MATEMATICA OBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO

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1 MATEMATICA OBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO Nel definire gli obiettivi in termini di conoscenze e di competenze il Dipartimento ha deciso di mettere in evidenza gli obiettivi minimi sottolineandoli. Si ritengono obiettivi minimi quelli irrinunciabili nella formazione culturale di una persona e quelli che servono per la prosecuzione del corso di studi. Insiemi numerici Cenni storici. Insieme N, operazioni e proprietà relative. Insieme Q, operazioni e proprietà relative. Insieme Z, operazioni e proprietà relative (in particolare proprietà delle potenze ad esponente intero relativo). Cenno ai successivi ampliamenti: insieme R. Saper descrivere quali sono i numeri naturali, interi, razionali, reali. Saper definire che cosa sono i multipli e i divisori di un numero. Saper definire MCD e mcm. Conoscere l algoritmo del MCD Saper esprimere quali sono le operazioni definite negli insiemi N, Z e Q e le loro proprietà. Saper definire le potenze e le loro proprietà. Saper calcolare espressioni utilizzando consapevolmente le operazioni definite in N, Z e Q. Saper calcolare espressioni in N, Z e Q applicando le proprietà delle potenze. Calcolo letterale 1 Necessità e utilità del calcolo letterale. I monomi e relative operazioni. I polinomi e relative operazioni. Saper definire un monomio e le sue caratteristiche. Saper definire un polinomio e le sue caratteristiche. Saper illustrare i principali prodotti notevoli: quadrato di un binomio quadrato di un polinomio cubo di un binomio somma per differenza. 1

2 Saper eseguire operazioni tra monomi. Saper eseguire operazioni tra polinomi. Saper calcolare i prodotti notevoli e saper riconoscere il loro sviluppo: quadrato di un binomio quadrato di un polinomio cubo di un binomio somma per differenza. Saper calcolare espressioni polinomiali. Calcolo letterale 2 Scomposizione di un polinomio in fattori Frazione algebriche e relative operazioni. Saper illustrare la regola di Ruffini. Saper enunciare il teorema del resto. Saper spiegare che cosa significa scomporre un polinomio. Saper spiegare come sono definiti i concetti di MCD e mcm per i polinomi. Saper definire una frazione algebrica. Saper illustrare le procedure per eseguire operazioni tra frazioni algebriche. Saper calcolare il quoziente e il resto di una divisione tra polinomi. Saper utilizzare il teorema del resto. Saper calcolare il quoziente e il resto di una divisione con la regola di Ruffini. Saper utilizzare i polinomi come modello per risolvere problemi. Saper scomporre in fattori un polinomio mettendo in evidenza un fattore comune o per parti. Saper scomporre in fattori un polinomio riconoscendo un prodotto notevole studiato. Saper scomporre in fattori un polinomio riconoscendo il trinomio speciale Saper scomporre in fattori un polinomio utilizzando il teorema di Ruffini. Saper determinare il MCD e il mcm di due o più polinomi. Saper eseguire operazioni tra frazioni algebriche Saper semplificare espressioni contenenti frazioni algebriche. Equazioni e problemi di 1 grado ad una incognita. Nozioni generali sulle equazioni. Equazioni razionali di primo grado. Cenno alle equazioni letterali. Saper definire un equazione e riconoscerne le caratteristiche. Saper illustrare i principi di equivalenza per le 2

3 Problemi di primo grado. equazioni. Saper risolvere equazioni di primo grado. Saper risolvere semplici equazioni di primo grado letterali. Saper risolvere semplici problemi lineari mediante equazioni. Sistemi di equazioni di I grado Sistemi di equazioni lineari in due equazioni e due incognite: definizioni; metodi di risoluzione e interpretazione grafica e geometrica. Sistemi determinati, indeterminati, impossibili. Problemi di primo grado risolubili con sistemi. Sistemi di equazioni lineari in tre equazioni e tre incognite.. Disequazioni di I grado Disuguaglianze; disequazioni e principi di equivalenza. Risoluzione algebrica di una disequazione di primo grado e interpretazione grafica. Sistemi di disequazioni. Valori assoluti; semplici equazioni e disequazioni in cui compaiono valori assoluti. Saper dare le definizioni relative. Conoscere le tecniche per la risoluzione di semplici sistemi lineari. Saper interpretare graficamente un sistema. Saper riconoscere il tipo di sistema e darne l interpretazione geometrica. Saper applicare le tecniche per la risoluzione dei sistemi lineari. Saper tradurre situazioni problematiche in sistemi. Saper risolvere problemi utilizzando sistemi di equazioni di primo grado. Saper dare le definizioni di diseguaglianza e disequazione. Conoscere il significato di valore assoluto. Saper risolvere disequazioni di primo grado intere. Saper risolvere sistemi di disequazioni. Saper svolgere esercizi con valori assoluti. Saper risolvere disequazioni intere di primo grado. Saper risolvere sistemi di disequazioni ad una sola incognita. Numeri reali Non razionalità di radice di due. Numeri irrazionali e numeri reali. Conoscere il motivo della necessità dell ampliamento e della costruzione del nuovo insieme numerico. 3

4 Conoscere la corrispondenza biunivoca fra l insieme dei numeri reali e i punti di una retta orientata. Sapere definire un numero irrazionale. Saper dimostrare la non razionalità di radice di due. Radicali Radice aritmetica di un numero reale: definizione; proprietà fondamentali dei radicali. Operazioni sui radicali aritmetici. Razionalizzazione del denominatore. Sapere la definizione di radice aritmetica di un numero reale. Sapere enunciare le proprietà fondamentali sui radicali. Saper utilizzare le tecniche e gli strumenti relativi alle proprietà dei radicali. Saper risolvere esercizi di applicazione delle regole studiate. Saper giustificare le scelte effettuate nel corso dei vari esercizi. Rapporti e proporzioni Definizione di rapporto. Definizione di proporzione. Proprietà delle proporzioni. Obiettivi in termine di conoscenze Conoscere la definizione di rapporto. Conoscere la definizione di proporzione. Conoscere le proprietà delle proporzioni. Saper risolvere esercizi con le proporzioni. Saper risolvere semplici problemi con l uso delle proporzioni. Saper applicare le proporzioni in altri contesti o in problemi. Funzioni e relazioni Concetti fondamentali sugli insiemi: insieme, rappresentazioni, operazioni. Definizione di relazione, proprietà delle relazioni. Definizione di funzione. Definizione di dominio e codominio. Funzioni empiriche e funzioni matematiche. Classificazione delle funzioni. Funzione pari e dispari. Funzioni crescenti e decrescenti. Funzioni invertibili. Rappresentazione grafica. Conoscere gli insiemi, le rappresentazioni e le operazioni. Conoscere la definizione di relazione e le relative proprietà. Conoscere la definizione di funzione, di dominio e codominio. Conoscere la classificazione delle funzioni. Conoscere la definizione di funzione pari e dispari. Conoscere la definizione di funzione crescente e decrescente. Conoscere la definizione di funzione invertibile. 4

5 Studio delle funzioni: y= ax+b; y= x ; y=a/x; y=x2 Conoscere le funzioni: y= ax+b; y= x ; y=a/x; y=x2 Saper operare sugli insiemi Saper riconoscere e costruire relazioni. Saper riconoscere le proprietà delle relazioni. Saper calcolare il dominio in casi semplici. Saper riconoscere una funzione empirica da una matematica. Saper riconoscere funzioni crescenti e decrescenti. Saper calcolare se una funzione è pari o dispari. Saper riconoscere funzioni pari e dispari. Rappresentare y= ax+b; y= x ; y=a/x; y=x 2 Geometria Euclidea 1 Cenni storici. Enti primitivi, definizioni, postulati., assiomi, teoremi,dimostrazioni. Segmenti e angoli. Criteri di congruenza dei triangoli. Classificazione dei triangoli. Rette perpendicolari. Rette parallele (v postulato), rette tagliate da trasversale. Luoghi geometrici. Parallelogrammi e relative proprietà. Saper illustrare la struttura di un teorema. Saper dare le definizioni in modo preciso di segmento, angolo, triangolo. Saper enunciare i criteri di congruenza dei triangoli. Saper dare la definizione di rette perpendicolari. Saper enunciare le condizioni di perpendicolarità. Saper enunciare il v postulato di Euclide. Saper enunciare i teoremi relativi alle rette parallele tagliate da una trasversale. Saper enunciare i teoremi sugli angoli interni ed esterni di un triangolo e di un poligono. Saper definire i luoghi geometrici. Saper definire i parallelogrammi ed enunciare le relative proprietà. Saper dimostrare i teoremi più significativi. Riconoscere le proprietà fondamentali degli enti geometrici primitivi. Operare con segmenti ed angoli. Scoprire e riconoscere le più importanti 5

6 proprietà delle figure del piano. Saper classificare i triangoli e riconoscerne le proprietà. Saper riconoscere le condizioni di perpendicolarità e di parallelismo. Saper riconoscere gli angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversali. Saper classificare i quadrilateri convessi e riconoscerne le proprietà. Geometria Euclidea 2 Punti notevoli di un triangolo. Definizione di equivalenza di figure nel piano e teoremi relativi. Teoremi di Pitagora ed Euclide. Conoscere le definizioni relative ai vari argomenti. Conoscere i punti notevoli di un triangolo e le relative proprietà. Conoscere la definizione di equivalenza di figure piane. Conoscere gli enunciati ed eventualmente dimostrare i teoremi di Pitagora e Euclide. Saper applicare il calcolo algebrico allo studio delle figure piane. Saper risolvere semplici problemi metrici. Grandezze e loro misura Definizione di classi di grandezze omogenee e di misura delle grandezze: angoli, segmenti, superfici, volumi. Postulato di continuità. Grandezze commensurabili e incommensurabili: lato e diagonale del quadrato. Conoscere la definizione di classi di grandezze omogenee e di misura delle grandezze. Conoscere il postulato di continuità. Conoscere la definizione di grandezze commensurabili e incommensurabili. Saper dimostrare l incommensurabilità del lato e della diagonale del quadrato. Applicare in modo corretto le definizioni studiate. Similitudine Definizione di omotetia. Principali proprietà dell omotetia. Definizione di similitudine. Criteri di similitudine tra triangoli: enunciati e dimostrazioni. Poligoni simili: definizione e proprietà. Conoscere la definizione di omotetia. Conoscere enunciare le principali proprietà dell omotetia. Saper dare la definizione di similitudine. Saper enunciare i criteri di similitudine tra triangoli. Saper dimostrare i criteri di similitudine tra triangoli. Sapere la definizione di poligoni simili. Conoscere le proprietà di poligoni simili. Saper applicare il calcolo algebrico allo studio delle figure piane. Saper risolvere semplici problemi metrici. Saper utilizzare le proporzioni in vari contesti. 6

