La regola dei quanti di Sommerfeld ed Epstein di A. Einstein

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1 1 La regola de uant d Sommerfeld ed Esten d A. Ensten (comuncata nella seduta dell 11 maggo) 1. Formulazone recedente. Non sussste ù alcun dubbo che er sstem meccanc erodc con un grado d lbertà la condzone uantca s scrva d d = dt = nh (1) dt (Sommerfeld e Debye). In essa l ntegrale va esteso su un ntero erodo del moto; ndca la coordnata, la corrsondente coordnata d mulso del sstema. Inoltre lavor sulla teora degl settr d Sommerfeld rovano con certezza che n sstem con ù grad d lbertà al osto d uesta condzone uantca sngola devono comarre ù condzon uantche, n generale tante (m) uant sono grad d lbertà che l sstema ossede. Per Sommerfeld ueste m condzon s scrvono mmedatamente d = n h. (2) Pochè uesta formulazone non è ndendente dalla scelta delle coordnate, uò essere valda solo er una determnata scelta delle stesse. Solo uando uesta scelta è comuta e le sono funzon erodche del temo l sstema (2) contene un asserzone determnata sul moto. Un ulterore rogresso d rnco lo dobbamo ancora ad Esten (e Schwarzschld). Il rmo fonda la sua regola er la scelta delle coordnate d Sommerfeld sul teorema d acob, che notoramente s enunca così: Sa ([ ]) la funzone d amlton d, e t, che comare nelle euazon canonche = - (3) = (4) e che - nel caso che non contenga eslctamente l temo t - è 1 Verhandlungen der Deutschen Phys. Gesellschaft 19, 82 (1917). 1

2 2 dentca alla funzone dell energa ; se (t,...,... ) è un 1 m 1 m ntegrale comleto dell euazone dfferenzale alle dervate arzal d amlton-acob + (, ) = 0, (5) t la soluzone delle euazon canonche s scrve =, (6) =. (7) Se non contene eslctamente l temo, cosa che suonamo nel seguto, s uò soddsfare la (5) con l ansatz = *- ht, (8) dove h ndca una costante e * non dende ù eslctamente dal temo. Al osto delle (5), (6) e (7) aaono allora le euazon * (, ) = h (5a) * * h 0 =, = t - t, (6a) * =, (7a) dove erò la rma delle (6a) raresenta solo m-1 euazon; noltre al osto d è comarsa la costante h, al osto d la m m costante -t. 0 Per Esten s devono ora sceglere le coordnate tale che essta un ntegrale comleto della (5a) della forma dove dende da, ma è ndendente dalle restant. Le con *= ( ), n modo (8a) dzon uantche d Sommerfeld (2) devono allora valere er ueste coordnate, nel caso che le sano funzon erodche d t. Accanto al grande successo che ha rortato l estensone d Sommerfeld-Esten della regola uantca a sstem con ù grad 2 d Infatt n uesto caso s ha = + = 0. dt 2

3 d lbertà, rmane tuttava nsoddsfacente che s sa vncolat ad una searazone delle varabl secondo la (8), che d er sè non ha roro nente a che fare con l roblema uantstco. Nel seguto s roorrà una ccola modfca della condzone d Sommerfeld-Esten che evta uesto nconvenente. Esorrò u n breve l dea fondamentale e la svluerò o nel seguto. 2. Formulazone modfcata. Mentre d n sstem con un grado d lbertà è un nvarante, ossa è ndendente dalla scelta della coordnata, sngol rodott d n un sstema con ù grad d lbertà non sono nvarant; ercò la condzone uantca (2) non assume alcun sgnfcato nvarante. Invarante è solo la somma estesa a tutt gl m grad d lbertà d. Per dervare da uesta somma una moltelctà d condzon uantche nvarant s uò rocedere nel modo seguente. S consderno le come funzon delle. Con lnguaggo geometrco, s ossono trattare le come un vettore (d carattere "covarante") nello sazo m-dmensonale delle. Tracco nello sazo delle una curva chusa ualsas, che non ha affatto bsogno d essere una "traettora" del sstema meccanco; allora l ntegrale d lnea esteso alla stessa d (9) è un nvarante. Se le sono funzon ualsas delle, ad ogn curva chusa corrsonde n generale un valore dverso dell ntegrale (9). Ma se l vettore zale *, coè se valgono le relazon ovvero è dervable da un oten - = 0 (10) * =, (10a) l ntegrale (9) ha lo stesso valore er tutte le curve chuse che s ossono trasortare l una sull altra con contnutà. Per tutte le curve che s ossono rdurre ad un unto con una varazone contnua l ntegrale (9) allora s annulla. Ma se lo sazo delle reso n consderazone è a connessone multla esstono 3

