Appunti di Elettrotecnica

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1 Appunti di Elettrotecnica Giacomo Furia Giugno 17 Sommario Appunti e formule utili per la prova scritta e orale di Elettrotecnica, corso di Ingegneria Informatica tenuto dal prof. Musolino A.A. 16/17 Indice 1 Principi fondamentali Ipotesi principale Problema fondamentale delle reti elettriche Corrente elettrica Tensione Bipoli elettrici Riferimenti associati Riferimenti non associati Caratteristiche dei bipoli elettrici Primo principio di Kirchhoff Secondo principio di Kirchhoff Circuiti resistivi 5.1 Resistore lineare Resistenza Conduttanza Generatore ideale di tensione Generatore ideale di corrente Generatori pilotati Principio di sostituzione Principio di sovrapposizione degli effetti Teorema di Thevenin Teorema di Norton Elementi di teoria dei grafi

2 3 Regime Sinusoidale Resistore in regime sinusoidale Condensatore Induttore Induttori mutuamente accoppiati Impedenza e Ammettenza Valore Efficace Potenza (in regime sinusoidale) Trasformata di Laplace Proprietà della trasformata di Laplace Antitrasformare la risposta di un circuito Reti due porte Parametri Z Parametri Y Parametri h Parametri T Teorema di Thevenin e Norton generalizzato 9 7 Sistemi trifase 3 8 Circuiti Magnetici Introduzione Materiali ferromagnetici Circuito magnetico Costruzione circuito magnetico Legge di Hopkinson Trasformatore Trasformatore ideale Funzionamento trasformatore ideale Potenza trasformatore ideale Circuito equivalente trasformatore ideale Come viene vista l impedenza Z dal primario? Trasformatore reale Definizione Circuito equivalente Trasformatore Trifase Gruppo del trasaformatore Calcolo dei parametri

3 1 Conversione elettromeccanica dell energia Campo Magnetico Rotante Macchina Asincrona trifase Definizione Avvolgimenti di rotore Avvolgimenti di statore Funzionamento macchina asincrona Circuito equivalente delle macchina asincrona Velocità di rotazione dei campi Scorrimento Rendimento Principi fondamentali 1.1 Ipotesi principale La principale ipotesi che permette lo studio di fenomeni elettromagnetici mediante il modello circuito elettrico è che la lunghezza d onda: λ = c f sia molto maggiore della massima dimensione L del volume in cui avvengono i fenomeni elettromagnetici in esame, da cui: λ L λ = c f L c Lf Si deduce che minore è la frequenza f dei campi elettromagnetici maggiore sarà la possibilità di rappresentare tali fenomeni con un circuito elettrico. 1. Problema fondamentale delle reti elettriche Un circuito elettrico si intende risolto se sono determinate tutte le tensioni e correnti in ogni componente del circuito elettrico. Questo rappresenta il problema fondamentale delle reti elettriche. 1.3 Corrente elettrica La corrente elettrica è generata da un moto di cariche elettriche e corrisponde alla quantità di carica q che attraversa un componente di un circuito elettrico in un intervallo di tempo t, da cui: i = q t Essa si misura in Ampere [A] che è un unità di misura del S.I. 3

4 1.4 Tensione La tensione V è anch essa legata alla presenza di cariche elettriche e corrisponde al lavoro L compiuto (dal campo elettrico) per spostare un carica q tra due punti A e B di un circuito elettrico. Infatti: Essa si misura in Volt. 1 V olt = 1.5 Bipoli elettrici L = q V AB 1 W att 1 Ampere oppure 1 V olt = 1 Joule 1 Coulomb. I bipoli elettrici sono gli elementi costitutivi elementari di un circuito elettrico. Essi sono caratterizzati da: Due morsetti (o terminali o capi) attraverso i quali il bipolo si interfaccia con il mondo esterno Una legge identificativa che lega la tensione ai morsetti con la corrente che attraversa il bipolo stesso. 1.6 Riferimenti associati Nei riferimenti associati, la corrente entra la morsetto (+) della tensione. Utilizzando questi riferimenti la potenza positiva (p > ) valutata ai capi del bipolo è la potenza fornita al bipolo. 1.7 Riferimenti non associati Nei riferimenti non associati, la corrente entra dal morsetto (-) della tensione. Utilizzando questi riferimenti la potenza positiva (p > ) è la potenza fornita dal bipolo. 1.8 Caratteristiche dei bipoli elettrici Le 4 caratteristiche dei bipoli elettrici sono: 1. Linearità: un bipolo di dice lineare se la curva rappresentativa della su equazione identificativa è una retta passante per l origine.. Passività: un bipolo si dice passivo se l energia w(t), valutata con riferiementi associati è sempre maggiore od uguale a zero. 3. Tempo invarianza: un bipolo si dice tempo invariante se la curva rappresentativa della sua equazione identificativa non varia nel tempo. 4

5 4. Memoria: un bipolo si dice con memoria se i valori di tensione (corrente) ai suoi capi ad un certo istante di tempo dipendono dai valori assunti dalla corrente (tensione) negli istanti precedenti. Si dice senza memoria invece quando la tensione (corrente) ai suoi capi ad un certo istante di tempo dipende solo dal valore della corrente (tensione) in quell istante. 1.9 Primo principio di Kirchhoff La somma algebrica delle correnti appartenenti ai rami che tagliano una superficie chiusa è zero. Convenzione: le correnti uscenti dalla superficie hanno segno negativo mentre quelle entranti hanno segno positivo. 1.1 Secondo principio di Kirchhoff La somma algebrica delle cadute di tensione dei rami che formano una maglia di un circuito elettrico è zero. Circuiti resistivi.1 Resistore lineare Il componente circuitale la cui relazione identificativa è rappresentanta da una retta nel piano tensione-corrente è detto resistore lineare e rappresenta gli effetti del vettore densità di corrente J in un conduttore. La sua relazione costitutiva è: v(t) = Ri(t). Resistenza La resistenza è il coefficiente di proporzionalità tra tensione e corrente ai capi di un resistore. Esso è allo stesso tempo un parametro che dipende principalmente dalla geometria, dal materiale e dalla temperatura del dispositivo. Si misura in [Ω] = [V ] [A]. Per un conduttore cilindrico la resistenza è pari a: R = ρ l S dove: ρ è il coefficienti di reistività del materiale [Ω m] l è la lunghezza del conduttore [m] S è la sezione del conduttore [m ] 5

