1 Il bilancio macroscopico della energia 2. 2 Il bilancio macroscopico della energia meccanica 3

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1 11 ottobre 2016 Indice 1 Il bilancio macroscopico della energia 2 2 Il bilancio macroscopico della energia meccanica 3 3 Moto di fluidi incomprimibili in condotti a sezione circolare 6 4 Esercizi sui bilanci di energia 7 5 La cavitazione nelle pompe centrifughe 11 6 Il bilancio macroscopico della quantità di moto 14 7 Esercizi sul bilancio macroscopico della quantità di moto e sul lavoro euleriano 15 1

2 1 Il bilancio macroscopico della energia Con riferimento alla Figura 3, assumendo, [2]: positive le potenze meccaniche e termiche assorbite dal fluido l assenza di reazioni chimiche, nucleari e di campi magnetici, elettrici ec. le velocità medie v 1 e v 2 normali alle sezioni 1 e 2 uniformi tutte le proprietà fisiche di interesse sulle sezioni 1 e 2 trascurabile, rispetto al lavoro delle pressioni, l effetto delle forze viscose sulle sezioni 1 e 2 trascurabile, rispetto al contributo convettivo, il flusso termico per conduzione sulle sezioni 1 e 2 condizioni stazionarie per un osservatore stazionario, vale il seguente bilancio macroscopico ( U 1 + P ) ρ 1 2 v2 1 + φ 1 ṁ 1 ( U 2 + P ) ρ 2 2 v2 2 + φ 2 ṁ 2 + Q + Ẇ = 0 (1) con U energia interna per unità di massa (J/kg) del fluido che transita attraverso il sistema, P pressione statica (N/m 2 ), ρ densità del fluido (kg/m 3 ), v velocità (in m/s), φ = gz energia gravitazionale specifica (J/kg) riferita ad una quota z 0 = 0, ṁ portata in massa (kg/s), Q e Ẇ rispettivamente potenze termica e meccanica (in W). Introducendo la grandezza entalpia H la equazione (1) si trasforma nella (H ) v21 + φ 1 ṁ 1 (H ) v22 + φ 2 ṁ 2 + Q + Ẇ = 0 (2) 2

3 Poiché ṁ 1 = ṁ 2 = ṁ, la equazione (2) può anche essere riscritta come (H v21 + φ 1 ) (H v22 + φ 2 ) + Q + W = 0 (3) nella quale i vari termini rappresentano ora le energie specifiche (non le potenze) in transito. 2 Il bilancio macroscopico della energia meccanica Poiché l energia meccanica non si conserva, l unico modo per ricavare il bilancio macroscopico della energia meccanica è per integrazione della equazione locale della energia meccanica, a partire dal bilancio della quantità di moto, [3, 4]. L equazione locale (valida per ogni elemento infinitesimo di volume) della equazione della energia meccanica si ottiene dalla corrispondente equazione del moto moltiplicando scalarmente ogni suo termine per il vettore velocità v locale. L integrazione della equazione della energia meccanica così ottenuta sul volume V del sistema macroscopico che si considera (mantenendo valide tutte le ipotesi precedentemente elencate) ha come risultato il bilancio macroscopico della energia meccanica: ( ) 1 2 v2 1 + φ 1 ṁ 1 ( ) 1 2 v2 2 + φ 2 ṁ 2 + P 1 v 1 S 1 P 2 v 2 S 2 + Ẇ Ėc Ėv = 0 (4) con Ėc che rappresenta la potenza meccanica accumulata o ceduta dal fluido (l energia meccanica reversibilmente convertita in energia interna) a causa della sua comprimibilità e con Ėv che rappresenta la potenza meccanica degradata in energia interna a causa delle forze dovute alla viscosità presenti nel fluido. 3

4 Combinando la (1) con la (4) si ottiene con ṁ (U 2 U 1 ) = Q + Ėc + Ėv (5) Ė c > 0 (in compressione, lavoro assorbito dal fluido) Ė c < 0 (in espansione, lavoro ceduto dal fluido) Ė c = 0 (fluido incomprimibile) Ė v > 0 (sempre) Dunque, Ė v > 0 sempre (almeno per fluidi newtoniani) va ad aumentare l energia interna del fluido. Definendo (i) una linea di corrente rappresentativa dello stato del fluido che attraversa il sistema e lungo la quale non vi siano superfici mobili (macchine), (ii) definendo una coordinata curvilinea s lungo la linea di corrente e (iii) immaginando esista, in corrispondenza di ogni punto della linea di corrente individuata, una sezione S (s) sempre normale alla coordinata s, con (iv) pressione e densità del fluido costanti sulla sezione S (s), la (4), con (v) φ = gz, diviene ( ) 1 2 v2 2 + gz 2 ( ) 1 2 v2 1 + gz dp ρ + W E v (6) La (6) vale lungo una linea di corrente e non è generalizzabile a sistemi complessi, per esempio con più ingressi e/o uscite multiple. Il valore dell integrale 2 dp/ρ dipende dalla linea termodinamica che 1 caratterizza il processo e dal tipo di fluido. Per esempio, 2 dp/ρ = (P 1 2 P 1 ) /ρ per fluidi incomprimibili e: ( ) 1 2 v2 2 + gz 2 ( ) 1 2 v2 1 + gz 1 P 2 P 1 ρ + W E v (7) 4

