DIDATTICA DELLA MATEMATICA. 8 Lezione

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1 DIDATTICA DELLA MATEMATICA 8 Lezione

2 L equivalenza di figure piane Due figure piane si dicono equivalenti (o equiestese) se hanno la stessa estensione nel piano. L area è la misura dell'estensione di una superficie. Due figure piane si dicono equiscomponibili se sono composte da un numero finito di parti rispettivamente isometriche Due figure isometriche sono equivalenti. Due figure equiscomponibili sono equivalenti.

3 2 Equiscomponibilità Due figure A e B che si ottengono come somma di figure congruenti si dicono equicomposte. Reciprocamente due figure che si possono suddividere in modo che siano formate da parti congruenti si dicono equiscomponibili. Per vedere se due figure sono equivalenti basta andare a ricercare se si possono scomporre in parti a due a due congruenti in modo che, sommando queste parti in modo diverso, da una figura si ottenga l altra. L operazione di equiscomposizione di due figure equivalenti non è sempre possibile. ESEMPIO 1: un quadrato e un cerchio aventi la stessa area non si possono equiscomporre.

4 ESEMPIO 2: la lunula di Ippocrate Si chiama lunula ogni superficie piana limitata da due archi circolari di raggio diverso, i quali abbiano gli estremi in comune e giacciano da una stessa parte rispetto alla corda che li sottende. Ippocrate di Chio (V secolo a.c.) riuscì a dimostrare che la lunula in figura è equivalente al triangolo ABC, poiché il quarto di cerchio di raggio AB è equivalente al semicerchio di raggio CH Le due figure, quindi, sono equivalenti, ma non equiscomponibili.

5 3 Criteri di equivalenza EQUIVALENZA TRA PARALLELOGRAMMI Teorema. Due parallelogrammi che hanno basi ed altezze ordinatamente congruenti sono equivalenti AB PQ, DH SK ABCD PQRS In particolare: un parallelogramma è equivalente ad un rettangolo che ha la base e l altezza rispettivamente congruenti alla base e all altezza del parallelogramma.

6 4 Criteri di equivalenza EQUIVALENZA TRA PARALLELOGRAMMI E TRIANGOLI Teorema. Un parallelogramma è equivalente a un triangolo che ha la base congruente a quella del parallelogramma e altezza doppia. AB PQ, RK 2DH ABCD RPQ CONSEGUENZE: un parallelogramma è equivalente a un triangolo che ha la stessa altezza del parallelogramma e base doppia di quella del parallelogramma (in figura sono congruenti i triangoli ADE e DFC)

7 5 Criteri di equivalenza un parallelogramma è equivalente al doppio di un triangolo che ha la stessa base e la stessa altezza del parallelogramma (in figura sono congruenti i triangoli ABC e ACD) due triangoli che hanno basi e altezze congruenti sono equivalenti (sono entrambi equivalenti a uno stesso parallelogramma)

8 6 Criteri di equivalenza EQUIVALENZA TRA TRAPEZI E TRIANGOLI Teorema. Un trapezio è equivalente a un triangolo che ha per base la somma delle basi del trapezio e per altezza la stessa altezza del trapezio. EQUIVALENZA TRA POLIGONI CIRCOSCRITTI A UNA CIRCONFERENZA E TRIANGOLI Teorema. Ogni poligono circoscritto a una circonferenza è equivalente a un triangolo avente per base il perimetro del poligono e per altezza il raggio della circonferenza.

9 Attraverso i teoremi precedenti si possono ricavare tutte le formule per le aree, ipotizzando conosciuta l area del rettangolo 1) un parallelogramma è equivalente ad un rettangolo che ha la base e l altezza rispettivamente congruenti alla base e all altezza del parallelogramma Area parallelogramma: b h 2) un parallelogramma è equivalente al doppio di un triangolo che ha la stessa base e la stessa altezza del parallelogramma b h Area triangolo: 2 3) Un trapezio è equivalente a un triangolo che ha per base la somma delle basi del trapezio e per altezza la stessa altezza del trapezio. (B+b) h Area trapezio: 2 4) Ogni poligono circoscritto a una circonferenza è equivalente a un triangolo avente per base il perimetro del poligono e per altezza il raggio della circonferenza Area poligono circoscritto: perimetro apotema 2

10 E il rombo? Poiché il rombo è equivalente alla metà di un rettangolo avente le dimensioni congruenti alle sue diagonali D e d, l area del rombo è espressa da : D d 2

11 Una strada alternativa IL PRINCIPIO DI CAVALIERI (Bonaventura Cavalieri, )

12 Nel piano Due figure piane sono equivalenti se esiste una retta tale che ogni altra retta parallela ad essa le interseca secondo segmenti di uguale lunghezza. Possiamo costruire un modello materiale per rendere più concreto il principio costruendo una figura piana con bastoncini impilati e poi spostando da una parte i loro estremi con un righello.