7 Geometria Solida Postulati dello spazio. Perpendicolarità tra retta e piano: Parallelismo tra rette. Parallelismo tra retta e piano. Parallelismo tra piani. Angoli diedri : definizioni. Triedro: definizione. Angoloide: definizione. Classificazione dei solidi. Prisma: definizione. Parallelepipedo: definizione e proprietà. Cubo: definizione e proprietà. Piramide:definizione e proprietà. Poliedri regolari: cenni. Solidi di rotazione: definizioni. Cilindro: definizione. Cono: definizione e teorema sulle sezioni di un cono con un piano parallelo alla base con dimostrazione. Sfera, superficie sferica e le loro sezioni con un piano o con un diedro: definizioni.. Scoprire le proprietà delle figure che si conservano rispetto alle trasformazioni del piano: omotetie, similitudini. Conoscere i postulati dello spazio. Conoscere la definizione di perpendicolarità tra retta e piano. Conoscere la definizione di parallelismo tra rette. Conoscere la definizione di parallelismo tra retta e piano e di parallelismo tra piani. Conoscere la definizione di angoli diedri. Conoscere la definizione di triedro. Conoscere la definizione di angoloide. Conoscere la classificazione dei solidi. Conoscere le definizioni di: prisma, parallelepipedo, cubo, piramide, tronco di piramide e saper enunciare e dimostrare le relative proprietà. Saper definire i poliedri regolari. Conoscere la definizione di solido di rotazione. Conoscere la definizione di: cilindro, cono, sfera; saper enunciare le proprietà relative. Saper riconoscere rette e piani incidenti. Saper riconoscere e saper costruire rette perpendicolari a piani. Saper riconoscere e saper costruire rette parallele a rette e a piani. Saper riconoscere e saper costruire piani paralleli. Saper riconoscere diedri e angoloidi. Saper riconoscere le proprietà dei solidi in contesti più vasti. Saper applicare le formule relative alle aree delle superfici dei solidi a problemi di tipo geometrico e non. Saper utilizzare le proprietà dei solidi in contesti diversi: chimica, fisica ecc. Saper disegnare i solidi studiati 7

8 Trasformazioni isometriche nel piano. Concetto di trasformazione. Isometria e proprietà. Simmetria. Simmetria assiale e centrale. Grafici con particolari centri o assi di simmetria. Traslazione. Traslazioni di grafici. Simmetrie Rotazioni.. Utilizzo di strumenti informatici Saper illustrare il concetto di trasformazione Saper definire una isometria. Saper illustrare le proprietà di una isometria. Saper definire la simmetria. Saper illustrare le proprietà di una simmetria. Scoprire le proprietà delle figure che si conservano rispetto alle trasformazioni nel piano. Conoscere le trasformazioni isometriche e le loro caratteristiche nel piano Saper riconoscere le isometrie piane. Saper scoprire le proprietà delle figure che si conservano durante le trasformazioni studiate. Saper operare nel piano da un punto di vista grafico. Saper rappresentare le trasformazioni con l utilizzo di strumenti informatici. Geometria analitica: la retta Cenni storici. Il piano cartesiano. Metodo e finalità della geometria analitica. Definizione di funzione. Punto medio di un segmento; distanza di due punti. Retta. Rette parallele e perpendicolari. Posizione reciproca di due rette. Distanza punto retta Utilizzo di strumenti informatici. Saper dare la definizione di funzione. Comprendere l'oggetto e il metodo della geometria analitica. Comprendere le caratteristiche di una retta. Conoscere le definizioni relative agli argomenti trattati. Conoscere le formule relative ai vari elementi. Saper esprimere l'equazione di una retta in forma esplicita ed implicita. Saper determinare l'equazione di un fascio di rette proprio e improprio, di una retta noti due punti, di una retta dato il grafico, di una retta noti un punto e il coefficiente angolare. Saper identificare rette parallele e perpendicolari. Saper utilizzare le formule per risolvere problemi. 8

9 Saper rappresentare funzioni lineari in un piano cartesiano. Sviluppare l intuizione geometrica nel piano. Acquisire il concetto di modello geometrico. Statistica e Probabilità Fenomeni collettivi: definizione. Fasi di un indagine statistica: descrizione. Tabelle semplici e composte e tabelle a doppia entrata. Ponderazione dei dati. Rappresentazioni grafiche. Rapporti di composizione, di coesistenza, di derivazione, di durata. Media aritmetica semplice e ponderata; media geometrica semplice e ponderata; media quadratica; media armonica. Moda, mediana. Scarti dalla media; scarto quadratico medio. Utilizzo di strumenti informatici e calcolatrice. Vari tipi di definizione di probabilità Elementi di calcolo delle probabilità Conoscere cosa si intende per fenomeno collettivo. Conoscere le fasi di un indagine statistica. Conoscere le tabelle semplici e composte e le tabelle a doppia entrata. Conoscere i vari tipi di rappresentazioni grafiche. Saper definire i rapporti di composizione, di coesistenza, di derivazione, di durata. Saper definire i vari tipi di media. Saper definire moda e mediana. Saper definire cosa si intende per scarto dalla media e scarto quadratico medio. Saper dare le definizioni di probabilità Saper impostare le varie fasi di un indagine statistica. Saper leggere e costruire tabelle semplici e composte e tabelle a doppia entrata. Saper leggere e costruire i vari tipi di rappresentazioni grafiche Saper calcolare i vari tipi di rapporti di composizione, di coesistenza, di derivazione, di durata. Saper calcolare moda e mediana. Saper calcolare gli scarti dalla media e lo scarto quadratico medio. Saper utilizzare in modo critico i dati forniti da un indagine statistica Saper leggere i rapporti di composizione in ambiti diversi ( es. geografia, scienze) Saper utilizzare i vari tipi di grafici e saperli interpretare in ambiti diversi. Saper utilizzare le definizioni di probabilità in vari contesti Saper applicare i concetti teorici introdotti. 9

10 Matematica con informatica Concetti introduttivi e sistema operativo Windows Gli algoritmi: caratteristiche, diagramma di flusso. Elementi di videoscrittura. Elementi di PowerPoint Elementi di Excel Elementi di Derive. Elementi di Cabri. Conoscere il sistema operativo Windows. Conoscere cosa si intende per algoritmo e per diagramma di flusso. Conoscere alcune caratteristiche di Excel. Conoscere gli elementi essenziali per utilizzare Derive. Conoscere gli elementi essenziali per utilizzare Cabri. Saper utilizzare il sistema operativo Windows Saper costruire semplici algoritmi e diagrammi di flusso Saper utilizzare un programma di videoscrittura Saper utilizzare PowerPoint Saper utilizzare Excel Saper utilizzare Derive per applicazioni matematiche. Saper utilizzare Cabri per applicazioni matematiche. Argomenti e obiettivi per classi del triennio del Liceo Classico e del Liceo Linguistico Sistemi di equazioni di I grado Sistemi di equazioni lineari in due equazioni e due incognite: definizioni; metodi di risoluzione: confronto, sostituzione, riduzione; interpretazione grafica e geometrica. Sistemi determinati, indeterminati, impossibili. Problemi di primo grado risolubili con sistemi. Sistemi di equazioni lineari in tre equazioni e tre incognite. Saper dare le definizioni relative. Conoscere le tecniche per la risoluzione dei sistemi lineari. Saper interpretare graficamente un sistema. Saper riconoscere il tipo di sistema e darne l interpretazione geometrica. Saper applicare le tecniche per la risoluzione dei sistemi lineari. Saper tradurre situazioni problematiche in sistemi. Saper risolvere problemi utilizzando sistemi di 10

11 Disequazioni di I grado Disuguaglianze; disequazioni e principi di equivalenza. Risoluzione algebrica di una disequazione di primo grado e interpretazione grafica. Disequazione frazionarie e di grado superiore al primo. Sistemi di disequazioni. Valori assoluti; equazioni e disequazioni in cui compaiono valori assoluti. equazioni di primo grado. Saper dare le definizioni di diseguaglianza e disequazione. Conoscere il significato di valore assoluto. Saper risolvere disequazioni di primo grado intere. Saper risolvere disequazioni frazionarie, di grado superiore al primo e sistemi di disequazioni. Saper svolgere esercizi con valori assoluti. Saper risolvere disequazioni intere e fratte di primo grado. Saper risolvere disequazioni di grado superiore al primo utilizzando la scomposizione in fattori. Saper risolvere sistemi di disequazioni ad una sola incognita. Numeri reali Non razionalità di radice di due. Numeri irrazionali e numeri reali. Classi contigue: approccio e definizione. Definizione di numero reale mediante le classi contigue. Cenni alle operazioni con i numeri reali. Radicali Radice aritmetica di un numero reale: definizione; proprietà fondamentali dei radicali. Operazioni sui radicali aritmetici. Razionalizzazione del denominatore. Radicali doppi. Conoscere il motivo della necessità dell ampliamento e della costruzione del nuovo insieme numerico. Conoscere la corrispondenza biunivoca fra l insieme dei numeri reali e i punti di una retta orientata. Sapere la definizione di classi contigue. Sapere definire un numero irrazionale. Saper dimostrare la non razionalità di radice di due. Sapere eventualmente costruire una coppia di classi contigue di numeri razionali. Sapere eventualmente calcolare qualche operazione con i numeri reali utilizzando le coppie di classi contigue. Sapere la definizione di radice aritmetica di un numero reale. Sapere enunciare le proprietà fondamentali sui radicali. 11

12 Radicali algebrici. Calcolo approssimato: cenni. Saper utilizzare le tecniche e gli strumenti relativi alle proprietà dei radicali. Saper risolvere esercizi di applicazione delle regole studiate. Saper risolvere esercizi con le operazioni sui radicali. Saper razionalizzare il denominatore. Saper giustificare le scelte effettuate nel corso dei vari esercizi. Equazioni di secondo grado ad una incognita Equazioni di secondo grado: definizioni e tipi. Formula risolutiva delle equazioni di secondo grado complete. Equazioni frazionarie. Relazioni tra coefficienti e soluzioni. Scomposizione trinomio. Risoluzione di problemi con l uso di equazioni di secondo grado. Cenno ai numeri complessi e alle relative operazioni Equazioni di grado superiore al secondo Equazioni riconducibili ad equazioni di grado inferiore. Equazioni biquadratiche, binomie, trinomie, reciproche. Disequazioni ad una incognita di secondo grado e di grado maggiore di due Segno del trinomio di secondo grado nei vari Conoscere la formula risolutiva. Saper ricavare la formula risolutiva. Conoscere le relazioni tra le radici e i coefficienti di un equazione di II grado. Conoscere e giustificare la scomposizione di un trinomio. Capire la necessità che porta all ampliamento dei numeri reali e la costruzione dell insieme dei numeri complessi. Saper risolvere esercizi sulle equazioni di secondo grado intere e frazionarie. Saper risolvere esercizi relativi alle relazioni tra radici e coefficienti. Saper calcolare due numeri conoscendo la loro somma e prodotto. Saper scomporre un trinomio di secondo grado. Saper applicare le equazioni di secondo grado ai problemi. Saper operare con i numeri complessi. Saper riconoscere il grado delle equazioni. Saper riconoscere il tipo di equazione. Saper risolvere equazioni di grado superiore al secondo. Saper dare le definizioni di diseguaglianza e disequazione. 12

