Problemi di massimo e di minimo. = e se ne determinino i punti per i

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1 Problemi di massimo e di minimo 01) Si studi il grafico della funzione + 1 = e se ne determinino i punti per i 1 quali la distanza dal punto A ( 0;1 ) assume valore minimo. 0) Assegnata la funzione = sin + a cos + b ( π π ), si determinino i valori di a π e b in modo che ammetta un massimo relativo = 0 nel punto = e si disegni la curva γ rappresentativa della funzione ottenuta. Si scriva l equazione della retta tangente alla curva γ nel punto = 0 di ascissa. [ a =, b =, = + ] 0) Si conduca internamente ad un angolo retto AOB ˆ una semiretta OC che forma con OA un angolo A OC ˆ = ; presi rispettivamente su OA ed OB due punti M ed N tali che OM = 1, ON =, siano M ed N le rispettive proiezioni ortogonali di M ed N su OC. Detto P il punto medio di M N, si determini in modo che risulti massima l area del π triangolo NOP. [ = ] 6 04) Data, in un sistema di assi coordinati cartesiani, la parabola di equazione = + + 1, si scriva l equazione della retta che, nella ragione finita di piano limitata dalla stessa parabola e dagli assi cartesiani, sia tangente alla curva e formi con gli assi stessi il triangolo di area massima. [ 4 8 = + ] 9 Problemi di massimo e di minimo Pagina 41

2 05) Dato in una circonferenza di raggio r l'angolo al centro AOB =, si costruisca sulla corda AB, da parte opposta rispetto al centro O, il triangolo isoscele ABC avente per base AB e per altezza CH determini il valore dell'angolo AOB = k AB. Si = per il quale il quadrilatero OACB ha area massima. Si calcoli poi il valore di k per cui l'ampiezza dell'angolo AOB del quadrilatero ottenuto è di ) In una circonferenza di centro O e raggio unitario si conduca la corda AB tale che, costruito il triangolo equilatero ABC da parte opposta do O rispetto ad AB, l'area del quadrilatero ACBO risulti massima. Si esprimano i valori che assumono la lunghezza della corda AB e l'ampiezza dell'angolo AOB =. C AOB = AOC = BOC = H A B 1 1 O 07) Assegnato un riferimento cartesiano ortogonale O, si consideri la circonferenza di equazione + = 1. Detto AB l ' arco di essa contenuto nel primo quadrante, si determini su tale arco un punto P tale che, indicati con Q il punto di intersezione della retta tangente alla circonferenza per P con l ' asse delle ascisse e con S quelli di intersezione della retta OP con la retta di equazione =, l 'area del triangolo QPS risulti minima. Problemi di massimo e di minimo Pagina 4

3 08) In una semicirconferenza di diametro AB = r, si conduca una corda AC tale che l'angolo CAD =. C D Detto D il punto medio dell'arco BC, si determini in modo che l'area del quadrilatero ACDB risulti A B massima. 09) In un sistema di assi coordinati cartesiani si considerino le parabole rappresentate dalle equazioni : = a + e = a + e si determini il valore del parametro reale a in modo che risulti minima la distanza tra i due vertici. [ a = 1 ] 1 10) Fra le parabole del tipo = + c 4 ( con c > 0 ) si determini quella per la quale i punti P di essa che hanno minima distanza dall'origine O degli assi cartesiani sono tali che OP = 1. Tracciate le tangenti alla parabola nei punti P 1 e P cosi determinati, si calcoli l'area S ed il perimetro del triangolo P 1 P T, dove T è il punto d'incontro delle tangenti. c = P1 ( ;), ( ; 1 ) [ 4 P ] Problemi di massimo e di minimo Pagina 4

