Calcolo analitico ed esperimenti

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1 IMMAGINE VIRTUALE DI SPECCHI CONICI PER ANAMORFOSI Calcolo analiico ed espeimeni DANIELE MURRA, PAOLO DI LAZZARO ENEA - Unia Tecnica Sviluppo di Applicazioni delle Radiazioni Laboaoio Sogeni di Radiazioni Ceno Riceche Fascai, Roma RT/013/3/ENEA

2 AGENZIA NAZIONALE PER LE NUOVE TECNOLOGIE, LʼENERGIA E LO SVILUPPO ECONOMICO SOSTENIBILE IMMAGINE VIRTUALE DI SPECCHI CONICI PER ANAMORFOSI Calcolo analiico ed espeimeni DANIELE MURRA, PAOLO DI LAZZARO ENEA - Unia Tecnica Sviluppo di Applicazioni delle Radiazioni Laboaoio Sogeni di Radiazioni Ceno Riceche Fascai, Roma RT/013/3/ENEA

3 I Rappoi ecnici sono scaicabili in fomao pdf dal sio web ENEA alla pagina hp:// I conenui ecnico-scienifici dei appoi ecnici dell'enea ispecchiano l'opinione degli auoi e non necessaiamene quella dell'agenzia. The echnical and scienific conens of hese epos expess he opinion of he auhos bu no necessaily he opinion of ENEA.

4 IMMAGINE VIRTUALE DI SPECCHI CONICI PER ANAMORFOSI Calcolo analiico ed espeimeni DANIELE MURRA, PAOLO DI LAZZARO Riassuno Peseniamo il calcolo analiico esao, validao da isulai speimenali, dell'immagine viuale podoa da specchi conici solidi uilizzai pe visualizzae immagini giaceni sul piano della base del cono, come nel caso della icosuzione e imaging di anamofosi caoiche. I nosi isulai povano che l'immagine viuale di specchi conici giace su una supeficie 3-D non inuiiva, mosando come la aazione geomeica sinoa usaa sia inadeguaa a ovae la coea posizione dell'immagine viuale. Un commeno è dedicao ai pocessi di pecezione visiva che poano a pecepie l immagine viuale dell anamofosi conica su una supeficie -D assai divesa da quella misuaa in queso lavoo. La possibile esensione del noso meodo analiico a specchi conici uilizzai come sumeni di imaging panoamico pe visione aificiale viene commenaa. Paole chiave: Specchi conici; Immagine viuale; Anamofosi caoiche; Pogeo di sisemi oici; Ricosuzione di immagini; Pecezione visiva VIRTUAL IMAGE OF CONICAL MIRRORS USED IN ANAMORPHOSES Analyical calculaion and expeimens Absac In his echnical Repo we conside he poblem of he exac calculaion of he viual image poduced by solid cone mios used fo imaging paens placed on he plane of he cone s base, as in he case of decyping caopic anamophoses. Ou analyical esuls, confimed by expeimenal measuemens, demonsae ha he viual image of cone mios lies on a no inuiive, complex 3-D suface, hus showing how he widely acceped geomeic appoach used o dae is inadequae o find he coec viual image posiion. A commen is devoed o he psychological and physiological pocesses ha lead o peceive he viual image on a -D suface much diffeen of ha measued in his wok. The possible exension of his analyical mehod o cone mios used as panoamic imaging ools fo machine vision is biefly discussed. Keywods: Cone mios; Viual image; Caopic anamophosis; Opical sysem design; Image econsucion; Visual pecepion.

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6 INDICE Inoduzione..7 Anamofosi coniche, appoccio geomeico 8 Anamofosi coniche, aazione analiica esaa..10 Misue speimenali.1 Discussione dei isulai...13 Conclusioni Appendice Appendice..17 Appendice Refeenze..1 5

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8 IMMAGINE VIRTUALE DI SPECCHI CONICI PER ANAMORFOSI: CALCOLO ANALITICO ED ESPERIMENTI 1. INTRODUZIONE Le peculiai popieà degli specchi conici sono conosciue sin dal XVII secolo, gazie agli sudi pospeici delle anamofosi caoiche [1]. L anamofosi è un disegno ealizzao aaveso una pocedua, dea di pospeiva invesa, amie la quale un'immagine viene disoa in modo da appaie indecifabile se visa fonalmene, ma si icompone, si svela e divena compensibile se ossevaa da un puno di visa eccenico (anamofosi pospeica) o quando iflessa da uno specchio di foma oppouna (anamofosi caoica) [-9]. Tecniche anamofiche sono sae usae pe codificae scii segei e schemi, ole che pe il piacee della sopesa e dell inganno da illusione oica [, 3, 7, 8, 10], come mosao nella figua 1. Figua 1. A sinisa, un messaggio cipao amie defomazione da anamofosi conica. Riuscie a leggee cosa c è scio? A desa, anamofosi conica di un deaglio di una celebe saua di Michelangelo. Quale? Recenemene, specchi conici sono sai usai come sumeni di visione panoamica a 360, ad esempio pe la soveglianza emoa di ambieni, la navigazione di obo auonomi, [11-13], il conollo di conduue [14], l endoscopia [15]. La figua mosa un esempio di sisema di visione panoamica. 7

