BIOSTATISTICA Prima parte

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1 Luisa Bernardinelli e Pietro Cavagna BIOSTATISTICA Prima parte Corso di Laurea in x LM Biologia Sperimentale ed Applicata. Anno accademico

2 INTRODUZIONE 2

3 STATISTICA STATISTICA DESCRITTIVA Insieme di metodi per la raccolta, l organizzazione, la sintesi di dati. STATISTICA INFERENZIALE Insieme di metodi che permettono di analizzare i dati estratti da un campione limitato per arrivare a conclusioni applicabili all intera popolazione. I dati provengono dall area biologico-sperimentale 3

4 STUDI STATISTICI Finalità di uno studio statistico Rispondere a quesiti scientifici come: Le osservazioni che ho fatto hanno portato a risultati diversi dal caso e significativi? L esperimento che ho condotto ha portato a risultati diversi dal caso e significativi? Es: Vi e associazione fra un determinato gene e una specifica malattia? Es: Diverse condizioni di allevamento determinano variazioni significative di questo carattere del fenotipo? Es: Quale antibiotico funziona meglio nei confronti di questo ceppo batterico? Predire quantità non osservate o non osservabili: Es: L incidenza dell influenza nella prossima stagione invernale; Es: Il numero di animali nati in allevamento nel prossimo anno; Es: La variazione in biomassa in rapporto al cambio climatico. 4

5 FASI DI UNO STUDIO 1 Individuazione del problema 5 Verifica delle ipotesi 2 Formulazione dell ipotesi 4 Raccolta e analisi dei dati 3 Elaborazione del piano di ricerca 5

6 STUDI SPERIMENTALI Il ricercatore interviene direttamente sul valore delle variabili primarie negli casi-individui studiati (tipico esperimento di laboratorio o di studi clinici in cui si controlla il trattamento). Limitato impiego uomo-animale per fattori etici. STUDI OSSERVAZIONALI Il ricercatore non interviene direttamente, non manipola le variabili primarie, ma osserva ciò che accade naturalmente, spontaneamente (effetto della dieta, dell inquinamento, delle stagioni.). Largo impiego: non esistono problemi etici 6

7 DESCRITTIVI: ECOLOGICI OSSERVAZIONALI STUDI TRASVERSALI ANALITICI PROSPETTIVI CASO-CONTROLLO 7

8 LA RACCOLTA DEI DATI può essere effettuata: Indirettamente Da banche dati, da dati interni (registri, siti web, cartelle cliniche, archivi museali, lavori precedenti ). Direttamente Mediante sperimentazione o con indagine anche retrospettiva tramite questionario. 8

9 GLOSSARIO MINIMO 9

10 POPOLAZIONE Totalità di elementi cui il ricercatore è interessato in un dato studio. POPOLAZIONE FINITA Gli elementi sono in numero finito e quindi potrebbero essere tutti osservati. I residenti nel Comune di Pavia nell anno 1950; gli studenti iscritti a questo corso. POPOLAZIONE INFINITA Gli elementi sono una successione infinita. I soggetti affetti da AIDS; Il numero di batteri del genere Clostridium, Bacillus, Escherichia. È una popolazione infinita perché non limitata né nel tempo né nello spazio. 10

11 CAMPIONE Parte di popolazione selezionata per la raccolta dei dati. Un campione è un sottoinsieme di una popolazione. Popolazione Campione Campione Popolazione 11

12 UNITA STATISTICA Minima unità da cui si raccolgono i dati in un indagine o, in altre parole, ciascuno dei componenti il campione su cui si rilevano i dati. Esempio Si vuole condurre un indagine statistica su animali di un parco faunistico, in un dato arco di tempo. Le unità statistiche sono i singoli animali del parco faunistico, nell arco di tempo considerato. La natura dell unità statistica è varia, ma è costante nello studio. 12

13 VARIABILE Caratteristica rilevata su ogni unità statistica, che può assumere valori diversi nelle diverse unità statistiche. Statura degli studenti maschi iscritti al 1 o anno del Corso di Laurea in Ingegneria nel corrente a.a.; Gruppo sanguigno A, B, AB, 0 dei soggetti campionati; Intensità di reazione, ad un antigene (nulla, bassa, alta) nei soggetti studiati. 13

