Espressione. {tex}ax>b{/tex} {tex}ax\geq b{/tex} {tex}ax<b{/tex} {tex}ax\leq b{/tex}

Transcript

1 Le disequazioni di primo grado, o disequazioni lineari, sono disequazioni in cui l'incognita appare solo elevata a potenza 1, in sostanza compare senza esponente. Quando abbiamo a che fare con una disequazione lineare, effettuando opportuni passaggi algebrici, riusciamo sempre a ricondurci ad uno dei seguenti casi Espressione {tex}ax>b{/tex} {tex}ax\geq b{/tex} {tex}ax<b{/tex} {tex}ax\leq b{/tex} {loadposition AN_C_1} Risoluzione delle disequazioni di primo grado 1 / 11

2 Grazie alle regole che abbiamo introdotto nell' articolo introduttivo sulle disequazioni sappiamo che tutto sommato non si comportano molto diversamente dalle equazioni. Le regole da rispettare sono: 1) Si può sommarre o sottrarre una stessa quantità a entrambi i membri della disequazione senza alterarne il risultato. 2) Si può moltiplicare o dividere per una quantità positiva (purché diversa da zero) entrambi i membri della disequazione. Se m oltiplichiamo o dividiamo per una quantità negativa dobbiamo cambiare il verso della disequazione. Alla luce di queste regole possiamo scrivere la soluzione generale per le possibili disequazioni lineari elencate all'inizio: Espressione Soluzione {tex}ax>b{/tex} 2 / 11

3 {tex}x>\frac{b}{a}{/tex} se il coefficiente a è positivo {tex}x<\frac{b}{a}{/tex} se il coefficiente a è negativo {tex}ax\geq b{/tex} {tex}x\geq\frac{b}{a}{/tex} se il coefficiente a è positivo {tex}x\leq\frac{b}{a}{/tex} se il coefficiente a è negativo {tex}ax<b{/tex} {tex}x<\frac{b}{a}{/tex} se il coefficiente a è positivo 3 / 11

4 {tex}x>\frac{b}{a}{/tex} se il coefficiente a è negativo {tex}ax\leq b{/tex} {tex}x\leq\frac{b}{a}{/tex} se il coefficiente a è positivo {tex}x\geq\frac{b}{a}{/tex} se il coefficiente a è negativo Esempi sulle disequazioni di primo grado 1) Cerchiamo le soluzioni della disequazione di primo grado: {tex}2x+3<0{/tex}. 4 / 11

5 Svolgimento: sottraiamo 3 ad entrambi i membri della disequazione {tex}2x+3-3<0-3{/tex} A sinistra del simbolo di disequazione il termine di grado zero si elimina, e lo ritroviamo a destra: l'effetto dell'operazione è stato proprio quello di spostare il termine 3 da sinistra a destra {tex}2x<-3{/tex} Ora dividiamo entrambi i membri per il coefficiente del termine di grado uno {tex}frac{2x}{2}<-frac{3}{2}{/tex} 5 / 11

6 nell'ultimo passaggio non è stato necessario cambiare il verso della disequazione poiché abbiamo diviso per 2 che è un numero positivo! {tex}x<-frac{3}{2}{/tex} Abbiamo finito! Volendo possiamo scrivere la soluzione sotto forma di intervallo (se hai dubbi vedi la lezione precedente): {tex}mbox{s}=left(-infty, - frac{3}{2}right){/tex} {loadposition AN_C_4} 2) Proviamo ora a risolvere un'altra disequazione di primo grado {tex}-2x+3<0{/tex}. 6 / 11

7 Svolgimento: procediamo in modo analogo a quello del primo esempio {tex}-2x+3-3<0-3{/tex} {tex}-2x<-3{/tex} Cambiamo i segni moltiplicando a destra e a sinistra per -1, moltiplicando per un numero negativo dovremo anche cambiare il verso della disuguaglianza {tex}(-1)(-2x)>(-1)(-3){/tex} {tex}2x>3{/tex} 7 / 11

8 {tex}x>frac{3}{2}{/tex}. Con gli intervalli: {tex}mbox{s}=left(frac{3}{2}, +infty right){/tex} 3) Infine risolviamo la disequazione lineare: {tex}frac{x+3}{3}leq 5{/tex} Svolgimento: innanzitutto moltiplichiamo ambo i membri della disequazione per 3. In questo modo sparirà il denominatore. Essendo inoltre 3 un numero positivo il verso della disequazione rimarrà invariato. {tex}3 cdot frac{x+3}{3} leq 5 cdot 3 to x+3 le 15{/tex} 8 / 11

9 A questo punto portiamo il numero 3 a secondo membro, ricordandoci di cambiarlo di segno. Questo, come abbiamo già detto, equivale a sottrare 3 da entrambi i membri ;) {tex}x leq 15-3{/tex} e ci siamo! {tex}xleq 12{/tex} è l'insieme delle soluzioni della nostra disequazione. Notate che questa volta l'intervallo comprende l'estremo destro, cioè è comprende il valore 12, ovvero, volendo utilizzare la notazione con gli intervalli: 9 / 11

10 {tex}s=(-infty, 12]{/tex} Se qualcosa non fosse chiaro sappi che con la nostra barra di ricerca potrai trovare tutte le risposte ai tuoi dubbi, abbiamo migliaia di esercizi risolti e spiegati fino all'ultima virgola...ed eventualmente sei libero di contattarci. {tex}alpha{/tex} 10 / 11

11 Tags: disequazioni {loadposition disequazioni interlineaspecificolefdisfine} AN_C_2} primo grado. primo grado - esercizi disequazioni di primo grado - metodi per risolvere le 11 / 11