Piano. III: metodi di identificazione. Introduzione. Valori anomali aggiuntivi. definizione modello garch(1,1)con avo

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1 Piano I Inoduzione II : Valoi anomali aggiunivi II-A II-B II-C II_D definizione modello gach (,)con alo modello gach(,)con avo modello genealizzao pe oulie aggiunivi III: meodi di idenificazione A Meodo - descizione - saisica es e valoe ciico - applicazione B Meodo -descizione -valoe ciico e es saisico -applicazione IV conclusione

2 Refeenze. Bolleslev, T. (986).Genealised auoegessive condiional heeoskedasiciy. Jounal of Economeics 5, Bolleslev, T., R. F. Engle, and D. B. Nelson (994). ARCH models. In R. F. Engle and D. L. McFadden (Eds.), Handbook of Economeics, Volume 4, Chape 49, pp Amsedam: Noh- Holland. Chen, C. and L. M. Liu (993). Join esimaion of model paamees and oulie effecs in ime seies. Jounal of he Ameican Saisical Associaion 88, Doonik, J. A. (). Objec-Oiened Maix Pogamming using Ox (4h ed.). London: Timbelake Consulans Pess. Doonik, J. A. and M. Ooms (). Mulimodaliy in he GARCH egession model. mimeo, Nuffield College. Engle, R. F. (98). Auoegessive condiional heeoscedasiciy, wih esimaes of he vaiance of Unied Kingdom inflaion. Economeica 5, Fanses, P. H. and D. van Dijk (). Oulie deecion in GARCH models. Economeic Insiue Repo EI-996/RV, Easmus Univesiy Roedam. Gouieoux, C. (997). ARCH Models and Financial Applicaions. New Yok: Spinge Velag. Hoa, L. K. and R. S. Tsay (998). Oulies in GARCH pocesses. mimeo, IMECC, Bazil and Univesiy of Chicago.

3 Leadbee, M. R., G. Lindgen, and H. Rooz en (983). Exemes and Relaed Popeies of Random Sequences and Pocesses. Spinge Seies in Saisics. Spinge-Velag, New Yok, Heidelbeg, Belin. Sakaa, S. and H.Whie (998). High beakdown poin condiional dispesion esimaion wih applicaion o s&p 5 daily euns volailiy. Economeica 66, Baillie,R.T. and T. Bolleslev,989, The message in daily exchange aes: a condiional vaiance ale,, jonal of Business economic Saisics 7, Bolleslev,T.,RY.Chou and K F. kone,99, ARCH modelling in finance: a eview of he heoy and empiical evidence, jounal of Economeics 5, 5-59 Chen,C.and L-M. liu, (993),join esimaion of model paamees and oulie effecs in ime seie, jounal of he ameican saisical associaion 88, Hoa,L.K. and R.S.Tsay,(998),oulies in gach pocesses, unpublished manuscip, gaduae School of Business, univesiy of Chicago Abaham B. and N.Yaawaa (988). A scoe es fo deecion of ime seies oulies. Jounal of ime Seies Analysis 9(),9-9

4 I- Inoduzione I endimeni di aivià finanziai ipicamene mosano volailiy cluseing (alenanza peiodica di endimeni ali e bassi), eccesso di cuosi, incoelazione ma non indipendenza, auocoelazione (pesisenza) nei quadai dei endimeni. I modelli GARCH (genealised auoegessive condiional heeoskedasiciy ) Bolleslev (986) e ARCH Engel (98 ) sono sai cosuii nello scopo di modellae ali fenomeni. La sima di ali modelli e sopauo quelli GARCH assumendo una disibuzione nomale degli eoi non iesce a spiegae nel loo ineo le caaeisiche evidenziae, ma conduce a più valoi anomali di quano peviso. Due divesi appocci sono sai definii come possibile ispose a ale poblema: il pimo,consise nel assumee pe i esidui disibuzione con code più pesane della nomale ad esempio la - suden caaeizzaa da una maggioe vaiabilià nelle code. Il secondo appoccio impone di aae i valoi anomali come geneai sepaaamene e uilizzae le vaiabile dummy pe eliminali. Analizzeemo qualche meodo pe idenificae e manipolae i valoi anomali ifeendoci a seie soiche sandad similmene a Chen and Lui (993) e a modelli saisici eeoschedasici GARCH basandoci sul ipoesi che siano sai geneai sepaaamene. I valoi anomali esisono solo ispeo ad un specifico modello saisico; e ispeo ai ipi di modelli sono sae elaboae divese ecniche pe idenificali. Nei modelli saisici omoschedasici è abbasanza semplice idenificali, dao la conoscenza di un specifico inevallo in cui appaiene la vaianza del fenomeno,quindi valoi fuoi vengono consideai anomali. Nei modelli eeoschedasici, le cose si complicano leggemene a causa del assenza di un noo inevallo in cui appaiene la vaianza,idenificae ali valoi peciò necessia ecniche più elaboae di pima. Lavoeemo sui valoi anomali aggiunivi classificai da Hoa and Tsay (998) il quale Disingue a valoi anomali che influenzano solo la media e non la vaianza, quelli che influenzano solo la vaianza, e infine quelli che influenzano sia la media sia la vaianza. I pimi sono chiamai ALO ( adiive level oulies ) i secondi (addiive volailiy oulies) ed i ezi GAO (genealised adiive oulies). In seguio analizzeemo la pocedue di idenificazione elaboaa da Dooniks and Ooms () basaa sul es di veosimglianza e sull impao delle dummy sulla sima del modello, sia quella elaboaa da Fanses and Van Dijk () e basaa sulla egessione lineae. La pima pae di noso lavoo consiseà nella pesenazione dei e ipi di valoi anomali,dei 3

