Cap. 2. Le equazioni della fluidodinamica

Transcript

1 Cap. 2. Le equazioni della fluidodinamica La formula del trasporto di Reynolds consente di portare la derivata temporale sotto il segno d integrale. Consideriamo una generica quantità f(x, t) contenuta in un volume materiale. La formula di Reynolds è: d f dτ = [ ] f + (fv) dτ (2.1) Talvolta essa viene scritta nel seguente modo (si sfrutta il teorema della divergenza): d f f dτ = dτ + fv ndσ Per dimostrare la formula (2.1) calcoliamo il limite del rapporto incrementale V(t+) f(x,t+)dτ f(x,t)dτ = B+C f(x,t+)dτ f(x,t)dτ Dove A è la porzione di volume occupata dal fluido al tempo t ma non al tempo t +, C quella occupata dal fluido al tempo t+ ma non al tempo t, B quella occupata dal fluido sia tempo t che al tempo t+. B v dσ C n A Sout Sin 7

2 8 CAPITOLO 2. LE EQUAZIONI DELLA FLUIDODINAMICA Aggiungiamo e sottraiamo a secondo membro la quantità f(x,t+)dτ il rapporto incrementale può essere scritto come: f(x,t+)dτ A f(x,t)dτ f(x,t+)dτ + Il primo termine nel limite t 0 tende a: f(x,t+)dτ f(x,t)dτ) lim t 0 C = f(x,t+)dτ A f(x,t) dτ Il secondo termine rappresenta il flusso di f attraverso la porzione di superficie di dalla quale il fluido esce: f(x,t+)dτ C lim = f(x,t)v ndσ t 0 S out Infatti il volume C è composto dai volumi infinitesimi dτ = v ndσ dove n è il versore normale all area di contorno infinitesima dσ e orientato verso l esterno. Analogamente il terzo termine rappresenta il flusso di f attraverso la porzione di superficie di dalla quale entra del fluido: f(x,t+)dτ A S = lim f(x,t)v ndσ t 0 S in Per il teorema della divergenza si ha infine f(x,t)v ndσ = (fv)dτ L equazione di evoluzione di una quantità U si dice in forma conservativa se essa assume la forma Q + F = S Q è detta la variabile conservata, F è il flusso e S è il termine sorgente. Q può essere una quantità scalare o vettoriale. Ad esempio nell equazione di continuità si pone Q = ρ (la densità), mentre nell equazione della quantità di moto Q = ρv.

3 2.1. CONSERVAZIONE DELLA MASSA Conservazione della massa Sia M = ρdτ la massa contenuta nel volume V al tempo t; ρ è la funzione densità (non negativa). La conservazione della massa in forma integrale è espressa da Sfruttiamo la formula di Reynolds: d ρdτ = 0 [ ] ρ + (ρv) dτ = 0 Per l arbitrarietà del volume di controllo si ricava la forma differenziale (conservativa) dell equazione di continuità: ρ + (ρv) = 0 (2.2) In un fluido incomprimibile la densità è costante lungo le traiettorie: dρ = ρ +v ρ = 0 Ciò implica che la velocità è a divergenza nulla: v = 0. Questa condizione sostituisce l equazione evolutiva (2.2) per la densità; a causa di ciò gli schemi numerici per i fluidi incomprimibili sono notevolmente diversi da quelli usati per i fluidi comprimibili. Un fluido con densità costante è sicuramente incomprimibile. Non è detto però che un fluido incomprimibile abbia densità costante. 2.2 Equazione della quantità di moto Scriviamo l equazione della quantità di moto in forma integrale: d ρvdτ = variazione della quantità di moto ρf dτ + risultante delle forze specifiche di volume tdσ risultante degli sforzi interni Dove f è la forza specifica esterna e t sono gli sforzi interni. t può essere scritto come t = T n, dove T è il tensore degli sforzi di Cauchy (n è la normale uscente alla superficie del volume ). Nel caso di un fluido non viscoso gli sforzi sono nella direzione della normale; T è un tensore diagonale: T ij = pδ ij, e p viene chiamata pressione. Nel caso viscoso T non è più un diagonale. Se il fluido è non polare esso è un tensore simmetrico. Scriveremo T = p I + τ