4 cammn chus che non s ossono rdurre ad un unto con una varazone contnua; allora * non è una funzone delle ad un sol valore (ma ad valor) e l ntegrale (9) er una curva sffatta sarà n generale dverso da zero. V sarà erò nello sazo delle un numero fnto d lnee chuse, alle ual s ossono rdurre medante varazon contnue tutte le lnee chuse. In uesto senso s uò rescrvere un numero fnto d condzon d = n h (11) come condzon uantche. Secondo me ueste devono comarre al osto delle condzon uantche (2). Abbamo da asettarc che l numero delle euazon (10) che non s rconducono l una all altra sa uguale al numero de grad d lbertà del sstema. Se è ù ccolo, samo davant a un caso d "degenerazone". L dea fondamentale rma delneata (n modo volutamente sommaro) sarà esosta n seguto n modo ù arofondto. 3. Dervazone ntutva dell euazone dfferenzale d amlton-acob. Sa dato un unto P dello sazo delle coordnate con le coordnate Q, e sa data la veloctà corrsondente, coè anche le coordnate d mulso corrsondent P ; allora medante le euazon canonche (3) e (4) l moto è comletamente deter- 3 mnato. Ad ogn unto della traettora L corrsonde una certa veloctà, coè lungo L le sono date n funzone delle. Se s ensa che n ogn unto P su una "suerfce" ad m-1 dmenson dello sazo delle coordnate sano date le Q e le P che gl corrsondono, ad ognuno de unt comete un moto con una traettora L nello sazo delle coordnate. Se le P sulla suerfce sono funzon contnue delle Q, ueste traettore remranno con contnutà lo sazo delle coordnate (o una arte dello stesso). S condurrà er ogn unto ( ) dello sazo delle coordnate una data traettora; a uesto unto verranno und assocate anche coordnate d mulso determnate. Così nello sazo delle coordnate delle vene dato un camo vettorale delle. C roonamo lo scoo d determnare la legge d uesto 3 S assuma che non denda eslctamente dal temo t. 4

5 camo vettorale. Nel sstema d euazon canonche (3) consderamo le come funzon delle ; allora dobbamo sostture rm membr con d dt al osto delle ual secondo la (4) s uò orre anche. Ottenamo und n luogo della (3) + = 0. (12) Questo è un sstema d m euazon dfferenzal lnear che devono soddsfare le n funzone delle. C chedamo ora se essta un camo vettorale tale che er esso essta un otenzale *, coè er l uale sano soddsfatte le condzon (10) e (10a). In uesto caso er la (10) la (12) assume la forma + = 0. Quest euazone afferma che è ndendente dalle. Esstono und cam d otenzale del to cercato, e l cu otenzale * soddsfa l euazone d amlton-acob (5a), e rsettvamente l euazone (5). È così dmostrato che le euazon (3) ossono essere sosttute dalle (7a) e (5a) ovvero (7) e (5). Mostreremo noltre che medante le (6a) ovvero le (6) l sstema d euazon (4) uò essere soddsfatto, anche se cò è rrlevante er l argomento successvo. Se medante ntegrazone delle (5a) s sono esresse graze alle (7a) le n funzone delle, le euazon (4) co sttuscono un sstema d euazon dfferenzal total er la determnazone delle n funzone del temo. Secondo la teora delle euazon dfferenzal del rm ordne uesto sstema d euazon dfferenzal total è euvalente all euazone dfferenzale alle dervate arzal + = 0. (13) t 5

6 Ma uest ultma sarà soddsfatta da = nel caso che sa un ntegrale comleto della (5). Se s one nfatt uesto valore d al rmo membro della (13) s ottene, tenendo conto della (7) ovvero t, +, t uanttà che secondo le (5) s annullano. Da u segue che le euazon (4) vengono ntegrate medante le (6) ovvero (6a). 4. Il camo d una traettora sngola. Venamo ora ad un unto assa mortante, sul uale ho volutamente tacuto nello schzzo rovvsoro dell dea fondamentale nel 2. Secondo le consderazon del 3 abbamo ensato l camo generato da m-1 mot tra loro ndendent, d moltelctà, che sarebbero raresentat nello sazo medante altrettante traettore. Ma ensamo ora d aver seguto er un temo nfntamente lungo l moto merturbato d un sstema sngolo e d aver traccato la corrsondente traettora nello sazo delle. Possono verf cars n roosto due cas: 1. Esste una arte dello sazo tale che la traettora col assar del temo s avvcn arbtraramente a ogn unto d uesta arte dello sazo (m-dmensonale). 2. La traettora s uò collocare nteramente n un contnuo con meno d m dmenson. A uesto aartene come caso artcolare l moto su un cammno esattamente chuso. Il caso 1 è l ù generale; cas 2 rsultano dal caso 1 er secalzzazone. Come esemo d 1 ensamo al moto d un unto materale sotto l azone d una forza centrale, descrtto medante due coordnate, che fssano la oszone del unto nel ano della traettora (er esemo le coordnate olar r e ). Il caso 2 s verfca er esemo uando la legge d attrazone è 6