5 modelli cosuii pe modellali e la pesenazione del modello genealizzao ; discueemo anche di qualche aggiusameni di dai adoao pe semplificazione. La seconda pae consiseà nella descizione dei due meodi applicai ai modelli GARCH (,) delle loo caaeisiche dei es saisici a loo associai e della loo applicazione paica. La eza pae sevià pe il confono dei meodi ed infine la quaa pe la conclusione. 4

6 II- VALORI ANOMALI E MODELLI STATISTICI Talvola l evoluzione di un fenomeno ossevaa amie una seie soica è influenzaa da faoi che non fanno pae della dinamica ininseca del fenomeno sesso,peché esogeno ad esso e/o peché si veificano in modo occasionale. Tale faoi definii valoi anomali o oulies esisono solo sia ispeo alla dinamica di base del fenomeno da modellae,sia ispeo al modello saisico scelo. Pendendo in consideazione il caso di un pocesso geneaoe indipendene e idenificamene disibuio(i.i.d) e in geneale quello dei pocessi omoschedasici,un oulie viene idenificao dalla sua disanza dal eso dei dai coeamene misuaa. I pocessi saisici omoschedasici sono caaeizzai dal fao che ui i singoli elemeni della seie povengono dalla sessa disibuzione di pobabilià ( sessa dinamica ininseca) e da una vaiabilià cosane ed inena ad un deeminao inevallo;da cui un valoe viene definio anomalo se non soddisfa o semba non soddisfae alle assunzioni pecedeni. I pocessi saisici èeoschedasico in geneale e quelli GARCH in paicolae, sono caaeizzai da una vaiabilià non cosane e non appaenene ad un qualunque inevallo finio. Valuae se un valoe appaiene o no alla dinamica di base del fenomeno oggeo di indagine divena abbasanza poblemaico e ichiede ecniche più elaboae. Un possibile modo di idenificazione viene deeminao valuando l impao di cee ossevazione sulla seie ossevaa e su le sue caaeisiche. Lavoiamo su modelli eeoschedasici GARCH e su valoi anomali di ipo addiivi classificai da Hoa and Tsay (998),che hanno idenificao divesi ipi di oulies addiivi di cui e pincipali caegoie sono dai da valoi che influenzano solo il livello del fenomeno, da quelli che influenzano solo la vaianza e da quelli che influenzano conempoaneamene sia il livello sia la vaianza del fenomeno. pimi sono sai chiamai addiive level oulie (ALO) ;i secondi addiive volailiy oulie () e i ezi genealised addiive oulie (GAO). valoi anomali di ipo AlO influenzano solo il livello del fenomeno poandolo da un livello a un alo. In geneale una singola ossevazione della seie ossevaa è influenzaa,ma in modo abbasanza beve :la seie ende a onae alla nomale come se niene fosse accaduo I secondi sono valoi la cui influenza è limiaa alla vaianza del fenomeno,endono ad influenzae l inea seie. Tale influenza è più o meno pemanene e la dinamica del fenomeno viene modificaa in modo duauo nel empo. I valoi di ipo GAO possono influenzae la seie dei dai in modo beve o pemanene,modificandone sia la vaianza sia la media o enambe simulaneamene. 5

7 II-A modelli gach con valoi anomali addiivi. È sao dimosao che i modelli eeschedasici GARCH cosuii da Bolleslev (986)sono idonei alla manipolazione di seie soiche di endimeni di aivià finanziaie. Definiamo un modello GARCH(,) sandad con disibuzioni nomali degli eoi. Come: y = µ + ε =,,T ε = z h ε ~ N(, h ) / I z ~ iid(,) h = α + ε + β h, () α dove I è infomazione disponibile al empo -. ε è seie dei esidui al empo o la nuova infomazione disponibile al empo h vaianza non condizionaa al empo. La funzione di log veosimiglianza è definia come : l(θ)= T = T ε l( θ ) = c log( h ) + () = h dove θ = α, α, ) e c è una cosane in geneale noa. ( β L obbieivo pincipale del noso lavoo è quello di idenificae e possibilmene eliminae gli oulies nelle seie soiche di endimeni di aivià finanziaie, nello scopo di eviae scoee sime dei paamei del modello uilizzao che conduebbe a conclusioni eae sul fenomeno in esame. Rifeendoci ai ipi di valoi anomali addiivi individuai e classificai da Hoa and Tsay (998), analizziamo alcuni modelli GARCH adai alla modellazione e manipolazione dei dai in pesenza di oulie. Alcuni esempi sono descii in seguio. 6

8 II- A Modello GARCH (,) con addiive level oulie (AlO). Un modello GARCH(,) con un addiive level oulies viene definio come y = + ε + d ω µ ε =z h, (3) h = α + α β ε + h, =,...,T d uguale a zeo pe diveso da (momeno in cui soge l oulie ) e d = pe = la funzione di veosimiglianza è definia nello sesso modo dell equazione (),la sua funzione deivaa viene daa da : T = l ( θ ) ( θ ) = T = ε ε + h θ h ( h h ε ) θ (4) Con ε = y g ς d ω e θ = α, α, β, ). ( ω In pesenza di veosimiglianza egolae, cioè quando la funzione di veosimiglianza è deivabile almeno e vole con funzione deivae coninue, la sima di massima veosimiglianza dei paamei definii in ө è individuaa come unica soluzione dell equazione di veosimiglianza daa da T = l ( θ ) = ( θ ) T = massimo locale. ε ε + h θ h ( h h ε ) θ = e deaa dalle condizioni di pimo odine pe un = α ω j= h β ε d j j. j ε = ε d ω ε = d ω La isoluzione del sisema di equazione deivane,ispeo ai paamei definii in ө evidenzia che la sima di massima veosimiglianza pe il coefficiene ω non è unica ma dipende dai valoi diε, h, h,. + + nello sesso modo,la funzione deivaa pe h + conduce a più soluzioni pe ω. soluzioni che dipendono sia dai paamei del modello sia di h e di ε +, h +, ε + 3, quindi la funzione di veosimiglianza non è egolae ma è caaeizzaa da più massimi nel noso caso di minimi locali. 7

