo indicto con il vesoe in ogni punto tngente ll cuv e con dl il geneico elementino di cuv C. ROTORE Consideimo sempe l geneic funzione vettoile E E( x y z) =,, : clcole il otoe o il otzionle di E signific misune l cicolzione nett intono l contono di un elemento infinitesimo di supeficie. In lte pole, il otoe ppesent l pidità dell otzione ngole in pesenz di votici. In temini nlitici, indicto con il vesoe tngente e con dl l elemento di cuv chius C (peimeto), si definisce otoe di E in un punto P il vettoe l cui componente secondo l nomle n ll supeficie che si ppoggi ll cuv C è dt d ote n = lim 0 C E dl In coodinte ctesine, è possibile clcole pidmente il otoe medinte l seguente elzione: 5 Autoe: ndo Petizzelli

6 Appunti di Cmpi Elettomgnetici ote = y z E E E pesso, così come l divegenz di un vettoe E si indic col simbolo E pe indice che si ttt di uno scle, il otoe di E si indic col simbolo E in qunto si ttt di un vettoe: d lt pte, l scittu E indic il podotto vettoile t l opetoe ed il vettoe stesso E e bbimo visto che tle podotto vettoile si può effettivmente clcole come deteminnte dell mtice indict poco f. Pe intuie il significto fisico del otoe, consideimo un fogli tscint d un coente di cqu: se l velocità di tscinmento h solo l componente lungo l diezione y, l fogli segue il coso del flusso senz lcun otzione; tuttvi, se ci sono dei votici, l fogli, olte tsle, uot. Il senso di otzione o l velocità ngole in ogni punto è un misu del otoe dell velocità dell fogli in quel punto. x y v ydy y v v v y x x v v Nell figu, l otzione dell fogli vviene intono ll sse z pependicole l disegno. i not, inolte che, se v > 0, l fogli è spint uote in senso oio, mente se v > 0, l otzione y è indott in senso ntioio. Quindi, il tsso di otzione intono ll sse z è v v y e quest è, pe definizione, l componente del otoe di v nell diezione z. LAPLACIANO Dt un quntità scle ϕ, si definisce lplcino di ϕ l quntità ϕ = ϕ = div( gdϕ) Autoe: ndo Petizzelli 6

7 Richimi di clcolo vettoile E evidente che si ttt di un quntità scle, dto che gdϕ è un vettoe del qule bisogn poi clcole l divegenz (cioè l somm delle deivte pzili). E possibile nche clcole il lplcino di un vettoe: indicto con A un geneico vettoe, il suo lplcino sà evidentemente A. Pe clcole A, possimo fe il discoso seguente: consideimo l quntità vettoile ota = A ; clcolimo il otoe di quest quntità: ot ota ot A A ( ) = ( ) = ( ) Adesso, sppimo che, dti te vettoi geneici, sussiste l uguglinz A B C = A C B A B C : pplicndol nel nosto cso, bbimo che ( ) ( ) ( ) ot ota = A = A A = A A ( ) ( ) ( ) ( ) e d qui icvimo quindi che ( ) A = A A ALCUNE IDENTITÀ DI CALCOLO VETTORIALE Voglimo qui moste lcune elzioni vettoili di notevole utilità ptic. upponimo di vee un geneico vettoe A e di clcolne il otoe ota = A ; questo otoe è su volt un vettoe e possimo clcolci l su divegenz: bbimo che div ota div A A ( ) = ( ) = ( ) Il vettoe ( A ) è, pe definizione di podotto vettoile, otogonle si si d A ; di conseguenz, il podotto scle di tle vettoe con non può che de 0, visto che il podotto scle di due vettoi otogonli è sempe nullo. In definitiv, l pim elzione che bbimo tovto è che div ota ( ) = 0 A Adesso consideimo un geneic quntità scle ϕ: di quest quntità possimo clcole il gdiente gdϕ: in coodint ctesine, sppimo che ϕ gd x ϕ ϕ y ϕ = ϕ = z Questo gdiente è un vettoe, del qule possimo clcole il otzionle: bbimo che 7 Autoe: ndo Petizzelli

8 Appunti di Cmpi Elettomgnetici ( ϕ) ( gdϕ) ot gd L second elzione cui simo pevenuti è dunque = = ϕ = = 0 y z ϕ ϕ ϕ y z ot( gdϕ ) = 0 ϕ Adesso consideimo un geneico vettoe A e un geneico scle ϕ; l quntità ϕ A è su volt un vettoe, del qule possimo peciò clcole si l divegenz si il otoe: bbimo che div A A A A ( ϕ ) = ϕ = ϕ ϕ( ) ( ϕ ) = ϕ = ϕ ϕ( ) ot A A A A dove, chimente, bbimo pplicto l popietà distibutiv del podotto scle e quell distibutiv del podotto vettoile. O consideimo due distinti vettoi A e B e consideimo successivmente il loo podotto vettoile A B ; questo podotto vettoile è nco un vettoe, del qule possimo clcole nco un volt divegenz e otoe: pplicndo sempe le popietà, ispettivmente, del podotto scle e di quello vettoile, bbimo che div A B A B A B B A ot A B A B B A A B A B B A ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) Queste fomule si ottengono pensndo l isultto finle ed ll popietà di deivzione (solit) del podotto di due quntità. Fccimo osseve che tutte le elzioni ppen dimostte non dipendono dl sistem di ifeimento consideto. Esecizio Povimo veifice l elzione ( ) div A B = A B B A con ifeimento lle coodinte ctesine. In pimo luogo, il podotto vettoile A B, in coodinte ctesine, è dto d A B = A A A = A B A B A B A B A B A B = B B B = A B A B A B A B A B A B ( ) ( ) ( ) Autoe: ndo Petizzelli 8