6 .3 Conduttanza Dall equazione costitutiva di un resistore, esprimendo la corrente in funzione della tensione si ha: i(t) = 1 R v(t) = G v(t), dove si definisce il parametro G come conduttanza di un resistore. Essa viene misurata in [Ω 1 ] oppure in [Siemens]..4 Generatore ideale di tensione Il componente circuitale a due morsetti la cui relazione identificativa è rappresentabile nel piano tensione-corrente come una retta parallela all asse della ascisse è detto generatore ideale di tensione. Più generatori ideali di tensione, eroganti anche tensioni diverse, possono essere connessi in serie. Più generatori ideali di tensione possono essere connessi in parallelo solo se eroganti la stessa tensione..5 Generatore ideale di corrente Il componente circuitale a due morsetti la cui relazione identificativa è rappresentabile mediante una retta parallela all asse delle ordinate è detto generatore ideale di corrente. Più generatori ideali di corrente,anche con correnti diverse, possono essere connessi in parallelo. Più generatori ideali di corrente possono essere connessi in serie solo se eroganti la stessa corrente..6 Generatori pilotati I generatori pilotati sono dei generatori di tensione o di corrente che impongono tensioni e/o correnti determinate da altre grandezze di rete (sia tensioni che correnti). Ne esistono 4 tipi: 1. Generatori di tensione pilotati in tensione. Generatori di tensione pilotati in corrente 3. Generatori di corrente pilotati in tensione 4. Generatori di corrente pilotati in corrente 6

7 .7 Principio di sostituzione Il principio di sostituzione afferma che: 1. Quando è noto il valore della corrente in un ramo di una rete, è possibile inserire in quel ramo un generatore di corrente I uguale alla corrente che circola in quel ramo.. Quando è noto il valore della tensione tra due punti di una rete è possibile applicare tra quei due punti un generatore di tensione V uguale alla tensione tra i due punti della rete..8 Principio di sovrapposizione degli effetti Il principio di sovrapposizione degli effetti afferma che è possibile determinare la tensione o la corrente su un ramo di un circuito sommando i valori di tensione o corrente di quel ramo che si ottengono facendo agire separatamente i generatori indipendenti della rete..9 Teorema di Thevenin Il teorema di Thevenin consente di determinare un circuito equivalente di una rete nella quale sono presenrt anche generatori indipendenti. Questo teorema permette di rappresentare in modo equivalente agli effetti esterni un certo circuito sostituendolo con uno semplificato formato da un generatore di tensione e da una resistenza. Il teorema ci dice come trovare i valori di tensione del generatore e di resistenza del resistore. (dimostrazione sul libro).1 Teorema di Norton Il teorema di Norton consente di determinare un circuito equivalente di una rete nella quale sono presenti anche generatori indipendenti. Questo teorema permette di rappresentare in modo equivalente agli effetti esterni un certo circuito, sostituendolo con un semplificato formato da un generatore di corrente con in parallelo un resistenza. In pratica anche in questo caso il teorema ci dice come determinare il valore della corrente del generatore e della resistenza del resistore. (dimostrazione sul libro).11 Elementi di teoria dei grafi Definizione.1 (Grafo associato ad una rete elettrica). Un grafo di una rete elettrica si costruisce a partire dal circuito elettrico sostituendo ogni ramo con una linea chiamata lato del grafo. I punti di incontro tra i lati del grafo si dicono nodi del grafo. 7

8 Definizione. (Percorso). Si dice percorso un insieme di lati distinti che collegano due nodi distinti di un grafo. I due nodi terminali devono essere toccati da un solo lato del percorso mentre tutti gli altri nodi appartenenti al percorso devono essere toccati da due soli lati. Definizione.3 (Grafo connesso). Dicesi grafo connesso un grafo in cui per ogni coppia di nodi esiste un percorso che li collega. Definizione.4 (Insieme di taglio). Dicesi insieme di taglio l insieme dei lati distinti di un grafo connesso, rimossi i quali si ottiene un grafo sconnesso. Definizione.5 (Maglia). Dicesi maglia il sottografo connesso in cui ogni nodo viene toccato soltanto da due lati. Definizione.6 (Albero). Dicesi albero un insieme di lati che collegano tutti i nodi di un grafo senza formare maglie. Definizione.7 (Lati d albero). Dicesi lati d albero i lati appartenenti ad un albero. Definizione.8 (Corde). Dato l albero di un grafo, si defiscono corde i rami non appartenenti all albero del grafo. Definizione.9 (Coalbero). Dicesi coalbero l insieme di tutte le corde dell albero di un grafo. Definizione.1 (Maglia monocorda). Dicesi maglia monocorda una maglia formata da tutti lati d albero e da una sola corda. Definizione.11 (Proprietà 1). Dato un grafo con n nodi ed l lati, il numero di lati d albero è; l a = n 1, mentre il numero di corde è: c = l l a = l n + 1 Definizione.1 (Proprietà ). Le correnti nelle corde individuano univocamente tutte le correnti dei lati di un grafo. Definizione.13 (Proprietà 3). Le tensioni dei lati d albero individuano univocamente tutte le tensioni dei lati di un grafo. 3 Regime Sinusoidale Definizione 3.1 (Regime periodico). Un circuito si dice a regime periodico quando tutte le grandezze di rete hanno un andamento periodico ovvero quando esiste un intervallo di tempo T (detto periodo), tale che per ogni grandezza si ha: f(t) = f(t + T ). 8

9 Definizione 3. (Regime periodico sinusoidale). Nell ottica del regime periodico, se in un circuito i generatori hanno una forma d onda del tipo B(t) = B M sin(ωt + β) oppure A(t) = A M cos(ωt + α) e tutte le tensioni e correnti nel circuito hanno una forma d onda dello stesso tipo, ovvero X(t) = X M sin(ωt + γ), allora un circuito si dice in regime sinusoidale. Definizione 3.3 (Fasore). Il vettore che individua la posizione di un vettore rotante nel piano di Gauss all istante iniziale si dice fasore. 3.1 Resistore in regime sinusoidale Data la corrente i(t) = I M sin(ωt + α) ho che la tensione ai capi del resistore sarà pari a v(t) = RI M sin(ωt + α). Sia ora I = I M e jα il fasore rappresentativo della corrente, ho che il fasore rappresentativo della tensione sarà: V = RI = RI M e jα = Z R e jα dove Z R è detta impedenza del resistore. 3. Condensatore Definizione 3.4 (Condensatore). Il componente circuitale a due morsetti la cui relazione identificativa è rappresentata da una retta nel piano tensionecarica elettrica è detto condensatore. La sua relazione identificativa è: q(t) = Cv(t) Definizione 3.5 (Capacità). La capacità è un parametro che rappresenta il coefficiente di proporzionalità tra la carica q distribuita sulle armature di un condensatore e la tensione v ai capi del condensatore stesso. La sua unità di misura è il Farad [F ]. Definizione 3.6 (Corrente in un condensatore). Dalla relazione identificativa del consensatore si ha: q(t) = Cv(t), ora poiché i = dq dt allora si ha che: i = dq dt = d dv (Cv) = C dt dt Definizione 3.7 (Tensione ai capi di un condensatore). Dall espressione della corrente in un condensatore i(t) = C dv dt, moltiplicando entrambi i membri per dt e dividendoli per C si ha: dv = 1 C i dt 9

