UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA TESI DI LAUREA DI PRIMO LIVELLO KINEMATIC AND DYNAMIC ANALYSIS OF A 3-UPU PARALLEL MANIPULATOR

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1 UNIVERSITÀ DEGI STUDI DI PADOVA FACOTÀ DI INGEGNERIA DIPARTIMENTO DI TECNICA E GESTIONE DEI SISTEMI INDUSTRIAI TESI DI AUREA DI PRIMO IVEO KINEMATIC AND DYNAMIC ANAYSIS OF A -UPU PARAE MANIPUATOR ANAISI CINEMATICA E DINAMICA DI UN MANIPOATORE PARAEO -UPU AUREANDO: CHRISTOPHER NICCOÒ ADAMI REATORE: ING GIOVANNI BOSCHETTI ANNO ACCADEMICO 00-0

2 INDICE Sommro Introduzone Cptolo : Robot Mnpoltor Industrl Defnzone e ctegore d robot mnpoltor ndustrl Robot cnemtc serle e prllel Vntgg e svntgg dell struttur cnemtc prllel 5 Approfondmento su progettzone e sulle problemtche de PKM 5 4 Cenn storc 8 5 e pplczon pù comun de robot prllel 5 Il mondo dell rcerc ttule ed PKM 6 Robot mnpoltor TPM 6 7 Termnolog 8 Cptolo : Mnpoltore prllelo -upu 0 evoluzone verso l -UPU 0 Il gunto crdnco Il gunto prsmtco4 Propretà del -UPU d sol trslzone 5 -UPU wrst 7 4 Sngolrtà 9 Cptolo : Anls cnemtc d veloctà 0 Premess 0 Relzon cnemtche Procedmento geometrco per l clcolo d Hj,Hp ed j Spegzone Svolgmento 4

3 4 Mtrc d rotzone 4 4 Notzone d Crdno 4 4 Applczone l mnpoltore -UPU 4 4 Dmostrzone 46 Cptolo 4: Anls cnemtc d ccelerzone 49 Relzone tr nls cnemtc d veloctà ed nls cnemtc d ccelerzone 49 Clcolo d H p 5 Accelerzone de centr d mss G 5 Accelerzone de centr d mss G 56 Cptolo 5 : Anls dnmc 6 Approcco Newtonno 6 Descrzone del cso presentto 6 Mtrc d nerz6 Procedur rsolutv 64 4 Effetto d goch gl ccoppment sull ccurtezz dell nls69 4 Dstrbuzone dell errore nello spzo d lvoro 7 5 Mtrce d nerz generlzzt (GIM) 76 5 Indc dnmc 78 Concluson 8 Bblogrf 8 Appendce 84

4 Sommro tes cerc d fornre un pprocco d nls d un robot mnpoltore che resc semplfcre l ntur del problem trttto, senz comunque eludere l precsone rchest n questo cmpo dell robotc ntenzone è quell d trsmettere un vsone complessv del comportmento del robot nlzzto, s dl punto vst cnemtco, s dnmco e cò rchede d consderre l consstente mole d dt che crtterzzno le crtterstche progettul del robot elborzone d quest dt vvene per mezzo d prodott vettorl, sclr, clcol mtrcl ed operzon d dervzone Il permetro d ndgne è stblto n funzone dello scopo d rggungere: n questo cso s trtt d fornre un metodo d nls utle per cpre le prestzon del robot e qund ndvdure contest dove esprme l meglo le sue potenzltà

5 Introduzone Negl ultm nn l rpdo svluppo del settore robotco h portto ll luce nuov settor d rcerc Nell mbto delle pplczon ndustrl Nell mbto delle pplczon ndustrl robot prllel costtuscono orm un vld e comprovt lterntv ll clssche mcchne serl, soprttutto per que compt n cu sono rcheste prestzon n termn d dnmc, precsone e forze pplcte l termnle Quest tp d robot sono tpcmente mpegt n mbto medco, stronomco e delle fbre ottche D notevole nteresse rsult n mbto medco lo svluppo d rt rtfcl che supportno l dembulzone Nel cmpo stronomco vengono mpegt per le loro dot d precsone nel poszonmento delle lent de telescop e per le medesme dot d precsone vengono mpegt nche per l llnemento delle fbre ottche In reltà le buone qultà sopr elencte, crtterstche delle mcchne cnemtc prllel, sono spesso penlzzte d ltre problemtche qul equzon dnmche puttosto complesse, un elevto ccoppmento dnmco tr le prt n movmento Pertnto ll luce delle dffcoltà ctte rsult necessro fornre un metodo d nls ntegrto come quello proposto n questo lvoro I prm due cptol contengono un nseme d nformzon che prtendo dll descrzone generc del mondo de robot mnpoltor prllel restrngono progressvmente l descrzone e l nls mnpoltor d sol trslzone ed nfne s gunge ll nls del robot mnpoltore -UPU Rgurd questo vengono presentte le crtterstche dell rchtettur, l evoluzone storc, le crtterstche peculr che lo dstnguono d qulss ltro robot mnpoltore -UPU e le dfferenze sostnzl con un ltro robot prtcolre :l mnpoltore prllelo -UPU wrst Dl terzo cptolo n vnt mpegndo un ccurtezz puttosto elevt s esegue tutt l nls cnemtc d veloctà evtndo le pprossmzon; le unche component trscurte rgurdno l ttrto o mprecson strutturl nls cnemtc vene comput reltvmente punt fondmentl del robot mnpoltore come l centro d mss dell pttform moble o centr d mss de membr che formno le tre ctene cnemtche perte; n prtcolre vengono messe n relzone le veloctà d quest centr d mss con le veloctà delle coordnte lbere, che come verrà pprofondtmente spegto n seguto sono le veloctà gunt prsmtc Successvmente nel qurto cptolo è ffrontt l nls dell ccelerzone che per l numero d component n goco rsult essere pù compless, m utlzzndo metod sml ll nls d veloctà s resce rggungere rsultt desdert vvlendos d tutte le propretà delle mtrc che sono presentte

6 All nterno delle due nls ppen presentte vene propost nche un nteressnte dmostrzone sulle mtrc d rotzone che s bs su prncp geometrc e sull utlzzo delle propretà de prodott sclr e vettorl e mtrc hnno lo scopo d cmbre l sstem d rfermento rspetto l qule le dverse grndezze vettorl pssndo d un sstem d rfermento fsso ll bse d un sstem soldle con l membro; questo srnno drettmente mpegte nel qunto cptolo Quest ultmo trtt dell nls dnmc svolt sul medesmo robot evdenzndo le forze ed moment convolt d mggor nteresse fn del clcolo delle prestzon rcheste per poter fr relzzre un determnt legge d moto ll end-effector Il metodo seguto è rdurre tutte le forze prese n consderzone sull end-effector e po procedere l clcolo delle forze gunt prsmtc, che rsultno essere gunt ttv, mednte l mpego d un mtrce prtcolre, l mtrce jcobn Infne le mtrc d rotzone ed tensor d nerz mpegt nche nell nls dnmc servono per clcolre un ltr mtrce prtcolre, l GIMRE che consente d rcvre lcun ndc mportnt d prestzone dnmc Infne vengono mess n rslto nche lmt dell nls che trscur l ttrto e le tollernze dmensonl che crtterzzno component fsc

7 CAPITOO Robot mnpoltor ndustrl Defnzone e ctegore d robot mnpoltor ndustrl Il termne robot,rferendos d un mcchn recente,è ncor puttosto vgo e non v è lcun ccordo lvello nternzonle su cos esttmente s ntend con questo termne Per l Robot Insttute of Amerc (RIA) con robot ndustrle s ntende un mnpoltore rprogrmmble, multfunzonle, progettto per spostre mterl, prt, utensl o pprt speclzzt per mezzo d un moto vrble e progrmmto second del compto d svolgere Quest defnzone è lrgmente ccettt costruzone degl ttul robot è stt res possble d velocssm progress dell elettronc che hnno permesso l relzzzone de crcut d zonmento e controllo de servomotor; contempornemente progress nell tecnolog d fbbrczone de component elettrc hnno consentto l produzone d tl crcut con cost reltvmente contenut A questo proposto è d osservre che l struttur meccnc d un ttule robot er gà relzzble molt decenn prm In Gppone secondo l Jpn Industrl Assocton (J I R A) ed l Jpnese Industrl Stndrd Commttee (J I S) l robot è clssfcto secondo vr lvell d evoluzone: ) Mnpoltor mnul: mcchne che hnno funzon sml quelle del brcco umno,coè muovono semplcemente gl oggett nello spzo d un punto d un ltro ) Dspostv poszontor (pck nd plce) ) Mnpoltor progrmmbl sequenz vrble : mcchne ugul quelle del punto ) che però vengono strute d un progrmm che può essere modfcto entro cert lmt 4)Robot strut mnulmente (Plybck Robot): robot cpc d esegure un operzone n bse d nformzon memorzzte mednte l ntervento d un uomo 5)Robot controllt mednte un lnguggo d progrmmzone molto sml precedent qul però le nformzon sul cclo d lvoro d svolgere vengono fornte d un progrmm smle quello d un clcoltore 6) Robot n grdo d regre l loro mbente (Intellgent Robot ): robot n grdo d determnre l loro comportmento per mezzo d un propr sensbltà e cpctà d rconoscmento

8 Tuttv tr Occdente e Gppone d esempo c è un dfferenz nel grdo d verstltà ttrbuto d un certo strumento che mplc un dvers modltà d clssfczone,n prtcolre n Gppone s tende consderre robot cò che n Europ vene consderto mnpoltore fsso perché non vente l flessbltà necessr Robot cnemtc serle e prllel Fondmentlmente n mbto ndustrle robot possono essere cnemtc serle o prllel Un meccnsmo vene defnto serle se non s nsturno percors chus ll nterno dell su cten cnemtc; pertnto vr membr rsultno conness n sere d gunt (tpcmente rotodl, prsmtc o unversl),l dspostvo h un prte fss telo, mentre l ltr prte è lber d muovers nello spzo Fgur Mnpoltore Sferco (polre)

9 Fgur Pum, Robot cnemtc serle I robot cnemtc prllel sono costrut d ctene cnemtche elementr chuse che sostengono n prllelo uno stesso termnle ( pttform, end-effector, mnpoltore) e mcchne prllele soltmente consstono n un pttform moble che è conness telo d vre gmbe ugul n numero d membr e tpolog d gunt Ogn gmb è controllt d un ttutore ed è possble ndvdure pù crcut chus che connettono tr loro vr component Dl momento che l crco può essere suddvso tr tutt gl ttutor meccnsm prllel possono vere un elevt cpctà d crco Inoltre l rgdezz strutturle d un rchtettur cnemtc chus è ntrnsecmente elevt e cò s trduce n ccurtezz d poszonmento del termnle elevt rgdezz è ccompgnt nche d un frequenz nturle molto elevt Per ogn cten cnemtc elementre è possble poszonre un ttutore grntendo così msse n moto lmtte dfferenz del cso d robot serl n cu ogn ttutore deve mobltre le msse de membr e degl ttutor nterpost tr esso ed l termnle e bsse msse n movmento consentono noltre d ottenere elevte ccelerzon ll end-effector grnde mggornz de robot prllel propost h tre o se ss, motvo per cu vengono defnt trpod o espod