14 OSSERVAZIONE Valore assunto da una variabile in una determinata unità statistica. UNITÀ STATISTICA VARIABILE (PESO) Individuo 1 80 kg \ Individuo 2 75 kg OSSERVAZIONI Individuo 3 78 kg / 14

15 CLASSIFICAZIONE DELLE VARIABILI QUALITATIVE NOMINALI - DICOTOMICHE - POLITOMICHE ORDINALI QUANTITATIVE DISCRETE CONTINUE 15

16 VARIABILI QUALITATIVE Sono classificate in categorie. 1. QUALITATIVE NOMINALI Solo il nome della modalità è importante e non esiste concetto di ordine tra le diverse modalità. a. DICOTOMICHE: presentano solo 2 modalità, non ordinabili. Sesso = M/F Sopravvivenza = Vivo/Morto Positivo negativo al virus HIV.. b. POLITOMICHE: presentano più di 2 modalità, non ordinabili. Colore dei capelli Gruppo sanguigno (A, B, AB, 0) Razza di una specie (cocker, terrier, bassotto.) 16

17 2. QUALITATIVE ORDINALI È possibile stabilire un ordine tra le modalità: Livello socio-economico (basso-medio-alto) Livelli di obesità (sovrappeso- Obesità I- Obesità II- Obesità III) Abitudine all uso di un presidio medico (mai-talvolta-sempre) Intensità di reazione ad un antigene (nulla, media, elevata) La differenza-distanza tra i livelli non è costante ed esattamente determinata ( la distanza tra livello basso e medio non è uguale o confrontabile con la distanza tra livello medio ed alto e viceversa). 17

18 VARIABILI QUANTITATIVE Sono espresse da numeri. 1. DISCRETE Possono assumere solo particolari valori entro un determinato intervallo (corrispondenza biunivoca con l insieme dei numeri naturali). Sono derivate da conteggi. Numero di figli per donna Numero di colonie di E. coli su piastra Numero di cromosomi di una specie 2. CONTINUE Possono assumere qualsiasi valore entro un determinato intervallo (corrispondenza biunivoca con i numeri reali). Non sono derivate da conteggi, ma da misure. Peso Altezza Colesterolo ematico Pressione arteriosa (PAS e PAD) 18

19 SCALE DI MISURA NOMINALE ORDINALE INTERVALLARE DI RAPPORTI 19

20 SCALA NOMINALE Per variabili qualitative nominali. Consiste in due o più categorie, mutuamente esclusive. Esempi: genere sessuale (1= maschio 2=femmina); stato civile (1=celibe- 2=nubile-3=coniugato); attività economica (1= 2=...3= k= ) I numeri sono utilizzati per identificare le categorie: sono solo codifiche, non riflettono una sottostante scala quantitativa.. 20

21 SCALA ORDINALE Per variabili qualitative ordinali. (Ma anche per variabili quantitative che sono state misurate o raggruppate in maniera ordinale). Consiste in due o più categorie, mutuamente esclusive, tra cui è possibile stabilire un ordinamento lineare, una gerarchia. Esempio: livelli di una patologia lieve (1) moderata (2) grave (3) Il valore numerico associato ad ogni categoria differenzia i soggetti con diverse entità della patologia; a valori elevati della scala corrispondono intensità maggiori di malattia. 21

22 SCALA INTERVALLARE Per variabili quantitative. E possibile stabilire un ordinamento tra le classi; è possibile calcolare la distanza tra due osservazioni, ma non il rapporto. Esempio: temperatura Si utilizza per quelle variabili quantitative per le quali è possibile stabilire uno ZERO ARBITRARIO: lo zero della scala non indica assenza dell attributo. 22

23 SCALA DI RAPPORTI Per variabili quantitative. E possibile eseguire tutte le operazioni matematiche. Esempi: peso, altezza, velocità Si utilizza per quelle variabili quantitative per le quali è possibile stabilire uno ZERO ASSOLUTO. PESO A B Kg Libbre B pesa il doppio di A in entrambe le scale. 23

24 TRASFORMAZIONE DI VARIABILI PER ESIGENZE DI ANALISI TRASFORMAZIONE E STANDARDIZZAZIONE RAGGRUPPAMENTO IN CLASSI ORDINALI DI UNA VARIABILE CONTINUA TRASFORMAZIONE IN SCALA A RANGHI 24