13 casi. Disequazioni razionali intere di secondo grado. Disequazioni razionali fratte. Disequazioni di grado superiore al secondo. Sistemi di disequazioni. Interpretazione grafica delle disequazioni di secondo grado. Equazioni irrazionali Equazioni irrazionali contenenti radicali quadratici. Teorema dell equivalenza. Condizioni di esistenza e dominio di un radicale quadratico. Risoluzione di equazioni con un solo radicale di indice pari. Risoluzione di equazioni con un solo radicale di indice dispari. Cenni a equazioni irrazionali contenenti più radicali. Saper calcolare il segno del trinomio con il metodo della scomposizione del trinomio o con l ausilio della parabola. Saper dare le definizioni e le giustificazioni relative agli argomenti proposti. Saper risolvere gli esercizi relativi ai vari tipi di disequazioni. Saper interpretare graficamente le disequazioni di secondo grado ad una incognita. Saper riconoscere equazioni irrazionali. Saper applicare il teorema dell equivalenza nel caso di elevamento a potenza. Saper calcolare le condizioni di esistenza dei radicali e il dominio. Saper risolvere equazioni irrazionali con: un solo radicale di indice pari mediante verifica delle soluzioni; un solo radicale di indice pari mediante individuazione dell insieme di equivalenza; un solo radicale di indice dispari; due o più radicali Sistemi di equazioni di secondo grado e di grado superiore al secondo. Sistemi di secondo grado. Metodo algebrico e grafico. Sistemi simmetrici. Sistemi omogenei. Sistemi di grado superiore al secondo. Applicazioni alla risoluzione di problemi. Saper dare la definizione di sistema di più equazioni in più incognite. Saper riconoscere il grado di un sistema. Saper risolvere sistemi di secondo grado con il metodo algebrico. Saper eventualmente interpretare graficamente i sistemi. Saper risolvere sistemi di grado superiore al secondo. Saper risolvere sistemi simmetrici ed omogenei. Saper eventualmente applicare le conoscenze acquisite ai problemi. 13

14 Geometria Euclidea 1 Cenni storici. Applicazioni della logica alla geometria. Enti primitivi, postulati. Struttura di un teorema. Criteri di congruenza dei triangoli. Classificazione dei triangoli. Rette perpendicolari e teoremi relativi. Rette parallele (v postulato), rette tagliate da trasversale. Luoghi geometrici. Parallelogrammi e relative proprietà. Saper illustrare la struttura di un teorema. Saper dare le definizioni in modo preciso di angolo, triangolo. Saper enunciare, analizzando ipotesi e tesi i criteri di congruenza dei triangoli. Saper dimostrare in secondo criterio di congruenza. Saper enunciare e dimostrare teoremi relativi ai triangoli. Saper dare la definizione di rette perpendicolari. Saper enunciare le condizioni di perpendicolarità. Saper enunciare il v postulato di Euclide. Saper enunciare i teoremi relativi alle rette parallele tagliate da una trasversale. Saper dimostrare i teoremi relativi alle rette parallele tagliate da una trasversale. Saper enunciare i teoremi sugli angoli interni ed esterni di un triangolo e di un poligono. Saper definire i luoghi geometrici. Saper definire i parallelogrammi ed enunciare le relative proprietà. Riconoscere le proprietà fondamentali degli enti geometrici primitivi. Riconoscere e definire figure concave e convesse, in particolare semirette, segmenti ed angoli. Operare con segmenti ed angoli. Scoprire e riconoscere le più importanti proprietà delle figure del piano. Saper classificare i triangoli e riconoscerne le proprietà. Saper riconoscere le condizioni di perpendicolarità e di parallelismo. Saper riconoscere gli angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversali. Saper classificare i quadrilateri convessi e riconoscerne le proprietà. Geometria Euclidea 2 14

15 Circonferenza e cerchio: definizioni. Confronto di archi. Posizione reciproche di due circonferenze e di retta e circonferenza. Punti notevoli di un triangolo. Poligoni inscritti e circoscritti; poligoni regolari. Definizione di equivalenza di figure nel piano e teoremi relativi. Teoremi di Pitagora ed Euclide. Conoscere le definizioni relative ai vari argomenti. Riconoscere le mutue posizioni di due circonferenze. Riconoscere le mutue posizioni di una retta e una circonferenza. Conoscere i punti notevoli di un triangolo e le relative proprietà. Conoscere le definizioni di poligoni inscritti e circoscritti e di poligoni regolari. Conoscere la definizione di equivalenza di figure piane. Conoscere gli enunciati ed eventualmente dimostrare i teoremi di Pitagora e Euclide. Saper applicare il calcolo algebrico allo studio delle figure piane. Saper risolvere semplici problemi metrici. Grandezze e loro misura Definizione di classi di grandezze omogenee e di misura delle grandezze: angoli, segmenti, superfici, volumi. Postulato di continuità. Grandezze commensurabili e incommensurabili: lato e diagonale del quadrato. Conoscere la definizione di classi di grandezze omogenee e di misura delle grandezze. Conoscere il postulato di continuità. Conoscere la definizione di grandezze commensurabili e incommensurabili. Saper dimostrare l incommensurabilità del lato e della diagonale del quadrato. Applicare in modo corretto le definizioni studiate. Rapporti e proporzioni Definizione di rapporto. Definizione di proporzione. Proprietà delle proporzioni. Teorema di Talete e corollari. Teorema della bisettrice dell angolo interno ed esterno. Obiettivi in termine di conoscenze Conoscere la definizione di rapporto. Conoscere la definizione di proporzione. Conoscere le proprietà delle proporzioni. Saper enunciare il teorema di Talete e i suoi corollari. Saper dimostrare il teorema di Talete e i suoi 15

16 corollari. Saper enunciare il teorema della bisettrice dell angolo interno e dell angolo esterno. Saper risolvere esercizi con le proporzioni. Saper risolvere semplici problemi con l uso delle proporzioni. Saper applicare i teoremi studiati in altri contesti o in problemi. Similitudine Definizione di omotetia. Principali proprietà dell omotetia. Definizione di similitudine. Criteri di similitudine tra triangoli: enunciati e dimostrazioni. Poligoni simili: definizione e proprietà. Teoremi sulle corde e secanti ad una circonferenza. Sezione aurea di un segmento e proprietà. Conoscere la definizione di omotetia. Conoscere enunciare le principali proprietà dell omotetia. Saper dare la definizione di similitudine. Saper enunciare i criteri di similitudine tra triangoli. Saper dimostrare i criteri di similitudine tra triangoli. Sapere la definizione di poligoni simili. Conoscere le proprietà di poligoni simili. Saper enunciare i teoremi sulle corde e secanti ad una circonferenza. Saper dimostrare i teoremi sulle corde e secanti ad una circonferenza. Saper la definizione di sezione aurea di un segmento e le relative proprietà. Saper dimostrare le proprietà delle sezione aurea. Saper applicare il calcolo algebrico allo studio delle figure piane. Saper risolvere semplici problemi metrici. Saper utilizzare le proporzioni in vari contesti. Scoprire le proprietà delle figure che si conservano rispetto alle trasformazioni del piano: omotetie, similitudini. Formule di completamento Formule relative ad altezza e superficie del Conoscere le formule relative ad altezza e 16

17 triangolo equilatero. Considerazioni su angoli di 30, 45 e 60. Formula di Erone Raggio della circonferenza inscritta e circoscritta ad un triangolo. superficie del triangolo equilatero. Saper fare considerazioni su angoli di e 60 Conoscere la formula di Erone. Conoscere la formula relativa al raggio della circonferenza inscritta e circoscritta ad un triangolo. Applicare le formule studiate a semplici problemi di geometria piana. Geometria Solida Postulati dello spazio. Perpendicolarità tra retta e piano: definizione, dimostrazione teoremi relativi in particolare il teorema delle tre perpendicolari. Parallelismo tra rette. Parallelismo tra retta e piano. Parallelismo tra piani. Angoli diedri : definizioni. Teorema sulla congruenza delle sezioni parallele di un diedro. Sezioni normali: definizione. Piani perpendicolari e teoremi relativi. Triedro: definizione. Relazioni tra le facce di un triedro: con dimostrazione Angoloide: definizione. Teorema sulle sezioni parallele di un angoloide con dimostrazione. Definizione di angoloide improprio. Classificazione dei solidi. Prisma: definizione. Parallelepipedo: definizione e proprietà. Cubo: definizione e proprietà. Piramide:definizione e proprietà. Poliedri regolari: cenni. Solidi di rotazione: definizioni. Cilindro: definizione. Cono: definizione e teorema sulle sezioni di un cono con un piano parallelo alla base con dimostrazione. Sfera, superficie sferica e le loro sezioni con un piano o con un diedro: definizioni. Conoscere i postulati dello spazio. Conoscere la definizione di perpendicolarità tra retta e piano. Conoscere la dimostrazione dei teoremi relativi. Conoscere l enunciato del teorema delle tre perpendicolari e saperlo dimostrare. Conoscere la definizione di parallelismo tra rette. Conoscere la definizione di parallelismo tra retta e piano e di parallelismo tra piani. Conoscere la definizione di angoli diedri. Conoscere il teorema sulla congruenza delle sezioni parallele di un diedro e saperlo dimostrare. Conoscere la definizione di sezioni normali di un diedro. Conoscere la definizione di piani perpendicolari e saper dimostrare i teoremi relativi. Conoscere la definizione di triedro. Conoscere le relazioni tra le facce di un triedro: e saperle dimostrare. Conoscere la definizione di angoloide. Conoscere la definizione il teorema sulle sezioni parallele di un angoloide e saperlo dimostrare. Conoscere la definizione di angoloide improprio. Conoscere la classificazione dei solidi. Conoscere le definizioni di: prisma, parallelepipedo, cubo, piramide, tronco di piramide e saper enunciare e dimostrare le relative proprietà. 17

18 Area della superficie dei poliedri: prisma, piramide, cilindro, cono, tronco di cono, sfera. Dimostrazione delle aree laterali di: prisma, piramide, tronco di piramide, cilindro, cono, tronco di cono. Dimostrazione dell area della superficie sferica. Equivalenza dei solidi: definizione. Principio di Cavalieri: giustificazione e applicazioni. Volume del parallelepipedo rettangolo, della piramide, del cilindro, del cono: con dimostrazioni. Volume del tronco di piramide e del tronco di cono con dimostrazioni. Volume della sfera: con dimostrazione. Saper definire i poliedri regolari. Conoscere la definizione di solido di rotazione. Conoscere la definizione di: cilindro, cono, sfera; saper enunciare le proprietà relative ed eventualmente dimostrarle. Conoscere le formule relative al calcolo delle aree delle superfici dei solidi: prisma, piramide, tronco di piramide, cilindro, cono, tronco di cono, sfera. Saper dimostrazione le formule relative alle aree laterali di: prisma, piramide, tronco di piramide, cilindro, cono, tronco di cono. Saper dimostrazione dell area della superficie sferica. Conoscere la definizione di equivalenza tra solidi. Conoscere l enunciato del principio di Cavalieri e saperlo giustificare. Conoscere le formule relative al calcolo del volume di: parallelepipedo rettangolo, piramide, tronco di piramide,cilindro, cono, tronco di cono, sfera. Sapere la dimostrazione delle formule dei solidi studiati. Saper riconoscere rette e piani incidenti. Saper riconoscere e saper costruire rette perpendicolari a piani. Saper riconoscere e saper costruire rette parallele a rette e a piani. Saper riconoscere e saper costruire piani paralleli. Saper applicare il teorema di Talete nello spazio. Saper riconoscere diedri e angoloidi. Saper estendere i concetti di isometria e di similitudine nello spazio e riconoscerne le proprietà. Saper definire le proprietà di un solido tratto anche dal vissuto quotidiano. Saper riconoscere le proprietà dei solidi in contesti più vasti. Saper applicare le formule relative alle aree delle superfici dei solidi a problemi di tipo 18

