LA SCIENZA DELLE COSTRUZIONI e il suo sviluppo storico

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1 Edoardo Benvenuto BISUOl ECA DEL DIP1\RTIMENTO 01 SCJ[;i:'A E rm;:ca DEL RESTf1URO ~ ~ N... ~i~..? " Da td.. U... I!... :...19.&S.. I. U. A. \i. LA SCIENZA DELLE COSTRUZIONI e il suo sviluppo storico 2657 BENVENUTO stn.t:ttza COSTRUZIONI SAHSONl-ÈFI) SANSONI

2 INDICE Presentazione p. V Introduzione IX Parte I - La scienza del costruire sino alla rivoluzione industriale 1 1 La meccanica ellenica e romana La fisica di Aristotele 3 ; 1.2 Riflessioni critiche sulla meccanica aristotelica 6; 1.3 Il trattato pseudoaristotelico sulle«questioni meccaniche» 11; 1.4 Archimede 14; 1.5 Contributi di Archimede alla statica 16; 1.6 I meccanici alessandrini. Erone, Pappo 20; 1.7 Meccanica e architettura in Vitruvio 22 s:_ 2 Lo sviluppo dei concetti statici e meccanici sino al rinascimento Introduzione agli studi meccanici medievali 24; 2.2 L'interessamento ai problemi tecnici nel medioevo 26; 2.3 Giordano Nemorario e il suo allievo sconosciuto 32; 2.4 L'occamismo scientifico. Buridano 35; 2.5 Alberto di Sassonia e Nicola d'oresme 38; 2.6 Il rinascimento italiano. Leonardo da Vinci 40; 2.7 Contributi di Leonardo alla resistenza dei materiali 46; 2.8 Cenno su alcuni sviluppi della meccanica nel XVI secolo 50 3 La conquista dei princìpi nei secoli XVI e XVII Gli «oggetti» che hanno fatto la meccanica 52; 3.2 Stevino e l'equilibrio funicolare 56; 3.3 Stevino e Salomon de Caus: il concetto di lavoro 61; 3.4 Rilettura in linguaggio moderno: lavoro, potenziale, energia 63; 3.5 La «nuova meccanica~> di Roberval e di Varignon 65; 3.6 Le equazioni cardinali della statica 69; 3.7 Il principio dei lavori virtuali: Cartesio, Bernoulli 73; 3.8 Il contributo di Christian Huygens 74; 3.9 L'accelerazione centripeta e il moto pendolare 77; 3.10 Applicazioni alla dinamica delle strutture 83; 3.11 La trattazione di Huygens sul pendolo composto e sul centro di oscillazione 86; 3.12 La formula di Huygens e il teorema delle «forze vive» 91; 3.13 L'introduzione di Huygens alla geometria delle masse 92; 3.14 Sviluppi successivi della geometria delle masse 96 4 Il problema di Galileo Galileo 102; 4.2 La prima giornata dei discorsi 105; 4.3 La seconda giornata; il grande problema 111; 4.4 Riflessioni sul «problema di Galileo» 114; 4.5 Corollari 120; 4.6 Gahleo e 11 problema delle massime dimensioni 124; 4.7 Galileo e l'ottimizzazione strutturale Sviluppi antichi e recenti del problema di Galileo Pausa critica 135; 5.2 Ai primordi dell'elasticità 136; 5.3 La legge di Hooke 137; 5.4 I tre «lemmi» fondamentali di Giacomo Bernoulli 142; 5.5 Sviluppi elastici del problema di Galileo: Mariotte 145; 5.6 L'importante memoria di Leibniz sul problema di Galileo 149; 5.7 Giacomo Bernoulli e l'infortunio sul «quarto lemma» 151; 5.8 Finalmente la soluzione in campo elastico: Parent 152; 5.9 Coulomb: il problema è ormai chiarito 157; 5.10 La definitiva sistemazione ottocentesca: Bresse 159; 5.11 L'altra faccia del problema di Galileo: U calcolo a rottura 170; 5.12 Cenno su alcuni aspetti dell'analisi limite 176

3 Curve flessibili ed elastiche 6.1 Considerazioni introduttive 182; 6.2 Il dibattito sull'equilibrio funicolare 183; 6.3 Le equazioni indefinite Giacomo Bernoulli per la fune 188; 6.4 L'arco pesante semplicemente compresso 190; 6.5 Il teorema aureo 192; 6.6 L'equazione esplicita della catenaria omogenea 193; 6.7 Il problema del ponte sospeso 197; 6.8 Dibattito sulla curva clastica: il contributo di Giacomo Bernoulli 200; 6.9 Eulero: la sua vita e i contributi alla meccanica generale 204; 6.10 Rilettura euleriana della teoria di G. Bernoulli sulla curva elastica (1727) 208; 6.11 La collaborazione tra Eulero e Daniele Bernoulli. Primi passi della teoria linearizzata 210; 6.12 L'«Additamcntum I» al trattato«methodus inveniendi lineas curvas...» (1744) 214; 6.13 La scoperta del carico critico 219; 6.14 La teoria linearizzata