9 Queso ipo di fenomeno, spesso si manifesa in modo peiodico sia nella volailià sia nella funzione di log-veosimiglianza. Doonik and Ooms () dimosano che la sima di ω che conduce ε = coisponde ad un minimo locale invece di un massimo da cui l uso dei es basai sul appoo di veosimiglianza invece dei es de Wald pe simae il modello. In queso caso,l oulie non influenza l inevallo nel quale evolve la vaianza condizionaa, ma pe via dell impao delle vaiabile dummy sulle sime di massima veosimiglianza (smv) influenza i paamei del modello. Quesi ipi di valoi anomali in geneale possono essee il isulao di una semplice coezione di mecao,di un cambiameno isiuzionale o di un enome volume di vendie in un deeminao momeno. Il modello ( ), è un ipico modello GARCH con valoi anomali nel equazione della media, i cui valoi iniziali non dipendono dai suoi paamei. Abbiamo viso che a causa del poenziale delle bimodalià nella funzione di veosimiglianza dovua all inoduzione della vaiabile dummy,la sima di massima veosimiglianza di ale modello isula abbasanza poblemaica. In geneale non devono mai veificasi le bimodalià nella funzione di veosimiglianza; secondo Hoa and Tsay(998) divenano molo pobabile in pesenza di oulies. Viene dimosao che l inoduzione della sessa vaiabile dummy al iado nel l equazione della vaianza isolve il poblema delle bimodalià. II-B Modello GARCH (,) con addiive vaiance oulie () Definiamo un modello GARCH(,) con un nell equazione della vaianza y = µ + d ω + ε =,,n ε =z * h, ε / f ~ N(, h ) * h = α + α * ε + β h =,...,T (4) * la vaiabile dummy definia come pima, influenza la vaianza condizionaa nel empo. 8

10 Pe espimee oeniamo * * h come funzione della vaianza condizionaa non influenzaa, sosiuiamo ε con suo valoe definio in funzione dei esidui non conaminai e definio come ε + * = d ω ε h * = h ε ( ωε s ω ) d + β + Pe β < quando ε = sia gli oulies posiivi sia quelli negaivi influenzano la vaianza. La deivaa della log-veosimiglianza definia in () è daa da: T l = ( θ ) T ( θ ) ε = - ε * + ( h ε ) * * = h θ h * h θ In (4) la vaianza è funzione di * ε e di h *, h * = quando ω ε * = la pima condizione ω della sima di massima veosimiglianza ε = viene soddisfaa: l inoduzione della vaiabile dummy al iado nell equazione della vaianza da sola isolve il poblema delle bimodalià II-c Modello GARCH(,) geneale pe gli oulie addiivi (GAO) Il modello (5) seguene viene cosuo in due fase; pima inoducendo nel l equazione della vaianza di un GARCH(,) una vaiabile dummy d al iado e poi la sessa dummy d nell equazione della media. y h = µ + ε α α ε β (5) = + + h + sd ε =,,T e ~ N(, h ) / f µ è consideaa cosane. 9

11 Il modello (5) è il modello geneale pe gli oulies addiivi.pemee di modellae conempoaneamene i due ipi di oulies. Hoa and Tsay (998) hanno dimosao che l appaizione delle bimodalià nella funzione di veosimiglianza è seamene legaa all inoduzione di una vaiabile dummy nell equazione della media di un modello GARCH(,) sandad. Hanno ugualmene dimosao che il poblema delle bimodalià viene isoluo semplicemene con l inoduzione della sessa vaiabile dummy nell equazione della vaianza ma al iado. il modello descio in (5) soddisfa quelle condizione; la sima di massima veosimiglianza è unica e la funzione di log-veosimiglianza è egolae. In geneale, il empo = in cui soge il valoe anomalo non è noo; l evidenziazione delle popieà della funzione di veosimiglianza in pesenza di oulies necessia la capacià di simala nei divesi modelli di valoi anomali come funzione del paameo ω. Tale sima isula molo complicaa quando nei dai si sospea la pesenza di più valoi anomali. Pe eviae complicazioni inuile, viene consigliao di uilizzae i dai aggiusai nel modo poposo in abella. Tabella In volailià Nei esidui noazione ALO * ε d ω * l / ) ε dω alo (. ω * ε * l / ) ε d ω avo (. ω * ε = y gς Tali aggiusameni pemeono di eviae una inuile sovapaameizzazione dei modelli saisici sopa definii. Usando la seie dei endimeni mensili e seimanali del iolo Dow Jones ispeivamene pe il peiodo dal 965 al 999 e pe il peiodo dal 98 al 99, simiamo il modello GARCH(,) sandad con inecea nell equazione della media e usando i dai aggiusai nel modo descio pecedenemene. Nei due casi si idenifica come oulie il pimo valoe dopo il lunedì del 9 oobe 987( conosciuo come giono di gande pedia nella soia dei mecai finanziai ameicani). Consideando ale valoe come anomalo,abbiamo inodoo una vaiabile dummy nel equazione della media e la sessa dummy nel equazione della vaianza ma al iado. quindi, abbiamo simao un modello geneale pe gli oulies addiivi (GAO) descio in (5)