9 Specchio ifleene Raggio incidene Raggio iflesso Telecamea Figua. A sinisa, pincipio di funzionameno di un sisema di imaging panoamico. Lo specchio conico iflee il aggio poveniene dall eseno veso la elecamea posa soo il veice dello sesso specchio. A desa, immagine cauaa dalla elecamea [16]. Con un singolo foogamma è possibile visualizzae ui gli oggei posi a 360 inono allo specchio conico. Sono visibili la sada, due auomobili, pooni, caseggiai, e un anenna. La zona cicolae al ceno è buia peché l aea vicina al veice del cono iflee i aggi fuoi dell angolo solido di acceazione della elecamea. Quando guadiamo un oggeo iflesso da uno specchio piano o convesso, siamo ossevando la sua immagine come se i aggi povenisseo da dieo lo specchio. L immagine iflessa si dice peciò viuale. Nel caso dello specchio piano, l immagine viuale dell oggeo iflesso si ova dieo lo specchio ad una disanza pai alla disanza a l oggeo e il piano dello specchio, mene l immagine viuale daa da uno specchio convesso si ova dieo lo specchio ad una disanza minoe [17]. Il calcolo oimale dei sisemi oici di imaging ichiede di sapee dove si foma l'immagine viuale geneaa dall oica uilizzaa. Sfounaamene, gli unici calcoli disponibili dell'immagine viuale di coni ifleeni sono elaivi a specchi conici cavi [18-0], uilizzai come sumeni di allineameno nella configuazione axicon, cioè, con la sogene di luce che illumina la base del cono e viene iflessa dalla supeficie inena del cono sesso. In queso lavoo peseniamo i calcoli analiici esai e i isulai speimenali dell immagine viuale ceaa dalla iflessione della supeficie esena di specchi conici solidi con angolo al veice minoe di 90, che ifleono immagini pose sul piano della base del cono, come nel caso delle anamofosi caoiche. I isulai mosano che l immagine viuale si ova su una supeficie 3-D complessa e non inuiiva.. ANAMORFOSI CONICHE, APPROCCIO GEOMETRICO Il pimo aao sulle anamofosi coniche isale al 1638 [1], quando il fae minimo Niceon descive la ecnica pe ealizzae le anamofosi caoiche da defomazione cilindica, piamidale e conica. Nella figua 3a l immagine oiginale viene ipoaa in un cechio diviso in 6 coone cicolai e aleani aggi, pe un oale di 36 seoi. Quesi seoi sono ipoai sulla base di uno specchio conico solido e viene acciaa una linea che congiunge il puno di visa dell ossevaoe poso in E con ogni puno che delimia i seoi (segmeni E-N fino a E-J in figua 3a). L'inesezione di ciascun segmeno con il cono è il puno di iflessione del puno coispondene dell anamofosi da disegnae sul piano della base del cono. A paie dal puno F, simmeico di E ispeo al polungameno della supeficie del cono, si acciano le linee che passano pe i suddei puni di iflessione, fino ad aivae al piano su cui poggia il cono. Quindi si ha una coispondenza a i puni J-K-L-M-N-O del disegno oiginale con i puni P-Q-R-S-T-U del piano su cui poggia il cono e quindi una coispondenza a i 36 seoi oiginali e i seoi anamofici. Ad esempio, nella figua 3a il seoe GHIJ coisponde al seoe anamofico WVIP. In queso modo, ogni seoe del cechio viene defomao in seoi di coone cicolai aveni aggi diffeeni. L'immagine oiginale viene disoa a causa della defomazione dei seoi e il disegno defomao è anamofico peché viene ipisinao nelle popozioni oiginali quando l'ossevaoe lo guada iflesso da sopa il veice dello specchio conico, vedi figue 3b e 4. 8