4 10 CAPITOLO 2. LE EQUAZIONI DELLA FLUIDODINAMICA τ è il tensore degli sforzi viscosi. Nei fluidi Newtoniani τ è lineare ed isotropo nel tensore velocità di deformazione S. La forma più generale possibile è: τ = 2µ S +(λtr S ) I 1 ( S = v+ T v ), S ij = ( jv i + i v j ) (Notiamo che tr S = v). µ è il coefficiente di viscosità dinamico, λ è il secondo coefficiente di viscosità (spesso λ e µ sono legati tra loro, ad esempio per gas monoatomici o biatomici λ = 2 3 µ). Introduciamo anche il coefficiente di viscosità cinematico ν = µ ρ. Valori tipici di ν sono indicati nella tabella 2.1 fluido ν(m 2 /s) mercurio acqua aria olio d oliva glicerina Tabella 2.1: Valori numerici del coefficiente di viscosità cinematico per alcuni fluidi alla temperatura T = 20 o. Nel caso di un fluido incomprimibile il contributo (λtr S ) I = λ v I ovviamente si annulla. Passando dalla forma integrale a quella differenziale si ottiene: ρv + ( ρv v ) T = ρf e in forma indiciale: ρv i + j (ρv i v j T ij ) = ρf i Notiamo che questa equazione è scritta in forma conservativa. Sfruttando l equazione di continuità essa può essere scritta nella seguente forma non conservativa, talvolta più pratica: ρ v +ρ(v )v = T +ρf In notazione indiciale: ρ v i +ρv j j v i = j T ij +ρf i Le equazioni precedenti sono sufficienti per calcolare il moto di un fluido incomprimibile. Riassumendo possiamo scriverle nelle forme seguenti: Forma conservativa: ρ + (ρv) = 0 ρv + ( ρv v +p I 2µ S v = 0 ) = ρf

5 2.3. CHIUSURA DELLE EQUAZIONI PER I FLUIDI COMPRIMIBILI 11 Forma non conservativa: ρ +v ρ = 0 ρ v +ρ(v )v = p+ (2µ S )+ρf v = 0 Se la densità è uniforme la prima equazione non è più necessaria. Nel caso in cui il coefficiente di viscosità dinamico µ fosse costante la forza viscosa si ridurrebbe a (2µ S ) = µ v (2.3) (qui e nel seguito il simbolo = 2 x y z denota l operatore laplaciano). 2 Se la densità è costante si usa talvolta scrivere l equazione di moto nella seguente forma: ( ) v p = v ω ρ + v2 +f ρ (2µ S ) dove ω = v è la vorticità. Ciò viene dall identità vettoriale applicata a A = B = v: (A B) = A ( B)+B ( A)+(A )B +(B )A (v )v = (v 2 /2) v ω Nel caso in cui anche la viscosità fosse costante, sfruttando la (2.3) si otterrebbe: ( ) v p = v ω ρ + v2 +f +ν v (2.4) Chiusura delle equazioni per i fluidi comprimibili Nel caso di fluidi comprimibili le equazioni precedenti non sono sufficienti a chiudere il sistema. Infatti le incognite sono 5 (ρ, p e le tre componenti di v) mentre le equazioni sono soltanto 4 (l equazione di continuità e le tre componenti di quella della quantità di moto). Nel caso in cui si fornisca un legame diretto tra la pressione e la densità (flussi barotropici) non sono necessarie ulteriori equazioni; ciò vale ad esempio per gas isotermici ( p ρ = costante) o isentropici ( p ρ = costante, con γ = cp γ c V ). Tolti questi casi particolari il sistema viene chiuso fornendo l equazione di conservazione dell energia e l equazione di stato tra le variabili termodinamiche. In forma integrale l equazione dell energia è: d ρedτ + variazione en. tot. q ndσ = flusso di calore t vdσ + pot. sforzi interni ρf vdτ + pot. forze specifiche ρrdτ sorgente di calore dove E è l energia specifica totale: E = e+ 1 2 v2, con e l energia interna; r è un eventuale terminediproduzionedienergia internaperunitàdimassa; q èil flussotermico specifico; sesi

6 12 CAPITOLO 2. LE EQUAZIONI DELLA FLUIDODINAMICA assume valida la legge di Fourier allora q = χ θ, dove θ è la temperatura e χ è il coefficiente di conduttività termica dinamico. Introduciamo anche il coefficiente di conduttività termica cinematico κ = χ ρc P. Il rapporto Pr = ν κ è un numero adimensionale e viene chiamato numero di Pranl. La forma differenziale conservativa si ottiene sfruttando la formula di Reynolds e trasformando gli integrali di superficie in integrali di volume: t vdσ = (v T ) ndσ = (v T )dτ Si ottiene così: ρe Introducendo poi l entalpia specifica totale + (ρev v T χ θ) = ρ(f v +r) (2.5) la (2.5) diventa: h = E + P ρ ρe + (ρhv v τ χ θ) = ρ(f v +r) Per chiudere il sistema di equazioni bisogna fornire una relazione per le variabili termodinamiche: la legge di stato. In un gas ideale ad esempio si ha: P = (γ 1)ρe, θ = e c v, γ = c p c v In un liquido invece si può assumere che la pressione non abbia effetti sulla densità e che quest ultima dipenda poco dalla temperatura, in modo da scrivere la seguente equazione linearizzata ρ = ρ 0 [1 α(θ θ 0 )] dove α è il coefficiente di dilatazione termica. L energia interna è legata alla temperatura dalla relazione e = cθ, c = c v c p Le equazioni precedenti sono sufficienti per calcolare il moto. Riassumendo possiamo scriverle nella seguente forma conservativa: Q = ρ ρv ρe, F = Q + F = G ρv ρv v +p I λ v I 2µ S ρhv λv v 2µ S v χ θ, G = 0 ρf ρ(f v +r) Analizziamo ora il contributo (v τ ) degli sforzi viscosi alla variazione di energia. j (v i τ ij ) = v i j τ ij +τ ij i v j (2.6)

