Prova di Istituzioni di Fisica della Materia

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1 Prova di Istituzioni di Fisica della Materia Esercizio 1 Un dispositivo basato sul laser Ti:sappire L genera un fascio di lungezza d onda. Il fascio è polarizzato linearmente, e attraversando il filtro neutro A è attenuato fino alla condizione in cui il rivelatore R possa lavorare in regime di conteggio di singoli fotoni (fig. 1a). a) Determinare l energia E dei fotoni emessi (in ev). L istogramma in fig. 1c mostra il numero di fotoni raccolti da R nel tempo t, in vari esperimenti ripetuti. b) Con ce probabilità R raccoglie esattamente fotoni nel tempo t? c) Con ce probabilità R raccoglie fino a fotoni nel tempo t? d) Qual è il numero medio di fotoni raccolti? Ha senso ce non sia un numero intero? e) Determinare la varianza campionaria σ e la deviazione standard σ della distribuzione. f) Il rivelatore a un area Σ. Quanto vale l intensità media I? g) Con ce probabilità un fotone emesso da L è raccolto da R,se tra L e R è interposto un filtro polarizzatore con asse diagonale posto a rispetto all orizzontale (fig. 1b)? nm t 1 ns Σ.1 mm Fig.1a,b. Scema dell apparato senza (a) e con (b) il filtro polarizzatore. Fig.1c. Istogramma del numero n di volte ce (in esperimenti successivi) si sono raccolti fotoni nel rivelatore durante il tempo attivo t.

2 Esercizio el 196, M.H. Crowell costruì per la prima volta un paccetto d onda utilizzando un laser He-e e ricorrendo alla tecnica del mode locking. In breve, questa tecnica consiste nel far viaggiare insieme in una cavità elettromagnetica di tipo Fabry-Pérot (un etalon) molte diverse armonice, tenendo bloccate le loro fasi. In fig.a,b sono mostrate le figure originali dell articolo (IEEE J QE-1, 1, 196). Purtroppo, non tutte le scale sono ciare e il problema consiste nel determinare almeno alcuni ordini di grandezza caratteristici dell esperimento. a) Il laser He-e emette a una lungezza d onda media. Determinarne frequenza ν e numero d onda k. b) Determinare graficamente e stimare la durata t o dell impulso. c) Utilizzando il Principio di indeterminazione, determinare l incertezza E. d) Determinare le corrispondenti incertezze ω e k. e) Determinare graficamente il numero di armonice ce cadono nell intervallo ω f) Dedurre la distanza δk tra due armonice. g) Stimare infine la lungezza della cavità EM. 6 nm Suggerimento. La largezza di una curva a campana si stima a mezza altezza. La deviazione standard si stima come semilargezza a mezza altezza. Fig. a Fig. b Esercizio Il betacarotene è un idrocarburo insaturo con legami coniugati (fig.a). Gli elettroni dei legami sono delocalizzati sulla lungezza dell intera molecola, ma non ne possono uscire liberamente. Per questo motivo, il betacarotene è ben descritto dal modello di particella nella scatola di lungezza L. Lo stato fondamentale del betacarotene è mostrato in figura b. Come si osserva, i livelli 1 11 sono occupati da due elettroni ciascuno, con spin opposto. a) Determinare l energia E H dell ultimo stato occupato (detto HOMO: igest occupied molecular orbital). b) Determinare l energia E L del primo stato libero (detto LUMO: lowest unoccupied molecular orbital). c) Determinare la lungezza d onda o del fotone assorbito nella transizione HOMO LUMO. d) Confrontare la lungezza d onda e dell elettrone nello stato HOMO con la lungezza della molecola e con la lungezza d onda del fotone assorbito. Il betacarotene è Raman attivo. Quando è irraggiato alla lungezza d onda, emette radiazione a lungezza d onda maggiore ' ( Stokes ). ella tradizione della spettroscopia Raman, lo spostamento del picco Stokes rispetto a quello elastico (cioè, con lungezza d onda immutata) è misurato in cm -1 e rappresenta la differenza tra gli inversi delle lungezze d onda. e) oto il valore dello spostamento Raman RS, determinare l energia E p del fonone eccitato (in ev). Si suppone ce il fonone descriva un modo di allungamento (stretcing) di un doppio legame CC. f) Il fonone eccitato decade e la molecola torna allo stato fondamentale. Ce lungezza d onda a il fotone emesso?