10 v = 1 C t i dt = 1 C i dt + 1 C t i dt = q C + 1 C t i dt = v + 1 C dove v = q C rappresenta la tensione sul condensatore all istante t=. Quindi, pouiché la tensione ad un certo istante t dipende dai valori assunti precedentemente dalla corrente, allora il condensatore di dice essere un elemento con memoria. Definizione 3.8 (Potenza in un condensatore). L espressione della potenza in un condensatore risulta essere: p(t) = v(t) i(t) = v(t) C dv dt t i dt Dove si nota che in base al segno di dv dt negativa. la potenza può essere sia positiva che Definizione 3.9 (Energia in un condensatore). L energia immagazzinata in un condensatore può essere espressa in due modi diversi: w(t) = t p(t)dt = oppure: poiché v = q C e i = dq dt allora: w(t) = t t p(t)dt = v(t) C dv dt dt = C t q dq C dt dt = 1 C t t v dv = C v q dq = q C Quest ultima espressione non è molto utilizzata perché non compaiono le grandezze fondamentali dei circuiti elettrici. Osservazione: l energia nel condensatore viene immagazzinata sotto forma di campo elettrico. Definizione 3.1 (Condensatore in regime sinusoidale). Le espressioni di tensione e corrente nel tempo sono: i(t) = I M sin(ωt + α) t t v(t) = 1 C i dt = I M ωc cos(ωt + α) = I M ωc sin(ωt + α π ) Da cui i fasori rappresentativi sono: I = I M e jα V c = I M ωc ej(α π ) = I M ωc ejα e j π I M = j ωc ejα = j X C I = ZC I 1

11 dove Z C = jx C = j I M ωc è detta impedenza del condensatore ed è l operatore matematico che permette di passare dal fasore della corrente a quello della tensione e viceversa. Osservazione: Seguendo il verso di rotazione antiorario, nel condensatore il fasore della tensione è in ritardo rispetto a quello della corrente. 3.3 Induttore Definizione 3.11 (Induttore). Il componente circuitale a due morsetti la cui relazione identificativa è rappresentabile mediante un retta nel piano tensione-flusso magnetico è detto induttore. La sua equazione identificativa è: φ(t) = L i(t) Definizione 3.1 (Induttanza). L induttanza è il parametro che rappresenta il coefficiente di proporzionalità tra la corrente circolante in un induttore ed il flusso magnetico φ(t) prodotto dalla stessa corrente e concatenato con la superficie S delimitata dal conduttore nel quale essa circola. La sua unità di misura è l Henry [H]. Definizione 3.13 (Tensione ai capi di un induttore). Dalla legge di Faraday v = dφ dt e dalla relazione identificativa dell induttore φ(t) = L i(t), si ha: v = dφ dt = d di (L i(t)) = L dt dt Definizione 3.14 (Corrente in un induttore). Dall espressione della tensione ai capi di un induttore, moltiplicando entrambi i membri per dt e dividendoli per L si ha: i(t) = 1 L t vdt = 1 L vdt+ 1 L di = 1 L v dt t vdt = φ L + 1 L t vdt = i + 1 L dove i è la corrente che circola nell induttore all instante iniziale (t = ), dunque anche l induttore è un dispositivo con memoria. Definizione 3.15 (Potenza in un induttore). La potenza in un induttore è pari ha, poiché v = dφ dt : p(t) = v(t) i(t) = dφ dt Oppure, in modo equivalente: i(t) = L di(t) dt p(t) = v(t) i(t) = φ dφ L dt 11 i(t) t vdt

12 La potenza in un induttore può essere sia positiva che negativa quindi, l induttore può sia assorbire che erogare potenza (sotto forma di energia immagazzinata) quindi è un dispositvo reattivo. Definizione 3.16 (Energia in un induttore). L energia immagazzinata in un induttore nell intervallo di tempo tra e t è pari a: Oppure: w(t) = w(t) = t t p(t)dt = p(t)dt = t t i L di dt dt = L φ dφ L dt dt = 1 L t t i dt = L i t φ dφ = 1 t L φ Osservazione: l energia nell induttore viene immagazzinata sotto forma di campo magnetico. Definizione 3.17 (Induttore in regime sinusoidale). Le espressioni di tensione e corrente nel tempo sono: i(t) = I M sin(ωt + α) v(t) = L di dt = ω L I M cos(ωt + α) = ω L I M sin(ωt + α + π ) Per cui i fasori rappresentativi sono: I = I M e jα V L = ω L I M e j(α+ π ) = ω L I M e jα e j π = j ω L IM e jα = = j ω L I = j X LI = ZL I dove Z L è detta impedenza dell induttore e rappresenta l operatore matematico che permette di passare dal fasore della corrente a quello della tensione e viceversa. Osservazione: Seguendo il verso di rotazione antiorario, nell induttore il fasore della tensione è in anticipo rispetto a quello della corrente. 3.4 Induttori mutuamente accoppiati Definizione 3.18 (Fenomeno di mutuo accoppiamento). Il fenomeno di mutuo accoppiamento si presenta quando il flusso magnetico concatenato con una superficie può essere prodotto anche da correnti che non circolano nel conduttore che costituisce l induttore stesso. Tale fenomeno è sempre reciproco ovvero: se il flusso magnetico in un induttore è sostenuto anche dalla corrente che circola in un secondo induttore allora, sicuramente, anche il flusso magnetico nel secondo induttore sarà sostenuto dalla corrente che circola nel primo induttore. 1

13 Definizione 3.19 (Relazione identificativa ind. mutuamente acc.). La relazione identificativa di un sistema di due induttore mutuamente accoppiati è: φ 1 = L 1 i 1 ± M i φ = L i ± M i 1 Definizione 3. (Realzione tensione corrente ind. mutuamente acc.). La relazione tensione-corrente per un sistema di due induttori mutuamente accoppiati. Dalla legge di Faraday v = dφ dt segue che: v 1 = dφ 1 dt = L di 1 1 dt ± M di dt v = dφ dt = L di dt ± M di 1 dt Definizione 3.1 (Potenza ind. mutuamente acc.). La potenza in un sistema di due induttori mutuamente accoppiati (IMA) è pari alla somma delle potenze del 1 e del induttore: p(t) = v 1 i 1 + v i = ( di 1 L 1 dt ± M di dt ) ( di i 1 + L dt ± M di ) 1 i = dt di 1 = L 1 i 1 dt + L di i dt ± M d(i 1i ) dt (l ultimo termine è così perché è la derivata del prodotto di due funzioni) Definizione 3. (Energia ind. mutuamente acc.). L energia in un sistema di due induttori mutuamente accoppiati è pari a: t t [ di 1 w(t) = p(t)dt = L 1 i 1 dt + L di i dt ± M d(i ] 1i ) dt = dt si semplificano tutti i dt e [ L1 (i 1 ) = + L (i ) ] t ± M(i 1 i ) 3.5 Impedenza e Ammettenza Definizione 3.3 (Impedenza). L impedenza è un operatore matematico complesso che consente di passare dal fasore della corrente a quello della tensione. In generale è costituita da un numero complesso con parte reale ed immaginaria: Z = R + j X dove: 13