19 geometrico e non. Saper applicare le formule relative ai volumi dei solidi a problemi di tipo geometrico e non. Saper utilizzare le proprietà dei solidi in contesti diversi: chimica, fisica ecc. Saper giustificare le affermazioni fatte durante le dimostrazioni. Saper utilizzare i concetti studiati per dimostrare teoremi diversi da quelli proposti. Saper disegnare i solidi studiati Saper risolvere problemi. Trasformazioni isometriche nel piano. Concetto di trasformazione. Isometria e proprietà. Simmetria centrale e assiale e proprietà. Traslazione e proprietà. Saper illustrare il concetto di trasformazione Saper definire una isometria. Saper illustrare le proprietà di una isometria. Saper definire la simmetria centrale e assiale. Saper illustrare le proprietà di una simmetria centrale e assiale. Saper definire una traslazione. Saper illustrare le proprietà della traslazione. Saper riconoscere le isometrie piane. Saper scoprire le proprietà delle figure che si conservano durante una trasformazione. Scoprire, per via grafica, i risultati delle combinazioni di varie isometrie. Trasformazioni isometriche e non nel piano Simmetria assiale e centrale. Grafici con particolari centri o assi di simmetria. Traslazione: vettori, equazioni. Traslazioni di grafici. Cenni alle trasformazioni non isometriche: dilatazioni, omotetie, similitudini, affinità. Affinare le capacità intuitive. Scoprire le proprietà delle figure che si conservano rispetto alle trasformazioni nel piano. Scoprire l'esistenza di differenti geometrie fondate su differenti tipi di trasformazioni. Conoscere le trasformazioni isometriche e le loro caratteristiche nel piano Saper operare nel piano da un punto di vista grafico. Utilizzo di software applicativi. 19

20 Geometria analitica: la retta Cenni storici. Il piano cartesiano. Metodo e finalità della geometria analitica. Definizione di funzione. Punto medio di un segmento; distanza di due punti. Rette parallele agli assi. Rette per l origine. Rette in posizione generica. Rette parallele e perpendicolari: coefficienti angolari. Posizione reciproca di due rette. Retta passante per due punti. Distanza punto retta. Saper dare la definizione di funzione. Comprendere l'oggetto e il metodo della geometria analitica. Comprendere le caratteristiche di una retta in base ai parametri presenti nella equazione esplicita o implicita. Conoscere le definizioni relative agli argomenti trattati. Conoscere le formule relative ai vari elementi. Saper esprimere l'equazione di una retta in forma esplicita ed implicita. Saper determinare l'equazione di un fascio di rette proprio e improprio, di una retta noti due punti, di una retta dato il grafico, di una retta noti un punto e il coefficiente angolare. Saper identificare rette parallele e perpendicolari. Saper utilizzare le formule per risolvere problemi. Saper rappresentare funzioni lineari in un piano cartesiano. Sviluppare l intuizione geometrica nel piano. Acquisire il concetto di modello geometrico. Funzioni Definizione di funzione. Definizione di dominio e codominio. Funzioni empiriche e funzioni matematiche. Classificazione delle funzioni. Funzioni crescenti e decrescenti. Funzioni composte. Funzioni pari e dispari. Funzioni invertibili. Conoscere la definizione di funzione, di dominio e codominio. Conoscere la classificazione delle funzioni. Conoscere la definizione di funzione crescente e decrescente. Conoscere la definizione di funzione pari e dispari. Conoscere la definizione di funzione invertibile. Saper calcolare il dominio in casi semplici. Saper riconoscere una funzione empirica da una matematica. Saper fare esempi grafici di funzioni crescenti e decrescenti. Saper individuare le funzioni che formano la 20

21 funzione composta. Saper calcolare se una funzione è pari o dispari. Circonferenza Definizione di conica. Equazione di una generica conica. Classificazione delle coniche col delta. Definizione di luogo geometrico. Definizione di circonferenza: dimostrazione dell equazione e condizioni di esistenza. Formule relative al centro e al raggio. Circonferenze in condizioni particolari. Retta tangente ad una circonferenza: 2 metodi. Retta secante, esterna rispetto ad una circonferenza. Posizioni reciproche di due circonferenze. Asse radicale. Problemi sulla circonferenza. Parabola Definizione di parabola come luogo geometrico. Dimostrazione dell equazione con vertice nell origine e asse di simmetria parallelo all asse y. Equazione generica parabola. Formule relative al fuoco, vertice, asse, direttrice. Parabole con asse di simmetria parallelo all asse x. Retta tangente ad una parabola. Parabole in condizioni particolari. Risoluzioni grafica di una disequazione di secondo grado. Problemi sulla parabola. Conoscere la definizione di conica. Conoscere l equazione di una generica conica.. Conoscere la definizione di circonferenza. Saper ricavare l equazione di una circonferenza. Conoscere le formule relative alla circonferenza. Saper riconoscere una conica calcolando il delta. Saper trovare l equazione di una circonferenza noti centro e raggio, tre punti ecc. Calcolare la retta tangente, secante. Saper individuare la mutua posizione di due circonferenze. Risolvere semplici problemi sulla circonferenza. Conoscere la definizione di parabola. Saper ricavare l equazione di una parabola. Conoscere le formule relative alla parabola nei vari casi. Saper trovare l equazione di una parabola noti fuoco e vertice, fuoco e direttrice, vertice e un punto, ecc. Calcolare la retta tangente a una parabola. Risolvere graficamente disequazioni di secondo grado. Risolvere semplici problemi sulla parabola. 21

22 Ellisse Definizione di ellisse come luogo geometrico. Dimostrazione dell equazione canonica di una ellisse. Formule relative agli elementi di una ellisse. Ellissi con fuochi appartenenti all asse x e all asse y. Retta tangente ad una ellisse. Ellisse riferita a rette parallele agli assi. Problemi sulla ellisse. Conoscere la definizione di ellisse. Saper ricavare l equazione di una ellisse. Conoscere le formule relative alla ellisse nei vari casi. Saper trovare l equazione di una ellisse noti alcuni suoi elementi. Calcolare la retta tangente a una ellisse. Risolvere semplici problemi sulla ellisse. Iperbole, iperbole equilatera, funzione omografica. Definizione di iperbole come luogo geometrico. Dimostrazione dell equazione canonica di una iperbole. Condizioni di esistenza. Formule relative all iperbole: centro, fuochi, asintoti, eccentricità. Equazione di una iperbole riferita a rette parallele ai suoi assi. Retta tangente ad una iperbole. Definizione e caratteristiche dell iperbole equilatera riferita al centro e agli assi. Definizione e caratteristiche dell iperbole equilatera riferita ai propri asintoti. Formule relative all iperbole equilatera. Legge della proporzionalità inversa. Funzione omografica. Problemi sulla iperbole. Conoscere la definizione di iperbole. Saper ricavare l equazione di una iperbole. Conoscere le formule relative alla iperbole. Saper trovare l equazione di una iperbole noti alcuni elementi. Calcolare la retta tangente a una iperbole. Saper riconoscere una iperbole equilatera. Risolvere semplici problemi sulla iperbole. Saper fare il grafico di una iperbole e la funzione omografica. Funzione esponenziale e logaritmica Ripasso proprietà delle potenze. Potenze ad esponente reale. Definizione di funzione esponenziale e sue caratteristiche. Equazione esponenziale. Definizione di logaritmo di un numero. Definizione di funzione logaritmica e sua caratteristiche. Proprietà dei logaritmi. Formula del Conoscere le proprietà delle potenze. Conoscere le caratteristiche di una funzione esponenziale. Conoscere la definizione di logaritmo. Conoscere le proprietà del logaritmo e la formula del cambiamento di base. Saper rappresentare graficamente la funzione 22

23 cambiamento di base. Logaritmi decimali e neperiani. Equazioni logaritmiche. Disequazioni esponenziali e logaritmiche. Progressioni aritmetiche e geometriche. Definizione di progressione aritmetica e relative formule. Definizione di progressione geometrica e relative formule. Semplici esercizi di applicazione. esponenziale e logaritmica. Saper risolvere semplici esercizi di applicazione delle proprietà dei logaritmi. Saper risolvere semplici equazioni esponenziali e logaritmiche. Saper risolvere disequazioni esponenziali e logaritmiche. Conoscere la definizione di progressione aritmetica e le formule relative. Conoscere la definizione di progressione geometrica e le formule relative. Saper applicare le formule a semplici esercizi. Goniometria Misure degli angoli Misure in gradi sessagesimali e in radianti. La circonferenza goniometrica. Le funzioni goniometriche: seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante. Le relazioni fondamentali della goniometria. Espressioni delle funzioni goniometriche per mezzo di una di esse. Formule degli archi associati. Funzioni goniometriche di archi particolari: Le formule goniometriche: Addizione e sottrazione Duplicazione Bisezione Prostaferesi Werner. Equazioni goniometriche. Disequazioni goniometriche. Conoscere i diversi sistemi di misura degli angoli. Sapere illustrare il significato di circonferenza goniometrica. Saper dare la definizione di seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante. Conoscere le relazioni fondamentali della goniometria. Saper dimostrare le relazioni fondamentali della goniometria. Saper illustrare le relazioni tra gli archi associati. Conoscere il valore delle funzioni goniometriche di angoli di Saper ricavare il valore delle funzioni goniometriche di angoli di Conoscere le formule di addizione e sottrazione. Saper ricavare le formule di addizione e sottrazione. Conoscere le formule di duplicazione. Saper ricavare le formule di duplicazione. Conoscere le formule di bisezione. Saper ricavare le formule di bisezione. Conoscere le formule di prostaferesi Saper ricavare le formule di prostaferesi. Conoscere le formule di Werner. 23

24 Saper ricavare le formule di Werner. Saper convertire la misura di un angolo utilizzando i diversi sistemi di misura. Saper ridurre un arco al primo quadrante. Calcolo delle funzioni goniometriche particolari. Saper determinare le funzioni goniometriche di un angolo nota soltanto una di esse. Saper applicare le formule di addizione e di sottrazione. Saper applicare le formule di duplicazione. Saper applicare le formule di bisezione. Saper applicare le formule di prostaferesi. Saper applicare le formule di Werner. Saper verificare un identità. Saper risolvere equazioni goniometriche elementari. Saper risolvere equazioni goniometriche contenenti una sola funzione. Saper risolvere equazioni lineari in seno e coseno dello stesso angolo. Saper risolvere equazioni omogenee in seno e coseno. Saper risolvere equazioni simmetriche in seno e coseno di uno stesso angolo. Saper risolvere sistemi di equazioni goniometriche. Saper risolvere disequazioni goniometriche Trigonometria Teoremi sui triangoli rettangoli Teoremi sui triangoli generici: Teorema dei seni Teorema delle proiezioni. Teorema di Carnot. Formule di Briggs. Conoscere l enunciato dei teoremi sui triangoli rettangoli. Saper dimostrare i teoremi sui triangoli rettangoli. Conoscere l enunciato del teorema dei seni Saper dimostrare il teorema dei seni. Conoscere l enunciato del teorema delle proiezioni. Saper dimostrare il teorema delle proiezioni. Conoscere l enunciato del teorema di Carnot. Saper dimostrare il teorema di Carnot. Conoscere le formule di Briggs. 24