10 Sono dentfct dll cronmo PKM,oss Prllel Knemtcs Mchnes oppure SPM,coè Sptl Prllel Mnpultors Se gl ttutor sono blocct l mnpoltore dvent un struttur sosttc nell qule le ctene cnemtche sostengono crch pplct ll pttform moble I mnpoltor prllel sono n grdo d fornre un moto molto complesso ll end effector n modo flessble con dvers grd d lbertà con l utlzzo combnto d gunt rotodl, sferc, prsmtc ed unversl Infne è evdente come rsultno prtcolrmente utl n pplczon che rchedno lte prestzon dnmche (n termn d veloctà e ccelerzon rggungbl dll elemento termnle ),oppure un lto stndrd d precsone dt l possbltà d progettre meccnsm prtcolrmente rgd I robot prllel sono ust come meccnsm d precsone n mbto ndustrle,medco, meccnco D prtcolre nteresse rsult l utlzzo d queste mcchne per l rbltzone medc, l protes e l dembulzone ssstt Fgure 4: Obot DOF, Interfcc Aptc cnemtc prllel 4

11 Vntgg e svntgg dell struttur cnemtc prllel Vntgg dell struttur cnemtc prllel Elevt cpctà d crco Elevt rgdezz Frequenze nturl elevte Attutor poszonbl sul telo Bsse msse n movmento Elevte ccelerzon Ottm ccurtezz Costruzone meccnc semplce e modulre Svntgg dell struttur cnemtc prllel Dffcoltà d progettzone Spzo d lvoro lmtto e dll geometr compless Bss destrezz e sngolrtà nterne llo spzo d lvoro Complesstà delle relzon cnemtche Sensbltà gl effett termc Dffcoltà d clbrzone Approfondmento su progettzone e sulle problemtche de PKM progettzone d mnpoltor prllel è un tem d notevole nteresse nell mbto dell rcerc s per l scelt d un struttur pproprt per un dt pplczone, s per mglorre lcune delle crtterstche peculr Inftt, con lo svluppo e l uso de mnpoltor prllel n un mp gmm d pplczon l ntroduzone d crter o d ndc d crtterstche rsult essere d nteresse fondmentle scelt d un crtero è, nftt, motvt e dpende dl tpo d pplczone rchest e dlle rsorse dsponbl Ovvmente l scelt d un crtero determnerà de rsultt ottml per un specfc pplczone, che potrebbero non esserlo per un ltr 5

12 Il processo d progettzone può essere dvso n generle n quttro fs : defnzone delle specfche; progetto concettule; sntes dmensonle; 4 prototpzzzone e test; Questo ter progettule spesso deve confrontrs con le problemtche tpche del mondo de PKM lcune delle qul sono presentte d seguto Nonostnte presentno molt vntgg, le mcchne cnemtc prllel presentno nche problemtche non completmente rsolte SPAZIO DI AVORO: dffcoltà prncple nell nls dello spzo d lvoro d un robot prllelo rsede nel ftto che,poché le loczon del dspostvo termnle dpendono dl suo orentmento, un rppresentzone complet del suo spzo d lvoro può essere fornt solo nello spzo es-dmensonle, per l qule non c è lcun rppresentzone grfc Normlmente ne vengono rppresentt lcun sotto-spz qul quello corrspondente d un ssegnto orentmento (costnte) oppure vcevers l nseme degl orentment ottenbl n un prtcolre punto ssegnto, oppure l nseme de punt rggungbl dl dspostvo termnle prescndere dl suo orentmento ed ltr ncor Anche lo studo delle sngolrtà dello spzo d lvoro, prtcolrmente complesso, h rlevnz notevole per l progettzone delle mcchne e per l loro progrmmzone REAZIONI CINEMATICHE : I problem dell cnemtc drett hnno un mmedto mptto sull sensorzzzone delle mcchne; nftt l utlzzo d un numero d sensor pr quello degl ttutor per msurre gl spostment degl rt non consente d dstnguere l pos effettv dell mcchn dlle vre soluzon teorcmente mmssbl lterntv d utlzzre pù sensor d qunto strettmente necessro elmn l ndetermnzone cnemtc m ntroduce l necesstà d gestre un rdondnz d nformzon sensorl Il problem cnemtco dretto dvent molto complesso per PKM tnto che non s è n grdo d determnre prorstcmente qunte soluzon mmette l problem PIANIFICAZIONE DEA TRAIETTORIA: Questo problem può essere espresso ne seguent termn: determnre se ssegnt un trettor tr due pose quest gce completmente nello spzo d lvoro e se è esente d sngolrtà ed n cso negtvo trovre un trettor lterntv Per mcchne rdondnt srebbe utle poter utlzzre l grdo d lbertà n eccesso per grntre l fttbltà dell trettor ssegnt o per poter superre le eventul 6

13 sngolrtà, mgr trmte l ottmzzzone d un ndce d prestzone(per esempo l ccurtezz totle oppure l consumo energetco o ltr ncor) 4 CAIBRAZIONE: Un mportnte punto d forz delle mcchne cnemtc prllel rgurd l ftto che error elevt su gunt s trducono n error modert sull poszone ed orentmento dell pttform, tuttv questo può rlevrs un grve problem per le relzon nverse utlzzte negl lgortm d clbrzone ed noltre s h un notevole sensbltà del processo d clbrzone ne confront degl error d msur 5 ANAISI DEE PRESTAZIONI: e prestzon delle mcchne cnemtc prllel sono fortemente dpendent dlle dmenson del robot e dll su pos corrente Per esempo, l rgdezz d un mnpoltore è molto dvers se vlutt n pose dfferent, così come è molto sensble ll geometr del robot, nche prtà d rchtettur e d spzo d lvoro Come gà detto sono necessr strument d smulzone molto potent per poter rsolvere gà n fse d progettzone problem pù compless 6 PROGETTAZIONE MECCANICA : Non sono ncor dsponbl pprocc sstemtc per lo studo del poszonmento de gunt e degl ttutor, cos crtc d molt punt d vst, tnto pù che l rconfgurbltà de robot sembr poter essere un spetto vncente d quest tecnolog, consentendo d cmbre l struttur cnemtc dell mcchn (per esempo spostndo de gunt) per mglorre le sue prestzon nell esecuzone del compto corrente Infne gl stess gunt dventno un componente fondmentle per questo tpo d strutture, n qunto dlle loro crtterstche dpende l mobltà complessv d tutt l mcchn 7

14 4 Cenn storc Il prmo rtcolo sul tem rsle l 8 ed è stto scrtto dl mtemtco Cuchy che er nteressto l possble moto d un ottedro rtcolto; tle mcchn fu po costrut nel 947 d Gough, un ngegnere eronutco, che l utlzzò per l movmentzone d pneumtc durnte l esecuzone d test dnmc fnlzzt llo studo dell usur, Fg 5 (Gough e Whtehll, 96): egl è normlmente consderto l prmo d ver relzzto un Espode, coè un robot prllelo 6 rt Fgur 5 Fotogrf dell pttform d Gough per l test d pneumtc Nel frttempo, però, Pollrd, un ngegnere utomoblstco, brevettò (94) un dspostvo d vernctur crtterzzto d un struttur cnemtc chus: questo meccnsmo, chmto Trpode perché costtuto d rt, n reltà non fu m 8

15 costruto m vene normlmente consderto l prm propost d un robot prllelo ed l suo concetto è stto svluppto n molte relzzzon moderne Nel 965 fu pubblcto un mportnte rtcolo d Stewrt (965), che propose l dttmento dell espode d Gough come smultore d volo (ved Fg 6):gà n questo momento pprvero chre l mondo scentfco le grnd potenzltà d quest nuov tpolog d meccnsm, tnto che vennero subto chmt Pttforme d Stewrt dl nome del suo ultmo proponente, nche se l loro struttur cnemtc è spesso pù smle llo schem orgnle d Gough d Fg 5 effettvo svluppo dell tecnolog fu però frento dll grnde complesstà delle relzon cnemtche, che rendevno dffcoltoso lo studo de meccnsm e qus mpossble l relzzzone d un effcente sstem d controllo per l loro movmentzone Fgur 6Smultore d volo d Stewrt 9

16 Fgur 7 Il prmo smultore d volo metà degl nn 60 Un rele nteresse ndustrle per questo tpo d mcchne s mnfestò prtre dll fne degl nn 80 Nel 994 uno degl event dell esposzone d mcchne utensl d Chcgo fu l Vrx, robot d frestur dell Gddngs nd ews (ttulmente non pù n produzone) che presentv un cnemtc prllel 6 SPS Pertnto c vollero pertnto 0 nn perché l prmtv de propost d Stewrt nel suo rtcolo del 965 rrvsse vedere un effettv relzzzone ndustrle D llor l produzone d nuove mcchne cnemtc prllel è ndt progressvmente umentndo, come testmonno le recent fere d Hnnover delle mcchne utensl Arrvndo fno gorn pù recent, ll EMO d Mlno del 995, fer sulle mcchne utensl, solo l Geodetc er rppresentt, ll IMTS d Chcgo l nno successvo erno present nche mcchne dell Gddngs nd ews e dell Ingersoll, mentre ll EMO d Hnnover del 997 c furono mcchne prllele; gl nn successv, nche se purtroppo non bbmo dt precs, quest tendenz s è ndt ncor ntensfcndo Infne, è sgnfctvo rcordre le due persone che sono stte nsgnte nel 999 del prestgoso premo Golden Robot Awrd, n qunto delneno le ttul lnee d svluppo delle mcchne prllele: l prmo vnctore è l Professor Reymond Clvel, Drettore dell Insttut de Systèmes Robotques dell Ecole Polytechnque Fédérle d osnn n Svzzer, che svluppndo rcerche nel cmpo de robot per lvorzon brevssmo 0

17 tempo cclo (ccelerzon fno 50 g e rsoluzon mglor d 0 µm) h nventto negl nn 80 l Delt, dpprm relzzto su lcenz dll svzzer Demurex Robotque & Mcrotechnque e po ceduto d ltre mportnt socetà come l ABB Flexble Automton, che lo relzz con l nome d FlexPcker, l Htch che lo utlzz come mcchn per l fortur d precsone; l secondo vnctore ex-equo del premo è rsultto Krl-Erk Neumnn, Presdente e fondtore dell svedese Neos Robotc ed nventore del robot Trcept : l prmo modello è stto costruto nel 989, m solo nel 99 è potuto dvenre un reltà commercle, qundo gl è stt bbnt l potenz del controllo mult-processore dell Comu Il Trcept, che è ogg venduto dll SMT Trcept e dll ABB Flexble Automton, è cpce d eserctre forze mssme fno 45 kn con rpetbltà mglor d 00 mm: er stto svluppto per l ssemblggo forzto e d precsone m le sue ttul pplczon prncpl sono l fortur e l frestur Fgur 8 Prototpo moderno d un Robot dervnte dl Delt Robot