5 Il termine E v, l energia meccanica persa a causa delle forze dovute alla viscosità (attrito fluidodinamico), si esprime di solito come frazione di energia cinetica mediante opportuni coefficienti di perdita per attrito. 5

6 3 Moto di fluidi incomprimibili in condotti a sezione circolare Vedi: Giorgio Cornetti, Federico Millo, Macchine Idrauliche, Vol 1. Edizioni il capitello, Torino, marzo Prima Edizione. Pagine 201, 202, 203, 204, 208, 209, 210,

7 4 Esercizi sui bilanci di energia 1. Una macchina opera tra una pressione ingresso di 10 bar e una pressione all uscita di 6 bar. All ingresso il fluido di lavoro (aria) si trova alla temperatura di 1000 K. La macchina fornisce all esterno una potenza meccanica di 450 kw e cede all ambiente una potenza termica pari a 50 kw. Si determini la temperatura dell aria all uscita della macchina sapendo che la portata è di 5 kg/s. Si trascurino l?energia cinetica e potenziale del fluido alle sezioni di ingresso e uscita. [ 900 K] 2. Una macchina elabora aria secondo una trasformazione isoentropica tra una pressione di 1 bar in ingresso e una pressione di 2 bar in uscita. La temperatura dell aria in ingresso è di 300 K. Le velocità all ingresso e all uscita della macchina sono rispettivamente 100 m/s e 10 m/s. Considerata una portata di 3 kg/s si calcoli la potenza scambiata. [ 183 kw] 3. Un compressore è alimentato ad aria. Alla flangia di aspirazione (area = 0.1 m 2 ) si misura una pressione di 1 bar, una temperatura di 290 K, e una velocità di 6 m/s. All uscita la pressione è di 7 bar, la temperatura di 450 K e la velocità di 2 m/s. Si hanno perdite di calore pari a 180 kj/min. Utilizzando il modello di gas ideale si calcoli la potenza meccanica scambiata con l esterno. [ kw] 4. Un motore termico genera potenza meccanica destinata ad un elica propulsiva. La macchina utilizza come fluido di lavoro aria. Le sezioni di alimentazione e scarico misurano entrambe 0.5 m 2, e su entrambe si misura una pressione statica di 0.8 bar. Alla sezione di ingresso della macchina si misurano una velocità dell aria v 1 = 200 m/s ed una temperatura T 1 = -20 C. Alla sezione di uscita la temperatura è T 2 = 300 C. La macchina assorbe una potenza termica di 60 MW. Si richiede di determinare la potenza disponibile all albero dell elica. [ 15.6 MW] 5. Una macchina è alimentata da una portata di 8 kg/s di aria alla temperatura di 800 K. All uscita della macchina l aria è alla temperatura di 300 K. La macchina è raffreddata da uno scambiatore di calore alimentato da una portata di acqua di m 3 /s che entra a 20 C ed esce a 45 C. Si determini la potenza meccanica scambiata dalla macchina con l esterno. [ MW] 6. Un condotto, posto al fondo di un bacino, scarica liberamente l acqua in un ambiente che si trova alla pressione atmosferica nel punto C, posto 7