12 Tabella Dai mensili98-99 modello Log-veosimiglianza ω s e Modello GARCH(,) ModelloGAO(,) Saisica es e p.value (-) Dai seimanali Modello GARCH(,) Modello GAO(,) Saisica es e p.value (-5) La abella da sia la massima log-veosimiglianza pe i due modelli simai sia i p-value dei ispeivi es di appoo di veosimiglianza. Il es è sao condoo usando come valoe ciico un appossimao valoe eoico e aando il empo del ouie () come non noo ma simao dai dai. In enambe i due casi, il valoe anomalo isula alamene significaivo. La pocedua di decisione a oulie di ipo o ALO idenificao a = si basa sulle funzioni di log-veosimiglianza. Tali funzioni sono calcolae usando i dai aggiusai come specificao in abella e sono funzione del paameo ω. In caso di bimodalià nella sima di massima veosimiglianza del modello con ALO, divena impossibile decidee il ipo di valoe anomalo basandoci sulla log-veosimiglianza. Il modello geneale GAO in geneale ha una veosimiglianza maggioe di quella dei singoli modelli con ALO e ; ma una di quese le imane sempe molo vicina. Nella paica, conaiamene a ale ipoesi ; può essee che le funzioni di veosimiglianza pe i modelli con ALO e con isulano enambe peggioi di quella del modello GAO.

13 Figua Funzioni di veosimiglianza dei modelli GARCH(,) ALO GAO in funzione di ω. Figua Dai mensili dai seimanali La figua da la disibuzione della funzione veosimiglianza pe il modello GARCH(,);pe i modelli con ALO GAO pe i endimeni mensili e seimanali del iolo Dow Jones come funzione di ω Tali isulai sono sai oenui uilizzando gli aggiusameni poposi in abella. Dalla figue si noa che:la veosimiglianza GAO e sono quasi simile pe i dai seimanali mene quella ALO è bimodale : pe i dai seimanali il modello con isula il più adao pe la manipolazione dei dai. Pe i dai mensili, la funzione di veosimilianza del modello ALO è abbasanza simile a quella del modello GAO ed enambe maggioe di quella. quindi pe i dai mensili, il modello ALO isula il più adao ai dai. Una vola idenificao il modello saisico più adao alla manipolazione dei dai sospeai di conaminazione, isula necessaio definie i meodi miglioi di manipolazione. Ne abbiamo idenificao due, di cui la pima si basa sulla funzione di veosimiglianza e la seconda sulla la egessione lineae.

14 III - METODI DI IDENTIFICAZIONE DI VALORI ANOMALI III-A Meodo Basandoci sul modello geneale (5) descio sopa, ci poponiamo di seguie una pocedua ieaiva a 5 fase pe idenificae gli oulies in modelli GARCH(,). Tale pocedue si basa sulle la funzione di veosimiglianza funzione dei paamei del modello; e considea i valoi anomali come non appaenendo alla dinamica ininseca del fenomeno oggeo di indagine ma povenendo da un ala disibuzione di pobabilià. Consise nella sima di un modello GARCH(,) senza valoi anomali addiivi, dalla seie dei esidui sandadizzai ipoizzae il valoe massimo anomalo. Simae un alo modello GARCH(,) ma con oulie di ipo addiivo; pe semplificae le cose, si usa il modello geneale (5). Se il es saisico calcolao come diffeenza di veosimiglianza isula minoe di ceo valoe eoico, ci si fema: nella seie, non ci sono valoi anomali. Nel caso conaio,si simano ispeivamene i modelli con e con ALO a seconda di quale ipo di valoe anomalo è supposo idenificao e poi confonando le funzioni di veosimiglianze si individua il ipo eale di ali valoi anomali. III-A Meodo Nella pima fase,si sima un modello GARCH(,) () senza valoi anomali addiivi, si deemina * una sima della log veosimiglianzal b, la seie esidui ε e una sima della volailià h *. Nella seconda fase, dalla seie dei esidui sandadizzai in valoe assoluo consideae il valoe più gande come anomalo e consideae il suo empo come empo dell oulie. simae il modello GARCH GAO(,) (5) con una dummy d I ( = ) nell equazione della media e d ; d I( = ) nel l equazione della vaianza ; ed oenee la sima dei paamei aggiunivi + ω gao,, s gao, e l gao, 3

15 Nella eza fase,si veifica l ipoesi nulla di assenza di valoe anomalo usando come es saisico la diffeenza delle funzioni di veosimiglianze. L ipoesi nulla viene veificaa confonando ale diffeenza con un oppouno valoe ciico. Se ( l gao, -l b ) < α c T ci si fema, nessun valoe anomalo è sao idenificao. il es saisico pe la veifica dell ipoesi nulla di assenza di valoi anomali assume α ct logt al livello di significaivià α =5%. La quaa fase sopauo seve pe individuae il ipo di oulie ( nel caso in cui ne vengono individuai in pecedenza). Se dalla sima del modello GAO effeuaa in fase, il paameo s gao, < alloa il valoe anomalo individuao è di ipo ALO ; nel caso conaio,si sima un modello GARCH(,) con un ALO ponendo ω= ω gao,, icavae l alo, il modello simao può essee consideao come un GARCH(,) senza vaiabile dummy nell equazione della media ma con vaiabile dipendene coea dall effeo dell oulie. I dai sono aggiusai nel modo descio in abella Il passo successivo consise nella sima, di un modello GARCH(,) con un oulie di ipo ponendo ω= ω gao,, si calcola la log -veosimiglianza oenee l avo,. La decisione del ipo di valoe anomalo idenificao si base sul confono delle funzioni di logveosimiglianze calcolae sopa: se l avo, > alo, l l oulie è di ipo se non è di ipo ALO. Il meodo viene ipeuo finche nei dai non ci siano più o semba non esseeci più oulie da idenificae. Il coefficiene ω viene simao ad ogni fase della pocedua descia sopa ; Pe semplificae le cose e sopauo pe eviae di sovapaameizzae il modello, abbiamo uilizzao gli aggiusameni descii in abella Il pimo passo della quaa fase si basa sulle ipoesi che: se la condizione di pimo odine pe la sima di massima veosimiglianza deaa da ε = pe un modello con viene soddisfaa, e se s = α ω, assumendo α si vede che effeivamene s negaivo non è compaibile con un modello di ipo. > 4

