4 Sistemi di riferimento geodetici: Svizzera e Italia

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1 4 Sistemi di riferimento geodetici: Svizzera e Italia 4.1 Sistemi di riferimento svizzeri Datum CH1903 Il sistema di riferimento della vecchia misurazione ufficiale, valido ancora oggi, è il CH1903. Si basa sull ellissoide di Bessel (1841), caratterizzato dai seguenti parametri: a = m α = 1/ e posizionato nel punto fondamentale situato sul vecchio osservatorio di Berna, le cui coordinate sono: lat = N long = E In tale punto, l ellissoide è tangente al geoide e la normale ellissoidica coincide con la verticale. Il sistema di proiezione utilizzato, sviluppato da M. Rosenmund nel 1903, è una doppia proiezione conforme cilindrica ad asse obliquo: viene effettuata una prima proiezione conforme dell ellissoide su una sfera di raggio km, quindi una seconda proiezione, sempre conforme, della sfera su un cilindro tangente al parallelo passante per Berna e caratterizzato da asse obliquo rispetto all asse terrestre. Le deformazioni lineari, per la proiezione svizzera, sono di circa 20 cm per km nel Sud del Ticino. Figura 28 Sistema di proiezione svizzero Il sistema di coordinate rettangolari piane della misurazione nazionale svizzera è determinato dai due assi perpendicolari in direzione Est (y) e Nord (x) passanti per il centro di proiezione, che coincide con il punto fondamentale. Sono definiti due sistemi di coordinate: Le coordinate civili (y, x) Il punto di origine di Berna è caratterizzato da coordinate y=0 e x=0; come si vede dall immagine, con questo sistema la Svizzera viene suddivisa in 4 quadranti. Berna Figura 29 Coordinate civili DRM Sistemi di riferimento geodetici: Svizzera e Italia 31

2 Le coordinate militari (Y,X), comunemente chiamate coordinate nazionali. Il sistema di coordinate militari è ottenuto traslando il sistema di coordinate civili in modo che l intero territorio svizzero sia collocato nel primo quadrante; offre due vantaggi: le coordinate sono sempre positive e non possono essere confuse, in quanto il valore di Y sarà sempre maggiore di quello di X X 600 km Berna 200 km Y Figura 30 Coordinate militari Le coordinate militari del punto di origine sono: Y= m e X= m. Sulla base di queste coordinate i limiti del territorio svizzero sono i seguenti: 485 km < Y < 834 km 75 km < X < 296 km Quadro di riferimento MN03 E la rete planimetrica nazionale determinata tramite il metodo della triangolazione ed entrata in vigore nel 1903: ad oggi costituisce la base ufficiale per la maggior parte delle misurazioni effettuate in Svizzera e per la realizzazione di carte e piani. I primi lavori ufficiali per la realizzazione della rete di inquadramento planimetrica furono condotti dal generale Dufour e da J. Eschmann intorno al 1840: i 75 caposaldi di questa triangolazione furono utilizzati per la realizzazione della prima carta topografica della Svizzera, la carta Dufour 1: In seguito, tra il 1862 e il 1891, la Commissione geodetica svizzera realizzò una nuova rete a partire da tre basi relativamente corte (Aarberg, Bellinzona et Weinfelden), misurate per mezzo di regoli (4 m) e di fili invar (24 m). La lunghezza di queste tre basi, ridotta al livello del mare, è precisata di seguito: Aarberg (BE) L = m +/ 0.9 mm Weinfelden (TG) L = m +/ 1.3 mm Bellinzona (TI) L = m +/ 1.3 mm Queste tre basi furono poi estese attraverso la realizzazione di reti locali che permisero di ottenere tre nuove basi di lunghezza maggiore: Chasseral Rötifluh Hörnli Hersberg Gridone Menone L = m L = m L = m La rete di triangolazione della Commissione geodetica comprendeva circa 60 caposaldi. 32 Sistemi di riferimento geodetici: Svizzera e Italia SUPSI DACD