18 5 e pplczon pù comun de robot prllel I robot cnemtc prllel possono essere utlzzt come: Mcchne utensl Robot d ssemblggo veloce, pckgng, mnpolzone Robot per ssemblggo con forzmento 4 Dspostv d poszonmento 5 Dspostv d puntmento 6 Smultor d volo 7 Robot per pplczon chrurgche e medcl 8 Dspostv per l dembulzone 9 Dspostv ptc e per l gud n tele-mnpolzone 0 Robot per l mcro-mnpolzone (MEMS) Sensor d forz 5 Il mondo dell rcerc ttule ed PKM Ogg l mondo dell rcerc è concentrto svluppre le funzonltà de PKM per l poszonmento mcro e nnometrco utlzzto dl cmpo dell chrurg quello de mcroscop scnsone ed ll llnemento d fbr ottc In questo senso s cerc d sfruttre punt d forz de PKM n quelle pplczon n cu l lmtto spzo d lvoro non rsult essere un problem Nelle pplczon d nnoposzonmento n lt veloctà un vntggo de PKM è l nerz puttosto bss che port frequenze d rsonnz pù bsse, d un rspost pù veloce ed d un veloctà d scnsone pù lt Un ltro vntggo è l controllo ttvo dell trettor su scl nnometrc Inoltre l sstem d montorggo con sensor mpegto consente un pù lt lnertà e precsone

19 Fg 9 Poszontore con se grd d lbertà e precsone nnometrc Applczone: mcroscopo scnsone Nel cmpo dell stronom quest tpolog d robot vene mpegt per le medesme crtterstche nel poszonmento delle lent de telescop oppure un mnpoltore d questo tpo h trovto colloczone n un stellte n vrtù dell possbltà d compere un rotzone rspetto qulss punto nello spzo Fg 0: Progetto d un -DOF cnemtc prllel Tp/Tlt/Z poszontore d lent ( ttutor nd 4 sensor) Dll metà degl nn 90 l Frunhofer Insttute for Mnufcturng Engneerng nd Automton propose l de del surgcl robot, coè del robot chrurgco S scelse un robot espode per l verstltà del movmento consentto e del ftto che l movmento potev essere determnto ll nterno d ntervll scur

20 Fg : Il robot M-850 espode come robot medco Mentre le pplczon sopr rportte rchedono forze reltvmente grnd, nell llnemento d component fotonc è rchest un pù lt precsone Dopo ver svluppto un certo numero d sstem serl per l llnemento d fbre negl nn 80 e 90 c s ccorse che robot prllel espod srebbero stt pù done n quest funzone per l loro rpetbltà mult sse d 00 nm e nche per l pù lt rsoluzone Nell llnemento delle fbre ottche gl ntervll sono molto pccol e prt che devono essere llnete sono molto leggere: s trtt d fbre, gude d ond, dod Mentre sstem convenzonl d llnemento contnuvno d essere bst su fs rottve e lner pl con motor sempre pù gross lcun ngegner hnno trovto nell espode un soluzone per superre le lmtzon d quest progett mplt (ccumulo d error d gud, un lt nerz che cusv lungh temp d stblzzzone, problem d dsposzone de cv con fno cnque pssgg d cv che rducevno l ccurtezz e l rpetbltà, problem d stbltà termc cust d un grnde qunttà d energ elettrc rchest per rggungere ccelerzon e decelerzon suffcent con un sstem pesnte) bss nerz del progetto dell espode fu dele per collegment delle fbre ottche veloctà lnere non è un problem perché l moto lnere è pprossmtvmente nesstente qundo s vene d llnere ree che sono msurte n m veloce rspost ed l breve tempo d stblzzzone è cò che cont Inoltre spesso vengono rcheste rotzon ttorno d un punto fsso specfcto dll utente: sstem cnemtc serle operno con ntervll d rotzone rggo fsso, mentre con gl espod l punto fsso è totlmente vrtule, un prodotto del progetto dell struttur cnemtc e degl lgortm d controllo Percò non c sono 4

21 pssgg d cvo così che vene rdotto l ttrto, l complesstà e l possbltà d fllmento nell connessone e msure comptte sono un ltro grnde vntggo che fclt l ntegrzone del motore d llnemento nell stzone utomtzzt e propretà dnmche furono mglorte poché possono essere mpegt montnt molto legger Qund due fondmentl sono stt: un pù lt precsone, pochè l movmento gunt è meno soggetto d ttrto ed goch; un pù fcle mnutenzone e rduzone del downtme, pochè l seprzone tr membr ed comnd semplfc l sosttuzone de component Fg : struttur del F-06 espode per l llnemento delle fbre ottche 5

22 6 Robot mnpoltor TPM Il robot mnpoltore consderto ne prossm cptol è del tpo TPM, cronmo che st d ndcre un tpo d robot nel qule l pttform moble h solo grd d lbertà reltv ll trslzone Quest ctegor d robot present prtcolr crtterstche Consdert n g l numero d gmbe vent n grd d lbertà,l sngol gmb verrà ndct con T n possedendo n grd d lbertà ne sottre 6 n dll pttform Sono dverse le possbl combnzon d gmbe che portno d un confgurzone d tpo TPM tr cu: un gmb T (elmn le tre rotzon); un gmb T4 (elmn due rotzon); un gmbe T5 (ognun elmn un rotzone) Per ottenere buone crtterstche dnmche e d resstenz è necessro che l mnpoltore possegg lmeno tre gmbe, n modo tle che v sno lmeno due ctene chuse e così tre motor possno essere montt sull bse e condzon topologche e geometrche che le gmbe devono rspettre sono : ogn gmb deve concedere ll pttform lmeno tre grd d trslzone; nessun copp cnemtc d un gmb deve consentre ll gmb stess un grdo d lbertà che ess deve toglere ll pttform Segue d qunto esposto che non possono sussstere ccoppment sferc e che le coppe rotodl non devono vere sse prllelo ll drezone dell sse ttorno l qule l rotzone deve essere blocct; non s hnno nvece lvello teorco vncol nel poszonmento delle coppe prsmtche e prncpl rchtetture d mnpoltor d tpo TPM topologcmente clssfct sono: T TPM: è composto d tre gmbe d tpo T, ognun delle qul comprende tre coppe d tpo prsmtco d ss lnermente ndpendent S trtt d un meccnsmo persttco essendo ogn vncolo rpetuto tre volte Possedendo le gmbe solo coppe prsmtche, è mpedt ll pttform ogn possbltà d ruotre, pertnto quest tpolog è esente d sngolrtà; T4 TPM: è costtuto d tre gmbe d tpo T4, ognun delle qul consente ll pttform l rotzone secondo un unco sse (w ) Pur pprendo come un meccnsmo persttco, dto che ogn gmb elmn due grd d lbertà, n 6

23 defntv vengono elmnt solmente tre grd d lbertà Consderndo che, per qunto esposto sopr, un gmb d tpo TPM non può possedere coppe rotodl d sse prllelo quello dell rotzone d vncolre, tl ss devono necessrmente essere prllel ll drezone w l qule n questo modo rmne costnte durnte l moto; noltre l numero d coppe rotodl può essere d due o tre Rsult necessro osservre che, sccome l geometr dell gmb consente l rotzone solo ttorno w e l orentzone degl ss rmne costnte durnte l moto, ssemblndo due gmbe n modo tle che w h s dverso d w k, un gmb blocc l rotzone consentt ll ltr e qund n defntv l pttform non può ruotre: sotto quest ultm potes non s hnno qund confgurzon d sngolrtà T5 TPM : le tre gmbe d tpo T5 elmnno ognun un rotzone ttorno ll sse concdente con lo svluppo longtudnle dell gmb stess Grze prtcolr confgurzon de gunt è possble nche n questo cso elmnre tutte le rotzon 7 Termnolog D seguto vene presentto un elenco d termn che srnno ctt ll nterno del lvoro e non esplctmente spegt oppure che fnno comunque prte dell re temtc dell robotc prllel Meccnsmo: sstem d corp progettto per convertre l moto d lcun membr su ltr membr o per trsmettere forze membr medesm Meccnsmo sferco : meccnsmo nel qule punt de suo lnk descrvono trettore che pprtengono sfere concentrche Mcchn : sstem meccnco che esegue un compto specfco come deformre un mterle o trferre e trsformre mot o forze Mnpoltore: un mcchn l cu meccnsmo d solto consste n un sere d membr snodt o scorrevol l uno rspetto ll ltro con lo scopo d fferrre o muovere oggett, s mterl, s strument, con dvers grd d lbertà Può essere controllto d un opertore, d un controllore progrmmble elettroncmente o d qulche sstem logco Cten cnemtc: nseme d lnk collegt trmte gunt opportun 7

24 Pttform d Gough-Stewrt : meccnsmo prllelo con se grd d lbertà e con se ctene cnemtche dentche composte d un gunto unversle, d uno prsmtco ttuto e d un gunto sferco Meccnsmo completmente prllelo: meccnsmo prllelo con end-effector con n grd d lbertà connesso ll bse d n ctene cnemtche ndpendent, ognun vente un solo gunto ttuto Meccnsmo prllelo brdo: Meccnsmo prllelo con un end-effector con n grd d lbertà connesso ll bse d m (m < n ) ctene cnemtche ndpendent, ognun vente uno o pù gunt ttut Meccnsmo prllelo d orentmento o meccnsmo prllelo polso sferco: meccnsmo prllelo per l qule tutt punt dell pttform moble descrvono trettore loclzzte su sfere concentrche Pos(pose): poszone ed orentmento dell pttform moble Confgurzone : poszone ed orentment d tutt lnk e dell pttform moble Coordnte rtcolr: e vrbl che descrvono gunt ttut Coordnte generlzzte: le vrbl che descrvono l poszone dell pttform moble Cnemtc Drett : l problem d trovre le coordnte generlzzte prtre d quelle rtcolr Cnemtc Invers : l problem d trovre le coordnte rtcolr prtre dlle generlzzte Spzo d lvoro completo : l nseme d tutte le poszon rggungbl dll pttform moble Sottonseme dello spzo d lvoro : un sottonseme dello spzo d lvoro completo Spzo d lvoro con orentmento costnte: l nseme d tutte le poszon rggungbl d un generco punto C sull pttform qundo l pttform è mntenut con orentmento costnte Spzo d lvoro con orentmento: l nseme d tutt gl orentment rggungbl dell pttform tenendo C fsso rspetto d un sstem d rfermento soldle con l bse Spzo d lvoro con orentmento proettto: l nseme d tutte le drezon rggungbl d un vettore fsso ll pttform moble e pssnte per l punto C fsso nel sstem d rfermento soldle ll bse Spzo d lvoro mssmo: l nseme d tutte le poszon rggungbl d un punto C per lmeno un orentmento dell pttform moble Spzo d lvoro destro : l nseme delle poszon che possono essere rggunte d un punto C con tutt gl orentment dell pttform moble 8

25 Spzo d lvoro dnmco: l nseme d tutte le poszon rggungbl e d tutte le ccelerzon dell pttform moble Fgur 6-UPS pttform d Stewrt 9

