Università degli Studi di Salerno

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1 Univesià degli Sudi di Saleno Dipaimeno di Ingegneia Meccanica Coso di asmissione del caloe pof. G.Cuccuullo Moo laminae in condoi: analisi emica nella zona compleamene sviluppaa Luca alamo 6319 Michele Novella 6318 anno accademico 6/7

2 Sommaio Sommaio accia 3 1 Flusso cosane alla paee 1.1 Ipoesi di flusso isoemo e popieà dell acqua 1. Calcolo del numeo di eynolds Cenni sul conceo di sao limie 6 1. Calcolo del numeo di Pandl Deeminazione del pofilo di empeaua adimensionale e calcolo del numeo di Nussel Deeminazione del pofilo di empeaua dimensionale Veifica deli ipoesi di flusso isoemo 16 empeaua cosane alla paee.1 Deeminazione del pofilo di empeaua adimensionale e calcolo del numeo di Nussel meodo delle appossimazioni successive. Deeminazione del pofilo di empeaua dimensionale 5.3 Calcolo della poenza emica scamiaa 3. Veifica dell ipoesi di flusso isoemo 33 3 Applicazioni ecniche Pompa di caloe Condensaoe Dimensionameno di un condensaoe coassiale 6 Appendice 5 A.1 Scip del meodo delle appossimazioni successive 5 A. Analisi di convegenza del meodo delle appossimazioni successive 5 A.3 Soluzione oenua con ϑ di enaivo pai a 1 55 A. Bulk empeaue al vaiae della lunghezza del condoo nel caso di empeaua imposa alla paee 55 A.5 Scip pe il calcolo di L I al vaiae della lunghezza del condoo nel caso di empeaua imposa alla paee 55 Biliogafia 57 Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi

3 accia Una coene di acqua a empeaua amiene è iscaldaa fluendo aaveso un uo Dcm con q.1 W/cmq. Supponendo il flusso idaulicamene e emicamene sviluppao e sapendo che la poaa massica è 1 g/s, si appeseni l'evoluzione dei pofili di empeaua, dimensionali ed adimensionali. Si ipea lo sudio ipoizzando di iscaldae il fluido con empeaua di paee cosane 5 C. Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 3

4 1 Flusso cosane alla paee q.1w / cm m 1g / s Acqua flusso idaulicamene e emicamene sviluppao D cm 1.1 Ipoesi di flusso isoemo e popieà dell acqua Nella seguene aella si ipoano le popieà dell acqua allo sao liquido e a empeaua amiene C necessaie allo sudio del campo di empeaua. Nel seguio si faà l ipoesi di flusso isoemo, ovveo ali popieà, in geneale funzione della empeaua, si consideeanno cosani. Densià ρ kg/m 3 Viscosià cinemaica ν m /s Caloe specifico c 18.5 J/kg K Conduciilià emica k.6 W/m K Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi

5 1. Calcolo del numeo di eynolds Il ipo di egime, laminae o uoleno, che si insaua nel condoo è disciminao dal valoe che assume il numeo di eynolds. Il moo assume laminae pe e D <3; si iene a pecisae come ale valoe non può essee ineso come un valoe ciico di ansizione dal moo laminae al uoleno, in quano ale passaggio dipende da vai faoi che geneano insailià del flusso, quali la ugosià supeficiale, la cuvaua del condoo e l inensià di uolenza pesene nel fluido all imocco del uo. Come velocià di ifeimeno si assume la velocià di ingesso del fluido U i, supposo unifome il pofilo di velocià all imocco; infai si dimosa amie un ilancio di massa come quesa sia uguale alla velocià media U lungo l ineo condoo nell ipoesi di fluido incompimiile: m m m da cui U i U si oiene: m ρu D π i πρud ρuπ D. In paicolae, noa la poaa massica e la geomeia del condoo m 1 U i.3 m / s D 997 π 1 ρπ Quindi il numeo di eynolds saà: e D Ui D ν Peano il flusso è laminae. 6 < 3 Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 5

6 1.3 Cenni sul conceo di sao limie Pe definie il significao di flusso dinamicamene e emicamene sviluppao si accenna evemene al conceo di sao limie. Da un puno di visa fisico la zona di sao limie dinamico viene inodoa al fine di ecupeae l ipoesi di adeenza della lamina di fluido adiacene alla paee di un copo solido. Si disingueanno una zona inena in cui il pofilo di velocià saà foemene defomao, ovveo il gadiene di velocià è elevao e con esso gli sfozi angenziali a i filei fluidi, ed una zona esena disane dalla paee in cui il fluido non isene della pesenza del copo solido ed assume la velocià indisuaa dea asinoica. ale definizione scauisce dal fao che in ase al conceo di sao limie il fluido della zona inena ecupea la velocià indisuaa solo all infinio; lo sao limie dinamico può dunque anche essee definio, convenzionalmene, come lo sao di fluido all ineno del quale la velocià vaia da zeo fino al 99% della velocià della coene fluida indisuaa. Sao limie dinamico e emico pe una supeficie piana Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 6