10 I J K M O L N E F d Z E G H (x, 0, z) U T S R Q P I J K L M N O h V W 0 K K Q Q X Figua 3. a) Schema uilizzao da Niceon in [1] pe cosuie anamofosi coniche. Il disegno oiginale viene suddiviso in 36 seoi, ipoai sulla base all eseno del cono gazie alla iflessione delle linee di visa coispondeni. b) Sezione dello specchio conico nel piano X,Z. L ossevaoe in E vede il puno Q sul piano, iflesso dalla supeficie del cono in (x, 0, z ) come se fosse in K. Figua 4. A sinisa in alo: scia anamofica della figua 1 icosuia via sofwae. A desa in alo: icosuzione speimenale con uno specchio conico di aggio 4.5 cm e alezza 18 cm ealizzao con una pellicola di PET. L immagine è foogafaa da una disanza di 110 cm dal piano anamofico. In modo analogo, pe l anamofismo del volo della Madonna nella Pieà di Michelangelo in figua 1: a sinisa in basso, anamofosi icosuia via sofwae. A desa in basso, foogafia dell anamofosi icosuia amie lo sesso specchio conico della figua 4a. 9

11 Nella figua 4 ipoiamo la icomposizione (sia speimenale, sia via sofwae) delle due anamofosi di figua 1. Ponendo lo specchio conico sopa il cechio al ceno dell anamofosi, l ossevaoe poso sopa il veice dello specchio pecepisce l immagine viuale della scia/immagine icosuia come se fosse disegnaa sulla base del cono, in accodo con lo schema in figua 3b. Noiamo che le pai vicine al ceno dell'immagine oiginale vengono disibuie lungo uo il cechio peifeico dell anamofosi. L invesione adiale e la diffusione angolae dell'immagine oiginale danno luogo ad una scia/immagine anamofica quasi impossibile da decifae senza lo specchio conico. In emini maemaici, l'anamofosi conica è una asfomazione di coodinae da anelli concenici di aggio ad anelli di aggio '. Nell appoccio geomeico, vedi figua 3b, consideando il ceno della base del cono come il ceno di un sisema di coodinae, i calcoli deagliai in Appendice 1 foniscono la elazione a ' ed come [5, 7]: 1 AB A ' h ha B A (1) dove h è l alezza del cono, è il aggio della base del cono, A = /(d+h) dove d è la disanza a l ossevaoe e il veice del cono, e B = (h²-²)/(h). Pe definizione, > >. Nel fequene caso in cui l ossevaoe si ova ad una disanza d >> h, l Eq. (1) si semplifica in ( ) ' h () h 1 an dove è la meà dell angolo al veice del cono. Quesa appossimazione ichiede h >, e quindi < 45. Pe simae l esensione di un anamofosi conica, noiamo che la pae più esena dell anamofosi conica coisponde alla pae del disegno oiginale vicina a = 0. Quindi possiamo definie l ingandimeno M dell anamofosi ispeo al disegno oiginale come il appoo a massimo (pe il quale 0) e il aggio del cono. Dall Eq. () oeniamo M 1 an Ad esempio, un cono di semiapeua = 30 ha M = 3, e di conseguenza un disegno inscio in un cechio di 10 cm di diameo avà il coispondene disegno anamofico inscio in una coona cicolae di diameo massimo pai a 30 cm. Le anamofosi ipoae nelle figue 1 e 4 sono sae oenue con un cono di semiapeua 14, cui coisponde un ingandimeno M =.13. Noiamo che M divege pe 45. In queso caso, infai, h e lo specchio conico non iflee più il disegno sul piano della base del cono in diezione dell ossevaoe: l appossimazione che poa all Eq. () non è più valida. Sin dagli anni 80 le equazioni (1) e () sono sae usae pe ceae anamofosi coniche [4-8], spesso usando sofwae dedicai [9], e i isulai sono soddisfaceni, come mosao in figua 4. Tuavia, non abbiamo ovao in leeaua un calcolo analiico esao della supeficie dove si foma l immagine viuale degli specchi conici solidi. Nei lavoi [-9] viene acceaa la cosuzione geomeica di Niceon [1], vedi figua 3, che impliciamene assume l immagine viuale dell anamofosi coincidene con il piano della base del cono. Nel possimo paagafo ci poponiamo di veificae se quesa assunzione è coea. 3. ANAMORFOSI CONICHE, TRATTAZIONE ANALITICA ESATTA Uno specchio conico è fomao dalla combinazione di uno specchio piano in XZ, YZ e di uno convesso in XY, vedi figua 5. La linea z g sulla paee del cono giace sulla componene piana dello specchio. Quando il semiangolo al veice è minoe di 45, il piano nomale a z g genea un ellisse sulla supeficie del cono che appesena la componene convessa dello specchio conico. Gli assi oici di enambe le componeni sono inclinai dell angolo ispeo alla base del cono. Dao un oggeo che si iflee su uno specchio conico, la componene piaa dello specchio genea una immagine viuale idenica allo sesso oggeo, mene la 10

