= Atteso che la traccia stabilisce che t 0 = 0 secondi, la relazione di anzi scritta assume l ovvia forma: t

Transcript

1 EOND PO N TNEE UGO 007 EEZO E..: Nel cicuio di figua l ineuoe è chiuso da molo empo. ll isane O 0 s viene apeo. i desidea deeminae sia analiicamene sia gaficamene pe O l evoluzione nel empo di v () e di i (). ono noi: mf, Ω, m Ω;. m i () 0 i () v () i aa di deeminae le caaeisiche del ansioio amie il quale l elemeno eaivo consevaivo condensaoe passa da uno sao di equilibio ad un alo, in conseguenza delle modificazioni della suua della ee di appaenenza, oenue pe commuazione di apposii ineuoi. n ale ambio si icoda che la ensione alle amaue del condensaoe è una vaiabile di sao e quindi una funzione empoalmene coninua. (figua - ) andameno empoale della ensione v () ai mosei del condensaoe pe ogni O è espesso dall inegale paicolae dell equazione diffeenziale lineae del pimo odine a coefficieni cosani associaa alla ee di figua, a paie da O e che di seguio si ipoa: ( vc ( ) vc( ) [ vc( ) vc( o )] e o ) τ eso che la accia sabilisce che 0 0 secondi, la elazione di anzi scia assume l ovvia foma: τ v ( ) v ( ) [ v ( ) v ( 0)] e Peano, l andameno empoale di v () è noo alloché sono calcolai i e paamei: v (0), v ( ) e τ. Daa la coninuià della vaiabile di sao v () esa ovvia la posizione seguene: m i () i (0) v( 0 ) v( 0 ) v( 0) ovveo, nell isane in cui l ineuoe passa dalla 0 v (0) posizione chiuso alla posizione apeo, la ensione v () ai mosei del condensaoe non cambia il popio valoe. l calcolo della v (0-) va peano svolo consideando la ee di figua a, in cui il (figua - a: ee valida a 0) condensaoe viene modellizzao con un cicuio apeo, in quano già compleamene a egime. Tano, infai, cosiuisce l inepeazione fisica della specificazione l ineuoe è chiuso da molo empo. a ee di figua a mosa con immediaezza che i (0-) 0, e ancoa v (0-) 0. ll isane O 0 secondi l ineuoe si ape. Dopo molo empo, ceamene dopo un empo supeioe al empo di assesameno, che aesa la fine del ansioio, il condensaoe si saà di ceo caicao alla ensione imposa dalla nuova ee di m i () i ( ) appaenenza, mosaa anche amie la figua b. v ( ) a nuova condizione di egime, come facilmene si veifica anche pe ispezione diea, dà suppoo fisico alla sciua seguene: i ( ) 0. lloa ne consegue, che il geneaoe dipendene di ensione m i () piloao dalla coene i () i ( ) dovà (figua - b: ee valida pe ) ienesi speno e, peano, sosiuibile da un coo cicuio apeua dell ineuoe, con la elaiva sosiuzione del condensaoe a egime con il bipolo equivalene cicuio apeo, consenono di evincee che, ovveo il geneaoe indipendene di coene eoga la popia coene esclusivamene nella esisenza.

2 pplichiamo la legge di Kichhoff delle ensioni all unica maglia individuabile sulla ee, si peviene alla elazione di seguio ipoaa: v ( ) 0 v ( ) 0 v ( ) esa oa da deeminae la cosane di empo τ TH in cui TH è la esisenza equivalene di Thévenin senia dal condensaoe. a ee da esaminae viene mosaa in figua c. isula così i () TX evidene pe diea che: i ( ) TX ( ) m i () pplicando la legge di Kichhoff delle ensioni all unica maglia uilizzabile della ee mosaa in figua c, si peviene alla elazione seguene T 0 (figua - c: ee valida pe il calcolo di TH ) ( ) i ( ) TX m TX TX ovveo, icodando la elazione (): TX m TX TX TX Opeando i dovui passaggi algebici si oiene: TX m TX icodando la definizione di esisenza equivalene di Thévenin si peviene alla sciua: TX ( m ) TX TH ( m ) ( ) 4Ω TX 0 TX Ne consegue che la cosane di empo τ è fonia dalla elazione di seguio ipoaa: 3 τ TH ( m ) 4 0 4ms i è oa in gado di deeminae compiuamene la funzione empoale v () pe ogni 0; infai si oiene: τ ( vc vc vc vc o e e m ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( 0) e e a sciua finale che consene di espimee l andameno empoale della ensione v () ai mosei del condensaoe è, peano: 50 vc( ) e [ ] Pe quano aiene alla coene i (), pe > O, la elazione cosiuiva del condensaoe consene di elazionae come segue: i dv c( ) vc ( ) vc( 0) e d e c( ) e τ 0 τ τ TH ( m ) ( m ) ovveo, opeando le necessaie sosiuzioni e semplificazioni: ( 4 0 ) ic( ) e , 5 e 4 TX gafici che ipoano l andameno empoale della ensione v () ai mosei del condensaoe e della coene i () cicolane nello sesso sono ipoai in figua e. gafici evidenziano, inole, sia l inepeazione geomeica della cosane di empo sia le condizioni di egime con aso chiuso e con aso apeo.

