si abbia AC þ AD ¼ 2kr. Posto CAB b ¼ 2x, con 0 x 4, si ottiene l equazione 2 cos2 x þ cos 2 ¼ x, si ottiene l equazione 2 sin x þ una soluzione per

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1 Esecizi Poblemi di igonomeia con discussione Poblemi sui iangoli eangoli 1 Considea una semiciconfeenza di diameo e aggio uniaio. Deemina su di essa un uno P in modo che, dea M la sua oiezione oogonale sulla eendicolae in ad, isuli P þ PM ¼ k. Poso P b ¼ x, si oiene l equazione cos x cos x þ k ¼ 0, con 0 x ; due soluzioni e k 5 Deemina la misua dell angolo al veice di un iangolo isoscele ousangolo (non degenee), conoscendo il aggio del cechio cicoscio e la diffeenza k a il doio della base e il ilo dell alezza. Sia C il iangolo inscio, isoscele sulla base C; oso b C ¼ x si oiene l equazione 8 sin x cos x 6 cos x ¼ k con < x < ; una soluzione e 0 < k 1 e due soluzioni e 1 < k In un iangolo eangolo C (non degenee) l ioenusa C misua a e il caeo C è minoe o uguale al caeo. Deo il uno medio di C ed M il uno in cui la eendicolae in a C incona la ea, deemina l angolo C b in modo che l aea del eangolo avene i lai congueni ad C e M sia uguale a ka. Poso C b ¼ x, si oiene l equazione cos x þ k cos x 1 ¼ 0 con 0 < x ; 1 soluzione e 0 < k In un iangolo eangolo C (non degenee) si ha C ¼ a e C b ¼ x. Deemina x in modo che la somma a la misua della mediana elaiva al caeo e la misua della meà del caeo sesso valga ka. ffi Si oiene l equazione cos x ¼ k cos x, con 0 < x < ; due soluzioni e < k 5 Considea una semiciconfeenza di diameo ¼. Deemina una coda C ale che, dea D la coda che biseca C, b si abbia C þ D ¼ k. Poso C b ¼ x, con 0 x, si oiene l equazione cos x þ cos x 1 ¼ k; una soluzione e k 6 Dao un seoe cicolae, b di ceno, aggio e amiezza, deemina l angolo C b ¼ x, dove C è un uno dell aco _, in modo che il aoo a i eimei dei iangoli C e C sia k. Si oiene l equazione cos x ð1 þ kþ sin x þ k ¼ 0 con 0 x ; una soluzione e ð þ Þk 7 Dao un cechio di aggio, accia una coda la cui disanza dal ceno è. Deemina, sul minoe dei due achi _, un uno C in modo che sia soddisfaa la elazione: C þ C ¼ k. Ponendo C b ¼ x, si oiene l equazione sin x þ cos x ¼ k con 0 x ; una soluzione e k < e due soluzioni e k 7 8 Dao un cechio di ceno e aggio, deemina un angolo al ceno convesso b ¼ x in modo che, cosuio il iangolo equilaeo C sulla coda da ae oosa del ceno, sia k l aea del quadilaeo C. Si oiene l equazione sin x cos x ¼ k con 0 x ; una soluzione e 0 k < þ e due soluzioni e k La maemaica a coloi Peini f 01 De gosini Scuola S Novaa 1/5