12 componene convessa fa divegee i aggi povenieni dall oggeo geneando un immagine viuale lungo una iga focale. Quesa discepanza poduce abeazioni asigmaiche [13]. Pe calcolae la iga focale della componene convessa associaa a un geneico puno sul piano anamofico dobbiamo calcolae la lunghezza focale dello specchio nel puno di iflessione (x, y, z ), cioè, il suo aggio di cuvaua. Rifeendoci alle figue 3b e 5, l equazione del cono è: z g (x) Z + = 0, (3) Mene l equazione della linea sul lao del cono pe Y = 0 è Y x, 0, z z n (x) =. (4) Il piano pependicolae a (4), passane pe il puno geneico (x, 0, z ) in figua 5, è dao da. (5) X L inesezione a il cono (3) e il piano (5) genea l ellisse i cui semi-assi sono, in modulo (vedi Appendice ): Figua 5. Geomeia dello specchio conico ilevane pe il calcolo dell immagine viuale. Vedi eso pe la spiegazione dei simboli. e dove = /h = an. Possiamo quindi dedue il aggio di cuvaua R della componene convessa dello specchio conico nel puno geneico (x, 0, z ) che iflee il puno Q veso l ossevaoe E (vedi figua 3) come [1]: ovveo, La disanza q(z ) nell Eq. (8) è misuaa a paie dalla supeficie del cono veso l ineno. L'inesezione dell Eq. (8) con la linea di visa fonisce la posizione dell'immagine del puno anamofico Q(') iflesso in (x, 0, z ). Infai, la linea di visa è il segmeno che pae da E, passa in (x, 0, z ) e aiva al puno dell immagine viuale della componene piana dello specchio conico, vedi figua 3b. Infine, l Eq. (1) fonisce la coodinaa coispondene a Q('). Ripeendo quesa pocedua pe ogni puno Q(') del disegno 11 =. (6) La disanza q(z ) dalla supeficie del cono dell immagine di un puno geneico Q( ) iflesso dalla componene convessa dello specchio in (x, 0, z ) veso E (figua 3b) è daa dalla seguene equazione paassiale dello specchio 1 1 (7) Q ' q z R z dove Q è la disanza minima di Q( ) dalla linea (4). La funzione q(z ) è la iga focale che siamo cecando. Usando le Eq. (6) e (7), dopo alcuni passaggi ipoai in Appendice, oeniamo l effeiva disanza dell immagine di un puno geneico Q( ) dalla supeficie del cono come: ( h z )( ' )(1 ) q z ) cos (8) ( h z )(1 ) ( ' ) (

13 anamofico oeniamo la supeficie Z ima () dell'immagine viuale dell anamofosi. In alenaiva, una deduzione analiica di Z ima () nel caso d >> h è deagliaa nell Appendice 3. La figua 6 mosa il gafico di Z ima () in funzione di / e consideando un puno di visa disane 4h dal veice del cono. Vediamo che la supeficie dell immagine viuale non coincide affao con il piano della base del cono, come assuno in [1-9]. Piuoso, si aa di una supeficie 3-D complessa, a foma di cappello da faucchiea, che pae dalla ciconfeenza che delimia la base del cono, divena negaiva (cioè, passa soo la base) pe alcuni valoi di e, poi sale fino al veice, vedi figua Zima (a.u.) / 1 Figua 6. Gafico della supeficie dell immagine viuale Z ima () nel piano XZ in funzione del aggio nomalizzao / pe diffeeni valoi di e pe un puno di visa disane 4h dal veice del cono. La linea coninua mosa la supeficie del cono. Figua 7. La giglia inena al cono appesena la supeficie 3-D dell immagine viuale dell anamofosi conica pe = MISURE SPERIMENTALI Abbiamo ealizzao divesi specchi conici uilizzando pellicole di PET, cae di maeiali lucidi ifleeni e un veo acilico massiccio lucidao. Tamie una foocamea CMOS ( pixels) con messa a fuoco manuale, posa pependicolae alla base del cono, abbiamo ovao il miglio piano focale dell'immagine viuale di un disegno poso sul avolo in una daa posizione adiale del cono, vedi figua 8. elecamea specchio conico ialzo a) b) c) d) Figua 8. a) Schema dell appaao speimenale usao pe la misua dell immagine viuale di una scia/disegno poso sul piano dove poggia la base dello specchio conico. Pe poe misuae valoi negaivi dell alezza dell immagine viuale (posi cioè soo la base dello specchio conico) abbiamo poggiao lo specchio sopa un ialzo sul avolo. b) Esempio di misua del piano focale della scia sulla base iflessa dal cono. c) Misua della disanza focale amie scala gaduaa su un cono gaduao poso sul avolo. d) Specchio conico gaduao. Abbiamo ipeuo la misua della posizione dell immagine viuale pe diffeeni posizioni adiali di ogni specchio conico, e divese vole pe ciascuna posizione adiale in modo da avee una saisica da cui icavae 1