9 Richimi di clcolo vettoile Del vettoe che è venuto fuoi dobbimo clcole l divegenz: ( A B) ( A B) ( A B) div( A B) = = x A B A B = y A B A B z A B A B ( ) ( ) ( ) Possimo nche clcole quelle deivte pzili: div( A B) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x A B x A B y A B y A B z A B = z A B = A x B B = y A A z B B y A A B A z B B A B A A y B B y A A y B B A A questo punto, possimo dispoe in modo più oppotuno i temini che bbimo tovto: in pticole, possimo scivee che div A = ( B) A y B A z B A x B A y B A x B A = z B B x A B z A B x A B y A B x A B x A = = B A = A B B A y z y z A A A B B B TEOREMI DEGLI INTEGRALI Questi teoemi pemettono di psse d elzioni in fom diffeenzile elzioni equivlenti in fom integle e viceves. i dt l geneic funzione vettoile E ; sino inolte un supeficie chius, che cchiude un volume, e n l nomle uscente dl volume. Il flusso di E ttveso è dto, come sppimo, d ϕ = E nd Il teoem di Guss o teoem dell divegenz ffem che quell integle di supeficie può essee tsfomto in un integle di volume e pecismente 9 Autoe: ndo Petizzelli

10 Appunti di Cmpi Elettomgnetici E nd = dived Dt desso un cuv chius C e consideto un suo elemento infinitesimo dl, sppimo che si definisce cicuitzione di E lungo C l quntità C E dl Allo, il teoem di tokes o teoem dell cicolzione ffem che quell integle di line può essee tsfomto in un integle di supeficie e pecismente C E dl = ote nd dove è un qulsisi supeficie che si ppoggi sull line chius C. Teoemi di Geen Consideimo due geneiche quntità scli Ψ e ϕ : di un qulsisi di esse, d esempio Ψ, possimo clcole il gdiente Ψ ; quest quntità Ψ ppesent un vettoe e, se l moltiplichimo pe l lto scle ϕ, ottenimo un nuovo vettoe ϕ( Ψ ). Possimo pplice il teoem dell divegenz questo vettoe: bbimo in tl modo che ϕ nd div ϕ d [ ] ( Ψ ) = ( Ψ) D lt pte, usndo le identità vettoili dimostte in pecedenz, sppimo che pe cui possimo nche scivee che [ ( )] ( ) [ ] div ϕ Ψ = ϕ Ψ = ϕ Ψ ϕ ϕ Ψ nd = ϕ Ψ ϕ d = ϕ Ψ d ϕ Ψd ( ) [ Ψ] ( ) Ψ A questo punto, ipetimo lo stesso identico discoso, m considendo non più il vettoe ϕ( Ψ ), m il vettoe Ψ( ϕ ) : è chio che ottenimo Ψ( ϕ ) nd = ( Ψ ϕ ) d Ψ ϕd Adesso, icodndo che il podotto scle è commuttivo, possimo ffeme che Ψ ϕ = ϕ Ψ : di conseguenz, le due elzioni integli cui simo pevenuti sono Autoe: ndo Petizzelli 0

11 Richimi di clcolo vettoile ϕ Ψ nd = ϕ Ψ d ϕ Ψd ( ) ( ) Ψ( ϕ ) nd = ( ϕ Ψ ) d Ψ ϕd L pim di queste elzioni pende il nome di pim identità di Geen in fom scle e, come visto, non è lto che l conseguenz del teoem dell divegenz pplicto l vettoe ϕ( Ψ ). ottendo membo membo quelle due elzioni e iducendo entmbi i membi d un solo integle, possimo dunque concludee che [ ( Ψ) Ψ( ϕ )] nd = ( Ψ Ψ ) ϕ ϕ ϕ d Quest elzione integle pende il nome di second identità di Geen in fom scle. E chio, sempe in bse l teoem dell divegenz, che l equivlente diffeenzile di quell elzione integle è ϕ Ψ Ψ ϕ = ϕ Ψ Ψ ϕ ( ) ( ) Tonndo ll pim identità di Geen, possimo osseve che pim ne è stt espost l cosiddett fom scle, che si diffeenzi dll fom vettoile, che si ottiene nel modo seguente: consideimo due distinti vettoi A e B; del secondo vettoe clcolimo il otzionle otb = B ; questo otzionle è su volt un vettoe e possimo peciò moltipliclo vettoilmente pe il vettoe A : ottenimo il vettoe A ( B) A questo vettoe possimo nco un volt pplice il teoem dell divegenz: in bse questo teoem, si h che A B nd = div A B d [ ( )] ( ) [ ] D lt pte, in bse lle identità vettoili dimostte in pecedenz, possimo nche scivee che [ ( )] = ( ) ( ) ( ) div A B A B A B pe cui, sostituendo nell elzione pecedente, ottenimo [ ( )] = ( ) ( ) ( ) A B nd A B d A B d Quest è l pim identità di Geen in fom vettoile. In modo del tutto nlogo, si ottiene nche l second identità di Geen in fom vettoile: pe pim cos, dobbimo scmbie i vettoi A e B, in modo d ottenee che [ ( )] = ( ) ( ) ( ) B A nd B A d B A d Autoe: ndo Petizzelli