3 L 1.89 nm RS 1 cm -1 Suggerimento. Dal testo si evince ce RS E, con E differenza di energia tra fotone incidente e fotone uscente. Attenzione alle conversioni: 1 cm -1 1 m -1 Fig. a. Struttura del Beta-carotene Fig. b. Struttura elettronica del Beta-carotene e scema delle transizioni nello spettro del visibile. Esercizio Discutere brevemente (al massimo una pagina) uno solo dei due seguenti temi: a) Cosa significa condizioni al contorno nel contesto dello studio delle equazioni differenziali? b) Cosa sono i neutroni termici? ε o 8,8 1-1 F m -1 c 1 8 m s -1 e C k B J K ev K -1 m p m n kg m e kg J s ev s J s ev s

4 Soluzioni Esercizio 1 a) E ev b) La stima di probabilità è la frequenza statistica dell evento. Dal grafico si contano n casi favorevoli e n tot casi totali. La frequenza statistica vale perciò f ( ) p( ). 1. c) In questo caso si deve determinare la probabilità cumulativa P(): P 11 ( ) p P( ). 6 i i d) p( ) Il numero medio non corrisponde a un possibile risultato di una misura, ma descrive la distribuzione di probabilità. on è un problema ce non sia intero. 1 e) σ σ. 6 p( ) σ f) I E Σ t 1 W m g) Si consideri un sistema di riferimento con asse x orientato nella direzione di propagazione, azze y verticale e asse z orizzontale. Prima del filtro, il vettore campo elettrico è dato da E r E ẑ >. L asse del filtro è diagonale, ed è descritto dal bra < y < z < d. Il campo dopo il filtro vale, dunque, r r < y < z < y z > < z z > E E' d >< d E d > E z > E d > d > r r I' < E' E' > 1 Le intensità sono proporzionali al modulo quadro dei campi. Perciò, r r. I < E E > Questo rapporto è pari al rapporto tra il numero di fotoni ce superano il filtro (casi favorevoli) e numero di fotoni incidenti (casi totali). E perciò pari alla probabilità riciesta dalla traccia. ota. La lungezza d onda della radiazione prodotta da un laser Ti:sappire è circa 8 nm, ma può essere modificata in un intervallo ampio. Per ottenere radiazione con nm si ricorre a un a un cristallo con proprietà ottice non lineari, capace di generare seconda armonica grazie a un processo nel quale vengono assorbiti due fotoni e riemesso un solo fotone con energia doppia.

5 Esercizio a) ν c Hz k m nm b) Prendendo la largezza totale a mezza altezza del grafico in fig.b, si stima t ps. c) Il principio di indeterminazione lega le deviazioni standard delle variabili t e E: E t. Si deve fare attenzione al fatto ce la stima della deviazione standard è la metà della largezza a mezza altezza, siccé t 18 ps. e 6 segue ce E 1 ev. t d) E ω 9 1 s ω c k k ω c 1 m e) Dal grafico in fig.a, si stima ce ragionevolmente circa 1 picci cadono nella semilargezza a mezza altezza.. f) Circa 1 armonice cadono nell intervallo k. Quindi k δ k.7 m. 1 g) Dalla teoria delle armonice in cavità, si sa ce k n n δk L L L δk m. Viste le disuguaglianze, si tratta di un dato sovrastimato. Esercizio a) En k n m EH E ev k n n L En 1 n m L b) EL E1 1 ev c) E EL EH. ev 8 nm. E d) ello stato HOMO, k k11 11 e L. nm L k 11 e segue ce e <<. e) ell effetto Raman, la differenza di energia tra fotone incidente e fotone uscente è ceduta al fonone. Perciò, E p E RS 19 mev. f) 6.7 µ m E p 11