3 La rete attuale della triangolazione svizzera è suddivisa in 4 livelli: il primo livello, realizzato dall ufficio federale di topografia tra il 1910 e il 1917, è costituito in parte dai caposaldi della triangolazione primordiale di Dufour e della Commissione geodetica e in parte da nuovi caposaldi, localizzati in particolare nelle zone montuose. E composta da 79 punti che distano gli uni dagli altri da 35 a 70 Km e sono distribuiti su tutto il territorio svizzero. Figura 31 Rete di primo livello Sulla base di questa rete è stata sviluppata la triangolazione di secondo livello che è stata a sua volta addensata attraverso la triangolazione di terzo livello e quarto livello, per un totale di più di punti. Le dimensioni medie dei lati dei triangoli per ciascuna rete sono le seguenti: I livello: tra 35 e 70 Km II livello: tra 15 e 35 Km III livello: tra 3 e 15 Km IV livello: tra 1 e 3 Km La rete di primo livello è calcolata sull ellissoide di riferimento di Bessel a partire dal punto centrale di Berna, mentre le altre sono calcolate sul piano di proiezione. Denominazione PFP1 PFP2 PFP3 Caratteristiche Punti della triangolazione dal I al III livello Punti della triangolazione del IV livello Punti poligonometrici Tabella 1 Denominazione dei punti fissi planimetrici MN03 Rete di livellamento federale LF02 E il quadro di riferimento altimetrico utilizzato per la misurazione ufficiale in Svizzera ed è basato sulle livellazioni di precisione promosse dalla Commissione Geodetica svizzera tra il 1864 e il 1887 e sulle livellazioni federali effettuate dopo il Essa comprende in totale 18 curve principali più ulteriori linee secondarie con circa 8000 punti fissi di livello disposti lungo la rete stradale principale svizzera. DRM Sistemi di riferimento geodetici: Svizzera e Italia 33

4 Figura 32 Linee principali del livellamento federale Il punto di origine della rete è la Repère de la Pierre du Niton, masso erratico situato nella rada del lago di Ginevra. Originariamente (nel XIX sec) la sua quota, pari a m sul livello medio del mar Mediterraneo, era stata dedotta a partire dalla quota del Mont Chasseral. All'inizio del XX secolo, tale quota è stata nuovamente calcolata sulla base di quattro differenti livelli del mare in Europa. Il valore ottenuto, pari a m, è dato dalla media ponderata delle quote di quattro camminamenti effettuati a partire dalle seguenti città: Marsiglia: m (peso: 2.8) Swinemünde: m (peso: 2.6) Genova: m (peso: 1.0) Trieste: m (peso 0.7) La rete federale è completata da raffittimenti cantonali e, in alcuni casi, comunali. Denominazione Caratteristiche PFA1 Punti di livellazione federale PFA2 PFA3 Punti di livellazione cantonale Punti di livellazione comunale Tabella 2 Denominazione dei punti altimetrici Datum CH1903+ Il sistema di riferimento CH1903+ è identico al CH1903 per quanto riguarda le dimensioni dell ellissoide e il sistema di proiezione. Il punto di riferimento per le altitudini è costituito dal nuovo punto fondamentale Z 0 della geostazione di Zimmerwald a Berna, il cui valore ortometrico H 0 = m è stato scelto in modo tale che il "Repère Pierre du Niton" nel porto di Ginevra ritrovi la sua altitudine ortometrica di m. 34 Sistemi di riferimento geodetici: Svizzera e Italia SUPSI DACD

5 Figura 33 Nuovo sistema di coordinate Il sistema di coordinate, come si vede dalla figura 33, viene modificato: si utilizzano le coordinate E ed N al posto, rispettivamente, di y e x. Al punto di origine del sistema sono invece assegnate coordinate: E = m N = m Quadro di riferimento MN95 E la nuova rete di punti fissi che andrà a sostituire la triangolazione nazionale MN03. È costituita da 211 punti fissi determinati tramite posizionamento satellitare con precisioni tra cm per la planimetria e 2 3 cm per l altitudine ellissoidale. La figura di seguito proposta evidenzia gli scarti tra i due quadri di riferimento, che variano da 0 m (a Berna) a 1.6 m (in Engadina). Figura 34 Differenze tra MN03 e MN95 La trasformazione da coordinate MN03 a coordinate MN95 è possibile ma solo in modo approssimato, attraverso delle trasformazioni affini; a tal scopo, la Svizzera è stata suddivisa in una molteplicità di triangoli con parametri di trasformazione individuali, adeguati alle circostanze locali. Il set di dati di trasformazione ufficiale è denominato CHENyx06. La precisione media dell operazione di trasformazione si attesta intorno ai 2 cm. DRM Sistemi di riferimento geodetici: Svizzera e Italia 35