8 a 40 m al di sotto della superficie del pelo libero del bacino passante per A (v. Figura 1). Nell ipotesi di liquido ideale e preso come livello di riferimento un piano passante per C (z C = 0), calcolare l energia per unità di massa posseduta dal liquido nei punti A (z C = 40 m) e B (z C = 20 m) e la velocità di uscita dal condotto V C. [e A = m 2 /s 2, e A = e B, V C = 28 m/s] 7. Un serbatoio è posto ad una quota di 25 m dal suolo. In assenza di perdite si calcoli la portata di acqua che fluisce da un condotto di diametro pari a 200 mm e termina con un ugello di diametro 80 mm posto a livello del suolo. Si determini inoltre la pressione nel tubo immediatamente prima dell ugello. [ 0.11 m 3 /s][ 0.34 MPa] (ARIA: R = 287 J/kg K; C P = 1004 J/kg K; γ = 1.4. ACQUA: ρ = 1000 kg/m 3 ; C = 4186 J/kg K) 8. Si consideri un idropulitrice utilizzata per pulire la facciata di una casa. Una portata pari a 0.1 kg/s di acqua entra nella macchina ad un temperatura di 25 C, alla pressione di 1 atm attraverso un tubo di diametro pari a 2.5 cm. Il getto d acqua esce alla velocità di 50 m/s e ad un altezza di 5 m e la temperatura del getto d acqua è pari a 25.8 C. Si calcolino la potenza meccanica richiesta e il rendimento della macchina. [ 0.56 kw][0.28] 9. Si consideri una macchina che elabora una portata di 10 kg/s di aria. Le condizioni in ingresso 1 e in uscita 2 sono P 1 = 1 bar, T 1 = 20 C, P 2 = 1 bar, T 2 = 300 C; i diametri dei condotti in ingresso ed uscita sono D 1 = D 2 = 0.5 m. Il lavoro prodotto è 1/3 del calore entrante. Si calcolino: la potenza meccanica prodotta dalla macchina; [ 1.92 MW] il consumo orario di energia ipotizzando che il calore ceduto alla macchina sia prodotto per mezzo di una combustione esterna di un combustibile con PCI pari a 40 MJ/kg. [ kg/h] 10. In una macchina idraulica, caratterizzata da una sezione di ingresso di 0.5 m 2, si misurano alla sezione di mandata una velocità del fluido di 6 m/s e una pressione pari a 1 bar. La sezione di uscita misura 1 m 2 e si trova ad una quota di 15 m al di sopra della sezione di ingresso; la pressione allo scarico è di 10 bar. Si calcoli: la potenza meccanica realmente trasferita dalla macchina al fluido; [ 3.1 MW] 8

9 Figura 1: Schema di un sistema bacino e condotto. Da Giorgio Cornetti, Federico Millo, Macchine Idrauliche, Vol 1, Edizioni il capitello, Torino,

10 ipotizzando che la temperatura dell acqua aumenti nell attraversamento della macchina di T = 0.15 C, si calcoli la potenza meccanica richiesta e il rendimento della macchina. [ 4.98 MW][0.622] (ARIA: R = 287 J/kg K; C P = 1004 J/kg K; γ = 1.4. ACQUA: ρ = 1000 kg/m 3 ; C = 4186 J/kg K) 11. In uno scambiatore di calore azoto/acqua fluiscono una portata di azoto pari a 3 kg/s, che si raffredda da 500 C fino a 300 C e una portata di acqua pari a 3 kg/s che entra ad una temperatura di 15 C. Calcolare la potenza termica scambiata, la temperatura di uscita dell acqua e tracciare il relativo diagramma T Q. 12. Il gas naturale che fluisce all interno di un gasdotto rimane a temperatura costante per effetto degli scambi termici con l ambiente esterno. Supponendo che in un tratto di tubazione la pressione cada da 70 a 50 bar, la velocità del gas sulla sezione di ingresso sia pari a 6 m/s e la temperatura si mantenga a 18 C, stimare il calore scambiato dal gas (supposto gas perfetto) con l ambiente esterno lungo il tratto di tubazione. 13. Fra due bacini il cui dislivello geodetico è pari a 50 m, è posta una tubazione che porta acqua dal bacino di monte a quello di valle. La tubazione è composta da due condotti in serie aventi le seguenti caratteristiche: condotto A: diametro interno 200 mm, scabrezza 0.2 mm, lunghezza 120 m condotto B: diametro interno 100 mm, scabrezza 0.2 mm, lunghezza 90 m lungo i condotti sono interposte discontinuità (curve, raccordi, imbocco, sbocco, ec.) le cui perdite di carico ammontano complessivamente a 8 altezze cinetiche nel tratto A e a 3 altezze cinetiche nel tratto B. Determinare la portata che si instaura nella tubazione in condizioni stazionarie. 10