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14 RETTANGOLO E PARALLELOGRAMMA Il rettangolo e il parallelogramma in figura hanno basi congruenti e altezze congruenti. Ogni retta parallela alle basi taglia le due figure con segmenti congruenti alle basi stesse. Per le proprietà dei parallelogrammi, tali segmenti sono congruenti alle basi, perciò congruenti tra loro. Le due figure quindi sono equivalenti per il principio di Cavalieri.

15 TRIANGOLI I due triangoli in figura hanno basi congruenti e altezze congruenti; utilizzando la similitudine si può capire che ogni retta parallela alle basi taglia i due triangoli con segmenti congruenti, perché proporzionali alle basi stesse con lo stesso rapporto; quindi i due triangoli sono equivalenti.

16 LA MISURA

17 La misurazione è quel procedimento che permette di ottenere la descrizione quantitativa di una grandezza fisica cioè il valore numerico del rapporto tra la grandezza incognita e quella omogenea scelta come unità di misura. La scelta della grandezza omogenea avviene tramite la definizione del campione; il valore numerico che risulta dal procedimento di misurazione tra il campione e il misurando viene definito misura.

18 Attenzione alle parole Grandezza fisica: proprietà di un fenomeno, corpo o sostanza, che può essere espressa quantitativamente mediante un numero, ovvero che può essere misurabile. ( terza edizione, del 2007, del "Vocabolario Internazionale di Metrologia" ) Grandezze omogenee: per definire rigorosamente una grandezza, occorre che nell insieme considerato - ad esempio l insieme dei segmenti - esista una relazione di ordine totale che permetta di confrontare qualunque coppia di elementi, e inoltre che esista un operazione di somma (associativa e commutativa) compatibile con la relazione d ordine. In questo caso si può allora dire che l insieme è formato da grandezze omogenee, ed è possibile dare un nome alla classe di grandezze considerate: nel caso di segmenti si parlerà di lunghezza.

19 Misurare una grandezza, dunque, comporta due passaggi che sono due processi di matematizzazione: 1. Si passa da un oggetto concreto a una grandezza ( cioè ad una sua qualità); 2. Si passa dalla grandezza alla sua misura, espressa mediante un numero. Oggetto Grandezza Misura della grandezza Astrazione Si considera una sua qualità Misurazione Si sceglie una unità di misura

20 Esempio 1 Segmento: è l ente geometrico Lunghezza di un segmento: è l insieme dei segmenti totalmente sovrapponibili tra loro (e quindi tra loro congruenti) Misura della lunghezza di un segmento: è il numero che risulta dalla misurazione e che dipende dall unità di misura scelta

21 ESEMPIO 2 Superficie: Ente geometrico a due dimensioni Estensione di una superficie: è l insieme delle superfici equivalenti Area: Misura dell'estensione di una superficie piana

22 I numeri per misurare Il risultato del processo di misura è quindi un numero e il tipo di numero utilizzato dipende da cosa si misura: Se contiamo gli elementi di un insieme discreto usiamo i numeri naturali Se esprimiamo la posizione di un ascensore in un palazzo con seminterrato usiamo i numeri interi relativi Se misuriamo la lunghezza di un tavolo con un metro usiamo i razionali positivi Se misuriamo la temperatura con un termometro usiamo i razionali Se invece vogliamo esprimere in modo rigoroso la misura di una lunghezza,di una massa, di una grandezza continua usiamo i numeri reali.

23 L attività pratica del misurare Se si può eseguire direttamente il confronto tra la grandezza da misurare e la relativa unità di misura parliamo di misura diretta. Se il confronto diretto non è possibile, o se la misura si ottiene tramite una operazione algebrica parliamo di misura indiretta

24 Una fondamentale differenza La misura in fisica è un operazione materiale, che richiede il confronto tra oggetti reali. Da ciò consegue che, se in particolare la grandezza è di tipo continuo, la misura è sempre affetta da errore, qualunque sia la precisione dello strumento di misura; essa viene espressa da un intervallo ( es: 5,0 ± 0,1 cm) e, se approssimata, è espressa da un numero razionale La misura in matematica è un operazione concettuale, ed è quindi espressa sempre esattamente da un numero. L insieme dei numeri reali garantisce tale possibilità