7 Se vi è una diffeenza di empeaua a la coene fluida e la supeficie della paee si sviluppa uno sao limie emico analogamene allo sao limie di velocià. Le paicelle che vengono a conao con il copo solido si poano in equiliio con la empeaua della supeficie. Quese paicelle a loo vola scamiano enegia con quelle degli sai fluidi adiaceni e si sviluppa così il gadiene di empeaua nel fluido. La egione in cui è pesene un gadiene di empeaua è denominaa sao limie emico il quale può anche essee definio come lo sao di fluido all'ineno del quale la empeaua vaia dal valoe di paee fino al 99% del valoe di empeaua amiene. egione di ingesso dinamico egione dinamicamene sviluppaa Sao limie dinamico in un condoo egione di ingesso emico Sao limie emico in un condoo egione emicamene sviluppaa Ci si aspea dunque che l alezza di sao limie cesca nella diezione del moo. Paicolaizzando ali concei pe un moo all ineno di un condoo si può immediaamene noae che l alezza di sao limie non può cescee all infinio, ma ha un limie supeioe dao dal aggio del condoo. Saà dunque Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 7

8 definia una zona di ingesso dinamico di lunghezza L ID, caaeizzaa da uno sao limie cescene, e una zona dinamicamene sviluppaa in cui l alezza suddea ha aggiuno il suo limie supeioe. Analogamene si può definie una zona emica di imocco di lunghezza L I e una zona emicamene sviluppaa. 1. Calcolo del numeo di Pandl A queso puno imane da consideae quali a le due zone di imocco, quella dinamica e quella emica, sia più lunga. Già con un analisi di scala si può coelae ale aspeo con il valoe del numeo di Pandl; infai pe P>1 si ha L I >L ID, vicevesa pe P<1. ale paameo dimensionale dipende unicamene dalle popieà del fluido, peano può essee facilmene calcolao: ν P α ν ρ c k > 1 Quindi, essendo L I >L ID, si definisce come zona compleamene sviluppaa quella pozione di condoo avene X>L I, con X ascissa la cui oigine è pesa nella sezione di imocco. egione di ingesso egione inemedia egione compleamene sviluppaa L ID L I Zona compleamene sviluppaa Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 8

9 Inole da analisi più accuae si oengono isulai che pemeono di calcolae la lunghezza delle due zone di imocco: L L. 5 D ID e D I.3. D e D P La scela del coefficiene nel calcolo della L I dipende dalla condizione al conono,.3 se si impone la empeaua alla paee,. se si impone il flusso emico, quindi ovandosi nel secondo caso si ha: L ID m L I m E oppouno pecisae che la definizione di flusso compleamene sviluppao, zona in cui il pofilo di velocià non vaieà più con la disanza dall imocco, ha senso soo l ipoesi di flusso isoemo. In caso conaio la empeaua vaieà da puno a puno e in paicolae dalla disanza dall'imocco. Ma anche ue le popieà fisiche del fluido, dipendendo dalla empeaua, vaieanno. Non si può quindi oenee igoosamene un pofilo compleamene sviluppao finchè c'è scamio emico. Quando uavia le diffeenze di empeaua in gioco sono piccole è agionevole opeae soo ale ipoesi, pevia veifica dei isulai oenui. 1.5 Deeminazione del pofilo di empeaua adimensionale e calcolo del numeo di Nussel L oieivo del seguene sudio è quello di caaeizzae il pofilo di empeaua nella zona compleamene sviluppaa. E facile inuie che, diffeenemene dal pofilo di velocià il quale in ale egione è funzione della sola coodinaa adiale, finanoché vi è scamio emico il pofilo di empeaua dipende sia dalla coodinaa adiale che da quella assiale. A al fine viene in aiuo l equazione dell enegia: ρ c UX + V k[ / + XX ] Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 9

10 quesa può essee isola ispeo l incognia X, una vola noo il campo di velocià: U U i1 ; V X, ale soluzione, dea di Poiseuille, si oiene isolvendo le equazioni di Navie- Sokes in coodinae cilindiche semplificae nell ipoesi di flusso sviluppao dinamicamene; si ossevi come il pofilo di velocià sia paaolico ed indipendene dalla coodinaa assiale. Ponendo X/X if, /, X if De D P/, uu/u i, vv/v if, - if /? if si oengono le elazioni adimensionalizzae: u / u 1 ; v Si ossevi come l adimensionalizzazione poa a ascuae il emine di conduzione assiale nell equazione dell enegia ed il ilancio si iduce all uguaglianza a il emine conveivo assiale e quello di conduzione adiale. L oieivo oa è di ovae la soluzione,. uavia si può sposae il polema al calcolo di una oppouna empeaua adimensionale ϑ ϑ funzione del solo aggio, la cui esisenza è connessa alla cosanza del numeo di Nussel, ovveo il coispeivo adimensionale del coefficiene h di scamio conveivo. Queso è definio come: qconveivo Nu qconduivo Dall equazione dell enegia adimensionalizzaa si evince che il flusso conduivo è paagonaile a quello conveivo, quindi si può assumee NuhD/k 1, ovveo il Nussel è cosane nella zona compleamene sviluppaa ed ha odine di gandezza uniaio, peano anche il coispeivo dimensionale saà cosane. Si può definie h come: k h Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 1

