Analisi 1 - Foglio di esercizi VI - Soluzioni

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1 Analisi 1 - Foglio di esercizi VI - Soluzioni 15/11/018 ) 1. = arcs D = [ 1 ), +. Non ci sono astoti verticali perché il domio contiene i suoi punti di frontiera. non ci sono astoti orizzontali od obliqui. 1, + ) 1 ), e f ) = =, = 0 e La funzione è derivabile + 1), la funzione è crescente 1 +, decrescente, + ) e è un punto di massimo relativo. In = 1 non esiste derivata destra cuspide). f ) è derivabile 1 ), + e si ha: f 7 5 ) = + 1). Il punto + 1) = è di esso e la funzione è concava 1, 7 + ) 69 e 7 + ) 69 convessa, +.. = 1 log Domio D =, e) e, 0) 0, e) e, + ). La funzione è pari, negativa, e) e, + ), positiva e, 0) 0, e). =, non ci sono astoti orizzontali. ± ± =, non ci sono astoti obliqui. = 0, la retta = 0 non è astoto verticale la funzione è 0 ± prolungabile per contuità). = =, e e + = = +, + e e 1

2 qudi le rette = ±e sono astoti verticali completi. è derivabile ovunque D. f log ) ) = 1 log ) D 0, + ). f ) = 0 se = e, la derivata è negativa la funzione è decrescente) e, + ), è positiva la funzione è crescente) 0, e) e, e ); e è punto di massimo relativo. Ricordando che la derivata di una funzione pari è una funzione dispari, si ha che f ) è positiva la funzione è crescente), e ), negativa la funzione è decrescente) e, e) e, 0) e e massimo relativo.. = è punto di D =, 1) 1, + ); f 0 e si annulla solo = 4. Conviene riscrivere la funzione, studiando il segno dell'argomento del modulo, come: + 4 = = , 4] 1, + ) 4, 1) La retta y = 1 è astoto orizzontale bilatero poiché: = 1. ± La retta = 1 è astoto verticale completo poiché: = +. ± In D \ { 4} si ha: 5 f 1), 4) 1, + ) ) = 5 1) 4, 1) Qudi non ci sono punti critici, la funzione è crescente 4, 1) e decrescente, 4) 1, + ). = 4 è punto angoloso di mimo assoluto. In D \ { 4} si ha: 10 f 1), 4) 1, + ) ) = 10 1) 4, 1)

3 e la funzione è concava, 4) e convessa 4, 1) 1, + ); = 4 è punto di esso. 4. = + e 1 D =, 0) 0, + ). La funzione si può riscrivere come: 1) = e 1 e 1 > 0 < 0 qudi è negativa per < 0 e 0, 1), si annulla 1 ed è positiva 1, + ). Si ha: =, qudi y = è astoto orizzontale sistro. = + = = 4, qudi la retta y = 4 è astoto obliquo destro. = = e la retta = 0 è astoto verticale sistro. 0 La funzione è derivabile ovunque D e si ha: + 1) f ) = e 1 e 1 Qudi f è decrescente, 0) e 1 + ) 5, e è punto di mimo. f ) è derivabile ovunque D. 1) f ) = 4 e 1 1) 4 e 1 > 0 < 0 0, > 0 < 0 ), crescente

4 la funzione è qudi concava, 0) e ) 1, + e = 1 è punto di esso. ) 5. = arctan + 0, 1 ), convessa D =, ), + ). Poiché itata, la funzione non ha astoti verticali od obliqui e si ha = ±π ±. Le rette y = ± π sono astoti orizzontali, essendo 4 = ±π ± 4. In D \ {0} si ha f sgn) ) = qudi non ci sono punti critici e + + f decresce, ), 0), cresce sul semiasse positivo. = 0 è punto angoloso di mimo relativo. In D \ {0}, si ha f sgn) + 1) ) =, qudi f ha un esso + + ) = 1, è concava sul semiasse positivo e, ), 1) ed è convessa 1, 0). Anche = 0 è punto di esso. 6. = 1 arcs + )) D = [1, 0) 0, ), 1 + ] Poiché il domio è itato, non ha senso cercare astoti orizzontali od obliqui; vece, = = +, 0 ± ± qudi le rette = 0 e = sono astoti verticali bilateri. La funzione è derivabile 1, 0) 0, ), 1 + ) e si ha: 1) f arcs ) = )) 1, 0), 1 + ) 1 + )) 1) arcs )) 0, ) 1 + )) Qudi f è crescente 1, 0) 1, ) e decrescente 0, 1), 1+ ); = 1 è punto di mimo. Gli estremi del domio = 1 e = 1 + sono punti di mimo di non derivabilità cuspidi). 4

5 7. = 5 [ ) 1 D = {0} 5, +. La funzione è sempre nonnegativa e si annulla = 0 e = 1. Non possono esserci astoti verticali perchè il domio 5 contiene i suoi punti di frontiera. = + e = 0: non ci sono astoti orizzontali od obliqui. La funzione è derivabile ) 1 5, + e f ) = qudi f è crescente tale 1 tervallo e è punto di mimo di non derivabilità cuspide). Anche 5 ) 1 = 0 è punto di mimo isolato. f ) è derivabile 5, + e ) 5 1 f 1 ) = 5 8 / 4 5 ) ; la derivata seconda è negativa tutto l'tervallo e f è concava. 8. = log e e 1 D =, 0) 0, + ). La funzione si annulla log) e log1 + 17) log) ed è positiva, log)) log1 + 17), + ). = 0 e la retta y = 0 è astoto orizzontale sistro. = +, y = + log) è astoto obliquo a destra. =, = log) e la retta = è astoto verticale completo. La funzione è deriv- 0 ± 4e e abile ovunque D e si ha: f ) = e e. La funzione è 1) crescente, log)) 0, + ), decrescente log), 0) e log) è punto di massimo locale. f ) è derivabile ovunque D e si ha: f ) = e e 8e + 1) e e 1) : la funzione è convessa, log 4+ ) log)), concava log 4+ ) log), 0) 0, + ) e = log 4 + ) log) è punto di esso. 9. = s + cos 5

6 D = R. La funzione è periodica di periodo π) e itata: non ci sono astoti. Conviene contuare lo studio un sottodomio di ampiezza π, ad esempio D 1 = [0, π), per poi termare con considerazioni di periodicità. In D 1, la funzione si riscrive come: [ ] s + cos 0, π 4 = s cos π 4, π) e si ha derivabilità D 1 \ { π 4 }. Si ottiene: cos s f s + cos ) = s cos s cos [ 0, π 4 ) π 4, π) 4, π ) 4 ; π 4 è punto di mimo di non derivabilità cus- Qudi f è crescente [ 0, π 4 ) π 4, π), decrescente π punto critico di massimo, π 4 pide). 10. = + + arctan ) 1 D =, ), + ). Conviene riscrivere la funzione come: ) 1 + arctan [0, ), + ) = ) 1 arctan, 0) Si hanno: = + ; = 1; = π 4 ; = π 4, qudi la retta y = π 4 y = + π 4 è astoto orizzontale sistro, mentre la retta è astoto obliquo destro. Inoltre: ± = ± π qudi non si hanno astoti verticali. La derivata prima vale: 4 + f ) = , ), + ), 0) 6

7 La funzione è decrescente, 0), + ), crescente 0, ) +, + ); è punto critico di massimo, + è punto critico di mimo, 0 è punto angoloso di mimo. La derivata seconda vale f ) = 4) 4+5) ed è denita D \ {0}; la funzione è concava, 0) 0, ), convessa, ), + ) e = è punto di esso. 7