3 andameno empoale della ensione ai mosei del condensaoe c au c(inf).5 c() - exp(-50 ) 0.5 c(0-) empo in secondi andameno empoale della coene ai mosei del condensaoe c 0.5 ic(0)0, c() 0,5 exp(-50 ) c(0-) 0 c(inf) 0 au empo in secondi (figua - e: andameno della ensione e della coene ai mosei del condensaoe)

4 EEZO E..: l cicuio opea in egime sinusoidale. i deemini il cicuio equivalene di Thévenin E eq (ω) e Z eq (ω) ai mosei e del bipolo ipoao in figua. i deemini, successivamene, la poenza eleica media assobia dal esisoe di caico quando viene collegao al bipolo. ono noi: Ω, Ω, F, He, v () cos []. i chiede, sosanzialmene, di ovae il più semplice bipolo che isuli eleicamene equivalene alla ee oiginaia assegnaa. l bipolo in oggeo, dao che viene ichieso l equivalene Thévenin, saà cosiuio da un geneaoe eale di ensione, avene foza eleomoice E TH E eq ed impedenza inena Z TH Z eq, così come è mosao nella figua a. v Opeando nel dominio dei fasoi, isulano ovvie, () con ifeimeno alla figua c, le posizioni segueni: 0 e ω s (figua - ) Z X ω Z TH Z X E TH X X (figua - a) K K (figua - b) K Z ω a) alcolo della ensione E TH E eq Pe ispezione diea della ee di figua b si consaa che la ensione E TH E eq del geneaoe equivalene di Thévenin si deemina con l applicazione della legge di Kichhoff delle ensioni alla maglia esena (K) che fonisce la sciua di seguio ipoaa: E eq K K empe pe ispezione diea della ee di figua b, si evince che le ensioni K e K, consideao che il bipolo si ova a vuoo e che la coene isula pe ipoesi 0, sono una ipaizione della ensione fa gli elemeni cicuiali che caaeizzano, ispeivamene, sia il lao supeioe sia il lao infeioe affeeni al geneaoe indipendene eseno. i ha: K Z X i peviene, peano, alla sciua di seguio ipoaa: 0 K E eq ( Eeq K K ) ( ) ( ) ( ) ω 4 b) alcolo dell impedenza Z TH Z eq Nella figua c è mosaa la ee da esaminae pe la deeminazione dell impedenza equivalene di Thévenin Z TH Z eq. e popieà della ee si evidenziano facilmene nella figua c in cui si osseva il collegameno seie fa l equivalene paallelo della esisenza con la eaanza induiva X e l equivalene paallelo fa la esisenza e la eaanza capaciiva X. Peano il bipolo equivalene sopa ciao pesena nei confoni del geneaoe es una impedenza complessiva definia dalla elazione seguene:

5 Z ( Z Z ) ( Z Z ) ( X ) ( X ) X X X X volgendo i elaivi passaggi algebici si oiene: Z X ( X ) X ( X ) ( X ) ( X ) Ovveo, sosiuendo i valoi di, X ed X, si peviene a: Z ( ) ( ) ( ) ( ) Pocedendo con le dovue semplificazioni, si oiene la sciua finale dell impedenza equivalene Z ai mosei del geneaoe es TX : Z ( ) Z Zeq Z TX TH icodando la definizione di mpedenza equivalene di Thévenin, si pone la elazione seguene: TX Z Z Ω TX 0 TX i è così oempeao alle condizioni ichiese pe deeminae compiuamene i paamei E eq E TH e Z eq Z TH,che sono mosai nella figua a e che qui si ipoa come figua -d. l calcolo ichieso della poenza media assobia dalla esisenza si aduce nella deeminazione della poenza aiva P a eleica che il caico assobe e che dissipa soo foma di caloe. pplicando la egola del paioe esisivo di ensione si oiene la sciua: Z E TH ( ) TH i ossevi che l impedenza equivalene Z TH è dello sesso valoe e della sessa naua, puamene ohmica, della esisenza di caico ; ne consegue, che pe la ee di figua d, sono veificae le condizioni del massimo asfeimeno di poenza aiva dal geneaoe al caico. icodando la elazione che definisce la poenza aiva dissipaa da una esisenza in egime sinusoidale, si oiene la sciua di seguio ipoaa: P W 0, 5 ome veifica del isulao conseguio, si deemini la coene cicolane nella esisenza ; si oiene la elazione seguene: X X (figua - c) E TH Z TH (figua - d) ETH TX TX ZTH a poenza complessa ichiesa dal caico è sabilia dalla sciua di seguio ipoaa: * * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 5 W