14 media e vaianza del isulao speimenale. A iolo esemplificaivo, la figua 9 mosa i isulai pe lo specchio con = Inole, pe ogni specchio conico avene > 6 abbiamo misuao il massimo valoe dell'alezza negaiva dell'immagine viuale vicino alla base, peviso nelle figue 6 e 7, ed i isulai sono iassuni nella figua 10. Abbiamo già soolineao che gli specchi conici sono asigmaici [13], cioè i aggi sagiali e meidionali iflessi geneano divese immagini viuali in luoghi divesi. Le bae di eoe veicale nelle figue 9 e 10 engono cono dei isulai di divese misue nella sessa posizione adiale del cono, che danno isulai leggemene divesi pincipalmene a causa delle abeazioni asigmaiche, così come di alcuni limii dell appaao speimenale. Figua 9. Linea aeggiaa: supeficie dell immagine viuale Z ima () nel piano XZ del cono con = Cechi: isulai speimenali dell immagine viuale. La iga solida mosa la supeficie del cono, come ifeimeno. Figua 10. Linea piena: valoi eoici del modulo dell'alezza negaiva dell'immagine viuale vicino alla base degli specchi conici, nomalizzaa all alezza dei coni, in funzione della semiapeua del veice dei coni. Cechi: isulai speimenali. 5. DISCUSSIONE DEI RISULTATI I isulai dei calcoli analiici (vedi Eq. (8), figue 6 e 7) e degli espeimeni (figue 9 e 10) dimosano che la supeficie dell'immagine viuale di specchi conici ha una foma 3-D complessa. A queso puno è lecio domandasi peché pecepiamo l'immagine viuale di anamofosi coniche 'ben icosuia' (vedi, ad esempio, la figua 4) come se si aasse di un immagine -D alla base dello specchio conico, in appaene accodo con la cosuzione geomeica della figua 3. Il moivo è dovuo all effeo cumulaivo di cause concomiani. Ad esempio, le anamofosi coniche si appezzano meglio se ossevae con un occhio solo (pe eviae gli effei coeivi della visione binoculae [-8]) e da una disanza pai ad almeno e o quao vole l'alezza del cono. Da una ale disanza, la pofondià di fuoco del noso occhio è abbasanza gande da impedie la pecezione della pofondià della supeficie su cui si colloca l immagine viuale, geneando quindi la sensazione di ossevae un immagine piaa. Queso meccanismo è infozao dalla nosa innaa endenza ad accomodae l'inea immagine a fuoco, iducendo la dimensione della pupilla pe aumenae uleiomene la pofondià di fuoco dell'occhio. E il caso di soolineae che la modifica della dimensione di pupilla è un meccanismo auomaico, non conscio, e quindi è indipendene dalla nosa volonà []. Infine, quando pecepiamo l'inea immagine a fuoco, la nosa espeienza e la psicologia della Gesal [3] poano a scegliee la soluzione peceiva più nauale peché più fequene, e ci convincono che siamo ossevando un immagine -D posa alla base del cono. 13

15 6. CONCLUSIONI Abbiamo pesenao la pima aazione analiica esaa e i pimi isulai speimenali della supeficie su cui si colloca l immagine viuale geneaa da specchi conici solidi aveni l angolo al veice < 90, che sono in gado di ifleee immagini/disegni posi sul piano della base del cono, come quelli uilizzai nella icosuzione e imaging di anamofosi caoiche, vedi figua 4. I nosi isulai (figue 6, 7, 9, 10) dimosano che l'immagine viuale di specchi conici si ova su una supeficie idimensionale non inuiiva, mosando così come la cosuzione geomeica comunemene usaa (vedi figua 3) è inadeguaa pe ovae la posizione coea dell immagine viuale. Infine, abbiamo discusso i pocessi di pecezione visiva che poano alla sensazione di vedee l immagine viuale dell anamofosi conica su una supeficie bidimensionale assai divesa da quella misuaa. Il meodo analiico pesenao in queso lavoo può essee eseso a specchi conici aveni > 90 come quelli uilizzai come sumeni di imaging panoamico [11-16], vedi figua, ma in queso caso l'inesezione del cono (Eq. (3)) con il piano (Eq. (5)) poduce un'ipebole invece di un'ellisse nella figua 5. Quesa esensione poà essee oggeo di un aicolo successivo. 14