4 11) Data una circonferenza di diametro AB = r, si determinino su di essa i punti tali che, condotti i segmenti perpendicolari rispettivamente al diametro ed alla tangente alla circonferenza in A, i rettangoli che si ottengono abbiano area massima. [ ϑ = 0, = r ] 1) In un settore circolare di raggio r e di B ampiezza AÔB π =, si inscriva un rettangolo CDEF 6 avente il lato EF sul raggio AO, il vertice C sull'arco AB e l'altro vertice D sul raggio OB. Si determini O π 6 D E d C A F tra tali rettangoli quello per il quale è minima la 7 diagonale EC. [ tg = ] D 1) In una circonferenza di raggio r si consideri la corda AB che dista r dal centro. Si prenda sul E C maggiore degli archi AB il punto C, si prolunghi AC di un segmento CD tale che CD = AC e si A H O r K Q B determini per quale posizione di C è massima l'area del triangolo CDB. [ = 60 ] 14) Dato il triangolo rettangolo isoscele ABC, con BAC = 90, AB = a, si conduca per il vertice C la retta non secante il triangolo tale che risulti massima la somma delle perpendicolari AM e BN condotte su di essa. [ tg = ] Problemi di massimo e di minimo Pagina 44

5 15) Si consideri la parabola di equazione =. Si scriva l'equazione della curva ad essa simmetrica rispetto alla retta di equazione = e si determini,nella regione finita di piano delimitata dalle due curve,il segmento di lunghezza massima perpendicolare all'asse di simmetria. [ P ( 1; ), ( ;1) P ] 16) Data una circonferenza di diametro AB = r, A si determini a quale distanza dal centro deve essere condotta la corda CD perpendicolare ad AB in modo ϑ ϑ che la differenza tra il triangolo ACD, contenente il centro, ed il triangolo BCD abbia valore massimo. [ π ϑ = 8 = r ] C r O H D B 17) Per il vertice A di un triangolo isoscele ABC di lato AB = a e di base BC = a, si conduca la retta non secante il triangolo tale che, condotte su di essa dai vertici B e C rispettivamente le perpendicolari BD e CE, risulti massimo il perimetro del quadrilatero BCED. [ = 0 ] D r E A a a B H C a a Problemi di massimo e di minimo Pagina 45

6 18) Data la parabola = 4 e la retta = k ( con k 0 ) che intercetta sulla parabola i due A = k B punti A e B. Per quale valore di k la superficie del triangolo OAB ( ove O è l'origine degli assi cartesiani ) è massima? [ 8 k = ] O 19) In un piano cartesiano ortogonale O si consideri nel primo quadrante la circonferenza di raggio unitario tangente ai due assi coordinati. Detta r una retta passante per l'origine e secante la circonferenza nei punti A e B, si calcoli l'area del triangolo ABC, essendo C il centro della circonferenza. Individuare le due rette in corrispondenza delel quali π 5 detta area assume valore massimo. [ ϑ =, ϑ = π ] 1 1 0) Data una semicirconferenza di centro O e diametro AB = si tracci la tangente t a detta semicirconferenza nel punto A. Preso un punto P sulla semicirconferenza si tracci la perpendicolare PH alla retta t. Dimostrare che la semiretta PA è bisettrice dell angolo HPO ˆ. Posto PH = esprimere in funzione di l area del quadrilatero AOPH. Determinare per quale valore di l area = f ( ) è massima. [ 1+ = ] Problemi di massimo e di minimo Pagina 46

7 1) Considerare i coni circolari retti in cui è uguale ad una lunghezza assegnata la somma del doppio dell altezza col diametro della base. Fra tali coni determinare quello di volume massimo e stabilire se ha anche la massima area laterale. Nel cono di volume massimo inscrivere poi il cilindro circolare retto avente la base sul piano di base del cono e volume massimo. ) Fra le piramidi rette a base quadrata aventi la stessa superficie laterale si determini quella di volume massimo. ) Nel parallelepipedo rettangolo di vertici A,B,C,D,E,F,G,H le facce ABCD ed EFGH sono opposte ed i segmenti AE, BF, CG sono spigoli. Inoltre AB =, AD = 4, AE = a,essendo a una lunghezza nota ed una lunghezza incognita. Chiamato P il piede della perpendicolare condotta da A alla retta FH, considerare il poliedro Σ avente come vertici i punti A,B,F,E,P. Calcolare il valore di che rende massimo il volume di Σ, il valore di a per il quale questo volume massimo è uguale a della superficie del solido Σ di volume massimo. 18 cm e, infine, per tale valore di a, l area 75 Problemi di massimo e di minimo Pagina 47