25 Saper risolvere un triangolo rettangolo noti due elementi. Saper risolvere un triangolo qualsiasi. Saper risolvere semplici problemi di applicazione dei teoremi studiati. Saper applicare le formule di Briggs. Limiti delle funzioni Concetto intuitivo di limite. Definizione di limite nei quattro casi. Teoremi generali sui limiti (dimostrazione) : esistenza ed unicità; permanenza del segno; confronto. Teoremi operativi sui limiti: somma algebrica (dimostrazione), prodotto, quoziente ed elevamento a potenza. Limiti notevoli: dimostrazione del limite per di una funzione razionale fratta; dimostrazione del lim cos x = 1; 0 x senx dimostrazione del lim = 1; x 0 x dimostrazione del dimostrazione del 1 lim 1 + x x lim x 0 dimostrazione del lim x 0 log a x log 1 + x a x x ( 1 + x) ( x) = e = log = 1 1 dimostrazione del lim = log a x 0 x e x 1 dimostrazione del lim = 1 x 0 x Forme indeterminate. Infinitesimi e loro confronto. Infiniti e loro confronto. a e Saper definire il concetto di limite utilizzandone correttamente la simbologia. Saper enunciare e capire intuitivamente il significato ed eventualmente dimostrare i seguenti teoremi: teorema dell unicità del limite; teorema della permanenza del segno; teorema del confronto. Saper enunciare ed dimostrare il teorema del limite della somma di due funzioni. Saper enunciare i seguenti teoremi: teorema del prodotto di due funzioni; teorema del limite del quoziente di due funzioni; teorema del limite di una funzione per una costante. Saper dimostrare il teorema del limite per di una funzione razionale fratta. Saper dimostrare che il lim cos x = 1 0 x senx Saper dimostrare che il lim = 1 x 0 x Saper dimostrare che il 1 lim 1 + x x ( 1 + x) loga Saper dimostrare che lim x 0 x log Saper dimostrare che il lim x 0 x Saper dimostrare che il x ( 1 + x) = e = log = 1 a x 1 lim = log a x 0 x e x 1 Saper dimostrare che il lim = 1 x 0 x Sapere definire infinitesimi e infiniti. a e 25

26 Saper dare la definizione di continuità di una funzione in un punto. Saper classificare le funzioni analitiche. Saper stabilire se una linea in un riferimento cartesiano è il grafico di una funzione. Saper determinare il dominio di una funzione razionale, irrazionale e trascendente (casi semplici). Saper stabilire alcune caratteristiche di una funzione (parità, disparità, crescenza, zeri, limitatezza ). Saper stabilire alcuni limiti di funzioni elementari a partire dal grafico. Saper calcolare i limiti delle funzioni razionali, delle funzioni irrazionali con radicando razionale, delle funzioni seno, coseno, tangente. Saper applicare i teoremi relativi al calcolo dei limiti: somma algebrica, prodotto, quoziente ed elevamento a potenza. Saper riconoscere e risolvere le forme indeterminate. Saper calcolare il limite di una funzione polinomiale e razionale fratta al tendere di x all infinito. Saper utilizzare il limite notevole senx lim = 1 per il calcolo del limite di x 0 x alcune funzioni goniometriche ad esso riconducibili. Saper utilizzare il limite notevole x 1 lim = e x 1 + x Saper utilizzare il limite notevole loga ( 1 + x) lim = loga e x 0 x Saper utilizzare il limite notevole log ( 1 + x) lim = 1 x 0 x Saper utilizzare il limite notevole a x 1 lim = log a x 0 x 26

27 Saper utilizzare il limite notevole 1 lim = 1 0 x x e x Funzioni continue Continuità di una funzione. Teorema di Weierstrass. Teorema di Bolzano. Teorema dell esistenza degli zeri. Discontinuità di una funzione. Sapere classificare i punti di discontinuità di una funzione. Saper enunciare il teorema di Weierstrass. Saper enunciare il teorema dell esistenza degli zeri e il teorema di Bolzano. Saper stabilire se una funzione è continua: in un punto, in un intervallo, nel suo insieme di definizione. Saper riconoscere i diversi casi di discontinuità. Saper eliminare eventuali punti di discontinuità eliminabile..derivata di una funzione Definizione di derivata. Significato geometrico della derivata. Teorema sulla continuità delle funzioni derivabili. Dimostrazione del calcolo delle derivate fondamentali: derivata della costante; derivata della variabile indipendente; derivata della radice quadrata; derivata di senx, cosx. Formule relative al calcolo delle funzioni: tgx, cotgx logx, lnx, a^x. Teoremi operativi: derivata della somma (dimostrazione); derivata del prodotto; derivata del quoziente; derivata di tgx e cotgx (dim.) Derivata della funzione composta. Tangente ad una curva in un suo punto. Derivata di ordine superiore al primo. Studio del segno della derivata prima. Saper enunciare la definizione di derivata. Saper dare l interpretazione geometrica della derivata. Saper dimostrare le formule per le derivate delle funzioni fondamentali: costante, identica, radice quadrata, tgx, cotgx. Saper dimostrare il teorema operativo: derivata della somma o differenza di due funzioni ; Saper enunciare gli altri teoremi operativi: derivata del prodotto di due funzioni, derivata del rapporto di due funzioni. Sapere come è possibile determinare l equazione della retta tangente al grafico di una funzione. Saper a che cosa serve lo studio del segno della derivata prima. Saper calcolare il rapporto incrementale di una funzione. Saper distinguere la derivata di una funzione in un punto dalla funzione derivata. Saper applicare le formule relative alle derivate delle funzioni: costante, identica, somma o differenza di due funzioni, prodotto di due 27

28 funzioni, rapporto di due funzioni. Saper calcolare la derivata di una funzione composta (casi semplici). Saper calcolare le derivate prime e le derivate di ordine superiore al primo delle funzioni di cui è data la formula di derivazione Saper determinare l equazione della retta tangente ad una curva in un punto. Massimi minimi flessi Funzioni crescenti e decrescenti. Studio del segno della derivata prima per determinare gli intervalli in cui una funzione è crescente o decrescente. Punti di massimo e di minimo. Studio del segno della derivata seconda. Punti di flesso. Concavità e convessità. Saper a che cosa serve lo studio del segno della derivata prima. Saper definire una funzione crescente e decrescente. Saper definire i punti di massimo e di minimo. Saper a che cosa serve lo studio del segno della derivata seconda. Saper definire i punti di flesso. Saper definire la concavità del grafico di una funzione. Saper individuare gli intervalli in cui una funzione è crescente o decrescente. Saper individuare i punti stazionari di una funzione. Saper determinare i punti di massimo e minimo relativo. Saper determinare i minimi e massimi assoluti di una funzione. Saper individuare gli intervalli in cui la concavità è verso l alto e/o verso il basso. Saper stabilire la relazione tra concavità e segno della derivata seconda. Saper determinare i punti di flesso di una funzione. Studio di funzioni Asintoti. Schema generale per lo studio di funzioni. Saper dare la definizione di asintoto. Saper determinare gli asintoti verticale e/o orizzontale di una funzione. Saper determinare l asintoto obliquo di una funzione razionale fratta. Saper stabilire guardando il grafico di una 28

29 funzione se ha un asintoto verticale e/o orizzontale e/o obliquo. Saper disegnare con buona approssimazione almeno il grafico di una funzione algebrica razionale intera o fratta. Integrali indefiniti Definizione di integrale indefinito. Integrazioni immediate. Integrali definiti Definizione di integrale definito. Teorema della media. Funzione integrale Formula fondamentale del calcolo integrale Saper definire e giustificare l integrale indefinito di una funzione e le sue proprietà algebriche. Conoscere le formule relative al calcolo degli integrali immediati. Saper definire e giustificare l integrale definito di una funzione continua in un intervallo chiuso. Saper definire la funzione integrale. Saper enunciare e interpretare geometricamente il teorema della media. Saper dimostrare la formula fondamentale del calcolo integrale. Saper applicare le formule relative agli integrali immediati. Saper calcolare l area della parte di piano delimitata da due funzioni. Argomenti e obiettivi classi non iniziali del Liceo Artistico Sistemi di equazioni di I grado Sistemi di equazioni lineari in due equazioni e due incognite: definizioni; metodi di risoluzione: confronto, sostituzione, riduzione; interpretazione grafica e geometrica. Sistemi determinati, indeterminati, impossibili. Problemi di primo grado risolubili con sistemi. Sistemi di equazioni lineari in tre equazioni e tre incognite. Saper dare le definizioni relative. Conoscere le tecniche per la risoluzione dei sistemi lineari. Saper interpretare graficamente un sistema. Saper riconoscere il tipo di sistema e darne l interpretazione geometrica. Saper applicare le tecniche per la risoluzione 29

30 dei sistemi lineari. Saper tradurre situazioni problematiche in sistemi. Saper risolvere problemi utilizzando sistemi di equazioni di primo grado. Disequazioni di I grado Disuguaglianze; disequazioni e principi di equivalenza. Risoluzione algebrica di una disequazione di primo grado e interpretazione grafica. Disequazione frazionarie e di grado superiore al primo. Sistemi di disequazioni. Valori assoluti; equazioni e disequazioni in cui compaiono valori assoluti. Saper dare le definizioni di diseguaglianza e disequazione. Conoscere il significato di valore assoluto. Saper risolvere algebricamente e graficamente disequazioni di primo grado intere. Saper risolvere disequazioni frazionarie, di grado superiore al primo e sistemi di disequazioni. Saper svolgere esercizi con valori assoluti. Saper risolvere disequazioni intere e fratte di primo grado. Saper risolvere disequazioni di grado superiore al primo utilizzando la scomposizione in fattori. Saper risolvere sistemi di disequazioni ad una sola incognita. Numeri reali Non razionalità di radice di due. Numeri irrazionali e numeri reali. Classi contigue: approccio e definizione. Definizione di numero reale mediante le classi contigue. Cenni alle operazioni con i numeri reali. Conoscere il motivo della necessità dell ampliamento e della costruzione del nuovo insieme numerico. Conoscere la corrispondenza biunivoca fra l insieme dei numeri reali e i punti di una retta orientata. Sapere la definizione di classi contigue. Sapere definire un numero irrazionale. Saper dimostrare la non razionalità di radice di due. Sapere eventualmente costruire una coppia di classi contigue di numeri razionali. Sapere eventualmente calcolare qualche operazione con i numeri reali utilizzando le coppie di classi contigue. Radicali 30