11 Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 11 dove è la empeaua di paee e è la empeaua di mescolameno adiaaico o ulk empeaue definia amie un ilancio di enegia convea aaveso la geneica sezione: c U mc E π ρ A A Ucd m cd de E ρ π quindi: 1 i ud d U U La empeaua di mescolameno adiaaico si deemina pe via speimenale mescolando adiaaicamene il fluido che passa aaveso la sezione geneica e misuandone la empeaua isulane finale. Adimensionalizzando la definizione di h si oiene: Nu, Essendo il pimo memo cosane lo dovà essee anche il secondo, quindi si può definie:, ϑ da cui si oiene: ] [, + ϑ Nu ϑ Quano deo finoa è valido indipendenemene dalla condizione al conono. Dalla cosanza del coefficiene di convezione ed imponendo la condizione di flusso emico cosane alla paee si oiene dalla legge di Neon che: h q cos Da cui:

12 Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 1 ; + ϑ Ovveo Da un ilancio di enegia alla geneica sezione si oiene: dx X m c m c m c q PdX X dx X + Da cui: D U k q mc q P X i α Adimensionalizzando ponendo X if U i D /a e if q D/k si oiene: 1 Quindi il isulao impoane è che 1 Cioè il pofilo di empeaua asla lungo il condoo, ovveo a fone di uno scamio emico cosane la empeaua media aumena diminuisce nel caso di enegia emica enane uscene, pu manenendosi invaiaa la foma del pofilo. Oa non esa che scivee l equazione dell enegia in emini di ϑ : Nu q D k h q h q u if 1 ' ' 1 ' ϑ ϑ ϑ Sosiuendo il campo di moo di Poiseuille e coedando ale equazione delle oppoune condizioni al conono, e la condizione di simmeia ispeo l asse del condoo, si definisce il seguene polema diffeenziale:

13 Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 13 ' 1 ' 3 ϑ ϑ ϑ Nu il quale può essee inegao pe via analiica: 1 3 ' C Nu + ϑ Dalla condizione al conono di simmeia si oiene C 1. Coninuando ad inegae: 16 C Nu + ϑ Dalla condizione al conono di simmeia ispeo l asse si oiene Nu C 8 3, quindi: Nu ϑ Il Nussel incognio si icava dalla definizione di paicolaizzaa pe il flusso di Poiseuille e ipoaa in emini di ϑ : d ud Soaendo amo i memi e enendo cono del ilancio di massa in emini adimensionali si oiene: d d d d Dividendo quindi pe - : d ϑ Sosiuendo ϑ : Nu d Nu Quindi il pofilo di empeaua adimensionale ϑ è: ϑ

14 Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi Deeminazione del pofilo di empeaua dimensionale Senza passae pe il pofilo adimensionale,, si può dieamene deeminae il pofilo dimensionale X,. Infai dalla definizione di ϑ : if if if if if if if if X X X X X X,,,, ϑ da cui: , X X X Nu X + + I L X pe > Si noi come quesa valga solo nella zona compleamene sviluppaa, ovveo pe valoi di X maggioi di L I. Si è già viso che X e X hanno un andameno lineae con pendenza noa, quindi:

15 q P X X + C1 mc Essendo X C q P ; X X + C mc si noi che ali andameni valgono anche nella zona non sviluppaa in quano sono sai icavai da un ilancio di enegia si oiene C 1. Inole dalla legge di Neon: q q.1 1 X X 7.6 C h knu 8.6 D 11. Si ossevi che > come peviso in caso di flusso emico enane. Essendo X 7. 6 C si oiene C 7.6, quindi: X 1.5X + ; X 1.5X Il pofilo dimensionale X, nella zona compleamene sviluppaa è: X, X pe X > 3. 3 m Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 15

16 1.7 Veifica deli ipoesi di flusso isoemo Sane l ipoesi iniziale di flusso isoemo, è oppouno eieae il pocedimeno consideando le popieà del fluido elaivamene alla ulk empeaue media pesene all ineno del condoo. Ci si aspea che dopo alcune ieazioni la Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 16

17 empeaua media convega ad un peciso valoe. Dao l andameno lineae di la media saà popio quella aimeica, quindi consideando che il condoo sia lungo 3m: X + X C Al fine di calcolae le popieà del fluido a ale empeaua si può uilizzae le segueni espessioni polinomiali con in C: ρ ν 1 6 c.3 / [ m / s] [ kg / m [ J / kgk] 3 3 ] Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 17

18 Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 18

19 Densià ρ kg/m 3 Viscosià cinemaica ν m /s Caloe specifico c J/kg K Conduciilià emica k.6 W/m K I isulai numeici saanno: Ui D.3 1 ed 95 < 3 moo laminae 7 ν ν P α ν ρ c k > 1.6 LID.5 D ed m L I >L ID LI.3. D ed P m q P 3 mc X 1.5X + X 1.5X π X + X C Si può noae che già alla pima ieazione il isulao convege, quindi l ipoesi di flusso isoemo isula veificaa. Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 19