26 CAPITOO Mnpoltore prllelo -upu evoluzone verso l -UPU Fgur Robot -UPU Fgur Prototpo del mnpoltore prllelo -UPU 0

27 I mnpoltor prllel con grd d lbertà n numero lmtto,oss d due cnque, sono soprttutto pprezzt per l loro struttur pù semplce e per cost d produzone pù bss In prtcolre molt studos hnno pprofondto gl stud per qunto concerne meccnsm prllel che hnno come output solo trslzon D queste rcerche nuov tp d robot sono stt svluppt Nel 988 l Delt Robot fu l prm propost d un -DOF mnpoltore prllelo che produce solo trslzon nello spzo Il progetto fu deto,come gà detto, d Reymond Clvel, docente ll École Polytechnque Fédérle de usnne, l qule venne l brllnte de d mpegre l fgur geometrc del prllelogrmm per costrure un robot prllelo n grdo d compere solo trslzon Un prllelogrmm permette d un output lnk d conservre un orentzone fss rspetto ll nput lnk, percò combnndo tre prllelogrmm è possble toglere ll pttform moble grd d lbertà reltv lle rotzon ll qule rmngono solo tre grd d lbertà reltv ll trslzone Gl nput lnk de tre prllelogrmm sono poszont su un sstem d leve rotnt ttrverso ccoppment rotodl che sono ttut n due dfferent mod:con motor rotzonl o con ttutor lner utlzzo d ttutor montt sull bse consente ll pttform moble d rggungere ccelerzon fno 50g n mbto spermentle e comunque g nelle pplczon ndustrl Questo consente l Delt Robot d essere un perfetto cnddto per le operzon pck nd plce d oggett legger(d kg 0 kg) I delt robot dsponbl sul mercto operno tpcmente n uno spzo d lvoro clndrco con un dmetro d m ed un ltezz d 0, m I settor dove è stto mpegto con mggor successo sono l pckgng e nell medcn chrurgc

28 Fgur Schem del delt robot Nel suo brevetto Appleberry descrve vermente un nuovo mnpoltore d sol trslzone con un struttur d tpo -URU, Unversl-Revolute-Unversl jont coè le tre ctene cnemtche perte che collegno l pttform fss(bse) ll pttform moble(movng pltform) hnno membr collegt d un ccoppmento unversle tpcmente crtterzzto d due coppe rotodl, d un ccoppmento rotodle e d nuovo d un ccoppmento unversle Nel 996 ungwen Ts presentò un -UPU mnpoltore prllelo d sol trslzone che er stto leggermente modfcto d quello d Appleberry n qunto non er pù sovrvncolto, questo h tre collegment,ogn collegmento h 5 grd d lbertà Ogn collegmento comprende un gunto prsmtco ttuto con due gunt unversl lle estremtà specfc dsposzone degl ss d rotzone de gunt unversl, come mostrto nell fgur sotto, grntsce l mpossbltà d mutment d orentmento dell pttform moble

29 Fgur 4 Il meccnsmo prllelo -UPU : () l meccnsmo -UPU generle; (b) l meccnsmo -UPU d sol trslzone Il gunto crdnco Fgur 5 Il gunto crdnco Il gunto crdnco o gunto d Crdno è un qudrltero rtcolto spzle Esso permette d trsmettere l moto tr due ss n rotzone cu prolungment sono ncdent n un punto nvenzone d questo tpo d gunto rsle lmeno l III secolo C, d oper d scenzt grec come Flone d Bsnzo, fu rscoperto nel 545, dll oper del mtemtco tlno Gerolmo Crdno (50-576) È costtuto (oltre che d gl ss tr cu s trsmette l moto, qul non fnno prte proprmente del gunto) d due coppe rotodl dsposte su un stesso membro pegto

30 90, ognun su un lto, collegt d un sse Questo elemento centrle, spesso form d croce, è detto crocer Fgur 6 Fgur 7 Il gunto crdnco non è omocnetco qund l veloctà ngolre ω dell lbero condotto vr perodcmente rspetto ll veloctà ngolre ω dell lbero motore Il rpporto d trsmssone,coè l rpporto tr le veloctà ngolr dell lbero condotto e dell lbero motore, è espresso dll formul: Il rpporto d trsms sone, coè l α è l ngolo formto dll sse de due lber e θ è l ngolo d rotzone dell lbero conduttore, prtre dll poszone n cu l sse dell crocer esso collegt è normle l pno degl ss de due lber Nelle nls ftte d seguto l gunto Crdnco vene rdotto due ccoppment rotodl per fcltre l nterpretzone formul: Il gunto prsmtco Il gunto prsmtco h l compto d restrngere l moto reltvo tr due lnk consecutv d un trslzone lungo un sse Nell rchtettur del -UPU consderto l gunto prsmtco consente un trslzone lungo l sse concdente con l drezone de due membr collegt che rsult essere l stess per entrmb 4

31 In questo cso quest tpolog d gunto rsult essere quell ttvo, coè ttuto conseguenz cnemtc d questo è che le coordnte lbere d veloctà ed ccelerzone esmnte ne successv cptol sono espresse n termn d llungmento de lnk Infne essendo gunt prsmtc gl unc gunt ttut, gunt crdnc srnno de gunt d tpo pssvo Propretà del -UPU d sol trslzone Fgur 7 Il mnpoltore prllelo d sol trslzone d Ts Nonostnte grnd vntgg d un clssco mnpoltore prllelo con se grd d lbertà come l pttform Stewrt hnno l dfetto d uno spzo d lvoro lmtto, complesso progetto meccnco ed un pù dffcle generzone del moto ed l controllo dovuto ll loro compless nls cnemtc Nel tenttvo d superre queste ed ltre lmtzon del mnpoltore se grd d lbertà molt rcerctor hnno studto molt progett lterntv I gunt unversl sono pssv e solo gunt prsmtc sono ttut,percò sono nche dett gunt ttv Il ftto che quest meccnsm sno costtut solo d gunt unversl e prsmtc è motvo d nteresse per l produzone 5

32 Ts fu l prmo d osservre che se gl ss de gunt sono dspost n mner tle d soddsfre lcune condzon l meccnsmo -UPU subrà solo un moto d pur trslzone D Gregoro esplor le condzon ll nterno delle qul l pù generle -RRPRR che nclude l meccnsmo -UPU n grdo d trsmettere solo moto trsltoro ll pttform moble Esperment con prototp fsc d due rppresentzon de progett del mnpoltore - UPU tuttv rvelno che qundo gunt prsmtc sono blocct l meccnsmo s comport come se vesse un sere d grd d lbertà gguntv e non come un struttur rgd come prevsto dll nls cnemtc I tre ss d rotzone delle coppe rotodl connesse ll bse,come pure, tre ss ll pttform sono complnr e s ntersecno n tre punt I punt formno un trngolo ll bse che è smle quello corrspondentemente formto ll pttform I due ss d rotzone ntermed d ogn collegmento sono prllel tr loro e perpendcolr l lnk stesso Vsto che un gunto unversle è formto d due gunt rotodl s può ssumere che l meccnsmo s del tpo RRPRR Prtendo dll bse consdermo l vettore untro s j pssnte lungo l sse dell -esmo gunto dell -esmo rto e θ j l corrspondente ngolo Qund s può clcolre l veloctà ngolre dell pttform p come: p s s 4 s4 5 s5 Per fr sì che l pttform non cmb l suo orentmento è suffcente montre l meccnsmo n modo che quttro gunt rotodl soddsfno le seguent condzon geometrche s s s s s s s s s s s s Coè l mnpoltore v ssemblto n modo che : sse del prmo gunto s prllelo ll sse dell ultmo; Gl ss de due gunt ntermed sno prllel tr loro; 6

33 Possmo osservre che l vettore dell veloctà ngolre dell pttform moble è vncolto n un pno l cu vettore normle è defnto dl prodotto vettorle s s Qund ogn rto mpone un vncolo ll rotzone stntne dell pttform combnzone de tre rt elmn completmente le rotzon stntnee dell pttform Qund ogn mnpoltore prllelo d tpo -RRPRR cu gunt soddsfno le condzon elencte sopr rsulterà essere un mnpoltore trslzonle, oss con moto d pur trslzone -UPU wrst Fgur 8 -UPU d sol rotzone Recentemente Krou e Hervè hnno cercto degl SPM con tre lnk ugul che permettono ll pttform moble d compere de mot sferc nfntesm Quest è un condzone necessr per grntre che l pttform comp un moto sferco fnto,n questo cso s defnsce come un mnpoltore prllel wrst, dove wrst rende l nlog con l moto del polso umno I due rcerctor ndvdurono nel mnpoltore d tpo -UPU con determnte condzon un rchtettur d tpo prllel wrst e condzon sono le seguent: 7

34 tre ss d rotzone delle coppe rotodl fsse ll pttform moble devono convergere n un punto pprtenente ll pttform (mnufcturng condton); n ogn cten gl ss d rotzone delle coppe ntermede devono essere prllel tr loro e perpendcolre ll sse che colleg due gunt unversl (mnufcturng condton); l punto dell pttform moble loclzzto ll ntersezone degl ss d rotzone deve concdere con l ntersezone degl ss d rotzone delle coppe rotodl dell pttform fss (mountng condton); Con queste condzon s è pervenut dmostrre che l rchtettur non consente solo un moto sferco nfntesmo,m nche fnto Fgur 9 Rppresentzone schemtc dell drezone degl ss de gunt crdnc e prsmtc 8

35 4 Sngolrtà e confgurzon che cusno un dmnuzone del rngo dell mtrce Jcobn J sono dette sngolrtà cnemtche In corrspondenz delle sngolrtà : s h un perdt d mobltà dell struttur; possono esstere nfnte soluzon l problem cnemtco nverso; veloctà rdotte nello spzo opertvo possono cusre veloctà molto elevte nello spzo de gunt Per qunto rgurd l robot -UPU d sol trslzone è rlevnte evdenzre due condzon d sngolrtà che s verfcno n presenz d prtcolr rchtetture dell pttform: Qundo due rt sono prllel tr loro l meccnsmo gudgn un grdo d lbertà Quest sngolrtà strutturle s verfc qundo l dstnz tr punt fss ll bse è ugule ll dstnz tr punt fss ll pttform moble ed nche le lunghezze de lnk sono congruent tr loro Qundo tutt e tre gl rt sono prllel tr loro l pttform gudgn due grd d lbertà Anche n questo cso s trtt d un sngolrtà strutturle che s verfc qundo l geometr dell pttform moble è dentc quell dell bse fss e le tre lunghezze de lnk sono ugul Con tutt gl ttutor blocct l pttform può muovers lungo un superfce sferc e sngolrtà possono essere dervnt d : Sngolrtà d cnemtc nvers: quest comport che spostment nfntesm dell bse moble lungo certe drezon non sono ottenbl Il meccnsmo perde uno o due grd d lbertà Dll ltro lto, n un punto d sngolrtà d questo tpo, l meccnsmo può resstere forze e moment lungo certe drezon con forze e coppe nulle negl ttutor Sngolrtà d cnemtc drett : l pttform moble possede un moto nfntesmo n qulche drezone mentre tutt gl ttutor sono mmobl, qund l pttform gudgn uno o pù grd d lbertà In ltre prole n questo tpo d sngolrtà l meccnsmo non può resstere ll pplczone d forze o moment lungo certe drezon qulss s l vlore d forze e moment pplct gl ttutor 9