31 Radice aritmetica di un numero reale: definizione; proprietà fondamentali dei radicali. Operazioni sui radicali aritmetici. Razionalizzazione del denominatore. Radicali doppi. Radicali algebrici. Calcolo approssimato: cenni. Equazioni di secondo grado ad una incognita Equazioni di secondo grado: definizioni e tipi. Formula risolutiva delle equazioni di secondo grado complete. Equazioni frazionarie. Relazioni tra coefficienti e soluzioni. Scomposizione trinomio. Risoluzione di problemi con l uso di equazioni di secondo grado. Cenno ai numeri complessi e alle relative operazioni Sapere la definizione di radice aritmetica di un numero reale. Sapere enunciare le proprietà fondamentali sui radicali. Saper utilizzare le tecniche e gli strumenti relativi alle proprietà dei radicali. Saper risolvere esercizi di applicazione delle regole studiate. Saper risolvere esercizi con le operazioni sui radicali. Saper razionalizzare il denominatore. Saper giustificare le scelte effettuate nel corso dei vari esercizi. Conoscere la formula risolutiva. Saper ricavare la formula risolutiva. Conoscere le relazioni tra le radici e i coefficienti di un equazione di II grado. Conoscere e giustificare la scomposizione di un trinomio. Capire la necessità che porta all ampliamento dei numeri reali e la costruzione dell insieme dei numeri complessi. Saper risolvere esercizi sulle equazioni di secondo grado intere e frazionarie. Saper risolvere esercizi relativi alle relazioni tra radici e coefficienti. Saper calcolare due numeri conoscendo la loro somma e prodotto. Saper scomporre un trinomio di secondo grado. Saper applicare le equazioni di secondo grado ai problemi. Saper operare con i numeri complessi. Disequazioni ad una incognita di secondo grado e di grado maggiore di due Segno del trinomio di secondo grado nei vari casi. Disequazioni razionali intere di secondo grado. Saper dare le definizioni di diseguaglianza e disequazione. Saper calcolare il segno del trinomio con il metodo della scomposizione del trinomio o con 31

32 Disequazioni razionali fratte. Disequazioni di grado superiore al secondo. Sistemi di disequazioni. Interpretazione grafica delle disequazioni di secondo grado. Equazioni irrazionali Equazioni irrazionali contenenti radicali quadratici. Teorema dell equivalenza. Condizioni di esistenza e dominio di un radicale quadratico. Risoluzione di equazioni con un solo radicale di indice pari. Risoluzione di equazioni con un solo radicale di indice dispari. Cenni a equazioni irrazionali contenenti più radicali. l ausilio della parabola. Saper dare le definizioni e le giustificazioni relative agli argomenti proposti. Saper risolvere gli esercizi relativi ai vari tipi di disequazioni. Saper interpretare graficamente le disequazioni di secondo grado ad una incognita. Saper riconoscere equazioni irrazionali. Saper applicare il teorema dell equivalenza nel caso di elevamento a potenza. Saper calcolare le condizioni di esistenza dei radicali e il dominio. Saper risolvere equazioni irrazionali con: un solo radicale di indice pari mediante verifica delle soluzioni; un solo radicale di indice pari mediante individuazione dell insieme di equivalenza; un solo radicale di indice dispari; due o più radicali Sistemi di equazioni di secondo grado e di grado superiore al secondo. Sistemi di secondo grado. Metodo algebrico e grafico. Sistemi simmetrici. Sistemi omogenei. Sistemi di grado superiore al secondo. Applicazioni alla risoluzione di problemi. Saper dare la definizione di sistema di più equazioni in più incognite. Saper riconoscere il grado di un sistema. Saper risolvere sistemi di secondo grado con il metodo algebrico. Saper eventualmente interpretare graficamente i sistemi. Saper risolvere sistemi di grado superiore al secondo. Saper risolvere sistemi simmetrici ed omogenei. Saper eventualmente applicare le conoscenze acquisite ai problemi. Geometria Euclidea 1 32

33 Cenni storici. Applicazioni della logica alla geometria. Enti primitivi, postulati. Struttura di un teorema. Criteri di congruenza dei triangoli. Classificazione dei triangoli. Rette perpendicolari e teoremi relativi. Rette parallele (v postulato), rette tagliate da trasversale. Luoghi geometrici. Parallelogrammi e relative proprietà. Saper illustrare la struttura di un teorema. Saper dare le definizioni in modo preciso di angolo, triangolo. Saper enunciare, analizzando ipotesi e tesi i criteri di congruenza dei triangoli. Saper dimostrare in secondo criterio di congruenza. Saper enunciare e dimostrare teoremi relativi ai triangoli. Saper dare la definizione di rette perpendicolari. Saper enunciare le condizioni di perpendicolarità. Saper enunciare il v postulato di Euclide. Saper enunciare i teoremi relativi alle rette parallele tagliate da una trasversale. Saper dimostrare i teoremi relativi alle rette parallele tagliate da una trasversale. Saper enunciare i teoremi sugli angoli interni ed esterni di un triangolo e di un poligono. Saper definire i luoghi geometrici. Saper definire i parallelogrammi ed enunciare le relative proprietà. Riconoscere le proprietà fondamentali degli enti geometrici primitivi. Riconoscere e definire figure concave e convesse, in particolare semirette, segmenti ed angoli. Operare con segmenti ed angoli. Scoprire e riconoscere le più importanti proprietà delle figure del piano. Saper classificare i triangoli e riconoscerne le proprietà. Saper riconoscere le condizioni di perpendicolarità e di parallelismo. Saper riconoscere gli angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversali. Saper classificare i quadrilateri convessi e riconoscerne le proprietà. Geometria Euclidea 2 Circonferenza e cerchio: definizioni. Confronto Conoscere le definizioni relative ai vari 33

34 di archi. Posizione reciproche di due circonferenze e di retta e circonferenza. Punti notevoli di un triangolo. Poligoni inscritti e circoscritti; poligoni regolari. Definizione di equivalenza di figure nel piano e teoremi relativi. Teoremi di Pitagora ed Euclide. argomenti. Riconoscere le mutue posizioni di due circonferenze. Riconoscere le mutue posizioni di una retta e una circonferenza. Conoscere i punti notevoli di un triangolo e le relative proprietà. Conoscere le definizioni di poligoni inscritti e circoscritti e di poligoni regolari. Conoscere la definizione di equivalenza di figure piane. Conoscere gli enunciati ed eventualmente dimostrare i teoremi di Pitagora e Euclide. Saper applicare il calcolo algebrico allo studio delle figure piane. Saper risolvere semplici problemi metrici. Grandezze e loro misura Definizione di classi di grandezze omogenee e di misura delle grandezze: angoli, segmenti, superfici, volumi. Postulato di continuità. Grandezze commensurabili e incommensurabili: lato e diagonale del quadrato. Conoscere la definizione di classi di grandezze omogenee e di misura delle grandezze. Conoscere il postulato di continuità. Conoscere la definizione di grandezze commensurabili e incommensurabili. Saper dimostrare l incommensurabilità del lato e della diagonale del quadrato. Applicare in modo corretto le definizioni studiate. Rapporti e proporzioni Definizione di rapporto. Definizione di proporzione. Proprietà delle proporzioni. Teorema di Talete e corollari. Teorema della bisettrice dell angolo interno ed esterno. Obiettivi in termine di conoscenze Conoscere la definizione di rapporto. Conoscere la definizione di proporzione. Conoscere le proprietà delle proporzioni. Saper enunciare il teorema di Talete e i suoi corollari. Saper dimostrare il teorema di Talete e i suoi corollari. 34

35 Saper enunciare il teorema della bisettrice dell angolo interno e dell angolo esterno. Saper risolvere esercizi con le proporzioni. Saper risolvere semplici problemi con l uso delle proporzioni. Saper applicare i teoremi studiati in altri contesti o in problemi. Similitudine Definizione di omotetia. Principali proprietà dell omotetia. Definizione di similitudine. Criteri di similitudine tra triangoli: enunciati e dimostrazioni. Poligoni simili: definizione e proprietà. Teoremi sulle corde e secanti ad una circonferenza. Sezione aurea di un segmento e proprietà. Conoscere la definizione di omotetia. Conoscere enunciare le principali proprietà dell omotetia. Saper dare la definizione di similitudine. Saper enunciare i criteri di similitudine tra triangoli. Saper dimostrare i criteri di similitudine tra triangoli. Sapere la definizione di poligoni simili. Conoscere le proprietà di poligoni simili. Saper enunciare i teoremi sulle corde e secanti ad una circonferenza. Saper dimostrare i teoremi sulle corde e secanti ad una circonferenza. Saper la definizione di sezione aurea di un segmento e le relative proprietà. Saper dimostrare le proprietà delle sezione aurea. Saper applicare il calcolo algebrico allo studio delle figure piane. Saper risolvere semplici problemi metrici. Saper utilizzare le proporzioni in vari contesti. Scoprire le proprietà delle figure che si conservano rispetto alle trasformazioni del piano: omotetie, similitudini. Geometria Solida Postulati dello spazio. Conoscere i postulati dello spazio. 35

36 Perpendicolarità tra retta e piano: definizione, dimostrazione teoremi relativi in particolare il teorema delle tre perpendicolari. Parallelismo tra rette. Parallelismo tra retta e piano. Parallelismo tra piani. Angoli diedri : definizioni. Teorema sulla congruenza delle sezioni parallele di un diedro. Sezioni normali: definizione. Piani perpendicolari e teoremi relativi. Triedro: definizione. Relazioni tra le facce di un triedro: con dimostrazione Angoloide: definizione. Teorema sulle sezioni parallele di un angoloide con dimostrazione. Definizione di angoloide improprio. Classificazione dei solidi. Prisma: definizione. Parallelepipedo: definizione e proprietà. Cubo: definizione e proprietà. Piramide:definizione e proprietà. Poliedri regolari: cenni. Solidi di rotazione: definizioni. Cilindro: definizione. Cono: definizione e teorema sulle sezioni di un cono con un piano parallelo alla base con dimostrazione. Sfera, superficie sferica e le loro sezioni con un piano o con un diedro: definizioni. Area della superficie dei poliedri: prisma, piramide, cilindro, cono, tronco di cono, sfera. Dimostrazione delle aree laterali di: prisma, piramide, tronco di piramide, cilindro, cono, tronco di cono. Dimostrazione dell area della superficie sferica. Equivalenza dei solidi: definizione. Principio di Cavalieri: giustificazione e applicazioni. Volume del parallelepipedo rettangolo, della piramide, del cilindro, del cono: con dimostrazioni. Volume del tronco di piramide e del tronco di cono con dimostrazioni. Conoscere la definizione di perpendicolarità tra retta e piano. Conoscere la dimostrazione dei teoremi relativi. Conoscere l enunciato del teorema delle tre perpendicolari e saperlo dimostrare. Conoscere la definizione di parallelismo tra rette. Conoscere la definizione di parallelismo tra retta e piano e di parallelismo tra piani. Conoscere la definizione di angoli diedri. Conoscere il teorema sulla congruenza delle sezioni parallele di un diedro e saperlo dimostrare. Conoscere la definizione di sezioni normali di un diedro. Conoscere la definizione di piani perpendicolari e saper dimostrare i teoremi relativi. Conoscere la definizione di triedro. Conoscere le relazioni tra le facce di un triedro: e saperle dimostrare. Conoscere la definizione di angoloide. Conoscere la definizione il teorema sulle sezioni parallele di un angoloide e saperlo dimostrare. Conoscere la definizione di angoloide improprio. Conoscere la classificazione dei solidi. Conoscere le definizioni di: prisma, parallelepipedo, cubo, piramide, tronco di piramide e saper enunciare e dimostrare le relative proprietà. Saper definire i poliedri regolari. Conoscere la definizione di solido di rotazione. Conoscere la definizione di: cilindro, cono, sfera; saper enunciare le proprietà relative ed eventualmente dimostrarle. Conoscere le formule relative al calcolo delle aree delle superfici dei solidi: prisma, piramide, tronco di piramide, cilindro, cono, tronco di cono, sfera. Saper dimostrazione le formule relative alle aree laterali di: prisma, piramide, tronco di piramide, cilindro, cono, tronco di cono. Saper dimostrazione dell area della superficie sferica. 36