25 STANDARDIZZAZIONE E TRASFORMAZIONE Una variabile quantitativa continua può essere ulteriormente standardizzata o trasformata per esigenze di: confronto tra variabili o campioni da effettuarsi con la medesima una scala di misurazione ( es. test Z confronto medie); analisi multivariate con variabili a diversa scala di misurazione (es. analisi componenti principali); riduzione della asimmetria dei valori di una variabile per test che la necessitano (es. trasformazione di Cox-Box); esigenze di presentazione e rappresentazione grafica ( es. tassi epidemiologici: x100000, LogX ); 25

26 con la Standardizzazione si attua una modifica dei dati utilizzando statistiche calcolate dai dati stessi. Centratura: X i = X - X La media aritmetica della variabile è sottratta ad ogni valore, centra i dati attorno alla media=0. Normalizzazione: Ad ogni valore è sottratta la media aritmetica e quindi diviso per la deviazione standard; centra i dati attorno alla media=0 con una deviazione standard =1 per tutte le variabili od i campioni standardizzati. n X Y X normalizzato Y normalizzato media Dev. st

27 Trasformazione lineare: X i = X*b Tutti i valori sono moltiplicati per una costante b, cambia i valori assoluti ma non l essenza dei risultati, Trasformazione Logaritmica: X i = log c X Ogni valore è sostituito dal suo logaritmo in base c, riduce le grandi differenze assolute ovvero distorce aumentando i valori più bassi rispetto a quelli più alti. Se è presente il valore X =0 si utilizza X i = log c (X+1) Trasformazione con elevamento a potenza X i = X c I valori originali sono elevati a potenza, se il valore c è > 1 vengono aumentati i valori più alti, se c < 1 (es. c= 0.5 trasformazione per radice quadrata) si riduce il peso dei valori più alti. 27

28 a: trasformazione logaritmica dei dati asse x= dati originali, asse Y dati trasformati b: trasformazione con elevamento a potenza dei dati asse x= dati originali, asse Y dati trasformati 28

29 RAGGRUPPAMENTO IN CLASSI ORDINALI DI UNA VARIABILE CONTINUA I valori di una variabile continua sono raggruppati in classi ordinali per esigenze di sintesi. Si utilizza ad esempio per i valori di un indice (biologico, ecologico, biochimico, antropometrico ) che pur assumendo tutti i valori di una variabile quantitativa è tuttavia meglio espresso in poche classi ordinali. Esempio: BMI (Body Mass Index) e classi di obesità BMI <18.5 BMI classi =0 sottopeso BMI BMI classi = 1 normopeso BMI 25-29,9 BMI classi = 2 sovrappeso BMI 30-34,9 BMI classi = 3 obesità I lieve BMI 35-39,9 BMI classi = 4 obesità II media BMI >40 BMI classi = 5 obesità III grave 29

30 I valori di BMI sono riassunti in classi ed appaiono BMI (Kg/ m 2 ) BMI classi Condizione normopeso normopeso sovrappeso sovrappeso obesità I lieve obesità I lieve obesità II media obesità II media Obesità III grave obesità III grave Var. continua Var. qualitativa ordinale Sebbene le variabili continue siano più informative il raggruppamento in classi ordinali permette valutazioni descrittive di sintesi : o conteggi %, analisi e grafici di frequenza, test di differenza di proporzione; o tabelle di contingenza con misure di associazione (es. Chi 2 ); o analisi di una variabile non raggruppata per gruppistrati di una seconda variabile raggruppata (es. valori glicemia per età raggruppata in giovane-mediaanziana). 30

31 TRASFORMAZIONE IN SCALA A RANGHI La scala a ranghi ordina gli elementi di un gruppo dal maggiore al minore in accordo alla grandezza delle osservazioni, assegna i numeri d'ordine corrispondenti alla posizione occupata (rango) e trascura le distanze tra gli elementi ordinati. Questa trasformazione permette di applicare test statistici quando le variabili originarie non soddisfano le assunzioni dei test parametrici più usati (es. analisi non parametriche test Mann-Whitney, ANOVA Kruskal Wallis, correlazione di Spearman). Procedura: o Le n 1, n 2, n k osservazioni provenienti da k campioni (ma anche da un solo campione) sono aggregate in unica serie di dati di dimensioni n e messe in ordine crescente. o Alle osservazioni vengono poi assegnati dei ranghi partendo da1, che viene dato alla più piccola, fino ad n che viene dato alla più grande. o Quando due o più osservazioni hanno lo stesso valore ad ogni osservazione viene assegnata la media dei ranghi di tutte le osservazioni con lo stesso valore. 31