8 Studiare e disegnare il grafico delle seguenti funzioni razionali 01) = pag. 45 0) = N ; 5, F ; 5 0) 04) = N ( ; ), F ( 1; ) = 4 ( ) ( + ) N ( 4; ), F ( 5; ) 05) = ( + ) 1 5 N ;, F ( ; ) 06) = M ( 6;), N ( ;5) 07) = M ( 8;), N ( 5;5) 08) = M ( ;), N ( 0;5) 09) = + 7 M ( 5;4), N ( ;7) 10) = M ( ;), N ( 1;5) 11) = M ( 5;), N ( ;6) 1) = M ( 5;), N ( ;5) 1) = M ( ;0), N ( 1;) 14) = M ( 1;), N ( ;5) 15) = M ( 7;), N ( 4;6) 16) = M ( 7;5), N ( 4;8) Grafico di una funzione f() Pagina 48

9 17) = M ( 6;), N ( ;5) 18) = ( ) = 1 + ( + 1) ( ) = ( ) ( + 1) 19) = ( ) = ( ) ( + ) ( ) = ( ) ( + 1) 5 1) = ) = ) = ) = 4 5) = ) = ) = ) = Studiare e disegnare il grafico delle seguenti funzioni irrazionali 8) = ) = ) = ) = ) = ) = 1 4 4) = 4 5) = 6) = 7) ( 4 ) = 8) = 8 9) = ) = 1 41) = 1 4) = Studiare e disegnare il grafico delle seguenti funzioni logaritmiche 4) ln = 44) ln = 45) 1 + ln = 46) 1 + ln = ln 47) = ln 48) = ln 49) ( ln ) 1 = 50) ln = 51) = ( 1+ ln ) Grafico di una funzione f() Pagina 49

10 Studiare e disegnare il grafico delle seguenti funzioni esponenziali 5) = 5) e = e 54) = e 55) 1 = e 56) 1 e = 57) 1 + e = e Studiare e disegnare il grafico delle seguenti funzioni goniometriche 58) = sin + cos 1 59) = sin cos 60) = sin + 1 sin 1 61) = cos cos π 7 π 6) cos = sin π 6) = 4sin sin 64) sin ( 1 sin ) = 65) = sin cos 1 sin 66) = cos 67) 1+ cos = 78) cos 1+ sin = 79) cos 1+ sin = sin Verso l ESAME DI STATO 01) Studiare e disegnare il grafico γ della funzione + 1 = e determinare i 1 punti P per i quali la distanza dal punto A ( 0;1) assume valore minimo. 0) Si studi la funzione = e se ne disegni il grafico γ. Presi sulla curva γ i 1 punti A e B rispettivamente di ascissa e quali la tangente è parallela alla retta AB. 0) Si determinino i coefficienti dell equazione = a + b + c, si determinino i punti dell arco AB per i in modo che la parabola da essa rappresentata sia tangente alle tre rette rispettivamente di equazioni : + =, 4 = 1 e = 0. Detti A, B, C i rispettivi punti di contatto, si determini sull arco ABC il punto P tale che risulti massima l area del triangolo APB. Grafico di una funzione f() Pagina 50

11 04) Si consideri la curva γ di equazione ( ) = e siano A, B, C i suoi punti d intersezione con la retta di equazione =, Se A, B, C sono gli ulteriori punti comuni alla curva γ ed alle rette tangenti ad essa condotte rispettivamente per A, B, C, verificare che i punti A, B, C sono allineati. a + b 05) Sia data la curva σ di equazione =. Determinare i coefficienti a, b sapendo che σ ha un flesso nel punto F di ascissa = 1 e che la tangente inflessionale è parallela alla retta di equazione + 6 = 0. Si studi la funzione così ottenuta e se ne disegni il grafico σ. Si determinino i coefficienti dell equazione = a + b in modo che la parabola γ da essa rappresentata passi per il flesso F e per l ulteriore punto d intersezione B della curva σ con la tangente inflessionale. Si individuino le coordinate del punto P dell arco di parabola dalla tangente inflessionale. FB avente distanza massima Scrivere l equazione della circonferenza δ avente il centro C sull asse della parabola γ e tangente a γ in F ) Si studi la funzione = e ne disegni il grafico γ. 1 Si scriva l equazione della circonferenza σ tangente ai tre rami della curva γ e si calcolino il perimetro e l area del triangolo individuato dai tre punti di contatto. 07) Tra le parabole di equazione 1 = + si individui quella sulla quale la retta di k equazione = + intercetta una corda AB di lunghezza 5 5. Condotte in A e in B le retta tangenti alla parabola trovata, si calcoli l area del triangolo individuato dalle due tangenti e dalla retta AB. Verso l'esame di STATO Pagina 51