25 «Mentre in fisica è essenziale tenere conto delle operazioni reali con cui si opera una certa misura, e quindi in particolare della sensibilità degli strumenti e dei limiti della percezione, in matematica l interesse è volto alla descrizione del procedimento, prescindendo dalle condizioni concrete in cui esso si realizza. La matematica costruisce modelli ideali, che si rivelano di grande utilità, perché su di essi è più agevole riflettere per comprendere le caratteristiche dei processi reali. In questo modo le formulazioni astratte della matematica permettono di realizzare una grande economia di pensiero, con il frutto di una maggiore chiarezza, almeno per chi non è disturbato dal simbolismo matematico.» Da «La misura, osservazioni, commenti, proposte» Anna Paola Longo di

26 N.B. 1 Nel linguaggio quotidiano il termine misura è usata con molti significati, non tutti perfettamente coincidenti con il termine tecnico. Ad esempio: Mi sono fatta fare delle scarpe su misura Misura le parole! La misura è colma. Non hai il senso della misura. Occorre quindi vigilare su possibili interferenze del senso comune con il significato di misura in ambito scientifico

27 N.B. 2 Gli esempi che si riportano in genere nei testi mostrano quasi sempre l oggetto da misurare più grande dell unità di misura. Una studiosa spagnola di Didattica della matematica, Maria del Carmen Chamorro, segnala che davanti ad un compito in cui l oggetto da misurare è più piccolo dell unità di misura, gli studenti facilmente invertono l operazione, misurando l unità di misura con l oggetto. È importante quindi che gli esempi che si fanno contemplino tutte le possibilità.

28 Una fruttuosa analogia La struttura di un insieme di grandezze omogenee (dotato quindi di misura) ha una stretta analogia con gli insiemi numerici: - Le grandezze si possono sommare e, se possibile, sottrarre (pur se l operazione è definita diversamente a seconda della grandezza con cui si opera). - Tali operazioni godono delle stesse proprietà delle operazioni numeriche. - È possibile suddividere una grandezza continua in parti uguali e questo conduce sia alle frazioni che ai numeri decimali con la virgola. L attività di confrontare, ordinare e sommare grandezze fisiche contribuisce a costruire la comprensione delle proprietà degli insiemi numerici.

29 «Nella costruzione della matematica a partire dalle azioni e dalle nozioni quotidiane, gli oggetti e le grandezze sono il primo gradino di una scala che ne comporta tre, con livelli di astrazione crescente. Il secondo gradino è quello delle misure e dei numeri. Il terzo è quello della sostituzione dei numeri con variabili algebriche.» ( La matematica dalla scuola materna alla maturità Lucia Grugnetti-Vinicio Villani)

30 La misura a scuola: alcune osservazioni (dal testo Fare matematica ) Quando si misurano insiemi continui si proietta su di essi la struttura dei numeri naturali; con ulteriori suddivisioni si approda ai numeri razionali. Si opera quindi una discretizzazione del continuo. Solo in matematica la misura è espressa da un numero reale. Un principio fisico fondamentale da rispettare: non alterare l oggetto che si vuole misurare. La misura è indispensabile per capire le frazioni: una frazione impropria non è parte di qualcosa, ma è la misura di una grandezza rispetto ad un sottomultiplo dell unità iniziale. La temperatura è una misura molto particolare, poiché non ha sempre senso sommare due temperature (ad es. la temperatura di ieri con quella di oggi). Si può però fare la media delle temperature e sommare la differenza di temperature. Nella vita quotidiana si parla di peso degli oggetti e si usa il chilogrammo come unità di misura. Dal punto di vista scientifico è più corretto indicare tale grandezza con il termine massa.

31 La misura a scuola: alcuni suggerimenti (dal testo Fare matematica ) Si può lavorare molto presto sul confronto, fin dalla prima o seconda classe, con bastoncini, fettucce etc. In classe terza si possono fare esperienze complesse per far apprezzare la differenza tra confronto diretto e indiretto. È interessante cimentarsi nella misura di corpi e figure irregolari. Ad esempio si può misurare il volume di un sasso per immersione in un barattolo pieno d acqua. Una misura particolarmente interessante è quella data dall uso dei soldi. In questo caso si misura non un oggetto di natura, ma un oggetto convenzionale a cui viene assegnato un valore.