6 Rete altimetrica nazionale RAN95 È il nuovo sistema altimetrico, realizzato nel 1995, basato su livellazioni di precisione e misure di gravimetria ; il punto di origine della rete corrisponde al punto fondamentale di Zimmerwald. A differenza della rete di livellazione federale, la RAN95 tiene conto nel calcolo delle quote delle influenze del campo gravitazionale e del sollevamento delle Alpi causato dai movimenti delle placche tettoniche(1.5 mm all anno). Le altitudini possono dunque essere definite rigorosamente ortometriche. I valori altimetrici tra LF02 e RAN95 si discostano al massimo di 60 cm. Figura 35 Scostamenti tra LN02 e RAN95 La trasformazione delle altezze LF02 alle ortometriche RAN95 può essere effettuata in modo approssimato: la precisione è migliore del cm in corrispondenza di altipiani e lungo le linee di livellazione nazionale, ma può essere superiore a 10 cm sulle Alpi Sistema di riferimento globale CHTRS95 CHTRS95 è il nuovo sistema di riferimento geodetico a posizionamento globale della misurazione nazionale svizzera, realizzato per permettere il collegamento con il sistema di riferimento europeo ETRS89. Si basa sull ellissoide geocentrico GRS80 posizionato e orientato in Z o. Il sistema di proiezione associato a CHTRS95 è la cilindrica trasversa conforme di Mercatore (UTM); tale sistema considera la Terra divisa in 60 fusi, ampi 6 di longitudine ciascuno (numerati da 1 a 60 a partire dall'antimeridiano di Greenwich in direzione est), e in 20 fasce di ampiezza di 8 (indicate con lettere). Ad ogni fuso è applicata la proiezione cilindrica trasversa. Allo scopo di evitare coordinate negative, è stata fissata, per tutti i fusi, una falsa origine per le coordinate Est pari a m e una falsa origine Nord di km. La Svizzera è situata quasi interamente nella zona 32T, solo la parte occidentale del Cantone di Ginevra è nella zona 31T. Figura 36 Zone UTM della Svizzera 36 Sistemi di riferimento geodetici: Svizzera e Italia SUPSI DACD

7 4.2 Sistemi di riferimento italiani Datum Roma40 E il sistema geodetico nazionale. Utilizza come superficie di riferimento l ellissoide di Hayford, de del finito nel 1909, i cui parametri identificativi sono: semiasse maggiore: a = m schiacciamento: s = 1/297 Nel sistema di riferimento Roma40 l orientamento dell ellissoide e è impostato sulla verticale punto Roma Monte Mario (con azimut su Monte Soratte pari a ), caratterizzato dai seguenti valori astronomici (definizione 1940): lat: ,51 long: ,40 Il riferimento altimetrico è dato dal caposaldo fondamentale collegato al mareografo di Genova (I la rap stituto Idrografico della Marina). Ai finii della rappresentazionee cartograficaa del sistema geodetico Roma40 è stata adottata presentazione conforme di Gauss Boaga, che appartienee alla famiglia delle proiezioni cilindriche tra sverse (cilindro tangente a un meridiano fondamentale) : in questo caso la proiezione viene effettua sovrapposti per 30 in longitudine. ta su due fusi, fuso Ovest e fuso Est, ciascuno di ampiezza pari a circa 6 30, parzialmente Figura 37 Proiezione di Gauss Boaga Allo scopo di evitare l eventualità di doversi confrontare nella pratica con coordinate negative per i punti situati a occidente dei due meridianii centrali, sono state introdotte due false origini pari a m per il fuso Ovest e m per il fuso Est (i 20 km servono ad evitare equivoci nella zona di sovrapposizione). La materializzazione del datum Roma 40 è garantita dalla rete di triangolazione fondamentale dell'igm, compensata fra il 1908 e il 1919, che consta di circa vertici trigonometrici suddivisi in quattro ordini ed uniformemente distribuiti sul territorioo nazionale. DRM Sistemi di riferimento geodetici: Svizzera e Italia 37