36 CAPITOO Anls cnemtc d veloctà G p B A C Fgur Rppresentzone schemtc del mnpoltore -UPU utlzzt per le seguent nls Premess fgur rppresent un stlzzzone del robot oggetto d nls, n questo modo le nls cnemtc e dnmc d seguto rportte subscono un semplfczone Per rrvre questo s ssumono le seguent potes: l bse e l pttform moble sono due trngol equlter, ogn ngolo nterno msur qund 60º; trngol sono nscrvbl n due crconferenze dstnte, l bse è nscrtt n un crconferenz d rggo R, mentre l pttform moble è nscrtt n un crconferenz d rggo r; l soluzone non cmb se l dfferenz (R-r) è costnte; 0

37 D queste ssunzon s gunge ll seguente conclusone: l sstem studto è rconducble d un sstem nlogo n cu è presente un bse fss nscrtt n un crconferenz d rggo (R-r) collegt mednte tre lnk d un punto che è n grdo d muovers nello spzo Questo punto rsult essere concdente con l end effector Relzon cnemtche nls cnemtc d seguto rportt vene rcvt esplctndo termn contenut ll nterno d relzon che legno le veloctà d llungmento de lnk con le veloctà d lcun punt d prtcolre nteresse Prmo tr tutt n questo senso rsult essere l end effector che con l suo moto deve dempere ll funzone per l qule l robot stesso è stto costruto relzone rsult essere: G p H p q G p è l veloctà dell end-effector q è l vettore veloctà d llungmento de lnk, dette nche veloctà delle coordnte lbere, formto dlle veloctà H p è l mtrce che mette n relzone le veloctà delle coordnte lbere con l endeffector Prende l nome d mtrce Jcobn Altre relzon d nteresse rsultno essere quelle reltve centr d mss de membr che costtuscono le ctene cnemtche perte: G j H j q G j è l veloctà de centr d mss de membr dell cten cnemtc pert I pedc ndcno qule membro pprtene l centro d mss, n prtcolre l prmo pedce ndc qule cten cnemtc s st fcendo rfermento (,,), mentre l secondo pedce ndc qule de due membr dell cten cnemtc s st prendendo n consderzone, se dentfcto con ndc l membro drettmente collegto ll bse, se ndentfcto con ndc l membro drettmente connesso ll end-effector ω j j q

38 In questo cso vene pres n consderzone l veloctà ngolre de centr d mss Infne esste nche un ltr relzone che tuttv nell fttspece non vene pres n consderzone vsto che l nls rgurd un robot d pur trslzone, m che lvello generle è comunque utlzzt: ω p p q D seguto è propost un fgur che rport termn cnemtc ffrontt reltv d un delle tre ctene cnemtche che costtuscono l robot G G ω ω Fgur Veloctà de centr d mss de membr d un d un delle tre ctene cnemtche fgur sotto rportt nvece rppresent le veloctà rgurdnt l end-effector G p G p Fgur Contrbut d cscun lnk ll veloctà dell end-effector (presentt solo l prte n prossmtà del vertce dell prmde)

39 Procedmento geometrco per l clcolo d Hj, Hp ed j Convenzon: bse e l pttform moble sono due trngol equlter Per semplctà posso rdurre le dmenson dell pttform moble d un punto: l pttform moble vene rdott l solo end-effector ( G ) Defnsco A,B,C tre punt pprtenent ll pttform fss p Spegzone Ipotzzndo d conoscere l veloctà d llungmento d un lnk posso clcolre gl effett d quest su tutt e tre lnk Poché gl effett dell veloctà d llungmento d un lnk non sono nfluenzt dlle veloctà degl ltr lnk, posso concentrm solo su un lnk ll volt sfruttndo l possbltà d utlzzre l prncpo d sovrpposzone degl effett seguente soluzone l cso proposto s bs sull utlzzo delle veloctà fttze per l formulzone de rpport d veloctà, n prtcolre nelle seguent formulzon per semplfcre l procedmento è stt ssunt untr l veloctà d llungmento del lnk -esmo ( ) Inoltre le dmostrzon sotto rportte s bsno fondmentlmente sull utlzzo delle propretà del prodotto vettorle e sclre Come sstem d rfermento sono mpegt sstem d rfermento soldl con l bse, con centr d mss o con l end-effector I versor d ogn sstem d rfermento formno un bse ortonormle destrors Inoltre un precszone mertno le convenzon d segno mpegte: le veloctà ngolr e tngenzl sono ssunte postve se descrvono un moto crcolre ntorro, negtve ovvmente nell ltro cso Anche l verso degl ss d rotzone ctt tene conto d questo poché l versore dell veloctà ngolre concde con l corrspondente versore dell sse d rotzone Infne l notzone utlzzt per l rppresentzone de vettor e delle operzon tr ess concde con quell comunemente utlzzt nell mbto dell ngegner meccnc, vsto che lo scopo è propro quello d foclzzre l ttenzone solo sugl spett meccnc del robot, non sul suo sstem d controllo o sugl ttutor

40 Svolgmento veloctà d llungmento del lnk -esmo h due effett: Rotzone del punto G p (end-effector) ttorno ll sse contenente l lto del trngolo dell bse opposto ll estremo fsso del lnk -esmo Rotzone del lnk -esmo stesso ttorno d un sse d stntne rotzone rcvto nel modo seguente: vt u v Fgur 4 Vettor veloctà dell estremo moble d cscun lnk o è l veloctà d llungmento del lnk -esmo ed h come versore u v,con versore uv, è un vettore perpendcolre l pno contenente due lnk oppost l lnk -esmo e ruot ttorno ll sse contenente l lto del trngolo dell bse opposto ll estremo fsso del lnk -esmo ed è pr : v u uv uv Questo ndc l rpporto d veloctà tr l end-effector e le coordnte lbere 4

41 Il pedce ndc qule lnk è ssunto come coordnt lber (=,,) v G p C A B Fgur 5 Comportmento dell end-effector ll llungmento del lnk o u è l versore dell sse d stntne rotzone del lnk sse d stntne rotzone h l propretà d essere perpendcolre l pno ntercettto dl rggo ed ll veloctà tngenzle d qulss suo punto Il rggo h l drezone concdente ovvmente con fgur s osserv che:, essendo quest un veloctà d tpo rdle Dll u v v Questo versore vene trslto n modo d fre concdere l suo punto d pplczone con l estremo del lnk -esmo n comune con l pttform fss S osserv che tle versore concde con l drezone del lto dell bse opposto l lnk -esmo solo se gl ltr due lnk sono congruent tr loro o vt è l veloctà tngenzle del lnk -esmo ll estremo G p dervnte dll rotzone del lnk con ut : n vrtù del suo stesso llungmento Il suo versore è ndcto 5

42 ut u u Il modulo d vt ( v ut ) ut vt rsult essere l proezone d v su ut,percò l vettore srà: H P Hp è l mtrce jcobn : H p v v v Quest mtrce consente d clcolre l veloctà dell end-effector note le veloctà delle coordnte lbere, coè l veloctà d llungmento de lnk j Sono le mtrc che note le veloctà delle coordnte lbere consentono d trovre le veloctà ngolr de lnk Essendo l veloctà ngolre ω pr : v ω u r u è l versore dell sse d rotzone; v è modulo dell veloctà tngenzle; r è l dstnz dll sse d rotzone o Veloctà ngolre trsmess d un lnk sugl ltr lnk Applcndo l notzone sopr propost, d seguto vengono esmnte le veloctà ngolr come conseguenz dell llungmento d un lnk sugl ltr due I versor de lt de trngol dell bse sono ndct con : vers( CB) vers( AC) vers( AB) 6

43 I modul delle ltezze de tre trngol che costtuscono l superfce lterle sono ndct con h, h, h e sono nche corrspondentemente l dstnz d v, v e v d CB, CA ed AB Pertnto vettor veloctà ngolr rsultno essere: ω ω ω v h v h v h vers( CB) vers( CA) vers( AB) o Veloctà ngolre trsmess l lnk -esmo dl lnk stesso veloctà ngolre : ω s vt u ωs del lnk determnt dll llungmento del lnk stesso è pr Pertnto le mtrc j j j ω ω ω s ω ω ω s j sono costtute dlle seguent colonne: ω ω ω s Infne cus dell presenz dell ccoppmento prsmtco tr due lnk che nnull tutt grd d lbertà reltv lle rotzon consente d scrvere che H j e mtrc H contengono de rpport d veloctà n grdo d mettere n relzone le j coordnte lbere con le veloctà de centr d mss de membr che costtuscono le tre ctene cnemtche perte tr l bse e l pttform moble 7

44 Anls de membr drettmente conness ll bse I centr d mss de membr drettmente conness ll bse, n vrtù dell rchtettur del mnpoltore, possono soltnto ruotre Pertnto è presente l veloctà tngenzle dervnte dl moto crcolre v vt r C A u r B Fgur 6 Veloctà tngenzl de centr d mss o Effett dell llungmento del lnk -esmo su centr d mss degl ltr lnk Con l notzone r j s ntende l dstnz del centro d mss G j dll estremo fsso del lnk cu pprtene Per qunto rgurd pedc delle veloctà tngenzl d seguto proposte l prmo st d ndcre l lnk del centro d mss oggetto d nls, l secondo l lnk che produce tle veloctà 8

45 v v r r v v v v r r v v v v r r v v o Veloctà tngenzle del lnk -esmo genert dl lnk stesso v H H H s ω Poché l lnk n vrtù del suo llungmento l lnk ruot, quest veloctà tngenzle srà pr : s v v v r s v v v s v v v s Sotto vene rportt un fgur n cu s concentr l ttenzone sull llungmento del lnk -esmo v s G r Fgur 7 Veloctà tngenzle del centro d mss G provoct dll llungmento del lnk -esmo stesso 9

46 Clcolo delle veloctà de centr d mss de membr ccoppt con l end effector Il centro d mss d quest lnk è soggetto d un moto trsltoro lungo l drezone rdle ed ll veloctà tngenzle o Effett prodott dl lnk -esmo sugl ltr lnk v vt r C A r u B Fgur 8 Veloctà tngenzle de centr d mss degl ltr membr drettmente conness ll end-effector In questo cso per l veloctà tngenzle prm due pedc ndcno l centro d mss G,l ultmo ndc l lnk che provoc l veloctà tngenzle v v r r v v v v r r v v v v r r v v 40