32 Un esempio di attività di confronto diretto ( Introduzione alla misura spunti per un percorso di L. Radaelli e P. B. Longo) Scopo di una attività di questo tipo è far fare esperienza del fatto che nel confronto tra oggetti si fa riferimento solo ad una caratteristica ben precisa. Ad ogni gruppo viene dato del materiale, con la consegna di ordinarlo in modo crescente in base ad una certa caratteristica, senza dare altre indicazioni. In una attività realmente svolta sono stati dati: Gruppi di materiale quadrati libri matite oggetti contenitori Caratteristica superficie spessore lunghezza peso capacità

33 Riportiamo alcune relazioni GRUPPO 1 Relazione: questo lavoro è stato divertente e molto facile. Abbiamo ritagliato dei quadrati stampati su alcuni cartoncini che ci ha dato la maestra e li abbiamo messi in ordine crescente. Se avevamo dei dubbi mettevamo un quadrato sopra l altro e vedevamo qual era quello che andava prima e quello che andava dopo. Usando questo metodo abbiamo fatto il lavoro giusto senza neanche uno sbaglio. GRUPPO 2 Relazione: noi avevamo il compito di mettere in ordine crescente gli spessori dei libri. Per noi era molto facile e molto divertente. I libri erano 8. Per prima cosa abbiamo guardato l altezza dei libri, poi li abbiamo messi in ordine crescente e poi li abbiamo controllati. GRUPPO 7 Relazione: per mettere in ordine di capacità i recipienti (1 bottiglietta, 2 barattoli diversi, 2 bicchieri diversi) siamo dovuti andare in bagno per travasare perché avevamo un problema: non riuscivamo a capire a occhio se conteneva più acqua la bottiglietta o il bicchiere grande. L abbiamo risolto versando l acqua del bicchiere nella bottiglietta, così abbiamo visto che l acqua del bicchiere era troppa per la bottiglietta.

34 Un esempio di attività di confronto indiretto ( Introduzione alla misura spunti per un percorso di L. Radaelli e P. B. Longo) In questo lavoro i confronti richiesti devono essere pensati in modo che non sia possibile operare direttamente e gli alunni scoprano la necessità di trovare uno strumento intermediario. Nell attività effettivamente svolta e che è documentata dalle relazioni emerge che l idea di ricorrere ad una unità di misura non è per nulla scontata. Solo valorizzando i diversi tentativi, precisando le intuizioni che via via emergono e costruendo nuove situazioni significative è possibile guidare i bambini all acquisizione di questo concetto.

35 Gruppo 1: insieme di linee di vario tipo Relazione: oggi la Lucia ci ha dato un lavoro molto divertente. Ci ha dato un foglio con disegnate delle righe diritte e curve; dovevamo scoprire qual era la più lunga. Questo lavoro lo volevamo fare con il righello, però nelle linee curve ci trovavamo in difficoltà perché il righello non si può piegare, allora abbiamo preso una striscia di plastica che si poteva piegare. Per scoprire quale fosse la linea più lunga, le misuravamo con la striscia di plastica, poi con il righello misuravamo quanta plastica avanzava: meno plastica avanzava più lunga era la striscia. La più lunga è la linea nº 5. Anche se abbiamo trovato difficoltà in alcune linee, è stata un esperienza bellissima e ragionevole. Discussione: [D.=domanda o intervento dei compagni; R.= risposta del gruppo.] D. per la linea curva, se tu mettevi il righello all inizio e alla fine potevi lo stesso misurare? R. no, perché misuri dall inizio alla fine ma ci sono anche i pezzi che vanno su e giù e tu non li misuri quelli. Perché, se la mettiamo dritta, quella linea è più lunga. D. non ho capito cosa vuol dire che misuravano il pezzo di plastica che avanzava. R. la plastica era abbastanza lunga. Tu ricopiavi la riga [intende dire che seguiva con la striscia di plastica l andamento della linea curva da misurare] poi vedevi quanta plastica avanzava. Se per la prima riga avanzavano 4 cm e per la seconda avanzava 1 cm, la seconda linea era più lunga perché avanzava meno plastica.