20 empeaua cosane alla paee 5 C m 1g / s Acqua flusso idaulicamene e emicamene sviluppao D cm.1 Deeminazione del pofilo di empeaua adimensionale e calcolo del numeo di Nussel meodo delle appossimazioni successive ienendo valide le sesse consideazioni fae pe il polema a flusso imposo, in paicola modo l ipoesi di flusso isoemo, si può affemae l indipendenza del campo di velocià da quello di empeaua, pe cui la lunghezza d ingesso dinamico L ID è la sessa del caso pecedene il calcolo è sao fao enendo cono delle popieà dell acqua a C: L. 5 D e m ID D Invece non si può die aleano pe la lunghezza d ingesso emico L I che isene delle condizioni al conono impose, pe cui da un analisi numeica si oiene: L. D e P m I 3 D Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi

21 L oieivo è quello di isalie al campo di empeaua adimensionale e dimensionale nella zona sviluppaa sia dinamicamene che emicamene, isolvendo l equazione dell enegia paicolaizzaa al polema in esame, che come si vedà in seguio, non può essee isola analiicamene. Come nel caso pecedene occoe individuae una oppouna adimensionalizzazione della empeaua pe semplificae l equazione di paenza; in ifeimeno al pecedene paagafo, si ipoa solo il isulao volo al conseguimeno di ale oieivo: Nu, ϑ, E necessaio espimee in funzione di ϑ l equazione dell enegia: u / u 1 ; v icodando: q P q X mc kαu id e la legge di neon: q & h X e ponendo la come if si oiene: if h if Nu ρcu D i con if D e D Pe cui inegando oeniamo la e la sua adimensionalizzazione funzione di e Nu: Nu XL i X if X + i e pe X > LI Nu l i i e pe > li icodando che: X, ϑ [ X ] + X pe X > LI, ϑ [ ] + pe > li P Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 1

22 e sosiuendo ques ulima nell equazione dell enegia coedaa delle due condizioni al conono, ossia empeaua alla paee noa e simmeia del condoo, si fomula il polema in emini di ϑ : Nuϑ ϑ1 ϑ' 3 ϑ ' con Nu ϑ. L equazione oenua è del secondo odine, lineae in ϑ a coefficieni vaiaili. La pesenza di ϑ al pimo memo non ci consene di inegala analiicamene, pe cui si pesa ad essee inegaa numeicamene. In alenaiva all inegazione numeica vi è il meodo delle appossimazioni successive che pevede l assegnazione di un valoe di enaivo pe ϑ pesene al pimo memo, in modo da poe essee inegaa analiicamene e la sosiuzione della soluzione oenua nella ieazione successiva e cosi via. Il pocesso emina quando il Nu si assesa ad un valoe cosane. In appendice si ipoano le isuzioni implemenae in Mala con cui si giunge alla soluzione di ϑ aaveso il meodo delle appossimazioni successive. Sempe in appendice si oveà l analisi di convegenza del meodo numeico e la soluzione elaiva a ϑ. Il isulao da meee in evidenza è che il numeo di Nussel convege ad un valoe pai a 3.66, coincidene a quello isconaile in leeaua, e che ϑ assume una foma del ipo: ϑ n C n n E evidene che i emini divenano ascuaili al cescee di n, pe cui pendendo i pimi cinque monomi la soluzione divena: ϑ Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi

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25 Ques ulimo gafico isala l indipendenza di ϑ da X.. Deeminazione del pofilo di empeaua dimensionale Noo il pofilo adimensionale ϑ si può valuae il campo di empeaua dimensionale amie la caaeizzazione della, dipendene da Nu: Nu XL i X if X + i e pe X > LI La i si può calcolae ossevando che nella zona emicamene non sviluppaa il fluido non isene delle condizioni al conono, quindi asse XL I C, mene la empeaua alla paee è noa, ovveo 5 C: + pe X > L ; X, ϑ [ ] I X, 3.31 pe X >. 5m ;.5, [ i i i [ 5 e ] C Poiché l equazione q P q X mc kαu id 1.81 i e Nu Xif XL i ] + vale anche nella zona d imocco è possiile isalie al Nu i Nu medio all imocco in ale zona aaveso la sua inegazione: Nui X Nu Xif.9 X e e ln.1 Nui i Nu, quindi: Nui X 5 X if. X X + e 5 e pe <X<Li. L appossimazione sa nel fao che il Nu all imocco saà una funzione non noa di X, mene si è ipoizzao essee cosane e pai a.95. uavia ale valoe è Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 5

26 plausiile consideando che isula essee cica pai alla media pesaa a il Nu elaivo al moo uoleno e valido pe X<L ID e il Nu elaivo al moo laminae e valido pe L ID <X<L I :.83.5 Nu uoleno.155 e D P con 1<P< Nu i Nu uoleno L ID + Nu L lamin ae I L I L ID Noo i è possiile oa isalie alle X e X,: X e X e.17 X.51 Si osseva che pe X m si oiene.99, quindi possiamo ienee con uona appossimazione che da ale disanza in poi non vi sia più scamio emico a la paee e l acqua che cicola all ineno del condoo, infai viene meno la diving foce del fenomeno in quano la empeaua del fluido si è adeguaa alla. In appendice si ipoano i valoi numeici di al vaiae di X. Il campo di empeaua isula essee: Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 6

27 Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 7 5 ] [ , X e X m X pe 5. > ;