14 R = Resistenza (è sempre positiva (R > )) { SeX > impedenza di tipo induttivo X = Reattanza SeX < impedenza di tipo capacitivo Rappresentazione polare: Z = Ze jϕ Modulo: Z = Z = R + X Angolo caratteristico (angolo di sfasamento tra tensione e corrente ai capi dell impedenza): ϕ = arctan ( ) X R Triangolo della impedenza: (da disegnare) Definizione 3.4 (Ammettenza). Corrisponde all inverso dell impedenza: Ȳ = G + j B dove: G = Conduttanza B = Suscettanza Rappresentazione polare: Ȳ = Y ejφ Modulo: Y = Ȳ = G + B Angolo caratteristico (angolo di sfasamento tra tensione e corrente ai capi dell impedenza): φ = arctan ( ) B G Triangolo della ammettenza: (da disegnare) 3.6 Valore Efficace Definizione 3.5 (Valore efficace). Si definisce valore efficace di una grandezza periodica, la quantità: 1 T V eff = f T (t)dt 14

15 In particolare per una sinusoide il valore efficace si calcola come: V eff = VM dove V M rappresenta il valore massimo della grandezza nel periodo. Perché V eff = VM? Perché per esempio data la generica sinusoide f(t) = V M sin(t) si ha: 1 π V eff = VM V π π sin M (t)dt = sin V [ M t (t)dt = π π 1 ] π 4 sin(t) = = VM [ π π 1 ] 4 sin(4π) = V M π π = VM Definizione 3.6 (Significato fisico del valore efficace). Data l espressione dell energia dissipata in un periodo su una resistenza R: attraversata da corrente costante (la chiamo I c ) : w 1 = T RI c dt = T RI c attraversata da una corrente sinusoidale (la chiamo i): w = T ora moltiplico e divido per T : = T R 1 T T Ri dt = R i dt = T i dt = T RI eff dove si nota che le due energie sono uguali se I c = I eff. Quindi il valore efficace di una corrente sinusoidale corrisponde all intensità di una corrente costante che dissipa in un periodo la stessa energia dissipata (sulla stessa resistenza) dalla grandezza sinusoidale. 3.7 Potenza (in regime sinusoidale) Definizione 3.7 (Potenza). Considerati gli andamenti di tensione e corrente: { i(t) = I m sin(ωt) v(t) = V m sin(ωt + φ) 15

16 l andamento temporale della potenza è: {}}{{}}{ p(t) = v(t)i(t) = V m I m sin( ωt + φ) sin( ωt ) = α β Uso la formula di Werner: sin(α) sin(β) = 1 [cos(α β) cos(α + β)] = 1 α β V {}}{{}}{ mi m cos( ωt + φ ωt) cos( ωt + φ ) = Uso la formula di addizione del coseno: cos(α + β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) = 1 V m I m cos(φ) V m I m cos(φ) cos(ωt) + V }{{} m I m sin(φ) sin(ωt) }{{} P otenza attiva istantanea P otenza reattiva istantanea Si osserva che la potenza ha frequenza doppia rispetto a quella di tensione e corrente ed inoltre che può assumere valori sia positivi che negativi. Definizione 3.8 (Potenza attiva instantanea). La quantità V m I m cos(φ) V m I m cos(φ) cos(ωt) è legata a fenomeni dissipativi nel bipolo, infatti si annulla se cos(φ) = (ovvero se il bipolo è puramente reattivo) ed è detta Potenza attiva istantanea p a (t). Definizione 3.9 (Potenza reattiva istantanea). La quantità V m I m sin(φ) sin(ωt) è legata a componenti reattivi nel bipolo, infatti si annulla se sin(φ) = (ovvero se il bipolo è puramente resistivo) ed è detta Potenza reattiva istantanea p r (t). Definizione 3.3 (Potenza attiva). La potenza attiva corrisponde al valore medio sul periodo della potenza istantanea: P = 1 T T p(t)dt = V mi m cos(φ) = V eff I eff cos(φ) La sua unità di misura è il Watt [W ]. dimostrazione P = 1 T = V mi m T T T p(t)dt = V mi m T [ cos(φ)[t] T cos(φ) [cos(φ) cos(φ) cos(ωt) + sin(φ) sin(ωt)] dt = T T ] cos(ωt)dt + sin(φ) sin(ωt)dt = ( ) 16

17 Calcolo i due integrali ed ottengo: e T ( ) = V mi m T T [ sin(ωt) cos(ωt)dt = ω sin(ωt)dt = Ora poiché ω = πf ed f = 1 T = V mi m T [ 1 ] T ω cos(ωt) ] T = sin(ωt ) ω = 1 [1 cos(ωt )] ω [ T cos(φ) cos(φ) sin(ωt ) + sin(φ) [1 cos(ωt )] ω ω si ha: [ T cos(φ) cos(φ) sin(4π) + sin(φ) ] [1 cos(4π)] = ω ω = V mi m T T cos(φ) = V mi m cos(φ) = V eff I eff cos(φ) ] = Definizione 3.31 (Potenza reattiva). La potenza reattiva corrisponde al valor massimo della potenza reattiva istantanea. Q = V mi m sin(φ) = V eff I eff sin(φ) La sua unità di misura è il Volt Ampere Reattivi [V AR] dimostrazione: (prendo i valori efficaci di tensione e corrente) [ ] Vm I m Q = max [p r (t)] = max sin(φ) sin(ωt) = V mi m sin(φ) max [sin(ωt)] = = V mi m sin(φ) 1 = V mi m sin(φ) = V eff I eff sin(φ) 17

18 Definizione 3.3 (Potenza apparente). La potenza apparente corrisponde alla ampiezza della oscillazione della potenza istantanea attorno al suo valor medio. P a = v mi m = v eff I eff La sua unità di misura è il Volt Ampere [V A] Definizione 3.33 (Potenza complessa). Si definisce potenza complessa S il prodotto del fasore della tensione per il complesso coniugato del fasore della corrente. S = V I = P + jq dimostrazione: S = V I = V e jϕv Ie jϕ I = V Ie j(ϕv ϕ I) = = V I cos(ϕ v ϕ I ) +j V I sin(ϕ }{{} v ϕ I ) = P + jq }{{} potenza attiva potenza reattiva NB: la potenza attiva, reattiva, apparente e complessa vanno calcolate sempre usando i valori efficaci di tensioni e correnti. Definizione 3.34 (Potenza nel resistore). Date le espressioni di tensione e corrente in un resistore in regime sinusoidale: la potenza istantanea risulta: i(t) = I M sin(ωt) v(t) = Ri(t) = RI M sin(ωt) p(t) = v(t)i(t) = RIM sin (ωt) = RIM(1 cos (ωt)) = RIeff (1 cos(ωt)) dimostrazione p(t) = RI M(1 cos (ωt)) = RI M(1 cos(ωt) cos(ωt)) = ( ) Applico la formula di werner: cos(α) cos(β) = 1 [cos(α β) + cos(α + β)] ( ) = RIM(1 1 [cos() + cos(ωt)]) = RI M(1 1 [1 + cos(ωt)]) 18