37 Volume della sfera: con dimostrazione. Conoscere la definizione di equivalenza tra solidi. Conoscere l enunciato del principio di Cavalieri e saperlo giustificare. Conoscere le formule relative al calcolo del volume di: parallelepipedo rettangolo, piramide, tronco di piramide,cilindro, cono, tronco di cono, sfera. Sapere la dimostrazione delle formule dei solidi studiati. Saper riconoscere rette e piani incidenti. Saper riconoscere e saper costruire rette perpendicolari a piani. Saper riconoscere e saper costruire rette parallele a rette e a piani. Saper riconoscere e saper costruire piani paralleli. Saper applicare il teorema di Talete nello spazio. Saper riconoscere diedri e angoloidi. Saper estendere i concetti di isometria e di similitudine nello spazio e riconoscerne le proprietà. Saper definire le proprietà di un solido tratto anche dal vissuto quotidiano. Saper riconoscere le proprietà dei solidi in contesti più vasti. Saper applicare le formule relative alle aree delle superfici dei solidi a problemi di tipo geometrico e non. Saper applicare le formule relative ai volumi dei solidi a problemi di tipo geometrico e non. Saper utilizzare le proprietà dei solidi in contesti diversi: chimica, fisica ecc. Saper giustificare le affermazioni fatte durante le dimostrazioni. Saper utilizzare i concetti studiati per dimostrare teoremi diversi da quelli proposti. Saper disegnare i solidi studiati Saper risolvere problemi. Trasformazioni isometriche nel piano. 37

38 Concetto di trasformazione. Isometria e proprietà. Simmetria centrale e assiale e proprietà. Traslazione e proprietà. Saper illustrare il concetto di trasformazione Saper definire una isometria. Saper illustrare le proprietà di una isometria. Saper definire la simmetria centrale e assiale. Saper illustrare le proprietà di una simmetria centrale e assiale. Saper definire una traslazione. Saper illustrare le proprietà della traslazione. Saper riconoscere le isometrie piane. Saper scoprire le proprietà delle figure che si conservano durante una trasformazione. Scoprire, per via grafica, i risultati delle combinazioni di varie isometrie. Trasformazioni isometriche e non nel piano Simmetria assiale e centrale. Grafici con particolari centri o assi di simmetria. Traslazione: vettori, equazioni. Traslazioni di grafici. Cenni alle trasformazioni non isometriche: dilatazioni, omotetie, similitudini, affinità. Geometria analitica: la retta Cenni storici. Il piano cartesiano. Metodo e finalità della geometria analitica. Definizione di funzione. Punto medio di un segmento; distanza di due punti. Rette parallele agli assi. Rette per l origine. Rette in posizione generica. Rette parallele e perpendicolari: coefficienti angolari. Posizione reciproca di due rette. Retta passante per due punti. Distanza punto retta. Affinare le capacità intuitive. Scoprire le proprietà delle figure che si conservano rispetto alle trasformazioni nel piano. Scoprire l'esistenza di differenti geometrie fondate su differenti tipi di trasformazioni. Conoscere le trasformazioni isometriche e le loro caratteristiche nel piano Saper operare nel piano da un punto di vista grafico. Utilizzo di software applicativi. Saper dare la definizione di funzione. Comprendere l'oggetto e il metodo della geometria analitica. Comprendere le caratteristiche di una retta in base ai parametri presenti nella equazione esplicita o implicita. Conoscere le definizioni relative agli argomenti trattati. Conoscere le formule relative ai vari elementi. Saper esprimere l'equazione di una retta in forma 38

39 esplicita ed implicita. Saper determinare l'equazione di un fascio di rette proprio e improprio, di una retta noti due punti, di una retta dato il grafico, di una retta noti un punto e il coefficiente angolare. Saper identificare rette parallele e perpendicolari. Saper utilizzare le formule per risolvere problemi. Saper rappresentare funzioni lineari in un piano cartesiano. Sviluppare l intuizione geometrica nel piano. Acquisire il concetto di modello geometrico. Funzioni Definizione di funzione. Definizione di dominio e codominio. Funzioni empiriche e funzioni matematiche. Classificazione delle funzioni. Funzioni crescenti e decrescenti. Funzioni composte. Funzioni pari e dispari. Funzioni invertibili. Conoscere la definizione di funzione, di dominio e codominio. Conoscere la classificazione delle funzioni. Conoscere la definizione di funzione crescente e decrescente. Conoscere la definizione di funzione pari e dispari. Conoscere la definizione di funzione invertibile. Saper calcolare il dominio in casi semplici. Saper riconoscere una funzione empirica da una matematica. Saper fare esempi grafici di funzioni crescenti e decrescenti. Saper individuare le funzioni che formano la funzione composta. Saper calcolare se una funzione è pari o dispari. Circonferenza Definizione di conica. Equazione di una generica conica. Classificazione delle coniche col delta. Definizione di luogo geometrico. Definizione di circonferenza: dimostrazione dell equazione e condizioni di esistenza. Formule relative al centro e al raggio. Circonferenze in condizioni particolari. Retta tangente ad una circonferenza: 2 metodi. Retta secante, esterna rispetto ad una Conoscere la definizione di conica. Conoscere l equazione di una generica conica.. Conoscere la definizione di circonferenza. Saper ricavare l equazione di una circonferenza. Conoscere le formule relative alla circonferenza. Saper riconoscere una conica calcolando il 39

40 circonferenza. Posizioni reciproche di due circonferenze. Asse radicale. Problemi sulla circonferenza. Parabola Definizione di parabola come luogo geometrico. Dimostrazione dell equazione con vertice nell origine e asse di simmetria parallelo all asse y. Equazione generica parabola. Formule relative al fuoco, vertice, asse, direttrice. Parabole con asse di simmetria parallelo all asse x. Retta tangente ad una parabola. Parabole in condizioni particolari. Risoluzioni grafica di una disequazione di secondo grado. Problemi sulla parabola. Ellisse Definizione di ellisse come luogo geometrico. Dimostrazione dell equazione canonica di una ellisse. Formule relative agli elementi di una ellisse. Ellissi con fuochi appartenenti all asse x e all asse y. Retta tangente ad una ellisse. Ellisse riferita a rette parallele agli assi. Problemi sulla ellisse. delta. Saper trovare l equazione di una circonferenza noti centro e raggio, tre punti ecc. Calcolare la retta tangente, secante. Saper individuare la mutua posizione di due circonferenze. Risolvere problemi sulla circonferenza. Conoscere la definizione di parabola. Saper ricavare l equazione di una parabola. Conoscere le formule relative alla parabola nei vari casi. Saper trovare l equazione di una parabola noti fuoco e vertice, fuoco e direttrice, vertice e un punto, ecc. Calcolare la retta tangente a una parabola. Risolvere graficamente disequazioni di secondo grado. Risolvere problemi sulla parabola. Conoscere la definizione di ellisse. Saper ricavare l equazione di una ellisse. Conoscere le formule relative alla ellisse nei vari casi. Saper trovare l equazione di una ellisse noti alcuni suoi elementi. Calcolare la retta tangente a una ellisse. Risolvere problemi sulla ellisse. Iperbole, iperbole equilatera, funzione omografica. Definizione di iperbole come luogo geometrico. Dimostrazione dell equazione canonica di una iperbole. Condizioni di esistenza. Formule relative all iperbole: centro, fuochi, Conoscere la definizione di iperbole. Saper ricavare l equazione di una iperbole. Conoscere le formule relative alla iperbole. Saper trovare l equazione di una iperbole noti 40

41 asintoti, eccentricità. Equazione di una iperbole riferita a rette parallele ai suoi assi. Retta tangente ad una iperbole. Definizione e caratteristiche dell iperbole equilatera riferita al centro e agli assi. Definizione e caratteristiche dell iperbole equilatera riferita ai propri asintoti. Formule relative all iperbole equilatera. Legge della proporzionalità inversa. Funzione omografica. Problemi sulla iperbole. alcuni elementi. Calcolare la retta tangente a una iperbole. Saper riconoscere una iperbole equilatera. Risolvere problemi sulla iperbole. Saper fare il grafico di una iperbole e la funzione omografica. Funzione esponenziale e logaritmica Ripasso proprietà delle potenze. Potenze ad esponente reale. Definizione di funzione esponenziale e sue caratteristiche. Equazione esponenziale. Definizione di logaritmo di un numero. Definizione di funzione logaritmica e sua caratteristiche. Proprietà dei logaritmi. Formula del cambiamento di base. Logaritmi decimali e neperiani. Equazioni logaritmiche. Disequazioni esponenziali e logaritmiche. Progressioni aritmetiche e geometriche. Definizione di progressione aritmetica e relative formule. Definizione di progressione geometrica e relative formule. Semplici esercizi di applicazione. Conoscere le proprietà delle potenze. Conoscere le caratteristiche di una funzione esponenziale. Conoscere la definizione di logaritmo. Conoscere le proprietà del logaritmo e la formula del cambiamento di base. Saper rappresentare graficamente la funzione esponenziale e logaritmica. Saper risolvere esercizi di applicazione delle proprietà dei logaritmi. Saper risolvere equazioni esponenziali e logaritmiche. Saper risolvere disequazioni esponenziali e logaritmiche. Conoscere la definizione di progressione aritmetica e le formule relative. Conoscere la definizione di progressione geometrica e le formule relative. Saper applicare le formule a semplici esercizi. Goniometria Misure degli angoli Misure in gradi sessagesimali e in radianti. La circonferenza goniometrica. Conoscere i diversi sistemi di misura degli angoli. Sapere illustrare il significato di circonferenza 41

42 Le funzioni goniometriche: seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante. Le relazioni fondamentali della goniometria. Espressioni delle funzioni goniometriche per mezzo di una di esse. Formule degli archi associati. Funzioni goniometriche di archi particolari: Le formule goniometriche: Addizione e sottrazione Duplicazione Bisezione Prostaferesi Werner. Equazioni goniometriche. Disequazioni goniometriche. goniometrica. Saper dare la definizione di seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante. Conoscere le relazioni fondamentali della goniometria. Saper dimostrare le relazioni fondamentali della goniometria. Saper illustrare le relazioni tra gli archi associati. Conoscere il valore delle funzioni goniometriche di angoli di Saper ricavare il valore delle funzioni goniometriche di angoli di Conoscere le formule di addizione e sottrazione. Saper ricavare le formule di addizione e sottrazione. Conoscere le formule di duplicazione. Saper ricavare le formule di duplicazione. Conoscere le formule di bisezione. Saper ricavare le formule di bisezione. Conoscere le formule di prostaferesi Saper ricavare le formule di prostaferesi. Conoscere le formule di Werner. Saper ricavare le formule di Werner. Saper convertire la misura di un angolo utilizzando i diversi sistemi di misura. Saper ridurre un arco al primo quadrante. Calcolo delle funzioni goniometriche particolari. Saper determinare le funzioni goniometriche di un angolo nota soltanto una di esse. Saper applicare le formule di addizione e di sottrazione. Saper applicare le formule di duplicazione. Saper applicare le formule di bisezione. Saper applicare le formule di prostaferesi. Saper applicare le formule di Werner. Saper verificare un identità. Saper risolvere equazioni goniometriche elementari. Saper risolvere equazioni goniometriche contenenti una sola funzione. 42