36 Gruppo 2: una torre di mattoncini Relazione: La maestra ci ha fatto vedere una torre di mattoni duplo, poi l ha messa fuori dalla porta. Poi ci ha dato una scatola di mattoncini lego e ci ha detto di costruire una torre della stessa altezza. Però non potevamo portare dentro la torre dei duplo e non potevamo portare fuori i lego. Allora A. ha detto di usare otto mattoncini perché aveva contato quelli della torre. Però così era sbagliato perché i mattoncini lego sono più piccoli dei duplo. Allora abbiamo preso una matita uguale alla torre dei duplo e l abbiamo usata come riferimento per costruire la torre dei lego. Il lavoro è stato bello e abbastanza facile. Discussione: D. Potevate usare un righello? R. Con il righello non potevamo capire perché il mio righello è troppo lungo per quella torre. D. Bastava fare un segno sul righello, poi uno teneva il segno e l altro faceva la torre. Commento dell insegnante: Nessuno ha pensato che si potessero utilizzare i numeri, cioè i centimetri, riportati sul righello!

37 Gruppo 3: l attaccapanni del corridoio entra in aula? Relazione: oggi dovevamo fare un lavoro più complicato: dovevamo misurare l attaccapanni e vedere se ci stava in classe. Abbiamo preso dall attaccapanni il giubbotto più lungo e una matita per segnare le misure sul muro. Usavamo il giubbotto per misurare quanta lunghezza occupava l attaccapanni. Abbiamo segnato le misure una volta nel corridoio e una volta in classe. Alla fine, dopo ore e ore abbiamo capito che l attaccapanni non ci stava in classe. Discussione: D. l attaccapanni era più lungo o più corto della parete? R. era più lungo D. l attaccapanni doveva starci giusto o poteva avanzare un pezzo di parete? R. poteva anche avanzare il muro D. non ho capito come facevate a misurare S. fa vedere e scopriamo che l attaccapanni ci sta! Commento dell insegnante: i bambini si erano persi perché non avevano misurato con il giubbotto prima tutto l attaccapanni e poi tutta la parete, ma facevano una misura alla volta prima fuori e poi dentro probabilmente poi hanno confuso tutto. in questo caso però lo strumento utilizzato funge proprio da unita di misura.

38 Gruppo 4: confronto tra le aree di due figure di forma diversa Relazione: oggi pomeriggio abbiamo fatto un altro lavoro, avevamo due cartoncini e dovevamo capire qual era il più grande. Abbiamo fatto una specie di cornice su ciascuno dei cartoncini con il nostro materiale e abbiamo visto che il più grande è il nº 1. Discussione: D. avete usato lo stesso materiale per fare le due cornici? R. no, M. e I. facevano il nº 1 e io il nº 2. Abbiamo usato colla, matita, forbice, righello, gomma D. e se qualcosa era più lungo? Potreste aver sbagliato R. cercavamo cose della stessa misura; se qualcosa era più lungo cercavamo qualcosa che completasse la misura. Inciso dell insegnante: Mi accorgo che si sta facendo confusione tra area e perimetro e perciò chiedo che cosa voglia dire più grande guardando i due cartoncini.

39 Ancora gruppo 4 R. che occupa più spazio; all inizio avevamo visto che il nº 2 è più lungo e pensavamo che fosse più grande, poi abbiamo visto che il nº 1 era più largo e allora pensavamo che fosse il più grande. Allora eravamo indecisi e abbiamo fatto la cornice. D. ma perché non misuravate anche dentro? R. dentro è tutta una cosa aggiunta: è fuori che si vede qual è più grande, se per il contorno del nº 1 ci vuole più materiale, anche per il dentro ci vuole più materiale. Commento dell insegnante: A questo punto li lascio in sospeso, riprenderemo l argomento. Da notare, rispetto a questa esperienza, che in geometria ci si era soffermati molto sulle figure simili e che i primi confronti diretti avevano riguardato cerchi e quadrati, figure per cui è vero che a perimetro maggiore corrisponde superficie maggiore: l esperienza con i due cartoncini deve portare a riflettere sul fatto che questo legame non è generale.

40 Gruppo 5: c è più acqua nella bottiglia o nella brocca? (N.B.: i due contenitori erano stati messi in bagni diversi e non si potevano spostare.) Relazione: oggi dovevamo sapere se ci stava più acqua in una brocca o in una bottiglia. La maestra ha messo la brocca nel bagno delle femmine e la bottiglia nel bagno dei maschi. Abbiamo messo l acqua nella bottiglia e nella brocca, ma non potevamo portare fuori i contenitori. Allora li abbiamo misurati con le mani e abbiamo visto che la bottiglia contiene più acqua della brocca. Discussione: D. ma di larghezza, come facevate a sapere quanta acqua contenevano? D. come facevate a capire quale conteneva più acqua? La bottiglia è più stretta e alta, la brocca è più bassa e larga. R. la bottiglia aveva un pezzo in più, il manico. Commento dell insegnante: A questo punto, lasciamo l argomento in sospeso. chiedo ad ognuno di scrivere come farebbe per sapere con certezza quale contenitore sia più capiente: ne riparleremo! È importante infatti non forzare i tempi, ma servirsi delle questioni rimaste aperte per guidare i bambini, quando sono pronti, a fare il passo in più che il percorso intrapreso richiede