19 = RI M ( 1 1 ) cos(ωt) = RI M (1 cos(ωt)) = RI eff (1 cos(ωt)) NB: in un resistore si ha solamente potenza attiva in quanto l angolo φ tra tensione e corrente è zero e quindi Q = V eff I eff sin(φ) = Definizione 3.35 (Potenza ed energia in un induttore). Date le espressioni di tensione e corrente: i L (t) = I M sin(ωt) v L (t) = L di dt = L d dt (I M sin(ωt)) = ωli M cos(ωt) = X L I M cos(ωt) La potenza istantanea sarà: p(t) = i L (t)v L (t) = I MX L sin(ωt) cos(ωt) = 1 I MX L sin(ωt) utilizzo la formula di duplicazione del seno: sin(α) = sin(α) cos(α) NB: in un induttore si ha solamente potenza reattiva positiva, in quanto l angolo di sfasamento tra tensione e corrente è di 9. L energia: w L (t) = di p L (t)dt = L dt dt = 1 Li (t) = 1 LI M sin (ωt) = = LI M ( 1 cos (ωt) ) = 1 LI eff (1 cos(ωt)) applicando lo stesso ragionamento fatto per la potenza nel resistore. Definizione 3.36 (Potenza ed energia nel condensatore). Dati gli andamenti di tensione e corrente in un condensatore: i c (t) = I M sin(ωt) v c (t) = V M cos(ωt) = X C I M cos(ωt) Allora, la potenza instantanea risulta: p(t) = v c (t) i c (t) = X C I M sin(ωt) cos(ωt) = X CI M sin(ωt) utilizzo la formula di duplicazione del seno: sin(α) = sin(α) cos(α) 19

20 L energia invece risulta: w(t) = 1 Cv = 1 CV M cos (ωt) = 1 CV M Ha utilizzato la formula di Werner del coseno ( ) 1 + cos(ωt) = 1 ω X CI eff (1+cos(ωt)) NB: in un condensatore si ha solamente potenza reattiva negativa, in quanto l angolo di sfasamento tra tensione e corrente è 9. Definizione 3.37 (Potenza ed energia negli induttori mutuamente accoppiati). Dati i fasori delle correnti che scorrono nei due induttori: I 1 = I 1 e jα 1 I = I e jα calcolo la potenza complessa S 1 = V 1I 1 e S = V e poi calcolo la tensione ai capi delle due reti: I V 1 = (R 1 I1 + jx L1 I1 + jx M I ) V = (R I + jx L I + jx M I1 ) Sostituendo queste espressioni in quelle delle potenze complesse S 1 ed S si ha: { S1 = (R 1I1 + jx L1I1 + jx MI ) I 1 S = (R I + jx LI + jx MI1 ) I { S1 = R 1 I 1 + jx L 1 I 1 + jx MI I 1 e j(α α 1 ) S = R I + jx L I + jx MI 1 I e j(α 1 α ) { S1 = R 1 I 1 + jx L 1 I 1 + jx MI I 1 [cos(α 1 α ) j sin(α 1 α )] S = R I + jx L I + jx MI 1 I [cos(α 1 α ) + j sin(α 1 α )] Sommando membro a membro ora si ottiene: S 1 + S = R 1 I 1 + R I + X M I 1 I sin(α 1 α ) X M I 1 I sin(α 1 α )+ +j [ X L1 I 1 + X L + X M I 1 I cos(α 1 α ) ] Dove, separando la potenza attiva da quella reattiva si ha: P = R 1 I 1 + R I + X M I 1 I [sin(α 1 α ) sin(α 1 α )] = R 1 I 1 + R I Q = X L1 I 1 + X L + X M I 1 I cos(α 1 α )

21 Esistono quindi due componenti della potenza attiva P la cui somma è nulla, ma che presi singolarmente non dipendono dalle componenti resistive, bensì da quelle reattive, in particolare dalla mutua induzione. L interpretazione di questo fenomeno è che una aliquota di potenza attiva si trasferisce dal bipolo 1 al bipolo. Vi è quindi un trasferimento di potenza attiva dalla porta alla porta 1. L energia risulta: W m = L 1 I 1 + L I + MI 1 I cos(α 1 α ) Teorema 3.1 (Teorema di Tellegan). La somma di tutte le potenza istantanee impegnate nei rami di una rete elettrica è complessivamente nulla.ovvero considerati i generici nodi j e k del grafo di una rete con n nodi si ha: j,k=1 v jk i jk = Dimostrazione. Consideriamo un generico nodo di riferimento ed indichiamolo come nodo (può essere scelto anche un nodo non appartenente al circuito) la tensione v j,k,può sempre essere scritta come: La sommatoria precedente diviene: j,k=1 v jk i jk = = j=1 v jk = v j + v k (v j + v k )i jk = j,k=1 v j k=1 k=1 j,k=1 v j i jk + ( ) ( ) i jk + v k j=1 j,k=1 i jk v k i jk = = In quanto i termini n k=1 i jk e n j=1 i jk rappresentano il Primo principio di Kirchhoff applicato ai nodi j e k Teorema 3. (Teorema di Boucherot). In un circuito a regime sinusoidale la somma delle potenza attive e reattive erogate dai generatori è uguale alla somma delle potenze attive e reattive impegnate nei componenti del ciruito. Dimostrazione. La dimostrazione può essere effettuataa a partire dal teorema di Tellegan considerato in regime sinusoidale ovvero a partire dalla uguaglianza: j,k=1 V jk Ijk = = j,k=1 V jk I jk 1

22 dove è possibile considerare il complesso coniugato del fasore della corrente in quanto l espressione uguagliata a zero continua ad essere verificata. Consideriamo quindi un generico ramo tra i nodi j e k di un circuito a regime sinusoidale: La tensione v jk si può rappresentare: quindi si ottiene: v jk = E jk + Z jk I jk j,k=1 V jk I jk = j,k=1 ( Ėjk + Z jk Ijk ) I jk = j,k=1 S jk + Z jk I jk = = j,k=1 P jk jq jk + RI jk + jx jki jk = da cui uguagliando a zero parte reale e parte immaginaria si ha: j,k=1 j,k=1 P jk = Q jk = j,k=1 j,k=1 R jk I jk X jk I jk Per cui in un circuito a regime sinusoidale le potenze attive e reattive erogate dai generatori del circuito sono uguali alla somma delle potenze attive e reattive impegnate nelle impedenze del circuito stesso. NB: Questa operazione di somma tra potenze non è lecita per la potenza apparente. Infatti si ha: P A = + Pjk + Q jk = j,k=1 P jk j,k=1 Q jk j,k=1 j,k=1 P Ajk Teorema 3.3 (Teorema del massimo trasferimento di potenza). In un circuito a regime sinusoidale in cui sono presenti un generatore con impedenza interna Z = R + jx ed un carico Z C = R C + jx C si ha il massimo trasferimento di potenza dal generatore al carico se R = R C ed X = X C. Dimostrazione. La potenza fornita al carico è: P = R C I = R C E (R + R C ) + (X + X C )