di Eulero per l'indifferenza dell'equilibrio (1759) 223; 6.15 I contributi di Lagrange al problema dcl carico di punta 228; 6.16 Le cquaziorti indefinite di Eulero per la trave (1771) 230; 6.17 La teoria linearizzata: equazione della linea clastica 233; 6.18 La linea elastica per la trave ad asse circolare 234; 6.19 Postille al problema del carico di punta 236; 6.20 Cenno su altri problemi di indifferenza dell'equilibrio 241 Le «cause finali» in meccanica 7.1 Premesse«cosmologiche» dci principi di estremo 244; 7.2 Il metodo dei massimi e dei minimi: Eulero 246; 7.3 Polemiche sul principio della minima azione 247; 7.4 Lagrange: i fondamenti del calcolo delle variazioni 252; 7.5 Sviluppi successivi: metodi diretti 259; 7.6 Un'applicazione elementare 261; 7.7 Il metodo energetico per l'indifferenza dell'equilibrio elastico 263 Indice p Le indagini sulle proprietà meccaniche dei materiali e la «Science des ingénieurs» nel XVIII secolo 8.1 Le prime fonti critiche 271; 8.2 Alcuni contributi dell'accademia reale delle scienze di Francia 275; 8.3 La fisica sperimentale e geometrica di Pieter van Musschenbroeck 281; 8.4 L'ultimo grande trattato sulla resistenza dei materiali dell'età illuministica: il «traité» di P. S. Girard 284; 8.5 Girard e i «solidi d'ugual resistenza» 291; 8.6 Charles Augustin de Coulomb 296; 8.7 Coulomb e le leggi dell'attrito 298; 8.8 La tensione tangenziale e il criterio di rottura 301; 8. 9 La spinta delle terre e i muri di sostegno nella cultura tecnica del tempo 305; 8.10 La teoria di Coulomb sulla spinta delle terre 310; 8.11 Contributi di Coulomb al calcolo dei muri di sostegno 313; 8.12 Estensioni applicative della teoria di Coulomb 315; 8.13 R. Prony e il suo metodo«grafico» per i muri di sostegno 316; 8.14 Young e gli albori della rivoluzione industriale 320 Archi, Volte, Cupole 9.1 Cognizioni scientifiche sulle strutture voltate prima dcl XVIII secolo 322; 9.2 Le prime teorie statiche sull'arco in muratura: P. De la Hire e B. F. Dc Belidor 326; 9.3 Le due memorie di Couplet 334; 9.4 La prima teoria statica di Pierre Bouguer sulle cupole 339; 9.5 La miglior «figura» delle volte secondo l'abate Bossut 342; 9.6 L'importante contributo di Coulomb alla teoria delle volte prive d'attrito 354; 9.7 La teoria di Coulomb sulle volte dotate di attrito e coesione 361; 9.8 La cultura scientifica italiana e Mascheroni 367; 9.9 Mascheroni e la sistemazione dcl calcolo a rottura nell'arco 369; 9.10 Mascheroni ed il calcolo delle cupole di grossezza finita 375; 9.11 Il trattato di Leonardo Salimbcni 381; 9.12 Gli ulteriori definitivi sviluppi nel XIX secolo Parte II - Nascita e sviluppi della meccanica dei solidi Mutamenti nelle costruzioni durante la rivoluzione industriale 10.1 La «svolta» dell'ottocento 395; 10.2 Nuove concezioni per gli edifici civili 396; 10.3 L'ingresso del ferro nella costruzione dei ponti 397; 10.4 Le grandi coperture e le esposizioni universali 405; 10.5 L'evoluzio~e costruttiva e «simbolica» delle cupole 408; 10.6 Mutamenti nell'organizzazione degli studi: 1'«Ecole Polytechnique» 416; 10.7 Louis Navier 418 Fondamenti di meccanica dei solidi e di teoria dell'elasticità 11.1 La teoria dell'elasticità: premessa 420; 11.2 La prima stagione della teoria dell'elasticità 421; 11.3 La teoria molecolare di Navier-Cauchy 423; 11.4 Definizione della tensione secondo Cauchy 428; 11.5 Riflessioni critiche sul concetto di tensione 431; 11.6 Il grande teorema di Cauchy 434; 11.7 Le equazioni indefinite di equilibrio di Cauchy 436; 11.8 Tensioni principali e direzioni principali 441; 11.9 La quadrica di Cauchy e l'ellissoide di Lamé 446; Le lince isostatiche450; Il contributo di Mohr alla determinazione delle tensioni e delle direzioni principali 455; Cenno al problema della tensione in presenza di grandi deformazioni 459; La geometria della deformazione 461; Condizioni esplicite di congruenza 465; Deformazioni principali e direzioni principali della deformazione 467; Il principio dei lavori virtuali 469; Cenno alle teorie sui legami costitutivi 472; Lo stato clastico 476; Interpretazione meccanica delle relazioni ottenute 480; La controversia sulle costanti elastiche 482; Condizioni locali sulle costanti E, v 486; Il problema elastico