16 III-A- Valoe ciico Pe calcolae il livello di significaivià associao alla saisica es calcolaa pecedenemene abbiamo usao un eoico valoe esemo come disibuzione limie. il empo del valoe anomalo non è noo; Assumendo che i singoli es saisici calcolai pe, =,, T sono a di loo indipendeni, che la selezione della dummy( valoe da consideae anomalo addiivo) pe il calcolo del es sia avvenua nella seconda fase della pocedua sopa descia si può dimosae usando lo sviluppo di Taylo che ale disibuzione soo assunzione di egolaià della funzione di veosimiglianza, ende alla disibuzione di un chi-quado con p gado di libeà dove p coisponde al numeo di paamei in ө.quindi, in ale max T max (,..., T ) (,..., T ) gao condizioni M = LR ( ) = ( l lb) gao, e una quanià asinoicamene pivoale. la media di M e la disibuzione del valoe ciico uilizzao sopa all aumenae di T, sono funzione lineae di log(t). quindi il calcolo del es e del valoe ciico ichiede solo la conoscenza del empo T. III-A3 Applicazione alla seie dei endimeni di dow jones pendendo in consideazione le seie annualizzae ( mensili,seimanali,gionaliei) delle diffeenze pime dei endimeni logaimici del iolo Dow Jones ilevae pe il peiodo dal 6/5/896 al 5//. Dall analisi peliminae dei dai ci isula che è un peiodo consideao nella soia dei mecai finanziai come di ala volailià. Nel 94, i dai mancani isulano da fao che la bosa di NewYok è saa chiusa pe 4 mesi e mezzo a causa della pima guea mondiale. L anno 99 caaeizzao da un ala cescia e seguia da un collo speacolae:maca il peiodo della più gande cisi economica e della più gande volailià mai inconaa nella soia dei mecai finanziai degli USA. Nel oobe 987 è sao idenificao un valoe anomalo i cui effei necessiaono poco più di anni pe essee iassobii. Un alo valoe anomalo viene ilevao nel seembe, giono del aacco alle oe del New Yok cene. I endimeni sono sai annualizzai moliplicandoli pe la scala daa in abella 3 5

17 Tabella3 fequenze indice N di ossevazione Scala gionaliee Pezzi di chiusua seimanale A meà seimana 54 5 mensile Fine mese 64 Abbiamo applicao il noso meodo in modo ieaivo : pima idenificando un valoe anomalo poi aggiusando i dai pe ale oulie, queso finche nei dai non ci siano più valoi anomali. Tabella4-5 Tabella4 Dai mensili daa ampiezza p-oulie p- P-ALO Tipo 987/ 94/ 94/5 937/9 / *(-) S<.478 S< ALO ALO Dai seimanali 94// *(-4).44 ALO 94/5/ // *(-) // *(-7) /3/ /5/ ALO 994/3/ ALO 998/9/.7-6

18 Tabella5 Dai gionaliei daa ipo p-oulie daa ipo p-oulie daa ipo p-oulie 899//8 9/5/8 9/5/8 9/9/7 94//7 97/3/4 93// 94/7/8 94/7/3 94// 96// 97// ALO ALO ALO ALO 3(-4) //5 95// 97//8 99//8 933/3/5 934/7/6 939/9/5 94/5/5 943/4/9 946/9/3 948//3 95/6/6 ALO ALO ALO ALO /9/6 96/5/8 98/8/7 986/9/ 987//9 989//3 99//7 99//5 997//7 /4/4 /9/7 ALO ALO ALO La pima pae di abella 4 da isulai dell applicazione della nosa pocedua sui dai mensili. La colonna chiamaa p-oulie da il p-value del es di veifica del ipoesi nulla di assenza di valoe anomalo. Uilizza come voloe ciico un appossimao valoe esemo. ale es ècalcolao usando il modello geneale pe gli oulies addiivi. sono sai idenificai come oulies : il cash del 987, inizio delle due guee mondiale e il mese in cui il iolo decebbe del 7%. l odine nella abella è quello in cui i valoi sono sai individuai. La colona chiamaa p- da il p-value del es di appoo di veosimiglianza con disibuzione Chi_ Quado con gado di libeà uilizzando modello geneale GAO iseo ad un modello solo con. Quando la sima pe s è significaivamene divesa e infeioe a zeo ;un oulie di ipo ALO è individuao. Nello sesso modo la colona p-alo dà p-value pe il modello geneale GAO iseo ad un modello solo con un AlO. Si vede che il valoe anomalo idenificao dopo la iapeua del mecao nel dicembe 94 può essee sia di ipo ALO che di ipo ma il confono delle veosimiglianze pe quesi divesi modelli ci induce a pensae che è i ipo La seconda pae della abella 4 dà i isulai della pocedua applicaa ai dai seimanali. Vengono idenificai moli valoi anomalo di ipo, ad esempio quelli delle due guee mondiali, e in paicolae quello della seconda è di ipo, una decescia del 3% ilevaa nella 7