23 ,per massimizzare P occorre minimizzare il denominatore la prima condizione risulta quindi immediata, infatti si ha: X + X C = P = R CE (R + R C ),dopodiché è sufficiente fare la derivata di P rispetto ad R C ed uguagliare a zero: P R C = E (R + R C) R C (R + R C ) (R + R C ) 4 = E R R C (R + R C ) 4 = che fornisce l altra condizione R = R C. Nelle applicazioni reali le impedenze Z e Z C non possono essere modificate a piacere quindi per avere il massimo trasferimento di potenza si interpone,tra il carico ed il generatore, un componente, detto adattatore d impedenza, in modo tale che: Z v = V I = R jx Teorema 3.4 (di Millman). ll teorema di Millman consente di deterinare la tensione ai capi di n rami in parallelo in ognuno dei quali è in generale presente un generatore di tensione E i ed un ammettenza Y i. La tensione si calcola come: n i=1 V = E iy i n i=1 Y i 4 Trasformata di Laplace Definizione 4.1 (Trasformata di Laplace). La trasformata di Laplace stabilisce una corrispondenza biunivoca tra una funzione reale ed una funzione complessa. f(t) F (s) dove s = σ + jω. Definizione 4. (Operazione di trasformazione). L operazione che permette di passare dal dominio del tempo a quello della variabile s è detta operazione di trasformazione e consiste in: F (s) = L[f(t)] = f(t)e st dt 3

24 Definizione 4.3 (Operazione di antitrasformazione). L operazione che permette di passare dal dominio della variabile s a quello del tempo è detta operazione di antitrasformazione e consiste in: f(t) = 1 πj σ+j σ j F (s)e st ds Definizione 4.4 (delta di DIRAC). La funzione δ(t) detta delta di DI- RAC viene definita formalmente tramite tramite le due seguenti proprietà: 1. Area unitaria + δ(τ)dτ = 1. Proprietà di campionamento f(τ)δ(t τ)dτ = f(t) Inoltre si ha anche che la delta di Dirac si può ricavare come derivata della funzionea gradino infatti: δ(t) = d u(t) dt 4.1 Proprietà della trasformata di Laplace 1. Derivata. Integrale [ L 3. Traslazione temporale [ ] df(t) L = sf (s) f( ) dt ] f(t)dt = F (s) + 1 f(τ)dτ s s L [f(t T )u(t T )] = F (s)e st 4. Integrale di convoluzione [ L [f 1 (t) f (t)] = L ] f 1 (τ)f (t τ)dτ = F 1 (s)f (s) 5. Teorema del vaore finale 6. Teorema del valore iniziale lim f(t) = lim sf (s) t s lim f(t) = lim sf (s) t s 4

25 4. Antitrasformare la risposta di un circuito Lo studio di una rete nel dominio di Laplace fornisce sempre come risultato un rapporto di polinomi in s. Quindi ha sempre la forma R(s) = N(s) D(s). Per antitrasformare la generica risposta di un circuito è conveniente scrivere il rapporto R(s) = N(s) D(s) nella cosiddetta forma di somma di termini razionali fratti semplici, da cui si ha: R(s) = N(s) D(s) = a ms m + a m 1 s m a b n s n + b n 1 s n b = è sempre scomponibile nella seguente somma: N(s) D(s) = A n 1 (s 1 ) (s + s 1 ) n 1 + A n 1 1(s 1 ) (s + s 1 ) n A 1(s 1 ) (s + s 1 ) A n m (s m ) (s + s m ) nm + + A 1(s m ) (s + s m ) a m s m + a m 1 s m a b n (s + s 1 ) n 1 (s + s ) n... (s + sm ) nm dove ogni termine della somma ha al numeratore una costante indicata con A N1 (s 1 ),..., A 1 e al denominatore ha una ed una sola radice s n del polinomio D(s), cioè del denominatore di partenza, con il grado ad essa corrispondente, cioè la sua molteplicità algebrica. Per calcolare le costanti si può applicare il teorema dei residui ed applicare le formule: 1. Se la radice ha molteplicità uno: A ni (s i ) = lim (s + s i ) N(s) s s i D(s). Se la radice ha molteplicità m > 1: A ni µ(s i ) = 1 d µ lim s s i µ! ds [ (s + s i ) n i N(s) D(s) ] per µ =,..., n i 1 Proprietà: quando le radici sono complesse coniugate anche le relative costanti saranno complesse coniugate. Riassumendo: le antitrasformate nel dominio del tempo di funzioni formate dal rapporto di polinomi in s possono essere formate soltanto da 3 differenti tipi di forma d onda: 1. Coppie di radici complesse coniugate producono come risposta forme d onda oscillanti esponenzialmente smorzate.. Radici reali producono come risposta forme d onda esponenziali semplici. 3. Radici complesse coniugate a parte reale nulla producono risposte oscillanti pure. 5

26 5 Reti due porte Definizione 5.1 (Multipolo). Si definisce Multipolo un componente circuitale con n morsetti. Un multipolo non può essere caratterizzato da una relazione tensione-corrente in quanto ci sono n tensioni ed n correnti, non tutte indipendenti tra di loro. Infatti dai principi di Krchhoff si ha: I i = Le correnti indipendenti sono n 1 i=1 V i = Le tensioni indipendenti sono n 1 i=1 Definizione 5. (Porta). Si definisce porta di un multipolo una coppia di morsetti in cui la corrente che entra in un morsetto è uguale a quella che esce dall altro morsetto. Definizione 5.3 (Multiporta). Si definisce Multiporta un multipolo in cui tutti i morsetti possono essere associati a coppie costituenti una porta. Definizione 5.4 (Rete porte). Si definisce rete porte una multiporta formata da sole due porte. 5.1 Parametri Z Usati per la connessione in serie di più reti due porte (si sommano le matrici Z). Equazioni: { V 1 = Z 11 I 1 + Z 1 I V = Z 1 I 1 + Z I Parametri: Z = Z 11 = V 1 I 1 I = Z 1 = V 1 Z 1 = V I 1 I = Z = V I I1 = I I1 = 6

27 Definizione 5.5 (Rete a parametri Z reciproca). Una rete a parametri Z si dice reciproca se Z 1 = Z 1, in questo caso si ha che la matrice è simmetrica e se la matrice è simmetrica è possibile ottenere un circuito equivalente utilizzando solo impedenze. Definizione 5.6 (Rete a parametri Z simmetrica). Una rete a parametri Z si dice simmetrica se Z 11 = Z e Z 1 = Z 1. Poiché Z 11 = Z allora il funzionamento della rete è simmetrico rispetto alle due porte che possono essere usate indifferentemente sia come ingresso che come uscita (invertendo le porte l operazione che la rete esegue sul segnale resta invariata). Impedenza di ingresso Z in (vista dalla porta (1)) Una rete due porte descritta da parametri Z in cui la porta è chiusa su un carico di impedenza pari a Z c è quivalente agli effetti esterni ad un impedenza di ingresso Z in calcolata come: Z in = Z 11 Z 1 Z 1 Z c + Z Come si trova la formula? Scrivendo le quazioni di equilibrio al circuito equivalente della rete a parametri Z in cui è stata collegata alla porta l impedenza di carico Z c. 5. Parametri Y Usati per la connessione in parallelo di più reti due porte (si sommano le matrici Y): I 1 I = Y V 1 V { I 1 = Y 11 V 1 + Y 1 V I = Y 1 V 1 + Y V Parametri: Y = Y 11 = I 1 V 1 V = Y 1 = I 1 Y 1 = I V 1 V = Y = I V V1 = V V1 = 7