7 2 esattamente roorzonale a 1/r, e uando le devazon dal moto d Kelero rcheste dalla teora della relatvtà sano trascurabl; l cammno è allora chuso, suo unt costtuscono un contnuo con solo una dmensone. Consderato nello sazo trdmensonale l moto centrale è semre un moto d to 2, ochè la traettora uò essere collocata nteramente n un contnuo a due dmenson; nella trattazone trdmensonale l moto centrale s deve vedere come caso artcolare d un moto che è defnto medante una legge d forza comlcata (er esemo l moto studato da Esten nella teora dell effetto Star). La trattazone seguente s rfersce al caso generale 1. S consder un elemento d dello sazo. La traettora del ro cesso d moto n uestone l attraversa nfnte volte. Ad ogn attraversamento sffatto corrsonde un sstema ( ) d coordnate d mulso. Sono ossbl a ror due t d cammno, che evdentemente dfferscono n modo fondamentale. To a): sstem s retono, scchè a d aartene solo un numero fnto d sstem. Allora er l rocesso d moto n esame le s ossono raresentare come funzon delle a uno o a ù valor. To b): nella oszone consderata s hanno nfnt sstem. In uesto caso non s ossono raresentare le come funzon delle. S osserva mmedatamente che l to b) esclude la condzone uantca (11) formulata nel 2. D altra arte la meccanca statstca classca s rfersce essenzalmente solo al to b); nfatt solo n uesto caso l nseme mcrocanonco è euvalente 4 all nseme temorale che s rfersce ad un sstema. Rassumendo ossamo dre: l uso della condzone uantca (11) rchede che esstano cammn tal che l cammno sngolo determn un camo er l uale essta un otenzale *. 5. Lo "sazo delle coordnate razonale". È gà stato osservato che le sono n generale funzon a ù valor delle 4 Nell nseme mcrocanonco sono resent sstem che er dat osseggono dat n modo arbtraro (comatblmente col valore dell energa). 7

8 . Consderamo d nuovo come esemo semlce l moto orbtale ano d un unto sotto l azone attrattva d un centro fsso. Il unto s muove n modo tale che la sua dstanza r dal centro d attrazone oscll erodcamente tra un valore mnmo r ed un 1 valore massmo r. Se s consdera un unto dello sazo delle, 2 coè un unto della suerfce anulare lmtata da ragg r e r, col assar del temo l orbta verrà arbtraramente vcno ad esso nfnte volte, ovvero - esrmendos n modo un o nesatto - v asserà. Ma a seconda che l assaggo avvenga su una arte dell orbta con r crescent oure su una arte con r decrescent la comonente radale della veloctà ha segn dvers; le funzon a due valor delle. sono La scomodtà nella raresentazone a cò legata s evta nel modo mglore col noto metodo ntrodotto da Remann nella teora delle funzon. Pensamo la suerfce dell anello crcolare sdoata, d modo che s sovraongano due facce congruent, a forma d anello crcolare. Pensamo dsegnate sull anello suerore le art dell orbta con dr/dt ostvo, su uello nferore uelle con dr/dt negatvo, asseme al sstema d vettor delle corrsondente. Immagnamoc le due facce unte tra loro lungo le due lnee crcolar, d modo che l orbta deve semre assare da una facca all altra uando tocca uno de due cerch lmte. Lungo uest cerch le delle due facce concdono, come s vede faclmente. Intese su uesta suerfce doa le delle loro mortanza. sono funzon non solo contnue, ma anche ad un sol valore; u sta la Su uesta suerfce doa esstono evdentemente due t d curve chuse, che er varazone contnua o s rducono ad un unto, o s rortano l una sull altra. La sottostante Fg. 1 mostra un esemo er cascuno de due t d ueste (L ed L ); le art d una lnea che stanno sulla facca nferore sono tratteggate. Tutte le altre curve chuse s ossono, medante varazone contnua sulla suerfce doa, o rdurre ad un unto, o rortare n uno o ù gr del to L ed L. La regola uantca (11) dovrebbe alcars u a due t d lnee L ed L. È charo che ueste consderazon s generalzzano a tutt mot che soddsfano la condzone del 4. S deve semre ensare lo sazo delle fas suddvso n un certo numero d "al" che s 8