7 2.4. EQUAZIONE DELLA VORTICITÀ 13 Il termine(v i j τ ij ) rappresentalapotenza dellaforza viscosa t visc = τ. Ilsecondo termine può essere scritto come τ ij S ij. Infatti in virtù della simmetria di τ ij : τ ij i v j = 1 2 (τ ij +τ ji ) i v j = 1 2 τ ij( i v j + j v i ) = τ ij S ij I due termini a secondo membro della(2.6) rappresentano due quantità molto diverse: il primo termine t visc v contribuisce alla variazione dell energia meccanica del sistema. Il secondo termine τ ij S ij è la dissipazione di energia; definiamo con ǫ il tasso specifico di dissipazione di energia interna: ǫ = τ ijs ij ρ per un fluido incomprimibile, tenuto conto del fatto che τ ij = 2µS ij, si ha: 2.4 Equazione della vorticità ǫ = 2νS ij S ij Consideriamo il caso di un fluido incomprimibile a densità e viscosità costanti. Applicando il rotore alla (2.4) otteniamo la seguente equazione di evoluzione per la vorticità: Sfruttiamo l identità vettoriale ω = (v ω)+ f +ν ω (2.7) (v ω) = v ω ω v +(ω )v (v )ω e notiamo che v = ω = 0. L equazione (2.7) diventa: dω = (ω )v + f +ν ω (2.8) Nel caso in cui la viscosità sia nulla o trascurabile e in assenza di forzante esterna (f = 0), l equazione precedente si scrive semplicemente dω = (ω )v (2.9) Da questa equazione discende il teorema di Kelvin (1869) che stabilisce che il flusso della vorticità attraverso una superficie materiale che si sposta con il fluido rimane costante nel tempo. Per dimostrare il teorema di Kelvin consideriamo una superficie materiale ; C(t) è la linea di contorno di. Sia inoltre S(t+) la superficie materiale al tempo t+ e S L la superficie laterale che collega a S(t+). Allora Φ(t+) Φ(t) ω(x,t+) ndσ = S(t+) ω(x,t+) ndσ + = S(t+) S(t+) S(t+)

8 14 CAPITOLO 2. LE EQUAZIONI DELLA FLUIDODINAMICA Nel limite 0 i primi due termini tendono a ω ndσ. Per gli altri due termini notiamo che il flusso totale attraverso una superficie chiusa è nullo. Pertanto S(t+) L ultimo integrale può essere scritto come S L = Pertanto C(t) dφ = ω (dl v) = C(t) S = L (v ω) dl = [ ] ω (v ω) ndσ = 0 [ (v ω)] ndσ Dalla conservazione del flusso di vorticità discende una proprietà molto interessante: si può pensare alle linee di vorticità come se fossero congelate dentro il fluido e lo seguissero nei suoi spostamenti. Per convincerci di ciò consideriamo una superficie molto sottile che racchiuda una linea di corrente ad un dato istante t 0 : il flusso attraverso questa superficie è nullo. Ad un istante successivo t esso rimane nullo e si può pensare che la nuova superficie racchiuda la linea di vorticità all istante t. Dunque è come se la linea di vorticità abbia seguito il fluido nel suo movimento. Vediamo un altra proprietà interessante dell equazione (2.9). Mostriamo che l equazione di evoluzione del raggio vettore di due punti infinitesimamente vicini è la stessa della (2.9). Poniamo l = r 2 r 1. dl = r 2(t+) r 1 (t+) r 2 (t)+r 1 (t) = v(r 2,t) v(r 1,t) = [(r 2 r 1 ) ]v 1 = (l )v Supponiamo che a un istante iniziale t 0 i vettori ω(r 0,t 0 ) e l siano allineati: ω(r 0,t 0 ) = λl(t 0 ) Allora agli istanti successivi essi rimarranno allineati con lo stesso coefficiente di proporzionalità: ω(r,t) = λl(t) Infatti pongo w = ω λl: dw = d (ω λl) = [(ω λl) ]v = (w )v w = 0 è soluzione di questa equazione con la condizione iniziale nulla. Nelle regioni dove elementi contigui di fluido paralleli al vettore vorticità si allontanano, r 2 r 1 aumenta e di coneguenza la vorticità aumenta, mentre nelle regioni dove questi si avvicinano la vorticità diminuisce.