28 Impedenza di ingresso e (ammettenza di ingresso in questo caso): oppure: Z in = 1 Y 11 + Y 1 Y 1 Y Z c Z c Y Y in = Y 11 + Y 1 Y 1 Y Z c Z c Y ATTENZIONE!! nell utilizzo di quest ultima. 5.3 Parametri h V 1 = h I 1 h 11 h 1 = I 1 I V h 1 h V 1 = h 11 I 1 + h 1 V I = h 1 I 1 + h 1 V V Definizione 5.7 (Rete a parametri h reciproca). Una rete a parametri h si dice reciproca se: h 1 = h 1. Definizione 5.8 (Rete a parametri h simmetrica). Una rete a parametri h si dice simmetrica se: h 11 h h 1 h 1 = 1 Determinazione dei parametri: h 11 = V 1 V I 1 h = 1 = V 1 I1 V = h = h 1 = I V I 1 h = = I I1 V = 5.4 Parametri T Usati per la connessione in cascata di reti due porte (si sommano le matrici T): Le grandezze d ingresso sono calcolate in funzione di quelle di uscita: V 1 I 1 V A = T = I C B V = D I 8

29 V 1 = AV + B( I ) I 1 = CV + D( I ) Determinazione dei parametri: 1 T = 1 A = V I V 1 = 1 C = V I I 1 = 1 B = I 1 D = I V 1 V = I 1 V = NB: A e C possono essere calcolati sullo stesso circuito (quello di C), prima calcoli C poi A. B e D possono essere calcolati sullo stesso circuito (quello di D), prima calcoli B poi D. Impedenza di ingresso Z in (vista dalla porta (1)) Una rete due porte descritta dai parametri di trasmissione A,B,C,D, in cui la porta è chiusa su un carico di impedenza pari a Z c è quivalente agli effetti esterni ad un impedenza di ingresso Z in calcolata come: Z in = AZ c + B CZ c + D Come si ricava: poiché V 1 = AV + B( I ) allora: I 1 = CV + D( I ) Z in = V 1 = AV + B( I ) I 1 CV + D( I ) = AZ c( I ) + B( I ) CZ c ( I ) + D( I ) = ( I ) (AZ c + B) ( I ) (CZ c + D) = AZ c + B CZ c + D 6 Teorema di Thevenin e Norton generalizzato (dimostrazione sul libro) 9

30 7 Sistemi trifase Definizione 7.1 (Sistemi trifase). Dal punto di vista circuitale i sistemi trifase sono costituiti da componenti fondamentali rappresentati da tripoli (ovvero multipoli a 3 morsetti). Questi tripoli sono costituiti internamente da 3 rami, detti anche fasi, che possono essere collegati a stella oppure a triangolo. Ogni Fase (cioè ogni ramo) ha due morsetti denominati principio (p) e fine (f). Definizione 7. (Collegamento a stella). Nel collegamento a stella si uniscono insieme 3 fini o 3 principi. I rimanenti 3 principi o 3 fini liberi costituiscono i morsetti accessibili dall esterno. Definizione 7.3 (Collegamento a triangolo). Nel collegamento a triangolo si collegano i principi e le fini delle tre fasi. I tre vertici del triangolo costituiscono i morsetti accessibili del tripolo. Definizione 7.4 (Generatori trifase). I generatori trifase producono nelle tre fasi tensioni di uguale frequenza e sfasate tra loro di 3π. Inoltre: Se le ampiezze delle tre tensioni sono uguali (ovvero stesso modulo) allora si parla di tensioni simmetriche. Se le ampiezza delle tre tensioni non sono uguali allora si parla di tensioni dissimmetriche. Definizione 7.5 (Generatore trifase di terna diretta). Un generatore trifase si dice di terna diretta se i fasori rappresentativi delle grandezze di fase si succedono in senso orario. Definizione 7.6 (Generatore trifase di terna inversa). Un generatore trifase si dice di terna inversa se i fasori rappresentativi delle grandezze di fase si succedono in senso antiorario. 8 Circuiti Magnetici 8.1 Introduzione Le linee di forza del campo vettoriale dell induzione magnetica B sono solenoidali (cioè formano delle linee chiuse). Quindi è possibile interpretare la distribuzione vettoriale di B come una circolazione interna ai tubi di flusso del campo (come avviene quando si descrive il moto di un liquido all interno di una conduttura). Le linee di forza del campo magnetico prodotto da un avvolgimento percorso da corrente (sinusoidale) si dispongono in aria con distribuzione simmetrica rispetto all asse dell avvolgimento. 3

31 8. Materiali ferromagnetici I materiali ferro-magnetici hanno la proprietà di convogliare al loro interno le linee di forza del campo prodotto da un avvolgimento percorso da corrente (una piccola parte si richiude in aria). Quindi i materiali ferro-magnetici incanalano le linee di flusso del campo magnetico all interno di un supporto solido. In questo modo è possibile realizzare dei mutui accoppiamenti molto efficienti in cui quasi tutte le linee di flusso del campo prodotto da un induttore si concatenano con l altro induttore. 8.3 Circuito magnetico Per studiare la distribuzione del campo magnetico in materiali ferromagnetici si utilizza il cosiddetto circuito magnetico ossia un modello semplificato dell effettivo dispositvo magnetico, costituito da un circuito elettrico sotto le seguenti ipotesi: 1. La permeabilità relativa del materiale ferromagnetico è costante e molto elevata rispetto a quella dell aria (tale da poter considerare il campo magnetico interamente confinato all interno del materiale).. in ogni sezione del dispositvo si ha una distribuzione uniforme del campo B (cioè in ogni sezione S si ha che: modulo, verso e direzione di B devono essere costanti). 8.4 Costruzione circuito magnetico La costruzione di un circuito magnetico si basa sull applicazione della legge di Ampere lungo una linea chiusa γ all interno del materiale ferromagnetico. Si ha che: Hdl = I γ dove I è la corrente concatenata con la curva γ, equivale alla corrente che circola negli avvolgimenti esistenti attorno al nucleo magnetico. Essendo poi B = µh si ottiene: B d µ µ l = I r γ Considerando ora che B è uniforme in ogni sezione S del materiale (ipotesi ) si ha che: φ = Bd S = B ds = BS S S φ = BS 31