16 APPENDICE 1 Come si oiene l Eq. (1) che deemina la elazione analiica a i puni del disegno oiginale e quelli del disegno anamofico. Consideiamo il disegno della sezione di un cono appesenaa dal iangolo isoscele TVU di aggio, alezza h e di angolo al veice pai a Pe definizione, = an(h) Polungando l alezza h di un segmeno pai a VE, lungo d, la ea che da E poa al puno K inconeà la supeficie del cono nel puno R. L angolo di incidenza è analogo all angolo di iflessione, pe cui possiamo acciae il segmeno che passa pe R ed aiva sulla base su cui poggia il cono, nel puno Q. Il puno K, soo la base del cono e disane dal ceno, è quindi il coispeivo del puno Q, a disanza dal ceno, che fa pae del disegno anamofico. Dal iangolo EVR abbiamo ovveo La lunghezza è pai ad + QK. Ques ulimo segmeno è pai alla diffeenza a QP e KP che sono enambi caei di un iangolo eangolo in P. Dea a la disanza a V e S, (S è la poiezione di R sull alezza del cono, vedi figua) si ha che: QP = (h-a) an() = (h-a) an(), e inole KP = (h-a) an Q K P T R E V S O a d U h Peano: ' ( h a) [an( ) an]. (A1) Poniamo an( ) d h h B an( ) h Ques ulima uguaglianza si oiene icodando che an = /h. Infai, usando l equazione possiamo scivee an an( ), 1 an 15

17 an( ) h 1 h da cui l equazione pe B scia in pecedenza. h h Consideiamo oa i iangoli eangoli VRS e VTO in figua. Pe il cieio di similiudine si ha che VS / VO = RS / TO, ovveo a/h = (d+a) an/ (d+a) A/ da cui da a hda /hae quindi h a h1. ha Risciviamo l equazione (A1) agguppando i emini uguali e sosiuendo il emine (h-a): da ' h1 an( ) an (A) ha Un noa fomula di igonomeia sulla angene della diffeenza di due achi ci pemee di scivee: an( ) an an( )an an( ) an( ) 1 an( )an pe cui / B A A an( ) an( ) 1 A/ B Sosiuendo (A3) in (A), infine, abbiamo / B 1 AB A B A (A3) da 1 AB A ' h1 ha B A 4 Ricodando che A = /(h+d), dalla Eq. (A4) oeniamo l Eq. (1) del Rappoo: come volevasi dimosae. 1 AB A ' h ha B A Gazie alla simmeia assiale, pe asfomae un disegno nel suo anamofismo conico è sufficiene che ogni puno del disegno oiginale, di coodinae polai (, ), venga mappao nel coispondene puno di coodinae (, ), con legao ad dall Eq. (1). Tuavia, poiché il disegno anamofico è più eseso di quello oiginale, non vi è una coispondenza 1:1 a i singoli puni dei due disegni. Volendo pogeae un sofwae pe ealizzae delle anamofosi, dunque, è necessaio inveie l equazione pecedene e ovae, pe ogni puno del disegno anamofico, il coispondene puno dell immagine oiginale. In queso modo il piano anamofico saà unifomemene mappao, anche nel caso in cui la isoluzione dell immagine oiginale non sia elevaa. 16

18 APPENDICE Come si oiene l Eq. (8) che deemina la linea focale della componene convessa di uno specchio conico. Dao uno specchio di aggio di cuvaua R noo, la sua lunghezza focale è daa da f = R/. Pe calcolae la focale dello specchio conico è dunque necessaio conoscee il aggio di cuvaua nel puno in cui viene iflessa l immagine anamofica. La cuvaua dello specchio vaia lungo l alezza del cono, quindi R = R(z). Come evidenziao nel Rappoo, inole, la componene convessa dello specchio conico appaiene ad una ellisse appesenaa dall inesezione del piano pependicolae al cono nel puno di iflessione con il cono sesso. Consideiamo la figua 5 del Rappoo e la figua a lao. I semiassi dell ellisse (di cui si vede la sezione aeggiaa nella figua a lao) sono dai ispeivamene da [1]: D d a cos b D d. V N L d J Dai i due iangoli VMI e VNJ abbiamo: D d H (A5) an I D B M K H Consideando i iangoli ILM e IJK possiamo scivee la seguene elazione: T U H D d B D an (A6) Combinando (A5) e (A6) abbiamo: D d ( D d) an an (A7) Usando gli sessi simboli del Rappoo, ovveo = an e x = d, l Eq. (A7) poa al seguene isulao: 1 D x. 1 A queso puno possiamo calcolae i semiassi dell ellisse: b D x x 1 1 e D x a cos 1 x 1 1 cos x (1 ) cos. Poiché 1 cos 1 an cos, cos 1 17