4 Indice 12 Il problema di Saint-Venant 12.1 Saint-Vcnant: l'inizio difficile della sua carriera di ingegnere e scienziato 492; 12.2 Le grandi opere della maturità 494; 12.3 Una«vecchiaia benedetta» 498; 12.4 La memoria del 1855 e i suoi precedenti. Lamé e Clapcyron 501; 12.5 Il problema di Saint-Venante il metodo semi-inverso 503; 12.6 Il postulato di Saint-Venant 505; 12.7 La flessione dei prismi 508; 12.8 La torsione: lince generali 513; 12.9 La torsione: svolgimento della soluzione 515; Caso del cilindro a base circolare 518; Caso dcl cilindro a base ellittica 520; Caso del prisma rettangolare 524; Gli ultimi capitoli della memoria sulla torsione 528; La teoria approssimata di Bredt per la torsione dci cilindri tubolari 529; La teoria approssimata di Jourawski per il taglio 532 9B I~ r p. 492 I '-:;;o"' r 13 /SI~ I 13 Sviluppi applicativi della teoria dell'elasticità 53& 13.1 In gara per i«grandi problemi» 538; 13.2 Il problema piano nelle deformazioni e nelle tensioni 540; 13.3 La soluzione generale di Airy e di Maxwell 543; 13.4 Le difficoltà del problema di Clcbsch 546; 13.5 Prime applicazioni 549; 13.6 La trave-parete per la diga di Lévy 551; 13.7 Sviluppi in serie della soluzione (Ribière e Filon) 555; 13.8 La lastra larga di Filon e la lastra stretta di Blcich 558; 13.9 Formulazione dcl problema piano in coordinate polari 561; Il disco e l'anello di Lamé-Clapeyron 563; Le formule di Kirsch per le tensioni intorno ai fori 565; La soluzione di Flamant per il semispazio Lastre e membrane 14.1 Sophie Germain e i primi contributi allo studio della lastra inflessa 571; 14.2 La soluzione di Poisson per la lastra circolare inflessa 576; 14.3 Esempi di lastre circolari uniformemente caricate 580; 14.4 La teoria generale e le ipotesi di Kirchhoff 584; 14.5 Il problema delle condizioni al contorno 590; 14.6 Un esempio elementare 592; 14.7 Sviluppi applicativi: la soluzione di Navier 594; 14.8 La lastra rettangolare appoggiata con carico concentrato 597; 14.9 La soluzione di Lévy 598; Metodi approssimati 600; Le membrane: considerazioni introduttive 602; Le membrane di rivoluzione 605; Esempi applicativi 608; Membrane e gusci: approfondimenti e sviluppi 611; Le volte sottili 613; L'equazione di Pucher. Applicazione al paraboloide iperbolico 617; Motivazioni statiche della forma 620; Cenno sulle«membrane armoniche)) Oltre il dominio dell'elasticità 15.1 Premessa 625; 15.2 Il legame elastico lineare: richiami e complementi 628; 15.3 Il legame termoclastico lineare 630; 15.4 Il legame viscoelastico lineare: sua formulazione integrale 632; 15.5 I materiali di Kelvin e di Maxwell 635; 15.6 I modelli reologici. Formulazione differenziale dcl legame viscoelastico 636; 15.7 Il legame elastoplastico: la funzione d snervamento 639; 15.8 Rappresenta.. zione astratta del luogo di snervamento 640; 15.9 Gli assiomi fondamentali sul luogo di snervamento: la legge di convessità e la legge di normalità 642; Il caso di materiale elastoplastico incrudente 645; Le relazioni costitutive incrementali 645; I criteri di plasticità: le ipotesi di Tresca e di von Mises 647; Altri criteri di plasticità 651; Le leggi dell'incrudimento isotropo e cinematico 652; Le equazioni di legame clastoplastico secondo Prandtl-Reuss 653; I problemi di equilibrio dci solidi oltre il dominio dell'elasticità 654; Il problema termoelastico lineare 656; Il problema termoelastico disaccoppiato e l'analogia di Duhamel-Neumann 660; Il problema viscoelastico lineare 662; Il problema elastoplastico: generalità 664; Il problema dcl collasso plastico 665; Il teorema statico e il teorema cinematico per il collasso plastico 668; Il teorema «combinato» sul moltiplicatore di collasso. Corollari 670; Applicazioni all'analisi limite delle strutture Parte III - La meccanica delle strutture La trave come «struttura» 16.1 Che cos'è una struttura? 