9 raccordano lungo "suerfc" ad m-1 dmenson n modo che, ntese su fgure così costtute, le sano funzon a un sol valore e contnue (anche al assaggo da un ala all altra); ndcheremo uesta costruzone geometrca auslara come "sazo delle fas razonale" La regola uantca (11) s deve rferre a tutte le lnee che sano chuse nello sazo delle coordnate razonale. Perchè n uesta nterretazone le regole uantche assumano un sgnfcato esatto l ntegrale d, esteso a tutte le curve chuse dello sazo delle razonale che ossono essere ortate l una sull altra con contnutà, deve avere lo stesso valore. La dmostrazone s dà nteramente nel modo consueto. Sano (ved lo schema della Fg. 2) L ed L delle curve chuse nello sazo razonale delle che ossono esser ortare a concdere con contnutà rsettando l senso d crcolazone segnato. Allora l traccato dato nella fgura è una curva chusa che uò essere rdotta ad un unto con contnutà. Da u segue secondo la (10) che l ntegrale esteso al traccato è nullo. S consder noltre che gl ntegral estes alle lnee d rac- cordo A A e B B nfntamente vcne sono tra loro ugual erchè le nello sazo delle razonale sono ad un sol valore; ne rsulta l uguaglanza degl ntegral estes ad L ed L. Il otenzale * è ad nfnt valor anche nello sazo delle razonale; ma secondo le regole uantche uesta molte lctà è la ù semlce mmagnable. Se nfatt * è l valore del otenzale che corrsonde ad un unto dello sazo delle razonale, altrettanto lo sono gl altr valor *+ nh, dove n è un numero ntero. Aggunta alla correzone. Ulteror rflesson hanno mostrato che la seconda delle condzon date nel 4 er l alcabltà della formula (11) dev essere semre soddsfatta automatcamente, coè vale la legge: se un moto roduce un camo, uesto ossede necessaramente un otenzale *. Per la legge d acob ogn moto d un sstema uò essere dervato da un ntegrale comleto * della (5a). Esste und n ogn caso almeno una funzone * delle calcolare n base alle euazon * = dalla uale s ossono 9

10 le coordnate dell mulso del moto d un sstema reso n con sderazone er ogn unto della sua traettora. Dobbamo rcordarc ora che * s ottene er mezzo d un euazone dfferenzale alle dervate arzal, coè secondo una rescrzone su come s deve contnuare la funzone * nello sazo delle. Se voglamo und saere come * vara er un sstema nel corso del moto d uesto, dobbamo ensare d contnuare * lungo la traettora (comreso l suo ntorno) secondo l euazone dfferenzale. Se ora l cammno ad un certo temo (assa grande) rtorna con grande arossmazone ad un unto P dal uale la traettora era gà assata n recedenza, */ c dà le coordnate d mulso er entramb tem, se abbamo contnuato ad ntegrare * lungo l ntero tratto ntermedo della traettora. Che con uesta contnuazone s rtorn a valor recedent d */ non c è da asettarselo affatto; c è uttosto da asettars n generale che, tutte le volte che nel corso del moto s raggunga d nuovo arossmatvamente la confgurazone consderata delle coordnate, aaa un sstema delle totalmente dverso, d modo che er un moto roseguto all nfnto sa n generale mossble raresentare le n funzone delle. Ma uando le - rsettvamente un numero fnto d sstem d valor d ueste grandezze - s retono al reters della confgurazone delle coordnate, le */ sono raresentabl come funzon delle er l moto roseguto all nfnto. Se und esste er l moto roseguto all nfnto un camo, esste anche semre un otenzale corrsondente *. Percò ossamo affermare uanto segue: se esstono m ntegral delle 2m euazon del moto della forma R (, ) = cost., (14) dove le R sono funzon algebrche delle, allora d è semre un dfferenzale esatto, se s ensano le esresse medante le graze alla (14). La condzone uantca afferma che l ntegrale d esteso ad una curva rrducble deve essere un multlo d h. Questa condzone uantca concde con uella d Sommerfeld-Esten se n artcolare ogn dende solo dalla corrsondente. Se esstono meno d m ntegral del to (14), come er esemo succede secondo Poncaré nel roblema de tre cor, le 10

11 non sono esrmbl medante le, e la condzone uantca d Sommerfeld-Esten fallsce anche nella forma ù estesa u data. 11