12 08) Si studi la funzione = sin + cos nell ' intervallo limitato e chiuso [ 0π, ] e se ne disegni il grafico γ. 09) Si determinino i coefficienti dell equazione = a + b + c parabola da essa rappresentata sia tangente alle rette di equazione ( a > 0 ) in modo che la 1 = ed = ed abbia la corda congiungente i punti di contatto di lunghezza 5. 10) Si studi la funzione a = 1 e se ne disegni il grafico. Si determinino le intersezioni della curva da essa rappresentata con la circonferenza + = a e si trovi il valore di a per cui dette intersezioni sono vertici di un esagono regolare. π π 11) Si studi la funzione = sin + + cos e se ne disegni il grafico γ. 6 Utilizzando il grafico γ, si studi la funzione precedentemente. f ( ) = e, dove ( ) 1) Si determinino i coefficienti dell equazione = a + b + c + d f è la funzione la curva γ da essa rappresentata abbia due estremi relativi nei punti A ( 1;1 ) e ( 1; 1) in modo che B. Se ne disegni il grafico γ. Si scriva l equazione della parabola, con l asse parallelo all asse delle ordinate, passante per il punto A e per i punti in cui la curva incontra il semiasse positivo delle ascisse. 1) Si studi la funzione = asin +cos e se ne disegni il grafico γ dopo avere determinato a in modo che la curva γ abbia un flesso nel punto di ascissa = 7 6 π. Verso l'esame di STATO Pagina 5

13 14) Si disegni il grafico della funzione = + + a attribuendo ad a un valore particolare a scelta del candidato. Si dica come deve essere scelto a perchè la curva rappresentativa incontri l'asse delle ascisse in uno, due o tre punti. 15) Data una circonferenza di raggio unitario, si scrivano,in un sistema di assi coordinati opportunamente scelto, le equazioni delle cubiche ad essa bitangenti e passanti per il centro e per gli estremi di un diametro della circonferenza stessa. Se ne disegnino i grafici. 16) In un sistema di assi cartesiani ortogonali si scriva l'equazione della retta r' simmetrica, rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, di una generica retta r di equazione = m. Si individui la coppia di rette r ed r' tali che il triangolo isoscele formato da esse e da una perpendicolare alla bisettrice considerata abbia altezza uguale alla base. 16) In un piano cartesiano ortogonale si considerino la circonferenza σ col centro nell'origine degli assi cartesiani e raggio r e le parabole aventi per asse di simmetria l'asse delle ordinate e tangenti alla circonferenza σ ciascuna in due punti la cui retta congiungente abbia dal centro distanza uguale alla metà del raggio. 17) In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali O sono assegnati i punti A( 40, ) e B( 0), e la retta r passante per il punto B ed avente coefficiente angolare 4. Si scrivano le equazioni delle due circonferenze tangenti in A all ' asse delle ascisse e tangenti alla retta r. Indicati con C e C' i centri delle due circonferenze e con D e D' i rispettivi punti di contatto di queste con la retta r, si determinino l'area S ed il perimetro del quadrilatero CDD'C'. Si dimostri che i triangoli DAD' e CDC' sono simili e se ne dica il rapporto di similitudine. Verso l'esame di STATO Pagina 5

14 18) Si considerino due circonferenze di centri A ed A e, rispettivamente, di raggi 9 e 1, tangenti esternamente nel punto O. Sia r la tangente comune in O ed s una retta tangente ad entrambe le circonferenze rispettivamente nei punti B e B. Detto C il punto d intersezione delle rette r ed s, si dimostri che i triangoli ACA e BOB sono rettangoli e si calcoli il rapporto delle loro aree. 4 + a + b 0) Sono assegnate le funzioni in dove a, b sono parametri reali. + 1 a) Fra tali funzioni indicare con f ( ) quella per cui la curva γ di equazione f ( ) =, disegnata in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali ( O ), soddisfi alle seguenti condizioni : la retta di equazione = 1 tagli γ in due punti e sia tangente ad essa in un punto ; l asse sia tangente a γ in due punti distinti. b) Disegnare l andamento di γ Verso l'esame di STATO Pagina 54