6 ome si osseva, ua la poenza assobia dalla esisenza è poenza aiva e vale esaamene la meà della poenza geneaa dal geneaoe E TH. Una uleioe veifica del calcolo della poenza aiva assobia da è fonia dalla elazione che di seguio si ipoa: P 0, 5W EEZO E.3.: l cicuio di figua 3 opea in egime sinusoidale. ssumendo come ideale l opeazionale, si desideano deeminae le funzioni di ee H (ω) O /E e H (ω) O /. a funzione di ee H(ω) definisce la elazione che sussise, in una ee lineae in egime sinusoidale, fa il fasoe associao alla sinusoide coispondene ad una gandezza eleica della ee sessa ed il fasoe associao alla sinusoide coispondene alla gandezza eleica affeene alla sogene esena indipendene che sollecia la ee medesima. l cicuio mosao in figua 3 è caaeizzao dalla pesenza di due sogeni esene indipendeni, E in ensione, ed in coene, mene la ensione O definisce la gandezza di uscia d ineesse. esa la lineaià della ee nonché l isofequenzialià delle sogeni, nel dominio dei fasoi, il fasoe O associao alla sinusoide ensione di uscia v O (), saà espimibile come combinazione lineae delle sogeni esene ed i coefficieni di ale combinazione cosiuianno le funzioni di ee affeeni a ciascuna sogene esena; Quano deo è espesso dalla elazione seguene: H ( ω) E H ( ω ) ( ) O idealià dell amplificaoe opeazionale ende agione, vedi figua 3a, delle elazioni segueni: 0 E pplicando la legge di Kichhoff delle coeni alla supeficie Σ e icodando il pincipio della aslazione del poenziale, si oiene la sciua che di seguio si ipoa: E (figua 3) O O ( ω) (figua 3a) Pocedendo con le ovvie sosiuzioni ed eseguendo i elaivi passaggi algebici si oiene: ω ( E ) E E ω E ω O O n conclusione, si peviene alla sciua finale nella foma elazionale di seguio mosaa: ( ω ) O E ( ω ) O E ω ω ω ω onfonando la elazione oa ovaa con quano espesso dalla sciua () si può affemae che: Σ E O

7 H O ω H O ( ω ) E ( ω ) ω ω 0 E 0 Una seconda pocedua, che pe il poblema poposo isula paicolamene poficua da uilizzae come cieio isoluivo, è quella che uilizza le fasi opeaive affeeni all uso del il pincipio della sovapposizione degli effei. n ale coneso, aeso che la funzione di ee è definia nel dominio dei fasoi e che è assoluamene dipendene, nel caso geneale, dalla pulsazione ω della sogene, le due funzioni di ee H (ω) e H (ω), indipendenemene dalla condizione che le due sogeni E ed siano isofequenziali, possono facilmene calcolasi con la pocedua di seguio espliciaa. a) agisce E con 0. a ee da esaminae è quella mosaa in figua 3b in cui il geneaoe indipendene di coene è sao modellizzao con il bipolo cicuio apeo. i peviene, così alla classica configuazione NON nveene dell amplificaoe opeazionale in cui E. a elazione cosiuiva fa il fasoe associao alla sinusoide ensione d uscia O e il fasoe associao alla sinusoide ensione fonia dalla sogene esena E è individuaa dalla sciua seguene: Z E O a pocedua di sosiuzione dell impedenza di naua puamene capaciiva Z con la specifica elazione Z /(ω) fonisce la sciua che (figua 3b) consene di deeminae dieamene la Funzione di ee e che di seguio si ipoa: E E O E ω ( ω ) ω ω Ne discende con immediaezza la posizione seguene: H O ω ( ω) E ω b) agisce con E 0. a ee da esaminae è quella mosaa in figua 3c in cui il geneaoe indipendene di ensione E è sao modellizzao con il bipolo coo cicuio. i peviene, così, alla classica configuazione dell amplificaoe (figua 3c) Σ /ω opeazionale di conveioe NETENTE di coene in ensione, in cui vale 0. l pincipio di aslazione del poenziale, aeso che 0, assicua poi che deve avesi assoluamene 0, il che compoa di necessià, pe la supeficie Σ, la posizione: O 0, ovveo. a elazione 0 cosiuiva fa il fasoe associao alla sinusoide ensione d uscia O ed il fasoe associao alla sinusoide coene eogaa dalla solleciazione esena è individuaa dalla sciua seguene O ( ω) ( ω ). Ne discende con immediaezza la posizione seguene: H O ( ω) ω ω E /ω O