19 seconda seimana di dicembe 899 viene idenificaa come valoe anomalo pima del cash del 987. anne pe l oulie idenificao nel 994, la decisione a i due ipi non è poblemaica. La abella 5 dà i isulai pe dai gionaliei, paecchi oulies sono idenificai e ci sono più oulies nello sesso anno. I isulai pecedeni dimosano che il modello geneale GARCH pe gli ouies addiivi è un GARCH Gaussiano possibilmene conaminao da valoi anomali. In geneale gli oulies esisono vincolai ad un modello. Quindi, usae un falso modello può condue a l idenificazione di paecchi valoi anomali sopauo pe dai a fequenza gionaliea. un modello GARCH(,) con gli eoi disibuii come una -suden poebbe essee una alenaiva miglioe sopauo pe l applicazione paica ( facile da implemenae nei sofwae al conaio del meodo pecedene che è abbasanza cososo e complicao). Infai uilizzando il modello GARCH con gli eoi disibuii come una -suden solo pe i dai seimanali si idenifica valoi anomali. Sono sai idenificai un oulies di ipo ALO nella seimana di iapeua del mecao dopo la pima guea e un alo di ipo allì inizio della seconda: coispondono a quelli idenificai pecedenemene. Tabella 6 Gach(,) Con oulies Gach(,)-(v) Con oulies Oulie nei dai mensili 4 Oulie nei dai seimanali 7 Oulie nei dai gionaliei 34 III-B Meodo Cosuo da Fanses and Van Dijk(), è basao sulla egessione lineae della(vaianza o innovaion) e conaiamene al caso pecedene pemee di idenificae e modellae esclusivamene i valoi anomali di ipo ALO. Pima di qualunque ala causa, è impoane in quesa pae meee in evidenza l effeo di un valoe anomalo non peso in consideazione sui paamei di un modello GARCH(,) senza nessun oulie. 8

20 Definiamo un modello GARCH(,) con un valoe anomalo di ipo ALO nell equazione della vaianza : y = µ + d ω + ε =,,T () ε =z h () h α α ε β (3) = + + h ε ~iid(,), d = pe =,..,T e alove Da queso modello,geneiamo le seieε applicando le equazione () e (3) e consideando diffeeni valoi dei paamei ( α, β ) =(.,.5), (.,.7), (.,.6), (.,.8). Si assume α = α β, la vaianza non condizionaa di ε uguale e gli z geneai da un pocesso saisico nomale ed idenicamene disibuio. Le seie ε sono geneae pe =-5, -49,,,,,T con T= o5. I necessai valoi iniziali ε 5 e 5 h sono posi uguali a. Le pime 5 ossevazioni di ali seie,sevono ad impedie che i paamei del modello dipendano da suoi valoi iniziali. La seie y viene geneaa secondo (). Il paameo ω,la componeneε sono di segno uguale ; il paameo ω,3,5,7,9. Pe le seie y ossevae si sima il modello GARCH usando specifici meodi basai sulla funzione di massima veosimiglianza. La disibuzione empiica di Kenel pe i paamei simai di ale modello GARCH(,) evidenzia il fao che: all aumenae del valoe del paameo ω, la sima diα divena meno pecisa ; α ende a zeo pe valoi gandi di ω pe T=5, e pe T=5; β ende a pe T=5 e non pesene nessun andameno paicolae pe T gande Figua-7 9

21 III-B Meodo Consideiamo un modello GARCH(,) (*) definio pecedenemene come : y = µ + d ω + ε =,,T (4) [ y / I ] µ = Ε = ε =z h (5) (*) h α α ε β (6) = + + h Si ipoizza il empo in cui soge il valoe anomalo come sconosciuo. α >, α >, β > e α + β < da cui dipende la sazionaieà del pocesso nei momeni secondai del modello pe ε e pe h. Soo l ipoesi nulla di assenza di valoe anomali, oeniamo sime di massima veosimiglianza consiseni dei paamei del modello GARCH (, ) definio sopa, con disibuzione asinoica nomale degli eoi. L equazione (6) può essee iscia nel modo seguene : h i = ( α + αε i ) + β h i= β. (7). In geneale la vaianza condizionaa di un pocesso saisico non è ossevabile in paica, ma quasi sempe isula simaa dai dai, uilizzando divesi meodi di cui alcuni esempi sono :la vaianza mobile, la vaianza soica, la vaianza iskmeicks Nel noso caso, simiamo la vaianza come : = α α β e e h + o y + i h i = ( α + α y i ) + β h i= β. (8) h è assuno noo e uguale alla vaianza soica calcolaa sull inea seie degli y come T T = y. In pesenza di un unico oulie, e l inea sequenza degli h e h e,... viene influenzaa dal e h h valoe anomalo a =. In paica, ale influenza viene ignoaa pechè di odine molo piccolo, 3

22 Supponiamo che nella seie ossevaa esise un unico valoe anomalo ad un qualunque empo = non noo. y = ε pe y ε + ω pe = = e h = h h e i + j =h + j + ( + ) + h pe < β α α ε β pe j=,, (9) l oulie non influenza la vea vaianza condizionaa h + definia in (6) a = ma influenza solo j quella simaa h +. e j e Definiamo: υ = y h e ν = ε h ; soge naualmene ν iscivendo il modello GARCH(,) definio in (6) come un ARMA (,) ( z ) ( α + β) ε + ν βν ε α () = + ν = h da cui si può vedee indipendene e idenicamene disibuio (i.i.d) ν è un pocesso èeoschedasico invece di essee Usando l equazione (9) abbiamo: υ = ν < e ( ε + ω ) h = ν + ω + ωε υ = y h = ( ω + ωε ) υ = y h = ν β α e j + j + j + j + j pe j =,,... pe semplificazione, quano scio può essee inepeao come un modello di egessione degliυ y h. Sugli ν h ( z ). Definiamo l equazione di egessione come: = e = υ = +. () ξx ν

23 Con x = pe < x = x = pe j=,, j + β j α e con ( ε ω ) = ω + ωy ξ f ( ω) = ω + ω () dalla sima dell equazione () con i minimi quadai odinai, oeniamo ξ ξ ( ) = T = x coeene con il fao che = è noo T x u (3) = possibili valoi di ω sono calcolai come ω = y ± ξ. (4) y ω e ε sono assuni di segno idenico. dalla sima di ξ si può simae ω come: ( se y ξ ) < ω ( ) = y - y - ) y ξ ( (. se y ξ ) > y > (5) ) y ξ ( (. se y ξ ) > y <