11 5 La cavitazione nelle pompe centrifughe Per cavitazione si intende il fenomeno della vaporizzazione locale di un liquido. Quando la pressione assoluta su di una sezione diviene inferiore al valore della tensione di vapore del liquido a quella data temperatura si formano bolle di vapore accompagnate da ebollizione. Nel caso delle pompe, l altezza di aspirazione si calcola scrivendo il bilancio di energia dal pelo libero del serbatoio di aspirazione alla altezza della flangia di aspirazione: ovvero poi, con v 0 = 0 P 0 ρ v2 0 + gz 0 = P ρ v2 + gz + E v (8) P ρ v2 = P 0 ρ g (z z 0) E v (9) ( ) ( ) P0 ρ g (z z Pvap 0) E v ρ + E v 0.0 (10) P 0 P vap g (z z 0 ) E v ρ E v (11) NPSH disponibile NPSH richiesto (12) con NPSH richiesto funzione della portata e del tipo di pompa. Esercizio Pompa che aspira da un bacino. La pompa con diametro D = 810 mm con caratteristiche in Figura 2 deve pompare una portata di 1.5 m 3 /s di acqua, alla velocità di rotazione di 1170 giri/min, da un serbatoio soggetto alla pressione assoluta di bar. Se la perdita di carico tra il serbatoio e l ingresso della pompa vale 2 m, si chiede a quale altezza deve essere sistemato l ingresso della pompa per evitare la cavitazione nel caso in cui venga alimentata con acqua alla temperatura di: (a) 15 C con tensione di vapore di 1.7 kpa e densità 1000 kg/m 3 ; (b) 90 C con tensione di vapore 70 kpa e densità 900 kg/m 3. 11

12 Figura 2: Caratteristica di una pompa centrifuga con diametro della girante D = 810 mm e velocità di rotazione n = 19,5 giri/s ( 1170 giri/min), [1]. 12

13 Dalla Figura 2 si ricava il valore del parametro NPSH richiesto dal costruttore della pompa alla portata di 1.5 m 3 /s: NPSH = 12 m di colonna d acqua. Se si vuole evitare la cavitazione, la bocca di aspirazione della pompa si deve trovare ad una altezza z a tale per cui l altezza NPSH disponibile risulti maggiore o al limite uguale dell altezza NPSH richiesta: Caso (a): NPSH disponibile NPSH richiesto (13) P atm P vap ρg z a h L,a ) NPSH richiesto z a NPSH richiesto + P atm P vap h L,a ρg z a e risulta, z a 3.84m: se si vuole evitare la cavitazione la pompa va posta almeno 3.84 m sotto il livello del pelo libero del serbatoio (funzionamento sotto battente ). 13

14 6 Il bilancio macroscopico della quantità di moto Assumendo valide le ipotesi elencate nella sezione 1, con riferimento alla Figura 3, vale il seguente bilancio di forze: ovvero con ( ρ1 v 2 1S 1 ) n1 ( ρ 2 v 2 2S 2 ) n2 + P 1 S 1 n 1 P 2 S 2 n 2 + F s f + M tot g = 0 (14) (ρ 1 v 1 S 1 ) v 1 n 1 (ρ 2 v 2 S 2 ) v 2 n 2 + P 1 S 1 n 1 P 2 S 2 n 2 + F s f + M tot g = 0 (15) ( ρ1 v 2 1S 1 ) n1 portata di quantità di moto attraverso la superficie S 1 ( ρ2 v 2 2S 2 ) n2 portata di quantità di moto attraverso la superficie S 2 P 1 S 1 n 1 forza di pressione sul fluido nella sezione 1 P 2 S 2 n 2 forza di pressione sul fluido nella sezione 2 F s f forza esercitata dalle pareti solide del sistema sul fluido M tot g forza di gravità sul fluido (16) La (14) rappresenta il bilancio di forze agenti sul fluido quando, attraversando il sistema di Figura 3, interagisce con gli organi fissi e mobile in esso racchiusi. L equazione (14) è una equazione vettoriale. La (14) vale se le sezioni di attraversamento S 1 e S 2 sono fisse. Nota sul prodotto scalare di due vettori Il risultato del prodotto scalare fra due vettori v e w è uno scalare uguale al modulo di w moltiplicato la proiezione di v su w (o viceversa): con φ vw l angolo compreso fra i due vettori. v w = vw cos φ vw (17) 14