8 La rete di livellazione di alta precisione, realizzata fra il 1950 e il 1971, era costituita da circa capisaldi materializzati lungo altrettanti km della viabilità presente sul territorio nazionale. Attualmente è in fase di svolgimento una completa rimisura delle linee esistenti e la realizzazione di nuove linee di raffittimento che porteranno ad un complessivo di oltre capisaldi. Il sistema Roma40 è utilizzato per fini geodetici e topografici ad esso sono riferite la Carta d Italia al e al 25000, così come la maggior parte della cartografia tecnica prodotta dalle regioni in formato digitale Sistema di riferimento ED 50 Introdotto negli Anni Sessanta per soddisfare le sempre più pressanti esigenze di coordinamento fra le molteplici cartografie dei singoli Paesi europei, il sistema di riferimento ED50, analogamente al Roma40, utilizza l ellissoide internazionale di Hayford orientato in modo da risultare baricentrico per il Vecchio Continente: il punto di emanazione, in cui è garantita la coincidenza della normale all ellissoide e della verticale al geoide e l uguaglianza fra quota ellissoidica ed ortometrica, è localizzato nei pressi di Postdam, nel berlinese. Le longitudini sono riferite al meridiano di Greenwich, le latitudini all equatore. Per avere un raffronto con il Roma40, le coordinate geografiche di Roma Monte Mario in questo sistema sono: latitudine ,487 longitudine ,930 La realizzazione del sistema ED50 è stata effettuata utilizzando un sottoinsieme dei vertici del I ordine delle reti geodetiche esistenti nei vari Paesi. La rappresentazione piana avviene attraverso il sistema cartografico UTM (Universale Trasversa di Mercatore), anch esso basato sulla proiezione cilindrica conforme di Gauss. L Italia ricade nei fusi 32, 33 e 34, i cui meridiani centrali si trovano rispettivamente a 9, 15 e 21 Est di longitudine dal meridiano centrale di Greenwich. Il sistema ED50 viene utilizzato per il taglio (suddivisione in fogli) della cartografia IGM di nuova produzione e di quella regionale Sistemi geodetici catastali I sistemi geodetici catastali sono un complesso mosaico di datum, la cui validità è spesso limitata a piccole aree. I tre datum principali utilizzano l'ellissoide di Bessel, orientato a Genova (per l'italia centro settentrionale), a Castanea delle Furie (nei pressi di Messina, Italia meridionale) e a Roma Monte Mario (per l'italia centrale). Il meridiano fondamentale è quello passante per il rispettivo punto di emanazione (Genova, M.Mario o Castanea); per la rappresentazione si adotta la proiezione di Cassini Soldner: si tratta di una proiezione afilattica (minimizza tutte le deformazioni ma non ne annulla nessuna), ma per aree limitate si può considerare equivalente. La rete associata è quella dell IGM di I, II e III ordine integrata dalle reti catastali di raffittimento. I sistemi geodetici catastali vengono utilizzati nella cartografia catastale. 38 Sistemi di riferimento geodetici: Svizzera e Italia SUPSI DACD

9 5 Sistemi di riferimento topografici In topografia, in genere, si utilizza un sistema di riferimento spaziale definito da un sistema geode con un tico (datum) e da un tipo di proiezione. In questo modo si utilizza un sistema cartesiano piano, preciso riferimento alla superficie terrestre. In genere si utilizzano due sistemi di riferimento: Sistema planimetrico: si definiscono in relazione alla latitudine e longitudine ellissoidica Sistema altimetrico: definito in relazione alla quota ortometrica Che si traducono in un sistema di coordinate (, λ, che viene proiettato in (E,N,Q) o (x,y,z). Le coordinate topografiche planimetriche In topografia si utilizzano le coordinate piane perché in questo modo: si può usare la geometria analitica a 2 dimensioni; l analisi vettoriale a 2 dimensioni; la soluzione grafica di problemi è possibile; si percepisce lo spazio in modo intuitivo. In particolare si utilizza un sistema di coordinate cartesiano composto da : un asse verticale, rivolto verso l alto in direzione nord ed indicato generalmente con X o N un asse orizzontale, rivolto verso destra in direzione est ed indicato generalmente con Y o E Figura 38 Sistemi di coordinate piane In questo caso l azimut (angolo di direzione con direzione principale il Nord) è riferito all asse N e cresce in senso orario. Figura 39 Angolo di direzione per sistemi di coordinate piane DRM Sistemi di riferimento topografici 39