32 Esempio: Variabile: contenuto nucleare di DNA in pg ( Rattus norvegicus) Campione 1 Campione 2 Campione Raggruppamento ed assegnazione dei ranghi Variabile Rango campione n originale

33 RACCOLTA E ORGANIZZAZIONE DEI DATI MATRICE DATI TABELLE SEMPLICI TABELLE A DOPPIA ENTRATA FREQUENZE GRAFICI 33

34 Immaginiamo di compiere una ricerca sulle abitudini alimentari degli studenti iscritti al quarto anno dei Corsi di Laurea dell Università di Pavia nel corrente a.a. E necessario raccogliere dati-informazioni specifiche che poi sono elaborate ed analizzate: dalla popolazione d interesse si estrae un campione ( * tecniche di estrazione, * dimensioni del campione) sufficientemente grande, es. 500 soggetti viene somministrato un questionario con domande: 34

35 ID Sesso ( 1= M, 2=F) (var qualitativa nominale dicotomica) Età (anni compiuti) (var quantitativa continua) Peso ( Kg) (var quantitativa continua) Statura (cm) (var quantitativa continua) Quante volte mangi alla settimana (var quantitativa discreta) Pasta Pesce Dolci Quante volte alla settimana salti i pasti principali (var qualitativa ordinale) (colazione, pranzo, cena)? -mai (=1) - spesso (=3) -talvolta (=2) - sempre (=4) Quante ore alla settimana fa attività fisica/sport? (var qualitativa ordinale) -mai (1) (=1) -meno di 1 ora(=2) -1/2 ore (=3) -3/4 ore (=4) -4/5 ore (=5) -6/7 ore (=6) ecc. 35

36 E necessaria una prima SINTESI delle informazioni raccolte MATRICE DEI DATI ID Sesso Età (anni) Peso (kg) Statura (cm) Quante pasta Quante pesce Quante dolci Quanto salta pasti Quanto sport 1 M mai 0 2 M talvolta 1 3 F mai 2 4 M spesso F sempre 3 I dati sono quindi esplorati e controllati mediante metodi di sintesi che, a seconda del tipo di variabile, calcolano misure di tendenza centrale e dispersione (variabili quantitative), realizzano tabelle calcolano frequenze e distribuzioni di frequenze realizzano grafici ( tutte le variabili). 36

37 TABELLE TABELLE SEMPLICI Unità statistiche classificate secondo UNA delle variabili rilevate. TABELLE A DOPPIA ENTRATA Unità statistiche classificate secondo DUE delle variabili rilevate. 37

38 TABELLA SEMPLICE (variabile qualitativa nominale) Sesso Frequenza assoluta M 280 F 220 Totale 500 Legenda: M = maschio, F = femmina 38

39 TABELLA A DOPPIA ENTRATA Incrociamo le variabili Sesso e Quanto salta i pasti (volte/settimana). Sesso Salta i pasti (volte/settimana) M F Totale Mai Talvolta Spesso Sempre Totale

40 TABELLA SEMPLICE (variabile quantitativa continua) Statura (cm) FREQUENZA ASSOLUTA Totale

41 È NECESSARIO RAGGRUPPARE I DATI IN CLASSI QUANTE CLASSI? MUTUAMENTE ESCLUSIVE ESAUSTIVE - Regola del buon senso: non meno di 6 non più di Formula di Sturges: k=1+3,322 (log 10 n) dove DI QUALE AMPIEZZA? k= numero di classi n= numero di osservazioni - Regole del buon senso: sono consigliabili classi di ampiezza 5, 10 o multipli di 10 e terminanti con 0 o con 5; se è possibile, formare classi di uguale ampiezza - Formula per il calcolo dell ampiezza w=r/k dove R= range k= numero di classi COME INDICARLE? 41

42 DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA DATI RAGGRUPPATI IN CLASSI 9 CLASSI di AMPIEZZA 5 Altezza (cm) Frequenza assoluta [ ) 13 [ ) 26 [ ) 58 [ ) 99 [ ) 88 [ ) 82 [ ) 95 [ ) 22 [ ) 17 Totale a classe [ ) 150 estremo inferiore 155 estremo superiore aperto 155 è, in realtà, l estremo inferiore della classe successiva. Pertanto la 1 a classe raggruppa le osservazioni comprese nell intervallo ( ,9999 ). 2 a classe [ ) 155 estremo inferiore 160 estremo superiore aperto 160 è, in realtà, l estremo inferiore della classe successiva. Pertanto la 2 a classe raggruppa le osservazioni comprese nell intervallo ( ,9999 ).... e così via. 42