679; 16.2 Navier e i primi passi dell'analisi strutturale 681; 16.3 Le formule incomprese di Lamarle per la trave incastrata 686; 16.4 Una strana geometria di deformazione 689; 16.5 Le equazioni di equilibrio e di congruenza 692; 16.6 Il teorema dci lavori virtuali 695; 16.7 Il legame clastico (lineare) 698; 16.8 In sintesi '} ì 17 La fondazione della meccanica strutturale 17.1 Due ponti che hanno fatto storia 702; 17.2 La preistoria della trave continua: il problema degli appoggi multipli da Eulero a Dorna 704; 17.3 L'intervento risolutivo di Clapeyron per la trave continua 707; 17.4 Di nuovo su Clapeyron: il suo teorema fondamentale 713; 17.5 Il «principio di elasticità» dcl colonnello Menabrea 716; 17.6 Il trattato di Clebsch e il«metodo degli spostamenti» 720; 17.7 Maxwell: la prima applicazione dcl teorema di Clapeyron e il teorema di reciprocità 728; 17.8 Mm: well e il «metodo delle forze» 733 ; La linea elastica come curva funicolare nel lavoro di Mohr dcl ; Mohr e la definizione delle lince di influenza 743; Conclusioni

5 La statica grafica Indice p ~ Introduzione alla statica grafica 748; 18.2 La misteriosa regola del parallelogramma 751; 18.3 Statica e geometrie non euclidee 754; 18.4 I due protagonisti: il «Kraftepolygon» e il «Seilpolygon» 755; 18.5 Traduzione grafica delle equazioni cardinali 758; 18.6 Il sistema focale 760; 18.7 Il poligono funicolare e il poligono delle forze come figure reciproche 763; 18.8 Il problema inverso 766; 18.9 Determinazione grafica delle reazioni e delle sollecitazioni 768; Rilettura grafica della geometria delle masse 771; Concludendo 775 Le travature reticolari 777 ' 19.1 Una storia «evolutiva» delle travature reticolari 777; 19.2 Le prime trattazioni elementari 785; 19.3 Il reticolo di aste come paradigma teorico 789; 19.4 Dai poliedri di Mi:\bius alle figure reciproche di Mar.well 790; 19.5 La travatura scompare e diviene diagramma reciproco 793; 19.6 Applicazioni del diagramma cremoniano 797; 19.7 I «Beitrage» di O. Mohr 800; 19.8 L'utilizzo del principio dei lavori virtuali per le travature staticamente determinate non canoniche 801; 19.9 L'utilizzo del principio dei lavori virtuali per l'analisi delle travature reticolari elastiche 804; Il principio dei lavori virtuali per il calcolo delle iperstatiche 808; E, come ultima postilla r' 20 Metodi generali per l'analisi delle strutture Introduzione 816; 20.2 L'ingegnere ferroviario Alberto Castigliano 818; 20.3 I teoremi fondamentali di Cotterill-Castigliano 819; 20.4 Castigliano e il teorema del minimo lavoro 823; 20.5 Castigliano e la«teoria generale delle coazioni» 825; 20.6 L'intervento chiarificatore di Francesco Crotti 828; 20.7 Il concetto di energia complementare secondo Crotti 829; 20.8 La determinazione degli spostamenti elastici 831; 20.9 Sfogliando il trattato di Castigliano 833; La risoluzione dei problemi iperstatici 836; Polemiche tedesche per l'utilizzo diretto dei«lavori virtuali,» 844; Considerazione degli effetti termici 848; Le equazioni generali di Miiller-Breslau 850; Tornando all'originario problema della nostra storia L'ultima rivoluzione linguistica: l'ingresso del calcolatore Metamorfosi linguistiche 859; 21.2 L'ingresso del calcolatore 861; 21.3 Introduzione all'analisi matriciale delle strutture 862; 21.4 L'equilibrio e la congruenza 866; 21.5 Le equazioni di legame elastico 869; 21.6 Il metodo degli spostamenti 871; 21.7 Il metodo degli spostamenti nella sua veste matriciale 874; 21.8 Cenno sul metodo degli elementi finiti 877; 21.9 L'analisi dell'elemento 881; L'analisi globale (cenno sul «metodo delle rigidezze») 886; 21.p Nuovi sentieri per la ricerca 890; Che sia tutto questione di linguaggio? 892 Indice analitico 897 Indice dei nomi 905

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