10 L azimut viene indicato normalmente in gon con valori tra 0 e 400 gon (400 non compreso). Valori esterni all intervallo (0, 400) sono riconducibili alla forma normale aggiungendo o sottraen do n volte 400 gon. Le coordinate topografiche altimetriche L altimetria è definita mediante un terzo asse z ortogonale al riferimento planimetrico. Si definisce quota di un punto la sua distanza da un piano di riferimento misurata lungo la vertica me le. La superficie assunta come riferimento per le quote dei punti topografici è quella del livello dio del mare' individuata dal geoide. 5.1 Grandezzee misurabili Vediamo ora alcune definizion di grandezze topografiche misurabili. Direzioni e Azimut Nella topografia si definisce come direzione di riferimento la linea congiungente il punto di osser del vazione (stazione dello strumento) ed un punto di riferimento. Si definisce come angolo di direzione, l angolo tra la direzione di riferimento e la congiungente punto di osservazione con il punto di misura. Si definisce inoltre come Azimut l angolo misurato in senso orarioo tra il nord geografico ed il punto di misura. In Figura 40 è riportata la rappresentazione di direzione di riferimento, angoloo di direzione ed Azi mut. Figura 40 Direzione ed azimut Si definisce infine angolo zenitale (Figura 41) l angolo appartenente ad un piano verticale compre so tra la verticale passante per il vertice di stazione e la congiungente e il punto che si vuole misurare. 40 Sistemi di riferimento topografici SUPSI DACD

11 Figura 41 Angolo zenitale Distanze piane Si definisce come distanza piana la distanza tra due punti in tre dimensioni proiettata su un piano. Figura 42 Distanza piana Differenze di quota Si definisce come differenza di quota, la distanza tra due punti nelle tre dimensioni proiettata sull asse verticale (verticale fisica). Figura 43 differenza di quota DRM Sistemi di riferimento topografici 41

12 5.2 Relazioni trigonometriche piane Figura 44 Triangoloo rettangolo Figura 45 Triangoloo scaleno Prendendo in riferimento la Figura 44, è possibile definire le seguenti relazioni: Funzioni Trigonometriche Sen(A) = a / c Cos(A) = b / c Teorema di Pitagora c 2 = a 2 + b 2 c = sqrt(a 2 + b 2 ) Teorema della distanzaa Tan( A) = a / b Cot(A) = b / a Sec(A) = c / b Cosec(A) = c / a A partire invece dalla Figura 45 è possibile definire la legge del coseno e dei seni: Teorema del coseno (o di Carnout) a 2 = (b 2 + c 2 ) 2bc cos(a) b 2 = (a 2 + c 2 ) 2ac cos(b) c 2 = (a 2 + b 2 ) 2ab cos(c) Teorema dei seni / / / / 42 Sistemi di riferimento topografici SUPSI DACD

13 Figura 46 Angoli di direzione reciproci I due angoli sono legati dalla seguente relazione: Che va così interpretata: I. II. III. (BA) = (AB) + r ( 2r ) r = angolo piatto = π = 200 gon 5.3 Angoli di direzione reciproci Siccome l angolo di direzione è definito come angolo misurato in senso orarioo tra la direzione di ri ferimento ed un punto di misura, come si vede in Figura 46, l angolo AB BA. si somma ad (AB) l'angolo r se il risultato è minore di 2 r, l'angolo ottenutoo è l'angolo di direzione (BA); se il risultato supera 2r, per ottenere l'angolo (BA) occorre togliere alla somma (AB)+ r, l'angolo 2 r. Esempio 1: AB = 127 AB = 127 * π / 180 = rad AB + π = < 2 π = rad quindi BA = rad Esempio 2: AB = 267 AB = 267 * π / 180 = rad AB + π = > 2π = rad quindi BA = π = rad DRM Sistemi di riferimento topografici 43