41 Un passo successivo: ancora bottiglia e brocca Dopo la prima discussione, non eravamo certi che la bottiglia contenesse più acqua della brocca. Ognuno ha provato a trovare una soluzione e, tra i vari tentativi, abbiamo visto che si poteva procedere in due modi: svuotare la brocca e la bottiglia in due contenitori uguali; confrontare il livello dell acqua nei contenitori svuotare la brocca e la bottiglia in bicchieri uguali; contare i bicchieri usati Tutti insieme abbiamo provato il secondo modo e questo è stato il risultato: -Bottiglia: 7 bicchieri e mezzo; -Brocca: 9 bicchieri e mezzo. La brocca contiene più acqua della bottiglia. A questo punto è stato possibile puntualizzare ciò che è emerso fin qui: -bottiglia e brocca sono gli oggetti da confrontare; -la loro capacità è la caratteristica da misurare per fare il confronto; -il bicchiere è lo strumento, cioè l unità di misura che abbiamo utilizzato per misurare la capacità dei due recipienti; -per confrontare la capacità di recipienti diversi bisogna usare la stessa unità di misura;

42 Un esempio di aree di figure irregolari

43 Perimetro e area Dagli esempi precedenti possiamo vedere che i bambini possono confondere perimetro e area di una figura piana o ipotizzare l esistenza di relazioni tra tali concetti, senza rendersene conto e perciò senza verificarne la correttezza. Occorre quindi affrontare l argomento aiutando i bambini a separare mentalmente perimetro e area. Ricordiamo che le prime idee di geometria si formano attraverso esperienze, giochi, movimenti del corpo che generano rappresentazioni mentali: utilizziamo quindi questi strumenti privilegiati.

44 Perimetro Perimetro significa letteralmente «misura intorno», cioè misura del contorno di una figura piana. Prima di nominare la parola perimetro: si può camminare sopra alla linea di contorno di una figura disegnata a terra seguire con un dita la linea di contorno di una figura disegnata sul foglio risolvere problemi che riguardano la misura di un contorno. Quando l idea appare consolidata le si può attribuire il suo nome corretto, che poi dovrà essere sempre utilizzato.

45 Area Ci si deve assicurare che gli allievi pensino a triangolo, quadrato, etc. come ad una regione del piano e non solo come una linea di contorno. Può aiutare il formarsi del concetto: Colorare le figure Ricoprire la figura con triangolini o quadratini Fare delle semplici tassellazioni Quando l idea appare consolidata si può iniziare il percorso partendo dall area del rettangolo: utilizzando come unità di misura quadratini di lato 1 si arriva a riconoscere che il loro numero è pari al prodotto delle misure delle dimensioni del rettangolo stesso.

46 Il tempo dedicato a formare le idee di base deve essere adeguato alla loro complessità e svolgersi attraverso esperienze spontanee ed esperienze guidate. È bene avere molte occasione per riprendere i concetti introdotti, per consolidare le relative immagini mentali. Come punto finale occorre imparare a trattare questi oggetti con i termini caratteristici della matematica.

47 A questo punto si possono affrontare problemi come quello emerso nell esperienza didattica presentata: - Se due figure hanno lo stesso perimetro hanno anche la stessa area? - Se una figura ha area maggiore ha anche perimetro maggiore? -.

48 Domande ed esercizi 1) Eseguire la seguente moltiplicazione con il metodo a gelosia e giustificare la procedura utilizzata: ) Esporre sinteticamente le metafore fondanti dell aritmetica. 3) «La definizione, in matematica, può avere carattere operativo»: spiegare e fare alcuni esempi. 4) Inventare una cornicetta costituita da elementi ripetuti che si corrispondono in simmetrie centrali. 5) La lunghezza di un tavolo viene misurata con la sbarretta A e la misura risulta essere 3,5 sbarrette. La stessa lunghezza viene misurata con la sbarretta B, lunga 1,5 A; quale sarà il risultato di tale misura? 6) Quali sono le proprietà del modello di Van Hiele?

49 7) Commentare la seguente figura; cosa si può dedurre? 8) Esporre la differenza tra il sistema posizionale decimale e il sistema di numerazione romano