24 a queso puno, una saisica es può essee calcolaa come: ω ( ) ω( ) = T f ( ω) f ( ω) σ ν x ω = ω / (6) σ v appesena una sima della deviazione sandad di v. dall equazione () si oiene: f ( ω) ω = ω + y y + ω = y ω il es in (6) confonao ad un deeminao valoe ciico veificheà l ipoesi nulla di assenza di oulies a = max ( ω) max (7) T ω ( ) La saisica es in (7) è plausibile peché nella ealà, il empo = del oulie non è noo, ha una disibuzione non sandad e dipende dai paamei del modello simao in pecedenza. Il meodo può essee iassuno nel modo seguene: ) simae un modello GARCH (,) definio in() () (3) pe la seie ossevaa oenee la sima della vaianza condizionaa e cosuie la seie ν h ( z ) = ) oenee la sima di ω pe ui gli : =,,T; usando (5) e (6) calcolae il es con (8).se il valoe del es è maggioe di un ceo valoe limie o ciico: un valoe anomalo è sao idenificao al ossevazione pe cui il es è massimo 3) cosuie la nuova seie aggiusando i dai affine di anulae l effeo del valoe anomalo idenificao. 4) Tonando al puno, simae un GARCH(,) iniziale pendendo in consideazione la nuova seie coea dall effeo del valoe anomalo idenificao. La pocedue viene ipeua finche il valoe del es calcolao non eccede più il valoe deo ciico cioè finche non vengono più idenificao valoi anomali. 3

25 III-B Valoe ciico L applicazione del meodo di idenificazione di valoi anomali ichiede un valoe ciico appopiao pe veificae le significaivià della es di veifica del l ipoesi nulla di assenza di oulie. Conaiamene al pimo meodo cosuo da Chen and Lui (993),la saisica es pe il empo = fissao in queso caso non è caaeizzaa da una disibuzione sandad nomale asinoicamene disibuia, ma dipende dai paamei del modello GARCH(,) (*) simao. Le fase successive sono vole all individuazione di un coeo valoe ciico coene con i paamei del modello. La cuosi pe ε e daa da: γ k ε = k z dove k z appesena la cuosi pe γ z γ E ( + ) i [ β α ] = pe cui i z [ ( α + β) ] ( α + β ) α k ε = 3 (8). < Risula sempe maggioe di 3, assume un valoe finio solo quando ( + β ) + α aumena quando α e β aumenano. Gandi valoi ealizzazione sia di ε sia di α ed k ε aumena la pobabilià di ossevae gande y. uo queso sosiene il fao che la disibuzione del es (7) non è sandad ma dipende dai paamei del modello simao. Tabella7 4

26 Coniene i pecenili della disibuzione della saisica es soo l ipoesi nulla di assenza di oulie. Sono calcolai sia pe divesi valoi di α e β sia pe T=5 e T=5;e basai su 5 eplicazioni del modello GARCH(,) definio in (5) e(6) Dalla appesenazione dei pecenili in funzione della cuosi possiamo dedue che Pe k ε <4 la eazione è quasi lineae k ε >4 si osseva una deviazione. la deviazione dalla elazione lineae pe valoi gandi di k ε dipende dai paamei α e β del modello GARCH(,) (*). Peciò un valoe ciico poebbe essee calcolao come: PC α, T = b + bα + b β + b3kε + η il valoe calcolao in queso modo (9) evidenzia la dipendenza dai paamei del modello simao. Dalla sima dell equazione (9) con i minimi quadai odinai dai in si oiene valoi consiseni dei paamei, con valoe di saebbe una buona appossimazione del valoe ciico. (9) R molo vicino ad (quasi pefei). Il valoe in (9) Il valoe cosi definio, funziona solo pe T =5 o T=5, pe i z ~ N(,) e fonisce i pecenili solo pe specifici livello di significaivià.quindi in paica l applicazione di queso valoe ciico è abbasanza complicaa peché oppo vincolaa. Un valoe alenaivo e più semplice da implemenae in paica può essee calcolao con la seguene pocedue dea di Boosap: Pima di uo Esaminiamo l effeo dei paamei simai di un modello GARCH(,) sandad sulla disibuzione del es calcolao in (6).I pecenili in abella8 sono deeminai assumendo noi i paamei del modello. Dal confono di ali pecenili con quelli deeminai assumendo che i paamei del modello siano simai, si può concludee che a di loo non esise una diffeenza significaiva. 5

27 Tabella8 III-B Pocedue di Boosap: la pocedua di Boosaps viene divisa in due passi pincipali: Il pimo passo consene di geneae il campione di Boosap uilizzando un modello GARCH(,) sandad i cui paamei sono sai oenui applicandolo alla la seie ossevaa. Il secondo passo pemee di calcolae la saisica es di veifica dell ipoesi nulla di basandosi su seie geneae in modo aificiale uilizzando i valoi empiici dei paamei. Si ipea ali passi B vole e si icava la disibuzione del es calcolao empiicamene.. Il p-value del es cosi deeminao può essee calcolao come: p = B B i= I i max ( ω ) > max ( ω), i dove ω) appesena l i-esimo elemeno del campione di Boosap. ( max Nella ealà, la vea pocedua di Boosap non assume noi i paamei del modello (bisogna simali); pecedenemene, abbiamo dimosao che a i valoi ciici in abella7 e abella8 una gande diffeenza non esise;.peciò quando le innovazioni hanno disibuzione nomale i paamei simai hanno un effeo limiao sulla disibuzione del es saisico calcolao in(6).quindi, la pocedua sopa descia può essee assuna come una buona appossimazione della vea pocedua 6