14 5.4 Primo problema fondamentalee della geodesia Problema: Dati le coordinate di A, l azimut (AB) e la distanza D calcolare le coordinate di B. Figura 47 Rappresentazione del primo problema fondamentale della geodesia Soluzione: In riferimento allaa Figura 47; applicando le funzioni trigonometriche classiche (un cateto è uguale all ipotenusa per il seno dell angolo compreso) si deriva: DE = D sen(ab) DN = D cos(ab) da cui: E B = E A + D sen(ab) N B = N A + D cos(ab) 5.5 Secondo problema fondamentale della geodesia Problema: Date le coordinate di A, e le coordinate di B calcolare l azimut (AB) e la distanza D. (vedi Figura 47). Soluzione: Applicando il teorema di Pitagora si ottiene: ΔE = E B E A ΔN = N B N A In generale, per il calcolo dell Azimut si sussistono i seguenti casi: ΔN=0 e ΔE = 0 allora (AB) non è definito ΔN=0 e ΔE > 0 allora (AB) = 100gon 44 Sistemi di riferimento topografici SUPSI DACD

15 3. ΔN=0 e ΔE < 0 allora (AB) = 300gon 4. ΔN 0 (AB) = arctg (ΔE / ΔN) + n200 con n = 0, 1 o 2 per ottenere il quadrante desiderato Nell'ultimo caso, quando i due punti non giacciono sulla stessa ascissa, il calcolo di n viene effettuato con le seguenti modalità: ΔE > 0 e ΔN > 0 (AB) = arctg(δe / ΔN) ΔE < 0 e ΔN > 0 (AB) = arctg(δe / ΔN) gon ΔE > 0 e ΔN < 0 (AB) = arctg(δe / ΔN) gon ΔE < 0 e ΔN < 0 (AB) = arctg(δe / ΔN)+ 200 gon Per il calcolo della distanza si applica invece la seguente formula: cos sin DRM Sistemi di riferimento topografici 45

16 5.6 Calcolo di un punto lanciato Note le coordinate di un punto di orientamento A e le coordinate di un punto di stazionamento S, avendo misurato gli angoli di direzione α A e α P, e la distanza piana d SP, determinare le coordinate del punto P Problema: Figura 48 Problema del punto lanciato Dati: stazione: S(N S S, E S ) punto d orientamento: A(N A, E A ) Misure: angoli di direzione: distanza piana :, Soluzione: Azimut di A: Azimut di P: Coordinate di P: 46 Sistemi di riferimento topografici SUPSI DACD

17 5.7 Esercizi Esercizio 5.1 In un triangolo rettangolo è dato il cateto b = 4 cm. L area è di 12 cm 2. Ricavare le misure dei tre lati e le ampiezze dei tre angoli. Esercizio 5.2 In un triangolo rettangolo a = 11 cm, alfa = rad. Ricavare le misure dei tre lati e le ampiezze dei tre angoli. Esercizio 5.3 Noto l angolo AB = gon, scrivere il valore dell angolo di direzione reciproco BA in gradi sessagesimali. a β γ b c α Esercizio 5.4 La somma dei reciproci AB + BA è pari a ,48. Ricavare i due angoli in radianti. Esercizio 5.5 Date le seguenti coordinate: PUNTO E N Calcolare distanze e azimut tra tutti i punti. Esercizio 5.6 Date le coordinate dei punti 1 e 2, calcolare le coordinate del punto 3 sapendo che D 1 3 = m e α = g. N 2 PUNTO E N α D DRM Sistemi di riferimento topografici 47

18 Esercizio 5.7 Note le coordinate dei punti 5 e 6, calcolare le coordinate del punto 7 sapendo che D 6 7 = m. 5 N 6 D 6 7 PUNTO E N Esercizio 5.8 Note le coordinate dei punti 8 e 9, calcolare le coordinate del punto 10 sapendo che D 10 9 = m. 10 N D 10 9 PUNTO E N Esercizio 5.9 Si consideri il triangolo in figura. Note le coordinate A (25.7 km, 49.3 km) e B (26.9 km, 48.9 km), noti gli angoli α = g e β = g, φ AP ricavare le coordinate di P e l ampiezza dell azimut φ AP. 48 Sistemi di riferimento topografici SUPSI DACD

19 Esercizio 5.10 Calcolare le coordinate dei punti P ed R, noti i seguenti dati: N α SR α SP A PUNTO E N S A α SA S R P E α SP = g α SA = g α SR = g d SR = m d SP = m DRM Sistemi di riferimento topografici 49