2 Poblemi di igonomeia con discussione Le semiee a, b e c di oigine comune sono comlanai. La semiea a foma con la semiea b un angolo di, è inena all angolo convesso limiao dalle ale due ed è ale che la oiezione oogonale di ogni suo uno sulla ea cui aaiene c cade sulla semiea c. Fissao sulla semiea a il segmeno uniaio, siano e C iseivamene, le oiezioni oogonali di su b e c. Deemina l angolo x fomao dalle semiee a e c, saendo che il iangolo C è equivalene a un iangolo di base e alezza elaiva di misua k. Si oiene l equazione sin x cos x þ cos x ¼ k con 0 x ; una soluzione e 0 k < 1 ; due soluzioni e 1 þ k 8 10 Un caeo di un iangolo eangolo misua a e l angolo acuo adiacene a esso ha coseno uguale a 5. Condoa e il veice dell angolo eo una ea che non aavesa il iangolo e indicaa con x la misua dell angolo che quesa ea foma con il caeo maggioe, deemina x in modo che il volume del solido geneao dal iangolo quando comie una oazione comlea inono alla ea sia ka. Si oiene l equazione sin x þ cos x ¼ k con 0 x ; una soluzione e k < ; due soluzioni e k 5 11 Indicao con VV 0 un diameo di una sfea di ceno e aggio, considea i segueni quao coni: a. un cono di veice, asse V 0 e base angene alla sfea; b. il cono ooso al veice del ecedene, avene la ciconfeenza di base sulla sueficie sfeica; c. il cono di veice V, asse VV 0, aeua meà di quella dei due coni ecedeni, e inscio nella sfea; d. il cono di veice V 0, inscio nella sfea, e avene la sessa base di quella del ezo cono. Indicai con V 1, V, V, V, iseivamene i volumi dei quao coni, deemina l angolo x di aeua del imo cono in modo che sia soddisfaa la elazione: V 1 V ðk Þ V 1 þ V ¼ k V V Si oiene l equazione ð kþcos x þðk Þ cos x þ k ¼ 0 con 0 < x < ; una soluzione e < k ; due soluzioni e < k 0 þ Poblemi sui iangoli qualunque 1 SVLT Consideae una semiciconfeenza di diameo ¼ e, indicao con M il uno medio dell aco _, acciae la angene alla semiciconfeenza in M. Sull aco _ M deeminae un uno P in modo che la semiea P inesechi la ea in un uno Q, disino da M, e cui: PM þ PQ ¼ kmq. Discuee il oblema iseo al aa- meo k. Figua e scela dell incognia Cosuiamo una figua (fig. 1) e osseviamo che la osizione del uno P sull aco _ M esa univocamene individuaa una vola che si conosce l angolo P. b Possiamo oe eciò P b ¼ x. È imoane fae alcune ossevazioni cica le misue degli angoli che abbiamo annoao in figua: l angolo al ceno M b è eo, quindi l angolo alla ciconfeenza PM, b insisendo sullo sesso aco di M, b èconguene alla sua meà e misua ; P b ffi PQM b eché angoli aleni ineni iseo alle due ee aallele e MQ, agliae dalla asvesale Q; oiché MPQ b ¼ ¼, segue che P MQ b ¼ x ¼ x. Figua 1 x M x x P Q La maemaica a coloi Peini f 01 De gosini Scuola S Novaa /5

3 Poblemi di igonomeia con discussione Limii geomeici dell incognia l vaiae di P su _ M, x vaia evidenemene a 0 e. nalizziamo i casi limie. Se P, èx ¼ 0(fig. ) e la ea P è aallela alla angene alla semiciconfeenza in M, quindi non esise Q. Se P M, èx ¼ (fig. ) e la ea P ineseca la angene in P sesso, quindi Q P M. M P M Q P x = 0 x = Figua Figua Il eso del oblema ichiede che la ea P inesechi la ea e che il uno di inesezione sia disino da M, condizioni che evidenemene non sono soddisfae in coisondenza dei casi limie. Escludiamo eciò i casi limie e assumiamo come domino e l incognia x l inevallo: 0 < x < Esessione dell equazione fonia dal oblema Nelle ioesi assune si ha MQ 6¼ 0, quindi ossiamo dividee enambi i membi della elazione PM þ PQ ¼ kmq e MQ, oenendo l equazione equivalene: PM PQ þ MQ MQ ¼ k [1] Quesa ossevazione ci consene di scivee facilmene l equazione esessa dal oblema in funzione di x. Infai i aoi che comaiono nella [1] sono aoi a coie di lai del iangolo PMQ e sono quindi uguali ai aoi a i seni degli angoli a essi oosi. Facendo ifeimeno alla fig. 1, oeniamo così che la [1] equivale a: sin x sin sin þ x sin ¼ k ossia, svolgendo i calcoli: sin x þ cos x ¼ k. Quesa equazione va discussa iseo alle limiazioni 0 < x <. Discussione dell equazione Ponendo sin x ¼ Y e cos x ¼ X ed effeuando la discussione, oeniamo la fig., da cui deduciamo che il oblema ammee una soluzione e 1 < k <. Figua La ea assane e è angene alla ciconfeenza goniomeica. k = X + Y = 1 Y, 1 Considea una semiciconfeenza di diameo di misua ¼ ; accia nel semiiano, avene come oigine la ea, che la coniene la semiea angene in alla semiciconfeenza e considea su ale semiea il uno M ale che M ¼. Deemina sulla semiciconfeenza un uno P in modo che sia veificaa la elazione MP ¼ P þ kp. Ponendo P b ¼ x si ha l equazione sin x cos x ¼ k sin x, con 0 < x ; due soluzioni e k, una soluzione e k > k = 1 X La maemaica a coloi Peini f 01 De gosini Scuola S Novaa /5