47 o Effett del lnk -esmo sul lnk stesso prm espressone d seguto rportt rsult essere l veloctà tngenzle d un centro d mss del secondo lnk d ogn cten cnemtc prtre dll bse e vene orgnt dll llungmento postvo o negtvo del lnk medesmo v v s t ω v s s r u second espressone ndc l rsultnte delle veloctà, composzone dell veloctà d llungmento e d quell tngenzle d rotzone rsultnte vene clcolt sfruttndo l metodo del prllelogrmm prevsto per l somm vettorle v t v s G r Fgur 9 Veloctà del centro d mss G provoct dll llungmento del lnk - esmo stesso mtrce H rsult compost dlle seguent colonne: H H H v v v t v v v t v v v t 4 Mtrc d rotzone e mtrc d rotzone fornscono l orentmento d un tern d coordnte rspetto d un ltr: vettor colonn sono cosen drettor degl ss dell tern ruott rspetto ll tern d prtenz; rppresent un trsformzone d coordnte che mette n relzone 4

48 le coordnte d uno stesso punto n due terne dfferent(d orgne comune); è l opertore che consente d ruotre un vettore n un stess tern d coordnte e mtrc utlzzte d seguto srnno: Mtrce d rotzone d ngolo β ttorno ll sse y: cos( ) 0 sn( ) Ry ( ) 0 0 sn ( ) 0 cos( ) Mtrce d rotzone d ngolo α ttorno ll sse z cos( ) sn( ) 0 Rx ( ) sn( ) cos( ) Queste mtrc d rotzone sono mpegte secondo l modltà prevst dll notzone d Crdno 4 Notzone d Crdno notzone d Crdno equvle consderre un sequenz d rotzon su ss mobl Z ( ) Y '( ) X ''( ) Per pssre d un sstem d rfermento d un sstem d rfermento s rcorre ll mtrce R R ( ) R (β) R ) z y x(α Con sstem s ntende convenzonlmente un sstem d rfermento fsso, qund soldle ll pttform fss, mentre con sstem s ntende un sstem moble che rsult soldle con l lnk Il sstem è crtterzzto d versor {,j,k } mentre l sstem è crtterzzto d versor {,j,k }; entrmbe le terne formno un bse ortonormle e destrors notzone prevede: prm rotzone ( su Z ) deve portre l sse Y sull drezone del prodotto vettore d k e (drezone ortogonle s Z che X ); second rotzone (β su Y ) deve portre l sse X su X ; terz rotzone (α su X =X ) deve llnere gl ss Y e Z dell tern corrente con quell dell tern fnle () 4

49 5 Applczone l mnpoltore -UPU Nel cso consderto sono present gunt crdnc drettmente conness ll pttform fss, cò lmt grd d lbertà ltrment present se l collegmento non vvensse con l telo Percò l mtrce R Z h un ngolo d rotzone nullo e pertnto verrà omess Per qunto rgurd l ngolo β esso rsult essere l ngolo compreso tr l proezone de lnk sull pttform fss e l ltezz del trngolo equltero vente come vertc le ntersezon de lnk con l pttform fss stess C β A H B Fgur 0 Angolo β ngolo α rsult essere l complementre dell ngolo formto dl lnk sopr consdert e l ltezz 4

50 C α A H B Fgur Angolo α S può clcolre l vlore d quest ngol rcorrendo clcol che mplcno l mpego d formule trgonometrche Consderto u versore generco perpendcolre l pno dell bse con verso postvo rspetto l versore k del sstem d rfermento fsso Questo versore è l rsultto del prodotto vettorle d qulss copp d vettor pprtenent l pno, m non concdent Pertnto vettor pres nell seguente formul sono del tutto rbtrr u AB AC AB AC ub è l versore dell proezone ortogonle del lnk ub u u u u sul pno dell bse ed è pr : Dto che l prodotto sclre tr due versor è pr l coseno dell ngolo tr ess compreso s può concludere che: rccos( ub vers( hb )) hb è un delle tre ltezze del trngolo equltero ed l pedce ndc l pedce del lnk con cu h un estremo n comune Nell funzone trgonometrc non è specfcto lcun ntervllo d lmtzone poché vlor che l ngolo suddetto può ssumere non possono superre l vlore dell ngolo 44

51 ptto per ovv motv strutturl del robot stesso rppresentzone vettorle successv vuole sntetzzre qunto presentto: C u ub β A u hb H B Fgur Versor mpegt per l clcolo d β Indcndo con ngolo compreso tr l lnk e l ltezz hb d qunto detto sopr rccos( u vers( hb )) C u H A hb B Fgur Versor mpegt per clcolre 45

52 4 Dmostrzone S dmostr n mner semplfct l motvo dell scelt degl ngol sopr rportt concentrndo l ttenzone sul lnk,m fcendo presente che qunto detto può essere reterto nche per gl ltr lnk Pres due sstem d rfermento, uno soldle ll bse con orgne concdente con l estremo fsso del lnk e con versor formnt un bse ortonormle destrors, j, k e l ltro soldle con l lnk con versor formnt l bse ortonormle destrors, j, k dove k rsult essere concdente con lo svluppo longtudnle del membro come prevsto dll lettertur d ngegner meccnc S S k k j j Fgur 4 Sstem d rfermento fsso S e moble S Applcndo l metodo d Crdno s not che j è gà k, perché l prm rotzone prevst come gà detto è null Questo vuol dre che l second rotzone vvene ttorno j e port su, m concde gà con se e solo se è nullo Questo port ntutvmente concludere che s propro l ngolo dell second rotzone M volendo dmostrrlo con un procedur pù mtemtc s può segure l seguente rgonmento: k ovvmente subsce un rotzone sempre d ngolo ttorno j,l versore dell sse corrente che descrve l poszone fnle dell rotzone d k è ' k 46

53 k è per defnzone pno contenente l pttform fss, qund srà perpendcolre nche d ogn versore pprtenente l pno medesmo, llor k ub, mentre ' k j perché quest ultmo sse d rotzone Secondo l noto prncpo che ssersce che ngol compres tr lt due due perpendcolr sono congruent tr loro s conclude che l ngolo compreso tr l versore dell proezone del lnk -esmo sull pttform fss ed l versore dell ltezz dell medesm è congruente ll ngolo compreso tr k e ' k C ' k A k j β H B Fgur 5 Rppresentzone dell second rotzone Infne per qunto rgurd l terz rotzone quest vvene su un pno che ovvmente deve essere,essendo questo l sse d rotzone M k perché pprtengono entrmb ll medesm bse ortonormle e k pprtene scurmente l pno d rotzone essendo versore del sstem d rfermento fnle Inoltre vers ( hb ) poché vers ( hb ) concde con j e j è l sse dell rotzone precedente Pertnto l pno su cu vvene l rotzone è l pno e contenente k e vers hb ) Affnchè ( ' k vd concdere con k è necessro che comp un rotzone d un ngolo complementre ll ngolo compreso tr e vers ( ub ) 47

54 k ' k j j Fgur 6 Rppresentzone dell terz rotzone 48

55 CAPITOO 4 Anls cnemtc d ccelerzone Relzone tr nls cnemtc d veloctà ed nls cnemtc d ccelerzone operzone mtemtc fondmentle mpegt dl pssggo dll nls d veloctà quell d ccelerzone è l operzone d dervzone ; questo è dovuto l ftto che l ccelerzone è l dervt rspetto l tempo dell veloctà Pertnto prtendo dll equzone fondmentle dell nls cnemtc che leg veloctà dell end-effector e delle coordnte lbere: G p H p q Dervndo entrmb membr s ottene : G p H p q H p q e coordnte lbere d ccelerzone sono ncor reltve ll llungmento de lnk ccelerzone dell end-effector vrà come component : l ccelerzone reltv r ; l ccelerzone centrpet c ; l ccelerzone d Corols cor ; l ccelerzone ngolre ng ; Sono contenute nel secondo termne dell somm dell equzone le component d Corols e centrpet essendo esse n drett relzone con l veloctà delle coordnte lbere Nel prmo termne è contenut l ccelerzone reltv e l ccelerzone ngolre Inoltre l secondo termne rsult essere noto n qunto le coordnte lbere sono un dto del problem e l mtrce rsult gà not dll nls dell veloctà 49

56 cor ng r c Fgur 4 I dvers termn d ccelerzone del lnk -esmo Per qunto rgurd l ccelerzone ngolre l su formul generle è: ng = α r α è l dervt dell veloctà ngolre, r ndc sempre l dstnz rdle ccelerzone reltv n questo cso concde con l ccelerzone delle coordnte lbere, pertnto srà pr : = r formulzone generle dell ccelerzone centrpet rsult essere: c r Dove r rsult essere l rggo d rotzone ed l modulo dell veloctà ngolre Mentre l espressone generle dell ccelerzone d Corols rsult essere : cor ω v ω è l vettore veloctà ngolre, mentre v è l vettore veloctà rdle e nel cso consderto è pr ll veloctà d llungmento de lnk 50

57 Clcolo d H p Nell formulzone d quest mtrce s utlzz l prncpo d sovrpposzone degl effett che consente d potzzre l ccelerzone dell end-effector come composzone delle ccelerzon degl estrem mobl de lnk C s concentr sull ccelerzone centrpet e d Corols, essendo queste le ccelerzon rferbl ll mtrce H p Clcolo delle colonne dell mtrce oggetto d studo Nel cso specfco per l espressone dell ccelerzone centrpet s rcorre d un formulzone utle rendere evdente seguent rpport d ccelerzone (l termne è leggermente mproprto, m serve per evdenzre l dstnzone rspetto precedent rpport d veloctà) Pertnto l vettore generco che costtusce l colonn dell mtrce H p srà pr : s uv ut ω u uv s u s uv ut u uv ω s u uv ut ω s u u uv uv ut u uv ω s u H p 5

58 Accelerzone de centr d mss G G sono centr d mss de lnk ccoppt ll bse con un gunto d tpo crdnco, percò sono soggett esclusvmente mot d tpo crcolre Per qunto rgurd l nls dell veloctà l relzone che leg l veloctà d llungmento de lnk ll veloctà de centr d mss G è l seguente: G H q ccelerzone de medesm centr d mss srà pr : G H q H q Grze ll nls dell veloctà gà effettut l secondo termne rsult essere noto ed l suo nterno srnno contenute le component dell ccelerzone drettmente legte ll ccelerzone de membr, oss l componente reltv e l componente ngolre Nel prmo termne dell somm sono contenute nvece le component d ccelerzone legte ll veloctà che n questo cso concdono con l sol componente centrpet, poché nlzzndo un coordnt lber ll volt sfruttndo l prncpo d sovrpposzone degl effett s osserv che tutt mot crcolr convolt sono crtterzzt d un rggo costnte e qund per l su stess defnzone l componente d Corols nche n questo cso non può essere presente Effetto dell ccelerzone del lnk -esmo su centr d mss degl ltr lnk I centr d mss degl ltr lnk sono soggett d un moto crcolre con sse lt del trngolo dell bse e con rggo l dstnz de centr medesm dll sse consderto 5

59 G p ng c r H r Fgur 4 Accelerzone de centr d mss degl ltr lnk Il prmo termne dell somm sopr descrtt contene esclusvmente l componente centrpet e le colonne d tle mtrce, vvlendos nche d consderzon geometrche oltre che cnemtche, possono essere clcolte con l seguente procedur: j j ( r vers( h )) vers( h j j ) r vers( h j u j uv ) j Il prmo pedce ndc l lnk cu pprtene l centro d mss, l ultmo pedce ndc qule lnk n vrtù del suo llungmento st producendo l moto consderto Accelerzone del lnk Effetto centrpeto sul centro d mss G ( r vers( h )) vers( h ) r vers( h u ) uv Effetto centrpeto sul centro d mss G 5