32 Sostituisco ora questa relazione nella legge di Ampere ed ottengo una relazione che lega il flusso magnetico φ e la corrente che scorre negli avvolgimenti esistenti attorno al nucleo magnetico. Chiamo l µ µ rs γ φ µ µ r S dl = φ µ µ r S γ l dl = φ µ µ r S = I = R = Riluttanza, da cui ho la legge: 8.5 Legge di Hopkinson φ R = I Considerando in generale n solenoidi, ciascuno avente N i spire disposti su m tronchi, ciascuno avente riluttanza R i, la legge di Hopkinson afferma che: I i N i = i=1 m φ i R i i=1 9 Trasformatore Definizione 9.1 (Trasformatore). Il trasformatore è un dispositivo magnetico statico (cioè privo di parti in movimento) che viene di solito schematizzato con due avvolgimenti attorno ad un supporto di materiale ferromagnetico. I due avvolgimenti vengono detti primario e secondario. Inoltre si dice il trasformatore trasforma i valori di tensione e corrente sulle sue porte mantenendo però invariata la potenza. 9.1 Trasformatore ideale Il modello del trasformatore ideale si ottiene ipotizzando che la resistenza dei conduttori negli avvolgimenti sia trascurabile e che la permeabilità magnetica sia costante e tenda ad infinito (µ ) (in questo modo è possibile considerare che il flusso sia interamento confinato all interno del materiale ferromagnetico). Inoltre nel trasformatore ideale si dice che ci sia un accoppiamento perfetto (non ci sono linee di flusso disperso), ossia: M = L 1 L a differenza di quanto accade in un sistema reale di due induttori mutuamente accoppiati: M L 1 L (in quanto ci sono delle linee di flusso disperso). 3

33 9. Funzionamento trasformatore ideale E 1 = dφ c dt = jωl 1I 1 = jωn 1 φ E = dφ c dt = jωl I = jωn φ Dove il flusso nei due avvolgimenti è lo stesso. Ora, divido membro a membro le due equazioni ed ottengo la Relazione fondamentale che lega le tensioni ai capi degli avvolgimenti: E 1 E = N 1 N = n Dato il seguente trasformatore ideale (Fig.9.1 pag 8), considerando il suo funzionamento in regime sinusoidale, le tensioni ai morsetti degli avvolgimenti rispettano la legge di Faraday: φ è sempre lo stesso perché il flusso che scorre nel nucleo trasformatorico è uno solo perché nel trasformatore ideale R eq = poiché µ Allora si ottiene la Relazione fondamentale tra le correnti di un trasformatore: I 1 I = N N 1 = 1 n 9.3 Potenza trasformatore ideale Dalle due relazioni fondamentali sul trasformatore ideale ottengo che: Dove n è detto rapporto spire del trasformatore. Ora, applicando la legge di Hopkinson si ha: dove R eq è la riluttanza N 1 I 1 + N I = R eq φ = equivalente del circuito V 1 I 1 = V I Ovvero che la potenza nel primario è uguale alla potenza nel secondario. Quindi sfruttando questa proprietà è possibile trasferire una potenza dal primario al secondario variando i valori di tensione e di corrente; è una delle principali applicazioni dei trasformatori nel campo della trasmissione e distribuzione dell energia. In questo modo i produttori di energia possono produrre energia a basse tensione e possono trasportarla con basse correnti basse dispersioni dovute all effetto Joule. 33

34 9.4 Circuito equivalente trasformatore ideale Il circuito equivalente del trasformatore ideale con il secondario collegato ad una impedenza di carico è: L 1 = φ Σ 1 I 1 L = φ Σ I = N 1φ I 1 = N 1N 1 I 1 I 1 R eq = N 1 R eq = N φ I = N N I I R eq = N R eq Vanno a poiché R eq = poiché µ 9.5 Come viene vista l impedenza Z dal primario? Considero V = ZI, quindi: Z eq = E 1 I 1 = ne I n = nzi I n = n Z Il secondo passaggio si ottiene usando le relazioni fondamentali E 1 E = n e I 1 I NB: un impedenza posta sul secondario viene vista dal primario come moltiplicata per n Passaggio dal primario al secondario: = 1 n Le impedenze si dividono per n I generatori si dividono per n Passaggio dal secondario al primario: Le impedenze si moltiplicano per n I generatori si moltiplicano per n 34

35 1 Trasformatore reale 1.1 Definizione Nel trasformatore reale: 1. La resistenza degli avvolgimenti non è più trascurabile (vedi applicazioni di elettronica di potenza). Non è più possibile considerare µ (permeabilità magnetica che tende all infinito), in quanto ci sono delle linee di flusso che non si richiudono all interno del circuito magnetico 1. Circuito equivalente Per risolvere il problema (di descrizione) si inserisce ai capi dei morsetti primari e secondari una resistenza ed una induttanza che schematizzino le resistenza dei conduttori ed il flusso disperso (quello che non si concatena completamente con entrambi gli avvolgimenti primari e secondari). Altri problemi: 1. La permeabilità magnetica µ non è costante (in alcune condizioni di fuunzionamento), perché il campo magnetico H e l induzione magnetica B sono legati tra loro dal ciclo di Isteresi per cui la funzione µ = B H ha un andamento non lineare ed a più valori(si dice anche funzione polidroma). Nel senso che per uno stesso valore del campo H si possono avere diversi valori di B in dipendenza dalla storia magnetica che ha subito il materiale (per approfondimenti ho trovato utile questa dispensa a pag 14).. Le correnti parassite (o vorticose) provocano delle perdite di potenza nel nucleo. Esse sono delle correnti che sono indotte nel nucleo dal flusso magnetico (variabile nel tempo) che fluisce nel nucleo. Gli effetti causati dall isteresi e dalle correnti vorticose nei materiali ferromagnetici vengono rappresentati agli effetti esterni dal punto di vista della potenza da loro complessivamente dissipata nel trasformatore, poiché 35

36 in pratica non interessa separare i due effetti. Si aggiunge, ai capi del primario, un impedenza di magnetizzazione Z m in modo che la potenza attiva dissipata nel nucleo trasformatorico a causa dell isteresi e delle correnti vorticose (che coincide praticamente con la potenza assorbita a vuoto dal trasformatore) sia uguale alla potenza attiva dissipata nella Z m del circuito equivalente. La potenza attiva assorbita a vuoto si misura con un wattmetro e si calcola come: P = E 1 I cos(ϕ ) essa è sempre minore le potenza apparente (assorbita a vuoto) P A = E 1 I in quanto il termine cos(ϕ ) non sarà mai 1 perché tensione e corrente (a vuoto) sono sfasate a causa delle correnti vorticose e dell isteresi. Quindi corrente e tensione a vuoto sono sfasate dell angolo ϕ = cos 1 ( P V I Per rappresentare questo sfasamento (tra E 1 ed I ) si utilizza una resistenza di magnetizzazione R m ed una impedenza di magnetizzazione X m. Per calcolarle si considera trascurabile la caduta su Z 1d e per semplicità di calcolo si mette Z m in parallelo ai morsetti del primario. Dopodiché utilizzando i valori letti dalle misure si ha: Poi, ed ) P = V R m = V R m Y m = I V X m = 1 B m dove B m = Y m G m dove G m = 1 R m P Dove: V, I, P, sono tensione, corrente e potenza sul lato primario, misurati nella prova a vuoto. NB: L impedenza di magnetizzazione Z m risulta quindi coincidere con la cosiddetta impedenza a vuoto Z vista dai morsetti del trasformatore nella prova a vuoto. Infine la serie di Z 1d ed n Z d può essere sostituita agli effetti esterni con una 36