28 Pe avee una appesenazione più ealisica dell andameno della empeaua all aumenae della lunghezza del condoo sono ipoai i segueni gafici: Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 8

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30 .3 Calcolo della poenza emica scamiaa Noo il campo di empeaua, dalla legge di Neon è possiile valuae la poenza emica scamiaa: q & h X Calcolando h si oiene: Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 3

31 hd 3.66 k W Nu 3.66 h 19.8 k D. m K E quindi: q h X L 3.66 i.5 X X if.9.17 X.5 & pe X>.5m i e Nu e e q qx 5 C X Andameno qualiaivo della poenza emica scamiaa Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 31

32 Oa possiamo valuae la poenza emica complessiva scamiaa al vaiae della lunghezza del condoo. Innanzi uo si valua il caloe scamiao nella zona di imocco amie un ilancio di enegia: m& c o Q Li m& c i L I Bilancio di enegia nella sezione di imocco W m& c + Q& Li mc & i Q& Li mc & i 68 Quindi la poenza emica complessiva scamiaa è: Dd Q& Q& Li + h π Li + Li Q & h D Li Li Nu Li if π e d 68 Nu Li Nu h Dif i if if π e e e e.5 Nu pe X>.5m. i Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 3

33 Si può noae dalla aella ipoaa in appendice che a Xm la.99 e che a ale ascissa la poenza emica scamiaa isula essee pai a 999 W sul oale di 119 W. Pe cui nei pimi mei si scamia il 98% del caloe oale scamiao a fluido e paee.. Veifica dell ipoesi di flusso isoemo Il polema è sao svolo facendo l ipoesi di flusso isoemo, ossia le popieà del fluido sono sae assune cosani e elaive alla empeaua d ingesso del fluido. Al fine di veificae ale ipoesi si pocedeà, analogamene al pecedene paagafo, fissando la lunghezza del condoo e calcolando le popieà ifeie alla empeaua media a ingesso e uscia. Consideando un condoo di 3m si noa che nella sezione di uscia la ha già aggiuno paicamene la, uavia non si può applicae ualmene la media aimeica in quano l andameno della è esponenziale: Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 33

34 Nui X 5 X if. X X + e 5 e pe <X<L I. Nu XL i X if X + i e pe X > L I ; quindi applicando il eoema della media si oiene: m Nui Nu.5 X 3 X L i 1 X if X if X + e d + + i e d 3.5 m 1 X if Nui X Nui e X if.5 + if Nu i e Nu Li X if e Nu X X if 3.5 m m X X e X X.17X e e 1 m X C 3.5 e e 3.66 X A quesa empeaua le popieà dell acqua assumono i segueni valoi: Densià ρ 99 kg/m 3 Viscosià cinemaica ν m /s Caloe specifico c.178 kj/kg K Conduciilià emica k.6 W/m K Quindi icalcolando le gandezze pincipali del polema: e D Ui D ν < 3 ν P α ν ρ c k > 1 Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 3

35 L. 5 D e m L ID D. D e P m I 3 X 5 + D e X e X X 3 5+ e e.87 C Quello che si noa è che pu vaiando e D e P l andameno della imane sosanzialmene invaiao e quindi anche la sua media. Queso è dovuo al fao che la dipende ole che da X solo da L I, infai if D e D P ovveo coniene lo sesso guppo da cui dipende L I e i è funzione di L I dall ipoesi che asse XL I C. Dao che la vaiazione di L I è ascuaile ispeo la lunghezza del condoo l ipoesi di flusso isoemo è dunque veificaa. ali ossevazioni possono essee esese ad un condoo di lunghezza qualsiasi, infai con l ausilio del Mala ed usando le espessioni polinomiali pe le Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 35

36 popieà dell acqua è possiile valuae la Li pe qualsiasi lunghezza del uo. Il pogamma uilizzao si ipoa in appendice, mene nei segueni gafici sono evidenziai i isulai. Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 36

37 Dai gafici si evince che la Li oscilla a.97m a.8m ed essendoci una vaiazione dell odine di millimei, concludiamo che isula pienamene veificaa l ipoesi di flusso isoemo faa a mone, indipendenemene dalla Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 37

38 lunghezza del condoo. È infine impoane ossevae che il modello è ano più aendiile quano maggioe è la lunghezza del condoo, peché saà sempe meno influene l andameno appossimao di nella zona d imocco. Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 38

39 3 Applicazioni ecniche Una concea applicazione di quano deo finoa è quella di un condensaoe di una pompa di caloe desinaa all eogazione di acqua saniaia a 5 C. Di seguio si illuseà il pincipio di funzionameno della pompa di caloe, focalizzando successivamene l aenzione sul condensaoe e sul suo dimensionameno in elazione al modello maemaico sviluppao pecedenemene. 3.1 Pompa di caloe La pompa di caloe è una macchina pe il iscaldameno di edifici e pe la pepaazione di acqua calda. Si aa di una valida ed ecologica alenaiva alla caldaia a olio o a gas. In naua esisono immense iseve di enegia, puoppo inuilizzaile dieamene pe il iscaldameno, poiché i fluidi aia, acqua o i copi suolo che la conengono si ovano a empeaue oppo asse. La pompa di caloe è una macchina in gado di asfeie caloe da un copo a empeaua Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 39