60 ( r vers( h )) vers( h ) r vers( h u ) uv Accelerzone del lnk Effetto centrpeto sul centro d mss G ( r vers( h )) vers( h ) r vers( h u ) uv Effetto centrpeto sul centro d mss G ( r vers( h )) vers( h ) r vers( h u ) uv Accelerzone del lnk Effetto centrpeto sul centro d mss G ( r vers( h )) vers( h ) r vers( h u ) uv Effetto centrpeto sul centro d mss G ( r vers( h )) vers( h ) r vers( h u ) uv Effetto dell ccelerzone del lnk -esmo sul centro d mss G G può compere solo un rotzone ttorno ll sse d rggo r u, trovto n precedenz, 54

61 ng G c Fgur 4 Accelerzone centrpet del centro d mss del membro stesso espressone generc che mette n relzone l veloctà d llungmento del lnk - esmo con l ccelerzone centrpet del centro d mss del membro fcente prte dell stess cten cnemtc con un estremo ccoppto ll bse rsult essere: s r u uv uv ut Nelle prossme formulzon l prmo pedce ndc sempre l lnk del centro d mss, l ultmo ndc l lnk che gener l moto ed n questo cso sono ndvdut dllo stesso numero perché concdono Anls per ogn lnk: s r u uv uv ut s r u uv uv ut 55

62 s r u uv uv ut e mtrc H H rsultno essere così defnte: H H Accelerzone de centr d mss G G sono centr d mss de lnk ccoppt lnk precedent ttrverso ccoppment d tpo prsmtco Sono crtterzzt d un ccelerzone compost d: ccelerzone reltv; ccelerzone ngolre; ccelerzone centrpet; ccelerzone d Corols; Quest ultm n questo cso è presente poché essendo l lnk ccoppto ll ltro mednte un ccoppmento d tpo prsmtco questo è soggetto ll trslzone lungo l sse concdente con lo svluppo longtudnle del lnk stesso Inoltre per l ccelerzone centrpet e d Corols è necessro precsre che l ccoppmento prsmtco nnull tutt grd d lbertà reltv lle rotzon reltve d un membro rspetto ll ltro, percò l lnk dl punto d vst dell rotzone s comport come un corpo rgdo con l lnk Qund veloctà ngolre ed ccelerzone ngolre de due lnk rsultno essere concdent Per qunto rgurd l nls dell veloctà l relzone che leg l veloctà d llungmento de lnk ll veloctà de centr d mss G è l seguente: G H q 56

63 ccelerzone de medesm centr d mss srà pr : G H q H q Per qunto rgurd l secondo termne dell somm esso è costtuto d tutt termn not, contene l suo nterno le component dell ccelerzone reltv ed ngolre Invece l prmo termne dell espressone contene l mtrce H che non è not Questo termne contene s l ccelerzone centrpet, s l ccelerzone d Corols Effetto dell ccelerzone del centro d mss del lnk -esmo su centr d mss degl ltr lnk I centr d mss degl ltr lnk sono soggett d un moto crcolre con sse lt del trngolo dell bse e con rggo l dstnz de centr medesm dll sse consderto G p ng c r r H Fgur 44 Accelerzone de centr d mss degl ltr lnk relzone tr ccelerzone centrpet e veloctà d llungmento de lnk è espress trmte l seguente formulzone generc: j j ( r vers( h )) vers( h j j ) r u j uv vers( h ) j j 57

64 Accelerzone del lnk Effetto centrpeto sul centro d mss G ( r vers( h )) vers( h ) r vers( h u ) uv Effetto centrpeto sul centro d mss G ( r vers( h )) vers( h ) r vers( h u ) uv Accelerzone del lnk Effetto centrpeto sul centro d mss G ( r vers( h )) vers( h ) r vers( h u ) uv Effetto centrpeto sul centro d mss G ( r vers( h )) vers( h ) r vers( h u ) uv Accelerzone del lnk Effetto centrpeto sul centro d mss G ( r vers( h )) vers( h ) r vers( h u ) uv Effetto centrpeto sul centro d mss G 58

65 ( r vers( h )) vers( h ) r vers( h u ) uv Effetto dell ccelerzone del lnk -esmo sul centro d mss G G può compere un rotzone ttorno ll sse con versore u, trovto n precedenz, d rggo r ed noltre può trslre rdlmente con un veloctà concdente vettorlmente con l veloctà del lnk stesso ng cor c G Fgur 45 Accelerzone del centro d mss G espressone generc che mette n relzone l veloctà d llungmento del lnk - esmo con l ccelerzone centrpet e l ccelerzone d Corols del centro d mss del membro fcente prte dell stess cten cnemtc e con un estremo ccoppto ll end-effector rsult essere: r uv ut ω vers( ) u uv s Il prmo pedce ndc sempre l lnk del centro d mss, l ultmo ndc l lnk che gener l moto ed n questo cso sono ndvdut dllo stesso smbolo perché concdono Anls per ogn lnk: s r uv ut ωs vers( u uv ) 59

66 60 ) ( vers ω ut uv uv u r s s ) ( vers ω ut uv uv u r s s e mtrc H rsultno essere così defnte: H H H

67 CAPITOO 5 Anls dnmc Approcco Newtonno e nls d tpo newtonno che consentono d stblre un relzone tr forze o moment e le ccelerzon de membr del meccnsmo medesmo possono essere s d tpo dnmco nverso o cnetosttco, s d tpo dnmco dretto dfferenz prncple tr due tp d nls rsede nelle grndezze note ed ncognte, per qunto rgurd l nls cnetosttc essendo not l legge d moto d un certo stnte t s rcvno le forze ed moment n grdo d equlbrre l sstem, l contrro nell nls dnmc drett le grndezze d prtenz sono forze e moment e le condzon nzl d moto n termn d poszone, veloctà ed ccelerzone dlle qul s rcvno vlor delle grndezze cnemtche oggetto d nteresse d un certo stnte t dverso d quello nzle Anche per qunto rgurd l metodo rsolutvo c è un sostnzle dfferenz : nell nls dnmc drett è necessro ntegrre numercmente un o pù equzon dfferenzl e l soluzone rsult essere funzone del tempo, mentre nell nls dnmc nvers è necessro rsolvere un sstem d equzon lgebrche e l soluzone come gà ctto sopr è un nseme d forze e coppe d un certo stnte t Rsultno nvece essere note n entrmb cs le msse de membr e le forze esterne In generle con l pprocco newtonno le forze scmbte nelle coppe sono present nell formulzone, l sstem d equzon mpegto rsult essere puttosto consstente e l nls cnemtc permette d esprmere le ccelerzon delle sngole prt n funzone dell veloctà ed ccelerzone delle coordnte lbere Crc l ultmo punto s rvvs pertnto l necesstà d esegure l nls cnemtc ntecedentemente ll nls dnmc Descrzone del cso presentto Nel cso presentto s utlzz l metodo tpco dell nls dnmc nvers e tle scelt dpende dlle fnltà per le qul l nls stess è condott Inoltre nell rsoluzone propost d seguto, l obettvo non è quello d trovre tutte le forze ed moment scmbt tr tutt gunt, comprese nche le rezon vncolr, m clcolre le forze che devono essere trsmesse gunt prsmtc qul, essendo de gunt ttut, fornscono un nformzone precs d qule debb essere l forz che gl ttutor 6

68 devono trsmettere n modo che l end-effector relzz l legge d moto desdert Qund l focus dell nls rsult essere l forz trsmess l gunto prsmtco perché fornsce nformzon utl oltre che per le funzon d comndo e controllo, nche per l scelt del dmensonmento e dell tpolog dell ttutore e cò è determnto dll funzone che deve dempere l robot ed n ultm nls dlle legg d moto che l endeffector deve relzzre Inoltre tutte le relzon presentte nel prossmo prgrfo hnno vldtà n condzon d non sngolrtà e per semplfcre l problem sono ssunte le seguent potes: struttur è senz error geometrc, non c sono flesson d prte de gunt e de lnk; Il goco gunt è ssunto essere nfntesmo; Gl effett termc non sono consdert G p G p F F F C A B Fgur 5 Alcune grndezze d nteresse per l nls dnmc 6

69 Mtrc d nerz Il momento d nerz è un msur dell resstenz del corpo mutre l su veloctà rotzonle, è un grndezze fsc utle per descrvere l comportmento dnmco de corp n rotzone ttorno d un sse Tle grndezz tene conto d come è dstrbut l mss del corpo ttorno ll sse d rotzone e dà un msur dell nerz del corpo rspetto lle vrzon del suo stto d moto rottoro Nell nls propost, essendo effettut nello spzo, esstono tre moment d nerz per ogn membro corrspondent tre ss d rotzone concdent cscuno n drezone e verso d uno de versor che dentfc l sstem d rfermento rspetto cu s st eseguendo l clcolo del momento d nerz stesso Queste tre component fnno prte del tensore momento d nerz I mtrce d nerz Ij del membro j srà pertnto pr : I j m j 0 0 j 0 0 j 0 0 j r j è l tpco momento d nerz d un st d lunghezz j clcolto rspetto d un suo estremo; j r è l momento d nerz clcolto rspetto ll sse che concde con lo svluppo longtudnle dell st che h un sezone crcolre con rggo r j, per cu l momento è smle quello d un dsco Quest tensor d nerz sono clcolt rspetto d un sstem d rfermento soldle con l membro, per renderlo rferto l sstem d rfermento fsso è necessro pplcre l seguente formul: I T jb R I jr R è l mtrce d rotzone gà pprofondt nel cptolo precedente, l formul è un tpc formul d cmbmento d bse 6

70 Procedur rsolutv Per qunto rgurd l robot d sol trslzone -UPU s propone un nls come quell sopr descrtt I dt d prtenz sono l veloctà e l ccelerzone dell endeffector, per l rsoluzone del problem s trscur momentnemente nvece l poszone Tuttv nell prss opertv generle nche l poszone può essere un dto noto per completre l nformzone generle sull legge d moto dell end-effector Inoltre essendo n possesso delle relzon fondmentl che legno l veloctà e l ccelerzone dell end-effector con quelle delle coordnte lbere è possble gungere vlor d quest ultme S not che prm pssgg sono ncor pssgg d crttere cnemtco che null hnno vedere con l dnmc ntes n senso stretto, m cò è dovuto l ftto che le grndezze d prtenz sono grndezze d crttere cnemtco D seguto vengono propost pssgg che rssumono qunto descrtto relzone fondmentle tr veloctà dell end-effector e delle coordnte lbere che sono sempre le veloctà d llungmento de lnk è: G p H p q Come gà vsto con operzon d dervzone è possble pssre lle ccelerzon: G p H p q H p q A questo punto è necessro solre le ncognte prm ncognt è l vettore veloctà delle coordnte lbere: G q H p p second ncognt è l vettore ccelerzone delle coordnte lbere: G p q H p H p q Il psso successvo rsult propro quello d ffrontre drettmente l dnmc Per fre cò s prende n consderzone l Secondo Prncpo dell Dnmc fondmentle per l pprocco Newtonno: 64