15 1) Data l equazione = a + b + c rappresentata in un sistema di assi cartesiani da parabole con l asse parallelo all asse delle, determinare in funzione del coefficiente a i A 1;1 e coefficienti b, c che individuano la famiglia γ delle parabole passanti per i punti ( ) B ( ;0). Determinare e rappresentare nel piano cartesiano il luogo dei vertici delle parabole della famiglia celle parabole della famiglia γ. Questionario D 01) Verificare che risulta 1 cos 1 + sin = sin cos D 0) Calcolare il seguente limite : Lim e 0+ 1 D 0) Della funzione ( ) ( ) ( ) f = = individuare il punto dove essa è continua ma non derivabile specificandone la natura. D 05) Per la funzione f ( ) valgono le relazioni f ( α ) > 0, f ( α) > 0, f ( α) > 0 [1] con α R. Dire se le relazioni [1] sono condizioni sufficienti per la determinazione del grafico di f in un opportuno intorno del punto α. D 07) Calcolare D 10 ) [ f ( ) ] Lim 0 sin f ( 0) = 0, f ( 0) = 4 sapendo che f ( ) è derivabile quanto occorre e che risulta Utilizzando il teorema di De L Hopital determinare, se esistono, valori del e 1 parametro k che verificano l uguaglianza Lim 1 0 = k D 11 ) Dimostrare che tra tutti i rombi circoscritti ad una circonferenza di raggio r il quadrato è quello che ha area minima. D 1 ) Dire se la funzione f ( ) + 4 =, nell intervallo [ 0,5], verifica le ipotesi del teorema di Lagrange ed, in caso affermativo, trovare i punti di Lagrange. Illustra il significato geometrico di punto di Lagrange. Questionario Pagina 55

16 D 16 ) Determinare i valori degli angoli acuti formati dalle curve γ e σ nei punti in cui si incontrano : γ : = σ : 1 = α = β = 45 1 D 9 ) Si calcoli la somma all infinito S = per n N tendente 1 n ( n + 1) D ) Sia data la curva γ di equazione = a cos + b cos + c. Calcolare il valore dei parametri a, b, c sapendo che la curva γ passa per i punti nel punto di ascissa = π, un punto di flesso. π, P, (,4) Q π e presenta, D 4 ) Si consideri la funzione f ( ) = k + h se se 1 > 1. Determinare i valori di h e k in corrispondenza dei quali la funzione proposta è derivabile. Calcolare l equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa = 1. sin arctg D 47 ) Calcolare il seguente limite : Lim 0 D 57 ) Dimostrare che la funzione f : [ 1,1] f ( ) = arctg inversa f ( ).Dimostrare che la funzione f ( ) è dotata di funzione è derivabile in ogni punto del suo dominio. 1 Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione f ( ) P ; f. D 59 ) Si consideri il fascio di rette di equazione ( + 1 ) + + h 4 = 0 nel punto h e centro C. Determinare i valori del parametro h in corrispondenza dei quali le rette del fascio intersecano il segmento AB sapendo che A ( ;0), ( 0;) D 60 ) B. Scrivere le equazioni delle rette tangenti alla curva γ di equazione = ln ( 1 ln ) uscenti dal punto ( 0;1 ) maggiore di. A sapendo che i punti di tangenza hanno ascissa D 61 ) Sono assegnate le funzioni f ( ) e g ( ) derivabili in R tali che : ( 1 ) = () 1 = f e per 0 è : [ ( ) ] [ g( ) ] + 9 = 0 f. Determinare () 1 g e () 1 g. f ; Questionario Pagina 56

17 D 67 ) Determinare l equazione cartesiana del luogo geometrico descritto dai fuochi del fascio di parabole di equazione = λ + ( 1 + λ ) D 81) Dimostrare che P () 1 = 0, P ( 1 ) = 0, P ( 1 ) = 0 sono condizioni necessarie e sufficienti perché il polinomio di quinto grado a coefficienti reali 5 4 ( ) = a + b + c + d + e f P + abbia tre zeri uguali ad 1. Questionario Pagina 57