40 più assa ad un copo a empeaua più ala. ale pocesso è inveso ispeo a quello che avviene sponaneamene in naua ed è dovuo al fao che viene fonia enegia eleica alla macchina che pompa caloe. Il pincipio di funzionameno che sa alla ase della pompa di caloe è un ciclo emodinamico chiamao ciclo figoifeo, o ciclo mooe inveso, ed è analogo a quello che sa alla ase di un comune figoifeo. Nel caso in cui si aia sia l ineesse a iscaldae ad esempio duane l inveno che a infescae ad esempio, duane l esae, la pompa si dice evesiile. Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi

41 La pompa di caloe è cosiuia da un cicuio chiuso cosiuio da un compessoe, un condensaoe, una valvola di espansione ed un evapoaoe pecoso dal fluido figoigeno come -13a, -3, -15, -57, NH 3, CO, ecc.. Il ciclo emodinamico che il fluido efigeane suisce consise in una compessione, una condensazione, un espansione e un evapoazione: compessione: il fluido figoigeno allo sao gassoso e a assa pessione, poveniene dall evapoaoe, viene poao ad ala pessione e di conseguenza a maggioe empeaua; inole nella compessione assoe uleioe quanià di caloe dal lavoo del compessoe; condensazione: il fluido figoigeno, aavesando il condensaoe, passa dallo sao gassoso a quello liquido cedendo caloe all ineno aia o acqua; espansione: passando aaveso la valvola di espansione il fluido figoigeno viene poao a pessioni minoi e di conseguenza a empeaue più asse; evapoazione: il fluido figoigeno, aavesando l evapoaoe, assoe caloe dall eseno ed evapoa compleamene. L insieme di quese asfomazioni cosiuisce il ciclo della pompa di caloe: uilizzando l enegia del compessoe il fluido figoigeno nell evapoaoe, assoe caloe dal mezzo cicosane e, amie il condensaoe, lo cede al mezzo da iscaldae. Nel coso del suo funzionameno, la pompa di caloe: consuma enegia eleica nel compessoe; assoe caloe nell evapoaoe, dal mezzo cicosane, che può essee aia o acqua; cede caloe al mezzo da iscaldae nel condensaoe aia o acqua. Il vanaggio nell uso della pompa di caloe deiva dalla sua capacià di fonie più enegia caloe di quella eleica impiegaa pe il suo funzionameno in quano esae caloe dall amiene eseno aia-acqua. Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 1

42 L efficienza di una pompa di caloe è misuaa dal coefficiene di pesazione C.O.P. che è il appoo a enegia fonia caloe ceduo al mezzo da iscaldae ed enegia eleica consumaa. L amiene da cui si esae caloe è la sogene fedda. Le pincipali sogeni fedde sono aia, acqua e eeno. Il fluido veoe da scaldae è deo pozzo caldo; genealmene si aa di acqua o aia. Nel condensaoe il fluido figoigeno cede al pozzo caldo sia il caloe pelevao dalla sogene che l enegia fonia dal compessoe. Il caloe può poi essee ceduo all amiene mediane nomali sepenine inseie nel pavimeno, adiaoi o venilaoiconveoi nel caso di disiuzione con cicuio d acqua, oppue canalizzazioni pe il asfeimeno del caloe ai divesi locali nel caso di disiuzione del caloe mediane aia. In ase alla sogene fedda e al pozzo caldo uilizzao le pompe di caloe possono essee: aia acqua, ea acqua, acqua acqua, aia aia, acqua aia. Le pesazioni di una pompa di caloe vaiano sensiilmene in funzione delle empeaue di sogene fedda e pozzo caldo. In paicolae, più quese empeaue sono vicine miglioi sono le pesazioni, sia in emini di poenza fonia che in emini di COP, o appoo a enegia emica fonia ed enegia eleica assoia. Pe queso moivo è consigliaile adoae sisemi di disiuzione del caloe funzionani a empeaua più assa possiile. Queso è possiile adoando delle sepenine allagae nel pavimeno o dei copi iscaldani pevisi pe funzionae a empeaue massime di 5-5 C. La cominazione con impiani emosolai può essee molo ineessane. In queso caso la pompa di caloe può esae caloe dal cicuio dei colleoi solai, gaanendo anche un miglio funzionameno dell impiano solae. Quesa soluzione è paicolamene ineessane se applicaa alla poduzione di acqua calda saniaia. Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi

43 Cominazione a un impiano emosolae e una pompa di caloe 3. Condensaoe Come già evidenziao, il condensaoe è un paicolae scamiaoe di caloe in cui il asfeimeno di enegia emica da un fluido a un alo avviene amie la condensazione di uno dei due. Nell uilizzo nelle pompe di caloe il fluido che cede caloe condensandosi è il fluido figoigeno. Nella aella seguene si ipoano alcuni fluidi uilizzai pe pompe di caloe, classificai in ase alla loo empeaua massima si condensazione. Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 3