71 F m F ed,come gà l notzone suggersce, sono grndezze vettorl e sono rspettvmente l forz e l ccelerzone, mentre m è un grndezz sclre ed ndc l mss del corpo oggetto d nls Quest ultm è un grndezz fsc che determn l comportmento dnmco de corp mterl qundo sono soggett ll nfluenz d forze esterne, n questo contesto c s foclzz sull mss nerzle che è proporzonle ll nerz del corpo, l qule è l resstenz l cmbmento dello stto d movmento qundo vene pplct un forz Tornndo ll formul propost per renderl mggormente derente l problem trttto può essere espress nche n quest form : F (x) TOT m eq Con m eq (x) s ntende l somm d tutt contrbut nerzl, coè s msse, s moment d nerz de membr convolt nel moto Per gungere d un notzone così concs prtre d tutte le forze e moment n goco è necessro rdurre tutte le forze ed moment dell end-effector ssunto nell nls dnmc come coordnt lber Pertnto s rcorre ll utlzzo d rpport d veloctà, fclmente clcolbl grze lle mtrc trovte durnte l nls cnemtc e che consentono d concentrre l ttenzone solo sull end-effector n mner d potzzre un rsultnte delle forze vente come punto d pplczone l end-effector F TOT nel cso del mnpoltore -UPU è: F TOT ( mg p j m j G j k j α j I j k j ) 65

72 m è l mss dell pttform moble; mj è l mss del lnk j ; kj è l rpporto d veloctà tr l centro d mss G j e G p ; I j è l mtrce d nerz del lnk j ; α è l dervt dell veloctà ngolre del lnk j ; G p, G j sono le ccelerzon dell end-effector e del centro d mss del lnk j ; fgur sotto rportt rffgur un lnk generco m m Fgur 5 e msse d un lnk second sommtor è così ndct per due motv: Due membr rgd consecutv ccoppt d un gunto prsmtco hnno l stess ccelerzone α per cu srebbe sovrbbondnte ndcre se s 66

73 trtt del membro drettmente connesso ll bse o se s trtt del membro connesso ll pttform moble, d qu l utlzzo del solo pedce che dentfc l cten cnemtc pert Il momento d nerz, espresso d un mtrce per ovv motv trdmensonl, h l crtterstc d essere un grndezz ddtv, per cu l second sommtor del terzo ddendo sfrutt tle propretà Fnor l pttform moble è stto rdott d un punto, tuttv nell csstc rele ess h delle dmenson fnte ed un mss non trscurble n questo contesto, tuttv è possble contnure l trttzone mmgnndo l end-effector concdente con l centro d mss per due motv fondmentl: Il comportmento d tutt punt d un corpo rgdo d dmenson fnte sollectto d un forz trslre è ugule quello del centro d mss dove s potzz concentrt tutt l mss; nel cso consderto l mutu dstnz tr punt dell pttform moble rmne costnte qund s può consderre l pttform moble come un corpo rgdo con le reltve propretà Anche lvello dnmco l ftto che l robot s d pur trslzone semplfc molto l nls: l pttform per defnzone non può ruotre, pertnto l dstrbuzone delle msse dell pttform moble determnerà l poszone del centro d mss, m non srà rlevnte per l momento d nerz essendo quest un grndezz che moltplc n ogn cso un vlore nullo, l ccelerzone ngolre dell pttform moble Infne rpport d veloctà ntrodott servono rdurre l nseme delle forze e de moment n goco sull end-effector espressone generc d tle rpporto d veloctà, ssumendo untr l veloctà d llungmento del lnk -esmo grze ll mpego del metodo delle veloctà fttze, è: k j G G j p Questo rpporto può essere esplctto rcorrendo lle formulzon gà proposte nell nls cnemtc, nftt dto che: G p H p q 67

74 G j H j q Ne consegue che: kj p H j q H jh H q p α può essere rcvt dll seguente formul gà propost : G H q H q Il prmo ddendo dell somm contene, come gà precsto le ccelerzon che sono n drett relzone con le veloctà delle coordnte lbere, oss l ccelerzone centrpet e d Corols Per qunto rgurd l secondo ddendo esso contene n lne teorc le ltre ccelerzon che hnno un legme dretto con l ccelerzone delle coordnte lbere, oss l ccelerzone reltv e l ccelerzone ngolre Tuttv spendo che per motv strutturl centr d mss de membr drettmente conness ll bse mntengono un dstnz costnte dll estremo fsso telo l ccelerzone reltv srà null, l secondo ddendo qund contene solo l ccelerzone ngolre Cò port concludere che: α H q Tuttv l ncognt è α che comunque essendo noto rsult essere d fcle rsoluzone Conoscendo gà drezone e verso, nftt l drezone concde con l drezone dell sse d rotzone vettorle c s concentr sul modulo u ed l verso è ndcto dl segno del prodotto che srà pr : Pertnto l vettore α srà pr : α u 68

75 e ltre ccelerzon present nell formul sono stte esplctte nel corso dell nls cnemtc Il psso successvo è clcolre l forz scmbt gunt ttv formul seguente mette propro n relzone le due grndezze : Ftt dt F TOT F tt H T p F TOT F tt è un vettore che h come component le forze trsmesse tre gunt ttut Ovvmente qulor l stuzone lo rched, è possble n mner gevole prtre d F tt e con le stesse relzon sopr evdenzte opportunmente dttte è possble rcvre l ccelerzone dell end-effector 4 Effetto d goch gl ccoppment sull ccurtezz dell nls Uno de mggor vntgg de robot prllel ed n prtcolre d quell d sol trslzone rsede nell elevt ccurtezz se confrontt con robot serl Quest ccurtezz può essere ltert d deformzon dell struttur del robot, dlle tollernze dmensonl de lnk e d goch gunt Gl effett dell deformzone dell struttur possono essere rdott umentndo l rgdezz, quell dovut lle tollernze dmensonl conducono d error prevedbl che possono essere corrett trndo l robot Mentre goch gunt possono essere consderte le mggor font d errore ed nfluenzno l ccurtezz e l rpetbltà Percò lo svluppo d modell prevsonl per vlutre n ntcpo l effetto de goch sull ccurtezz dello strumento dventno fondmentl 69

76 Fgur 5 Gunto prsmtco con goco Qundo due membr sono collegt d un gunto prsmtco l loro poszone effettv può essere dvers d quell nomnle, cò è dovuto ll presenz d goch che se d un lto hnno lo scopo d fvorre lo scorrmento reltvo lmtndo l ttrto, dll ltro possono compromettere l ccurtezz del modello d nls proposto sopr e per qunto rgurd l gunto prsmtco due sono fenomen prncpl che possono presentrs ben evdenzt dlle seguent fgure: 70

77 Fgur 54 e due dvers regon d conttto Il prmo ndc un errore d orentzone custo d un conttto lungo l sezone trsversle del membro, l secondo ndc un errore d orentzone custo d un rotzone noml d un membro rspetto ll ltro ttorno d un sse d rotzone concdente con l drezone dello svluppo longtudnle de due membr Quest vnno cusre error sull poszone dell pttform moble fgur sottostnte rffgur nvece qul sono punt d conttto nell ccoppmento rotodle che possono determnre effett d strzone 7

78 Fgur 55 Sezone trsversle d un gunto rotodle c,, c,, c, sono tre forze d conttto n corrspondenz punt P, K, K ; quest ultm n v semplfctor sono punt n cu s potzzno concentrte le forze che vengono crers cus dell ttrto c,, c, sono forze che vengono crers n vrtù dell trslzone d un membro rspetto d un ltro lungo l sse d rotzone del gunto rotodle ed l goco è pr d ε ; c, è l forz pplct l centro d mss P ed è cust d uno spostmento ortogonle ll sse d rotzone del gunto rotodle, l goco n questo cso è pr ε d Pertnto goch gl ccoppment creno un duplce dstorsone: Per qunto rgurd l nls cnemtc l mpezz del goco nfc l ccurtezz del dto concernente l nls d poszone ; noltre per qunto rgurd l robot -UPU essendoc tre ccoppment per ogn cten gl ccoppment totl sono nove e qund l effetto d quest goch rsult tutt ltro che trscurble Inoltre l ccoppmento crdnco può essere rdotto due ccoppment rotodl con conseguente effetto moltplctvo de goch Infne quest goch soltmente sono scrsmente soggett compensrs per le dverse drezon n cu s presentno e tutto cò port ll ggrvrs del problem 7

79 Per qunto rgurd l nls dnmc l presenz d quest goch cret nche con l obettvo d mtgre l effetto d frzone qulor vveng uno scostmento dll poszone nomnle de membr vengono d nsorgere forze d ttrto rdente sttco o dnmco dffclmente quntfcbl, queste forze per l loro ntur s oppongono ll forze ttve trsmesse dgl ttutor Queste consderzon hnno lo scopo d mettere n luce come modell sopr propost se d un lto hnno lo scopo d presentre n mner prtcolrmente ntutv l nls cnemtc e dnmc, dll ltro non tengono conto d spett che possono nfcre l loro stess vldtà Il sstem d controllo che govern gl ttutor deve nvece essere n grdo d ffrontre nche quest spett per poter esltre le dot d precsone de robot prllel ltrment rrmedblmente compromesse 4 Dstrbuzone dell errore nello spzo d lvoro Poché l errore dell pos del mnpoltore dpende dll su poszone nomnle s propone nell prossm fgur un lgortmo che llustr un modltà opertv d rsoluzone del problem 7

80 Fgur 56 Dgrmm che descrve l lgortmo Qundo tutt gl ttutor sono blocct, l pttform dovrebbe essere nell su poszone nomnle, tuttv cus de goch l pttform moble può venrs trovre n un poszone leggermente dfferente d quell nomnle Quest dfferenz dpende d: D crch pplct ; Dll enttà de goch gunt; Dll poszone nello spzo d lvoro; Quest ultmo punto è motvto dl ftto che l poszone dell pttform moble nflusce nche su forze e moment present gunt 74

81 Fgur 57 Dstrbuzone dell errore d poszone su tutto lo spzo d lvoro I grfc sopr rportt rffgurno l dstrbuzone dell errore d poszone sullo spzo d lvoro d un robot -UPU, E P ndc l modulo dell errore d poszone dell endeffector S osserv che l mssmo errore d poszone è ottenuto nell regone dove s h un cmbmento d confgurzone del gunto prsmtco che port d un dvers confgurzone dell modltà d conttto de membr 75

82 Fgur 58 Errore d orentmento dell pttform moble su tutto lo spzo d lvoro Rspetto precedent, quest grfc msurno l errore n termn d ngolo rspetto ll poszone nomnle I pcch d errore s verfcno nche n questo cso nelle regon dello spzo d lvoro n cu s presentno fenomen sopr descrtt Inoltre un osservzone mportnte rgurd l ftto che dscontnutà nell errore d orentzone s verfcno ognqulvolt c sono nche dscontnutà nell errore d poszone 76