28 di Boosap pe deeminae un appopiao valoe ciico del es di veifica dell ipoesi nulla di assenza di oulies nei dai. III B3 applicazione applichiamo il meodo sopa descio alle seie dei endimeni seimanali dei ioli AEX DAX CAC4 Hong-Kong Singapou e New-yok che cica hanno 5 ossevazioni. le ossevazioni dal 996 al 998 sevono pe la pevisione della volailià di un modello GARCH(,) (*) pima e dopo l idenificazione e la coezione dell oulie. Si assume la media condizionaa descia da una cosane.. Il es saisico di veifica dell ipoesi nulla di assenza di valoe anomalo viene valuao al livello di significaivià del 5% e uilizza come valoe ciico valoi deeminai pe 3 divese pocedue di Boosap : aggiusaa, paameizzaa non paameizzaa La pocedua di Boosap paameizzaa è caaeizzaa dal fao che il campione sia deeminao assumendo le innovazioni z disibuie in modo nomale. Quella aggiusaa assume che i e valoi più gandi della seie dei endimeni sandadizzai in valoe assoluo non siano pesi in consideazione nel cosuie il campione. Solo la pocedua non paameizzaa di Boosap uilizza ui i esidui sandadizzai nella cosuzione del campione. Pe ue le seie anne quella di Singapou,,,anche 3 oulies vengono idenificai. La diffeenza a le e divese pocedue è piccola. Pe il iolo di Singapou la pocedue di Boosap aggiusaa non idenifica nessun oulie ma le ale due ne idenificano 5. paecchi valoi anomali sono sai idenificai aono ad oobe 897( collo dei mecai finanziai) e agoso 99 (invasione de kowai) Alcuni isulai sono dai in abella9. La sima dei paamei del modello GARCH(,) (*) calcolai pima e dopo l idenificazione e coezione del valoe anomalo, evidenzia una assenza di diffeenza. Il p-value è calcolao al livello di significaivià del 5% e uilizza la pocedua aggiusaa di boosap pe deeminae il valoe ciico Queso suggeisce che divese pevisioni possono essee oenue dalla sima dei due modelli GARCH.(,) che sono ispeivamene il modello GARCH(,) (*) e il modello GARCH(,) sandad con vaiabile dipendene aggiusae dall effeo del valoe anomalo. La sima della cuosi e della simmeia nei nelle due divesi casi ci mosa che anche i esidui del pimo modello endono alla nomale dopo la coezione del valoe anomalo. 7

29 Tabella9 Tiolo ( max ω) NP T NP ω daa Amsedam /8/ // /5/ /7/88 Fankfo /8/ //87 Pais /8/ /5/ //87 Hong Kong /8/ /7/ /5/94 Singapou /4/ // // /8/ /3/ /4/9 New yok // /8/ /9/9 NP p-value uilizzando Boosap non paameizzao T p-value uilizzando Boosap aggiusao P p-value uilizzando Boosap paameizzao 8

30 IV- CONCLUSIONE I valoi anomali in geneale esisono solo in elazione ad un deeminao modello saisico.nello scopo di eviae di oenee sime disoe di ali modelli,sime che conduebbeo a conclusioni sbagliae sul fenomeno oggeo di sudio abbiamo sudiao divese pocedue di idenificazione e manipolazione di valoi anomali di ipo addiivo nelle seie soiche di endimeni di aivià finanziaie. ali pocedue si basano su modelli saisici con valoi anomali. Abbiamo sudiao due divese pocedue pe idenificae i valoi anomali nelle seie soiche di aivià finanziaie. La pima, uilizza la funzione di veosimiglianza su cui isula abbasanza facile evidenziae l impao dei valoi anomali. In paica queso meodo funziona bene; consene semplici calcoli sia pe il calcolo del es sia pe la deeminazione del p-value uile alla veifica dell ipoesi nulla,non ichiede nessuna simulazione. La disibuzione del es è pivoale e asinoicamene disibuio e ende ad una disibuzione chi quado( Χ ), è coeene con il ispeo dei paamei del modello ed infine pemee di idenificae il ipo di oulie. Il secondo meodo invece ichiede calcoli più complicai. il es saisico pe la veifica dell ipoesi nulla dipende dai vei valoi dei paamei del modello, ed assume una disibuzione asinoica non nomale e quindi ichiede delle simulazione pe la conduzione del es cioè pe il calcolo del valoe ciico. queso meodo non consene di individuae il ipo di oulie e in geneale non funzione in pesenza di un valoe anomalo di ipo. Sono molo uilizzae in paica e danno buoni isulai. 9

31 Figua: disibuzione empiica della sima di massima veosimiglianza di α con un modello GARCH(,) conaminao da un oulie di ipo ALO pe N=5 ossevazioni 3

32 Figua3: disibuzione empiica della sima di massima veosimiglianza di α con un modello GARCH(,) conaminao da un oulie di ipo ALO pe N=5 ossevazioni 3

33 Figua4: disibuzione empiica della sima di massima veosimiglianza di α con un modello GARCH(,) conaminao da un oulie di ipo ALO pe N=5 ossevazioni 3

34 Figua5: disibuzione empiica della sima di massima veosimiglianza di α con un modello GARCH(,) conaminao da un oulie di ipo ALO pe N=5 ossevazioni 33

35 Figua6: disibuzione empiica della sima di massima veosimiglianza di β con un modello GARCH(,) conaminao da un oulie di ipo ALO pe N=5 ossevazion 34

36 Figua7: disibuzione empiica della sima di massima veosimiglianza di β con un modello GARCH(,) conaminao da un oulie di ipo ALO pe N=5 ossevazioni 35