44 FLUIDO FIGOIGENO EMPEAUA DI CONDENSAZIONE <5 C 717 < 5 C 1 < 75 C 13 < 75 C 11 <1 C a i divesi ipi di condensaoi quelli che possono essee analizzai con il modello maemaico sviluppao pecedenemene sono i condensaoi coassiali. Quesi sono cosiuii da due ui concenici, in cui passano due fluidi a empeaue divese. Il uo ineno dovà essee fao con maeiali ad ala conduciilià emica, pe consenie uno scamio più alo possiile di caloe a i due fluidi: si useà quindi in geneale un meallo ad alissima conduciilià, pe esempio l acciaio che offe inole un ala esisenza all usua. Pe quano iguada il uo eseno, non si ha alcuna necessià peché queso sia foemene conduivo, pe cui si useanno mealli a assa conduciilià emica anche se non necessaiamene un isolane. Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi

45 Nella paica ecnica i condensaoi coassiali sono uilizzai pe impiani di piccola aglia, ovveo pe supefici di scamio non elevae, mene gli ingomi sono idoi dalla loo foma a spiale. Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 5

46 3.3 Dimensionameno di un condensaoe coassiale Il fine ulimo è quello di oenee acqua saniaia ad una empeaua di 5 C. Si uilizza una pompa di caloe doaa di un condensaoe coassiale: l oieivo è di icecae l aea della supeficie di scamio necessaia affinché si ealizzi la poenza emica scamiaa oppouna. I dai in ingesso sono: empeaua di ingesso dell acqua: in C empeaua di uscia dell acqua: ou 5 C empeaua di condensazione: cond 5 C poaa massica dell acqua: m 1g/s diameo ineno del uo ineno: Dcm Dao che il uo ineno del condensaoe ha piccolo spessoe ed alo coefficiene di conduciilià emica, la empeaua della paee inena al uo si può consideae pai alla empeaua di condensazione. Queso può essee messo in evidenza veificando che sia piccolo il numeo di Bio, cioè il appoo a la esisenza emica conduiva del uo e quella conveiva dell inefaccia uoacqua: esisenza conduiva Bi esisenza conveiva Bi h s k con h coefficiene conveivo uo-acqua, s spessoe del uo, k coefficiene conduivo dell acciaio. Si noi che in ale calcolo si è supposa una geomeia piana, dao che lo spessoe del uo è piccolo ispeo al suo aggio. Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 6

47 cond Bi acciaio k s e i h acqua ascuailià della esisenza conduiva del uo Peano si può uilizzae il modello sviluppao a empeaua di paee imposa. Gli andameni delle empeaue dei due fluidi e della poenza emica scamiaa in funzione della lunghezza del uo sono noi, quindi: Q& e.17 la quale è saa oenua consideando le popieà dell acqua ad una empeaua pai alla media aimeica a la empeaua di ingesso e quella di uscia. Come già è sao ossevao la empeaua in uscia dell acqua endeà asinoicamene a 5 C, ovveo aggiungeà ale empeaua in caso di scamiaoe infinio. uavia pe m la ou isula essee pai al 99% della, mene la poenza emica scamiaa è il 98% di quella necessaia. La supeficie di scamio è dunque: A π D π m Supponendo che pe moivi si ingomo di dea avvolgee il uo a spiale con un diameo di 5 cm si oiene: π.5 numeo di avvolgimeni 8 alezza della spiale 8 56 cm Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 7

48 Le dimensioni del condensaoe sono dunque cm. Al fine di idue gli ingomi e di ispamiae in maeiale si può scegliee una ou leggemene infeioe, ad esempio pai al 95% della ; in al caso: ou 3 C A π D π m 1 π.5 numeo di avvolgimeni 18 alezza della spiale cm Le dimensioni del condensaoe sono dunque cm. Un ala sada pe idue le dimensioni del condensaoe è quella di aumenae la cond, ponendola ad esempio pai a 5 C si noi peò che queso va a penalizzae l efficienza complessiva della pompa di caloe. In al caso si va a modificae il pofilo di empeaua all ineno del uo, quindi la poenza emica scamiaa: X, 3.31 pe X >. 5m ;.5, [ i i i [ 5 e ] C XL Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi W m& c + Q& Li mc & i Q& Li mc & i 56 Dd Q& Q& Li + h π Li + Li Li Q & if hπ D e d 56 Li Li i Nu Nu Li Nu h Dif i if if π e e e e.5 Nu pe X>.5m. Al fine di oenee ou 5 C è necessaia, come al caso pecedene, Q & 118, quindi la lunghezza del uo saà: i e Nu Xif i ] +

49 e Da cui: ou 5 C A π D π. 8.5 m e numeo di avvolgimeni 1 alezza della spiale 8 π.5 1 cm Le dimensioni del condensaoe sono dunque l n m. 5 5 cm. Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 9

50 Appendice A.1 Scip del meodo delle appossimazioni successive clc clea all 1; A[/8 ;-.5* ;*3/8 ]; a[ 3;- 1]; ; hile< +1; sd; somma; som; slengha:,1; fo i1: %moliplica ea oenuo pe -^3 fo j1:s sdsd+1; Psd,1ai,1*Aj,1; Psd,ai,+Aj,; end end fo i1:sd %ova l'esponene massimo con; fo j1:sd ifpi,>pj, concon+1; ifconsd mapi,; end end end end fo i1::ma %odina veoe Pod; fo 1:sd ifip, PodPod+P,1; end end Poi+1/,1Pod; Poi+1/,i; end lunlenghpo:,1; fo i1:lun %pima inegazione e divide pe IPi,:IfPoi,1,Poi,; end fo j1:lun %seconda inegazione quindi soluzione funzione di Nu Solj,:IfIPj,1,IPj,; end fo i1:lun %calcola seconda cosane inegaiva somsom+soli,1; end C[-som ]; Sollun+1,:C; fo 1:lun %calcolo di Nu DSol,:dfSol,1,Sol,; end Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 5