19 1 da cui a x 1 Abbiamo quindi oenuo le fomula dei semiassi S min e S max del Rappoo. Il aggio di cuvaua dell ellisse sull asse maggioe vale [1]: b R x x 1 x (A8) a 1 1 cos x 1 Come peviso, il aggio di cuvaua dipende dal valoe x (o, equivalenemene, da z ), ovveo dal puno sullo specchio in cui si osseva la iflessione di un paicolae puno dell anamofosi. Ci poponiamo, oa, di passae dalla fomula del aggio di cuvaua alla fomula che espime la disanza dalla supeficie del cono dell immagine viuale dei aggi povenieni dal disegno anamofico. Daa una disanza minima Q a la linea geneaice dello specchio conico z g (vedi Eq. (4) e figua 5) e il puno del disegno anamofico che si iflee in x, la disanza dalla supeficie del cono su cui veà fomaa la sua immagine viuale q(z ) è daa dall Eq. (7) del Rappoo (fomula paassiale dello specchio): 1 Q 1 ' qz R z, (7) dove il segno indica che lo specchio è convesso, quindi si compoa come una lene divegene. Dall Eq. (7) oeniamo: Q ( ') R( z ) q( z ) (A9) R( z ) Q ( ') Il valoe di Q ( ) si oiene acciando la pependicolae alla linea geneaice del cono z g (Eq. (4)) dal puno Q della figua 3b del Rappoo e vale: Q ( ') ' cos Sosiuendo (A10) e (A8) nell Eq. (A9) oeniamo: (A10) x ( ' ) q( z ) cos x ( ' )cos ( ) in cui abbiamo eliminao pe comodià il segno - e icodando, quindi, che da oa in poi valoi posiivi vanno inesi come diei dalla supeficie veso l ineno del cono. 1 Poiché x ( h z ) e cos la sessa elazione può essee scia nella foma equivalene 1 q ( h z )( ' )(1 ) ) cos ( h z )(1 ) ( ' ) ( z che è l Eq. (8) del Rappoo, come volevasi oenee. 18

20 APPENDICE 3 Come espliciae la funzione che appesena il piano dell immagine viuale ispeo alla coodinaa polae del disegno oiginale. Ci poponiamo di icavae l equazione che appesena il piano immagine viuale in funzione della sola coodinaa. Richiamiamo le equazioni del Rappoo coinvole nella definizione del piano immagine: Eq. (1): Eq. (): Eq. (8): 1 AB A ' h ha B A ( ) ' 1 an q ( h z )( ' )(1 ) ) cos ( h z )(1 ) ( ' ) ( z Possiamo usae l Eq.(), che è l appossimazione dell Eq.(1) nel caso d >> h, peché a poseioi il isulao è quaniaivamene molo simile a quello esao, senza appossimazioni, ma l Eq. () evia la complicazione di consideae una linea di visa obliqua che ineseca la funzione q(z ). Con l Eq. (), infai, la linea di visa è paallela all asse Z, peano è più semplice oenee la supeficie viuale in modo dieo a paie dalla funzione q(z ). Il emine (h - z ) nell Eq.(8) è pai alla disanza denominaa con la leea a nella figua dell Appendice 1. Quindi a( ' )(1 ) q( z ) cos (A11) a(1 ) ( ' ) Dall Eq. (), icodando che an=, oeniamo: ( ) ' 1 L Eq. (A11) divena così: 1 ' ( ) 1 q a( )(1 ) ( z ) cos (A1) a(1 ) ( ) Non ci esa che calcolae la vaiabile a. Ossevando la figua dell Appendice 1 possiamo scivee: a = h RP RP = KP / an KP = PO PO = a an da cui, icodando che an/h =, e che an = /(d+h): a h a an ( d h) h ( a ) h hd a h ( ) d La funzione q(z ) nell Eq. (A1) oa può essee scia nella sola vaiabile : 19

21 hd( )(1 ) q( ) hd(1 ) ( ) h ( ) d cos che, nell appossimazione d >> h può essee uleiomene semplificaa nella seguene foma: ( )(1 ) q( ) cos (1 ) ( ) La cuva che appesena il piano immagine poieao su XZ è daa dalla diffeenza a la funzione che appesena la supeficie del cono e la disanza a cui si foma l immagine dalla supeficie sessa poieaa sull asse veicale lungo la diezione della iga focale (disanza di aslazione q (), vedi figua a lao), ovveo: Z ima () = z g () q()/sin dove z g () è daa dall Eq. (5) del Rappoo e, quindi: Z ima () q() q () Puno di iflessione h ( )(1 ) 1 Z ima ( ) h (1 ) ( ) (A13) Posizione del puno immagine Nel gafico seguene sono mosae le sesse cuve della supeficie dell immagine viuale già mosae nella figua 6 del Rappoo, ma oenue dieamene dall Eq. (A13), ovveo con il puno di visa all infinio. 1 Zima (u.a.) = 5.7 = 6.6 = 38.7 = / 0