12 Appunti di Cmpi Elettomgnetici Tenendo conto dell popietà commuttiv del podotto scle (pplict l pimo integle secondo membo), quest equivle nche [ ( )] = ( ) ( ) ( ) B A nd A B d B A d ottendo membo membo quest ultim elzione dll pim identità di Geen (in fom vettoile) e iducendo entmbi i membi d un solo integle, possimo dunque concludee che [ ( ) ( )] = ( ) ( ) [ ] A B B A nd B A A B d e quest è ppunto l second identità di Geen in fom vettoile. TRAFORMAIONI DI COORDINATE Nell soluzione dei poblemi di cmpi elettomgnetici, conviene utilizze di volt in volt il sistem di ifeimento più dtto lle ctteistiche geometiche del poblem in esme. Pe esempio, in stuttue ettngoli conviene use il sistem ctesino, in sistemi simmeti sfeic le coodinte sfeiche, in sistemi simmeti ellittic (come, pe esempio, lcuni tipi di fibe ottiche) le coodinte ellittiche e così vi. E chio, dunque, che conviene tove delle elzioni che consentno di psse d un sistem di ifeimento ll lto in modo più o meno veloce. Consideimo funzioni u, u e u che godno dell popietà di essee continue e diffeenzilibili nelle te vibili x, x e x : possimo peciò ppesente tli funzioni nell fom u = u ( x, x, x ) u = u ( x, x, x ) u = u ( x, x, x ) Queste te funzioni, con queste semplici ipotesi, costituiscono un tsfomzione dlle coodinte ( x, x, x ) lle coodinte ( u, u, u ), ossi consentono di psse dl sistem di ifeimento ( x, x, x ) l sistem di ifeimento ( u, u, u ). Pe definizione, il diffeenzile di ciscun delle funzioni ( u, u, u ) è dto dlle seguenti fomule: du x = k du du Queste te elzioni si possono nche scivee in fom mticile nel modo seguente: = = k= k= k= k k k k k Autoe: ndo Petizzelli

13 Richimi di clcolo vettoile du = T = In quest elzione, T pende il nome di mtice di tsfomzione. Il deteminnte di quest mtice si chim invece Jcobino e si indic, in fom comptt, come J = T = ( u, u, u ) ( x, x, x ) E possibile dimoste che vle l seguente elzione: J = u u u Nel cso in cui lo Jcobino si diveso d zeo, l mtice T può essee invetit e l elzione mticile di pim può essee ust pe icve : - = = T du = du du du Coodinte cuvilinee upponimo di vee un punto P 0 individuto dlle coodinte (x 0, x 0, x 0 ) eltive l sistem di coodinte (x, x, x ). Pe psse l sistem di coodinte (u, u, u ) ci bst pplice le oppotune tsfomzioni descitte nel pgfo pecedente, pe cui le nuove coodinte snno u = u ( x, x, x ) u = u ( x, x, x ) u = u ( x, x, x ) Il punto P 0 isult dunque collocto nell intesezione delle supefici coodinte u =u 0, u =u 0 e u =u 0. Queste supefici si intesecno lungo cuve, che si chimno cuve coodinte: é chio che, lungo un qulsisi di queste cuve, può vie un sol delle te coodinte; pe esempio, lungo l cuv di equzioni u = u0 u = u 0 Autoe: ndo Petizzelli

14 Appunti di Cmpi Elettomgnetici l unic coodint che può vie è u. Fissto un vloe nche pe quest coodint, viene individuto un punto. Le te cuve coodinte si intesecno loo volt in un punto, nel qule possimo peciò costuie un nuovo sistem di ifeimento: in pticole, possimo costuie un sistem di coodinte ettngoli dove i ssi sono individuti di te vesoi e e e,, dietti lungo l tngente lle te cuve coodinte nell diezione delle u i (i=,,) uscenti. Queste u i (i=,,) si chimno coodinte cuvilinee: se esse si intesecno d ngolo etto, costituiscono un sistem di ifeimento cuvilineo otogonle e i te vesoi e e,, e sono ovvimente otogonli t loo. Autoe: ANDRO PETRIELLI e-mil: sndy@iol.it sito pesonle: succusle: Autoe: ndo Petizzelli 4