51 fo o1:lun sommasomma+dsolo,1; end iffi+1/+1/ Nu1/-*somma^1/ NuvNu; enu-3.66; end ASol; end %emine della ouine Soluzione:,1Nu^+1*Sol:,1; %soluzione finale Soluzione:,Sol:,; Soluzione k; [-1:.1:1]; fo 1-1:.1:1 %ploa soluzione e convegenza di Nu kk+1; eaksoluzionelun+1,1; fo v11:lun eakeak+soluzionev1,1*1^soluzionev1,; end end cun1; dcu; fo fun:.1:1 %plo 3D e ali plo necessai all esposizione dei dai cuncun+1; fo 3-fun:.1:fun dcudcu+1; FUNdcueacun; XXdcu3; Ydcusqfun^-3^; end end plo,ea pause plonuv,'o' pause X1,:XX; X,:XX; X3,:-XX; X,:-XX; Y11,:Y; Y1,:-Y; Y13,:-Y; Y1,:Y; FUNZ1,:FUN; FUNZ,:FUN; FUNZ3,:FUN; FUNZ,:FUN; meshx,y1,funz pause con3; con; fo -1:.1:1 con3con3+1; con35; con *ep-.176*con ; con3con3; end con5; fo -1:.1:1 con5con5+1; Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 51

52 con; fo 1-1:.1:1 concon+1; con5,con5+eacon*con5-5; XXXcon5,concon5; end end plo,,'o',,,'o' pause meshgid; meshcxxx,, pause EAmeshgidea; meshcxxx,,ea pause c; cun1; fo fun:.1:1 %plo 3D di cuncun+1; fo 3-fun:.1:fun cc+1; 1c3,cun; end end 1,:1;,:1; 3,:1;,:1; meshx,y1, A. Analisi di convegenza del meodo delle appossimazioni successive In seguio si ipoano i isulai di convegenza elaivi ad 81 ieazioni del numeo di Nussel con ϑ di enaivo pai a : Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 5

53 ieazione Nu ieazione Nu Oa si ipoano i isulai di convegenza elaivi ad 81 ieazioni del numeo di Nussel con ϑ di enaivo pai a 1: Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 53

54 ieazione Nu ieazione Nu Da un puno di visa numeico si può noae che la velocià di convegenza del meodo dipende dal valoe iniziale di enaivo. Da un puno di visa Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 5

55 ingegneisico il valoe cui si fa ifeimeno è 3.66, il quale coincide con il isulao isconaile in leeaua. A.3 Soluzione oenua con ϑ di enaivo pai a 1 ϑ n C n n n coefficiene esponene n coefficiene esponene 1 1, , , , , ,6883-1, ,83 6 5, , , ,5 3 7, , 3 8 -, , 3 9, , , , 38 A. Bulk empeaue al vaiae della lunghezza del condoo nel caso di empeaua imposa alla paee sezione condoo [m] [ C] sezione condoo [m] [ C],5 31,19 13,5, ,5 33, ,5 3, ,5 35, ,5 3,8537 5,5 36, ,5 3, ,5 38, ,5 3, ,5 39, ,5, ,5, ,5, ,5, ,5, ,5 1, ,5, ,5, ,5, ,5, A.5 Scip pe il calcolo di L I al vaiae della lunghezza del condoo nel caso di empeaua imposa alla paee clc clea all n k.6 fo i1:n mi5*.51+i *ep-.17*.51+i-8*1/.51+i; oi *mi-.5597*mi^+.1393*mi^3; nii1^-6*1/.5+.19*mi+.698*mi^; Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 55

56 ci.3*mi^-.8*mi^3+.8*mi^ *mi+5.9; edi.3*./nii; Pinii*oi*ci/k; Lii.3*.*edi*Pi; Xi.51+i; end plox,m,'o' pause plox,li,'o' Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 56

57 Biliogafia [1] ENEA, La pompa di caloe, hp://.enea.i, 1999 [] B.Hildand, Impiani solai pe monaoi d impiani di iscaldameno e saniai, SWISSOLA, hp://.isaac.supsi.ch, [3] G.Cuccuullo,P.G.Beadi, Elemeni di emodinamica e asmissione del caloe, Cues, [].Lazzain, Slide coso di fisica ecnica, Univesià di Padova, Ingegneia gesionale, 6, hp://.ges.unipd.i [5] Klima Ialia s..l., Scamiaoi coassiali, hp://klimalialia.com/coaca/coax-ca.hm [6] Moelli s.p.a., condensaoi coassiali, hp://.moellispa.i [7] hp://.eleicia.ch Coso di asmissione del caloe : moo laminae in condoi 57