22 REFERENZE [1] J.F. Nicéon: La pespecive cuieuse, ou magie aificielle des effes meveilleux de l'opique pa la vision diece (Pais, 1638). [] M. Gadne: L affascinane magia dell ae anamofica Rubica Giochi Maemaici Le Scienze n. 81 vol. XIV (1975) p [3] J. Balušaiis: Anamofosi o magia aificiale degli effei meavigliosi (Adelphi, 1978) p [4] J. Walke: Anamophic picues: disoed views fom which disoion can be emoved Scienific Ameican 45, (1981). [5] J.L. Hun, B.G. Nickel, C. Gigaul: Anamophic images Ameican Jounal of Physics 68, 3-37 (000). [6] A.V. Giin: Anamophosis and disoion Opics and Specoscopy 88, (000). [7] P. Di Lazzao, D. Mua: Figuaive a, pecepion and hidden images in invese pespecive Enegia Ambiene Innovazione 1-, 4-51 (013). (conollao il 10 Oobe 013). [8] P. Di Lazzao, D. Mua: L anamofosi a ae, pecezione visiva e pospeive bizzae Rappoo Tecnico RT/013/05/ENEA (013). hp://openachive.enea.i/biseam/handle/10840/4479/rt ENEA.pdf?sequence=1 (conollao il 10 Oobe 013). [9] Vedi, ad esempio, hp:// (conollao il 10 Oobe 013). [10] Pieo Accoli: Lo inganno degli occhi (Fienze, 165) cap. XXXVI, p. 48. [11] Y. Yagi, S. Kawao, S. Tsuji: Real-ime omnidiecional image senso (COPIS) fo vision-guided navigaion IEEE Tansacions Roboics and Auomaion 10, 11- (1994). [1] J.S. Chahl, M.V. Sinvasan: Reflecive sufaces fo panoamic imaging Applied Opics 36, , (1997). [13] S.S. Lin, R. Bajcsy: Single-viewpoin, caadiopic cone mio omnidiecional imaging heoy and analysis Jounal of he Opical Sociey of Ameica A Op. Image Sci. Vis. 3, (006). [14] D. Souhwell, B. Vandegiend, A. Basu: A Conical Mio Pipeline Inspecion Sysem Poc. ICRA vol. 4, (1996). [15] M. Ou-Yang, W.D. Jeng: Design and analysis of adial imaging capsule endoscope sysem Opics Expess 19, (011). [16] L. Chen, W. Wang, M. Zhang, W. Bao, X. Zhang: Complemenay-sucue caadiopic omnidiecional senso design fo esoluion enhancemen Opical Engineeing 50, (9) (011). [17] Vedi, ad esempio, P.Fleuy, J.P. Mahieu: Immagini oiche vol. 4 del Taao di Fisica Geneale e Speimenale (Zanichelli, Bologna 1963). [18] J.W.Y. Li, E. Bannen: Opical popeies of a eflecing cone Jounal of he Opical Sociey of Ameica 60, (1970). [19] J.W.Y. Li: Image fomaion of a eflecing cone fo an off-axis souce Jounal of he Opical Sociey of Ameica 60, (1970). [0] L.M. Sooko: Meso-opical devices in Pogess in Opics (E. Wolf Edio, Elsevie, 1989) vol. 7 cap., p

23 [1] Vedi, ad esempio, C. Bogi: L opea di Coado Bogi cap. II, hp://spazioinwind.libeo.i/coadobogi/ (conollao il 10 Oobe 013). [] Vedi, ad esempio, B. Wang, K.J. Ciuffeda: Deph-of-focus of he human eye: heoy and clinical implicaions Suvey of Ophhalmology 51, (006). [3] Vedi, ad esempio, M. Weheime: Gesal heoy (Hayes Baon Pess, 1944) p Vedi anche K. Lewin, F. Heide, G. Heide: Pinciples of opological psychology (New Yok, McGaw-Hill 1936) p Pe una inoduzione elemenae, vedi hp://i.wikipedia.og/wiki/psicologia_della_gesal (conollao il 10 Oobe 013).

24 Edio dall Sevizio Comunicazione Lungoevee Thaon di Revel, Roma Sampa: Tecnogafico ENEA - CR Fascai Pevenuo il Finio di sampae nel mese di gennaio 014