43 Saper risolvere equazioni lineari in seno e coseno dello stesso angolo. Saper risolvere equazioni omogenee in seno e coseno. Saper risolvere equazioni simmetriche in seno e coseno di uno stesso angolo. Saper risolvere sistemi di equazioni goniometriche. Saper risolvere disequazioni goniometriche Trigonometria Teoremi sui triangoli rettangoli Teoremi sui triangoli generici: Teorema dei seni Teorema delle proiezioni. Teorema di Carnot. Formule di Briggs. Conoscere l enunciato dei teoremi sui triangoli rettangoli. Saper dimostrare i teoremi sui triangoli rettangoli. Conoscere l enunciato del teorema dei seni Saper dimostrare il teorema dei seni. Conoscere l enunciato del teorema delle proiezioni. Saper dimostrare il teorema delle proiezioni. Conoscere l enunciato del teorema di Carnot. Saper dimostrare il teorema di Carnot. Conoscere le formule di Briggs. Saper risolvere un triangolo rettangolo noti due elementi. Saper risolvere un triangolo qualsiasi. Saper risolvere semplici problemi di applicazione dei teoremi studiati. Saper applicare le formule di Briggs. Limiti delle funzioni Concetto intuitivo di limite. Definizione di limite nei quattro casi. Teoremi generali sui limiti (dimostrazione) : esistenza ed unicità; permanenza del segno; confronto. Teoremi operativi sui limiti: somma algebrica (dimostrazione), prodotto, quoziente ed elevamento a potenza. Limiti notevoli: Saper definire il concetto di limite utilizzandone correttamente la simbologia. Saper enunciare e capire intuitivamente il significato ed eventualmente dimostrare i seguenti teoremi: teorema dell unicità del limite; teorema della permanenza del segno; teorema del confronto. Saper enunciare e dimostrare il teorema del limite della somma di due funzioni. Saper enunciare i seguenti teoremi: 43

44 dimostrazione del limite per una funzione razionale fratta; dimostrazione del lim cos x = 1; 0 x senx dimostrazione del lim = 1; x 0 x dimostrazione del dimostrazione del 1 lim 1 + x x lim x 0 dimostrazione del lim x 0 log a x log 1 + x x ( 1 + x) ( x) = e di = log = 1 a x 1 dimostrazione del lim = log a x 0 x e x 1 dimostrazione del lim = 1 x 0 x Forme indeterminate. Infinitesimi e loro confronto. Infiniti e loro confronto. a e teorema del prodotto di due funzioni; teorema del limite del quoziente di due funzioni; teorema del limite di una funzione per una costante. Saper dimostrare il teorema del limite per di una funzione razionale fratta. Saper dimostrare che il lim cos x = 1 0 x senx Saper dimostrare che il lim = 1 x 0 x Saper dimostrare che il 1 lim 1 + x x ( 1 + x) loga Saper dimostrare che lim x 0 x log Saper dimostrare che il lim x 0 x Saper dimostrare che il x ( 1 + x) = e = log = 1 a x 1 lim = log a x 0 x e x 1 Saper dimostrare che il lim = 1 x 0 x Sapere definire infinitesimi e infiniti. Saper dare la definizione di continuità di una funzione in un punto. a e Saper classificare le funzioni analitiche. Saper stabilire se una linea in un riferimento cartesiano è il grafico di una funzione. Saper determinare il dominio di una funzione razionale, irrazionale e trascendente (casi semplici). Saper stabilire alcune caratteristiche di una funzione (parità, disparità, crescenza, zeri, limitatezza ). Saper stabilire alcuni limiti di funzioni elementari a partire dal grafico. Saper calcolare i limiti delle funzioni razionali, delle funzioni irrazionali con radicando razionale, delle funzioni seno, coseno, tangente. Saper applicare i teoremi relativi al calcolo dei 44

45 limiti: somma algebrica, prodotto, quoziente ed elevamento a potenza. Saper riconoscere e risolvere le forme indeterminate. Saper calcolare il limite di una funzione polinomiale e razionale fratta al tendere di x all infinito. Saper utilizzare il limite notevole senx lim = 1 per il calcolo del limite di x 0 x alcune funzioni goniometriche ad esso riconducibili. Saper utilizzare il limite notevole x 1 lim = e x 1 + x Saper utilizzare il limite notevole loga ( 1 + x) lim = loga e x 0 x Saper utilizzare il limite notevole log ( 1 + x) lim = 1 x 0 x Saper utilizzare il limite notevole a x 1 lim = log a x 0 x Saper utilizzare il limite notevole e x 1 lim = 1 0 x x Funzioni continue Continuità di una funzione. Teorema di Weierstrass. Teorema di Bolzano. Teorema dell esistenza degli zeri. Discontinuità di una funzione. Sapere classificare i punti di discontinuità di una funzione. Saper enunciare il teorema di Weierstrass. Saper enunciare il teorema dell esistenza degli zeri e il teorema di Bolzano. Saper stabilire se una funzione è continua: in un punto, in un intervallo, nel suo insieme di definizione. Saper riconoscere i diversi casi di discontinuità. Saper eliminare eventuali punti di discontinuità eliminabile..derivata di una funzione 45

46 Definizione di derivata. Significato geometrico della derivata. Teorema sulla continuità delle funzioni derivabili. Dimostrazione del calcolo delle derivate fondamentali: derivata della costante; derivata della variabile indipendente; derivata della radice quadrata; derivata di senx, cosx. Formule relative al calcolo delle funzioni: tgx, cotgx logx, lnx, a^x. Teoremi operativi: derivata della somma (dimostrazione); derivata del prodotto; derivata del quoziente; derivata di tgx e cotgx (dim.) Derivata della funzione composta. Tangente ad una curva in un suo punto. Derivata di ordine superiore al primo. Studio del segno della derivata prima. Massimi minimi flessi Funzioni crescenti e decrescenti. Studio del segno della derivata prima per determinare gli intervalli in cui una funzione è crescente o decrescente. Punti di massimo e di minimo. Studio del segno della derivata seconda. Punti di flesso. Concavità e convessità. Saper enunciare la definizione di derivata. Saper dare l interpretazione geometrica della derivata. Saper dimostrare le formule per le derivate delle funzioni fondamentali: costante, identica, radice quadrata, tgx, cotgx. Saper dimostrare il teorema operativo: derivata della somma o differenza di due funzioni ; Saper enunciare gli altri teoremi operativi: derivata del prodotto di due funzioni, derivata del rapporto di due funzioni. Sapere come è possibile determinare l equazione della retta tangente al grafico di una funzione. Saper a che cosa serve lo studio del segno della derivata prima. Saper calcolare il rapporto incrementale di una funzione. Saper distinguere la derivata di una funzione in un punto dalla funzione derivata. Saper applicare le formule relative alle derivate delle funzioni: costante, identica, somma o differenza di due funzioni, prodotto di due funzioni, rapporto di due funzioni. Saper calcolare la derivata di una funzione composta (casi semplici). Saper calcolare le derivate prime e le derivate di ordine superiore al primo delle funzioni di cui è data la formula di derivazione Saper determinare l equazione della retta tangente ad una curva in un punto. Saper a che cosa serve lo studio del segno della derivata prima. Saper definire una funzione crescente e decrescente. Saper definire i punti di massimo e di minimo. Saper a che cosa serve lo studio del segno della derivata seconda. Saper definire i punti di flesso. Saper definire la concavità del grafico di una funzione. 46

47 Saper individuare gli intervalli in cui una funzione è crescente o decrescente. Saper individuare i punti stazionari di una funzione. Saper determinare i punti di massimo e minimo relativo. Saper determinare i minimi e massimi assoluti di una funzione. Saper individuare gli intervalli in cui la concavità è verso l alto e/o verso il basso. Saper stabilire la relazione tra concavità e segno della derivata seconda. Saper determinare i punti di flesso di una funzione. Studio di funzioni Asintoti. Schema generale per lo studio di funzioni. Integrali indefiniti Definizione di integrale indefinito. Integrazioni immediate. Integrali definiti Definizione di integrale definito. Teorema della media. Funzione integrale Formula fondamentale del calcolo integrale Saper dare la definizione di asintoto. Saper determinare gli asintoti verticale e/o orizzontale di una funzione. Saper determinare l asintoto obliquo di una funzione razionale fratta. Saper stabilire guardando il grafico di una funzione se ha un asintoto verticale e/o orizzontale e/o obliquo. Saper disegnare con buona approssimazione almeno il grafico di una funzione algebrica razionale intera o fratta. Saper definire e giustificare l integrale indefinito di una funzione e le sue proprietà algebriche. Conoscere le formule relative al calcolo degli integrali immediati. Saper definire e giustificare l integrale definito di una funzione continua in un intervallo chiuso. Saper definire la funzione integrale. Saper enunciare e interpretare geometricamente il teorema della media. Saper dimostrare la formula fondamentale del calcolo integrale. 47

48 Saper applicare le formule relative agli integrali immediati. Saper calcolare l area della parte di piano delimitata da due funzioni. Matematica con informatica Concetti introduttivi e sistema operativo Windows Gli algoritmi: caratteristiche, diagramma di flusso. Elementi di videoscrittura. Elementi di PowerPoint Elementi di Excel: Costruzione di un foglio di calcolo. Riferimenti a celle, operazioni di selezione. Formato dei dati. Stampa di un foglio di lavoro Applicazioni matematiche ad Excel. Grafici. Elementi di Derive: Algebra dei numeri Insiemi Logica delle proposizioni Calcolo letterale Equazioni e disequazioni letterali Statistica e calcolo delle probabilità. Elementi di Cabri: Costruzioni Geometriche elementari. Misura di segmenti e angoli Punti notevoli di un triangolo. Conoscere il sistema operativo Windows. Conoscere cosa si intende per algoritmo e per diagramma di flusso. Conoscere alcune caratteristiche di Excel. Conoscere gli elementi essenziali per utilizzare Derive. Conoscere gli elementi essenziali per utilizzare Cabri. Saper utilizzare il sistema operativo Windows Saper costruire semplici algoritmi e diagrammi di flusso Saper utilizzare un programma di videoscrittura Saper utilizzare PowerPoint Saper utilizzare Excel per: costruire un foglio di calcolo. Costruire riferimenti a celle e fare operazioni di selezione. Cambiare formato dei dati Stampare un foglio di lavoro Fare applicazioni matematiche Costruire grafici. Saper utilizzare Derive per applicazioni matematiche di : Algebra dei numeri Insiemi Logica delle proposizioni Calcolo letterale Equazioni e disequazioni letterali Statistica e calcolo delle probabilità. Saper utilizzare Cabri per applicazioni matematiche di : Costruzioni Geometriche elementari. Misura di segmenti e angoli Punti notevoli di un triangolo. 48

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