4 Poblemi di igonomeia con discussione 1 In un iangolo C le misue dei lai C e C sono iseivamene e e l angolo C misua. Deemina sul lao C un uno P e sul lao C un uno Q, in modo che: P ¼ Q e þ Q þ QP þ P ¼ k Ponendo P ¼ Q ¼ x, si oiene l equazione x 5x þ 1 ¼ k con 0 x ; due soluzioni e 1 k 1 e una soluzione e 1 < k Due semiciconfeenze di diamei ¼ C ¼ sono angeni esenamene nel uno e giacciono dalla sessa ae iseo ad C. Da si conducono due semiee fomani fa loo un angolo di che inconano le due semiciconfeenze, ole che in, iseivamene nei uni D ed E. Deemina l angolo D b ¼ x in modo che sia DE þ EC ¼ kd. Si oiene l equazione ð kþ cos x sin x cos x þ 1 ¼ 0, con < x < ; una soluzione e k > 16 In una ciconfeenza di ceno e aggio 1, la coda è il lao del quadao inscio. Condoa nel uno la semiea angene alla ciconfeenza che giace, iseo alla ea, nel semiiano che coniene il ceno, deemina sulla semiea un uno P ale che sia veificaa la elazione: M þ MP ¼ k P dove M è l uleioe uno di inesezione del segmeno P con la ciconfeenza. Poso P b ¼ x, si oiene l equazione sin x þ cos x k ¼ 0 con 0 < x < ; una soluzione e 1 < k < 17 Nel iangolo C, eangolo in, è ¼ 1eC b ¼. Consideaa la semiciconfeenza di diameo, esena al iangolo, deemina su di essa un uno P in modo che, condoa e P la eendicolae ad fino a inconae l ioenusa C nel uno Q, isuli: Q þ QP ¼ k Poso P b ¼ x si ha l equazione ð1 þ Þ cos x þ sin x cos x ¼ k con 0 x ; una soluzione e 0 k < 1 þ 1, due soluzioni e 1 þ k 1 þ q þ þ 18 Il iangolo C ha i lai e C che misuano iseivamene 5 e e l angolo fa essi comeso misua. Dea S la biseice inena dell angolo di veice, calcola: a. la misua del lao C e delle due ai in cui è diviso dal uno S; b. il coseno dell angolo in e la misua della biseice S. Deemina quindi un uno P, sul segmeno S, in modo che si abbia: P þ P þ PC ¼ k. a. C ¼ 1 5, S ¼ 1, CS ¼ 1 ;b. cos C b 1 ¼ 7, S ¼ 0 ; oso P ¼ x si oiene l equazione x 0 x þ 1 k ¼ 0, con 0 x ; due soluzioni e 8 k e una soluzione e < k 1 1 Il uno è l ooceno di un iangolo acuangolo C del quale è noo che C b ¼ e ¼ 1. Poso C b ¼ x, esimi in funzione di x e le misue dei e lai del iangolo e quelle dei segmeni e C. Suoso oi che cos ¼ 1, deemina x in modo che si abbia: þ C ¼ kc Si oiene l equazione 7 sin x þ 1 cos x k ¼ 0 con 0 < x < accos ; una soluzione e < k e due soluzioni e < k La maemaica a coloi Peini f 01 De gosini Scuola S Novaa /5

5 Poblemi di igonomeia con discussione 0 Daa una semiciconfeenza di diameo e aggio, considea sul diameo il uno D ale che D ¼. Deemina sulla semiciconfeenza un uno C in modo che, condoa da C la angene alla semiciconfeenza, essa inesechi la aallela ad C condoa da D in un uno E e si abbia DE ¼ k. Ponendo b C ¼ x, si oiene l equazione cos x k cos x þ 1 ¼ 0 con 0 x < ; due soluzioni e k 5, una soluzione e k > 5 1 Sia CD una coda di una semiciconfeenza di ceno e diameo e sia E il uno in comune ai olungameni delle code C, D. Saendo che il aoo fa CD e è 7 5, deemina la misua x dell angolo E b in modo che sia veificaa la elazione: E þ 1 E 5 ¼ k Poso E b ¼ x si oiene l equazione 5 sin x þ 6 cos x 6k ¼ 0, con acsin 7 5 x ; una soluzione e 5 6 k < e due soluzioni e k 61 6 La maemaica a coloi Peini f 01 De gosini Scuola S Novaa 5/5