43 FREQUENZE ASSOLUTA N di volte in cui si osserva ciascuna modalità (o valore) di una variabile. RELATIVA Frequenza assoluta / numero totale casi 0 freq. rel. 1 PERCENTUALE Frequenza relativa*100 0 frequenza% 100 CUMULATIVA Fornisce, per ogni valore x della variabile X di interesse, la frequenza delle osservazioni con valore minore o uguale a x. 43

44 RIEPILOGO Per una variabile continua definiamo la frequenza: assoluta (n) relativa (f) percentuale (p) percentuale cumulata (P) Statura (cm) n Frequenza assoluta f Frequenza relativa p Frequenza % P Frequenza % cumulata [ ) 13 13/500= [ ) 26 26/500= =7.8 [ ) 58 58/500= =19.4 [ ) 99 99/500= =39.2 [ ) 88 88/500= =56.8 [ ) 82 82/500= =73.2 [ ) 95 95/500= =92.2 [ ) 22 22/500= =96.6 [ ] 17 17/500= =100 Totale

45 Per una variabile nominale: Stato civile n f p % % % % Totale % Legenda: 0 = non coniugato/a 1 = coniugato/a 2 = separato/a 3 = vedovo/a N.B. Per le variabili qualitative nominali non ha senso calcolare le frequenze cumulate, perché tra le loro modalità non è possibile stabilire una gerarchia. 45

46 GRAFICI 46

47 GRAFICI DI VARIABILI QUALITATIVE (e QUANTITATIVE DISCRETE) DIAGRAMMA A BARRE O COLONNE La base delle colonne è uguale, l altezza è proporzionale alla frequenza. DIAGRAMMA CIRCOLARE Ad ogni modalità della variabile corrisponde un settore circolare la cui area è proporzionale alla frequenza della modalità considerata. L ampiezza di ogni settore circolare è data da: 360:α i =100:f i L uso di diagrammi a colonne distanziate e di diagrammi circolari enfatizza il fatto che i dati vengono considerati in categorie discrete, distinte e separate. 47

48 DIAGRAMMA A COLONNE Sesso Frequenza M 220 F DIAGRAMMA CIRCOLARE Sesso 220 M 280 F Sesso Frequenza assoluta M 280 F 220 Totale

49 GRAFICI DI VARIABILI QUANTITATIVE CONTINUE ISTOGRAMMA Colonne non distanziate* di area proporzionale alla frequenza. *colonne non distanziate, perché i dati sono misurati su scala continua. POLIGONO DI FREQUENZA Ogni punto, corrispondente a un intervallo, ha coordinata orizzontale data dal valore centrale dell intervallo e coordinata verticale data dalla frequenza delle osservazioni comprese in quell intervallo. 49

50 ISTOGRAMMA Frequenza [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) Altezza (cm) Altezza (cm) Frequenza assoluta [ ) 13 [ ) 26 [ ) 58 [ ) 99 [ ) 88 [ ) 82 [ ) 95 [ ) 22 [ ) 17 Totale

51 POLIGONO DI FREQUENZA Frequenza [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) Altezza (cm) Altezza (cm) x k Frequenza assoluta [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) Totale

52 GRAFICI DI FREQUENZA CUMULATIVA: a. VARIABILE DISCRETA: DIAGRAMMA A GRADINI 30 Frequenza cumulata n di componenti familiari n di componenti familiari Frequenza assoluta Frequenza assoluta cumulativa

53 b. VARIABILE CONTINUA SIGMOIDE Frequenza % cumulata Altezza (cm) Altezza (cm) Frequenza assoluta Frequenza relativa Frequenza % Frequenza % cumulata [ ) 13 13/500= [ ) 26 26/500= =7.8 [ ) 58 58/500= =19.4 [ ) 99 99/500= =39.2 [ ) 88 88/500= =56.8 [ ) 82 82/500= =73.2 [ ) 95 95/500= =92.2 [ ) 22 22/500= =96.6 [ ) 17 17/500= =100 Totale