15 Nota sulle unità di misura della forza 1 N = 1 kg mass 1 m/s se g = m/s 2, 1 kg mass m/s = N = 1 kg force Ovvero: 1 kg force = N 7 Esercizi sul bilancio macroscopico della quantità di moto e sul lavoro euleriano 1. Con riferimento allo schema geometrico di Figura 4, nel caso in cui: θ = 30, P 1 = P 2 = P 0 costanti, v 1 = v 2 = 30 m/s, il diametro del getto d uguale a 5 cm. La sezione del canale sia equivalente a quella di una sezione cilindrica con diametro d. Il moto sia nel piano x y. Si determini la risultante delle spinte che il fluido esercita sulla lastra (pala fissa) in condizioni stazionarie. La proiezione della equazione (14) (equazione vettoriale) nella direzione x fornisce (in questo caso, il versore n 1 ha la direzione x, ovvero n 1 = i. Il versore n 2, diretto come v 2, ha invece una componente lungo x e una componente lungo y) ( ρ1 v 2 1S 1 ) ( ρ2 v 2 2S 2 ) cos 30 + Fx = 0 F x = ρv 2 S (cos 30 1) = πd2 4 ( ) La proiezione della equazione (14) (equazione vettoriale) nella direzione y fornisce ( ρ 2 v 2 2S 2 ) sin 30 + Fy = 0 F y = ρv 2 S sin 30 = πd

16 Sulla pala la forza R (trascurando l effetto della pressione ambiente P 0 ) risulta poi: R = Fs f. 2. Con riferimento allo schema geometrico di Figura 5a, si calcolino le forze che il fluido esercita sulla pala. Il getto d acqua, con diametro d = 5 cm e velocità v 1 = 30 m/s investe la pala, mobile nella direzione x con velocità u = 18 m/s. Si assumino: β 2 = 150 (misurato in senso orario) e w 2 = w 1. Poiché la lastra investita dal getto d acqua trasla nella direzione x con una sua velocità u, si possono definire i triangoli delle velocità al bordo di ingresso (leading edge) e sul bordo di uscita della lastra (trailing edge), che in questo caso, rappresenta una pala mobile. Fra le velocità sussiste la relazione vettoriale v = u + w, con v velocità assoluta, u velocità di trascinamento e w velocità relativa del fluido rispetto alla pala: si veda la Figura 5b. Dal triangolo delle velocità del fluido all uscita dalla pala, in Figura 5c, si possono calcolare le componenti v 2,x e v 2,y. Poiché v 2 = u + w 2 v 2 j = u j + w 2 j ( ) 3 = 0 + w 2 cos 2 π β v 2 i = u + w 2 cos β 2 Risulta w 2 = w 1 = = 12 m/s v 2,y = w 2 ( 0.5) = 12 ( 0.5)) = 6 m/s v 2,x = u + w 2 cos β 2 = ( 0.866) = m/s v 2 = v 2 2,x + v 2 2,y = m/s tan α 2 = v 2,y v 2,x = = (α 2 = ) 16

17 Il sistema trasla a velocità costante u e sul fluido non insistono altre forze ( apparenti ). Si può dunque scomporre la (14) nelle due componenti x e y. Si veda, a proposito, la nota in Figura 6 Risulta dunque: (ρ 1 w 1 S 1 ) v 1 (ρ 2 w 2 S 2 ) v 2 cos α 2 + F x = 0 F x = (ρws) (v 2 cos α 2 v 1 ) = πd2 4 ( ) (ρ 2 w 2 S 2 ) v 2 ( sin α 2 ) + F y = 0 Poi, R x = F x e R y = F y. F y = (ρ 2 w 2 S 2 ) v 2 sin α 2 = πd Nota Se il getto di fluido si trova ad investire una schiera di pale (una infinita serie di pale che si muovono in direzione x), esso si trova di fronte una sezione fissa e F x = (ρv 1 S 1 ) (v 2 cos α 2 v 1 cos α 1 ) = R x Si veda, a proposito, la Figura 7, che rappresenta il rotore di una turbina. Per la presenza degli ugelli, la direzione del getto che colpisce il bordo di ingresso non può avere direzione parallela alla direzione del moto (v. la Figura 7). Per facilitare lo scarico anche l angolo di uscita non può essere nullo. Se la pressione all interno del canale, costituito da due pale contigue, non varia, lo stadio è detto ad azione e le pale sono di solito simmetriche. In Figura 9 è riportato lo schema di una turbina idraulica tipo Pelton. La Figura 10 e la Figura 11 riportano schemi semplificati di stadi di turbine assiali. Le turbine (tipicamente assiali) di grande potenza trovano impiego nei cicli termodinamici delle centrali a vapore: in Figura 12, la veduta aerea della centrale del Mincio. 17

18 3. In un impianto a vapore d acqua, 450 kg/s entrano negli ugelli di uno stadio di turbina ad azione alla pressione di circa 27 bar e alla temperatura di 315 C. Allo scarico dalla schiera di ugelli la pressione è di 15 bar. Il rendimento degli ugelli (η N = H/ H S ) è del 90%. L angolo allo scarico è di 20. Le pale del rotore sono simmetriche e la velocità periferica u è quella ottimale. Il coefficiente di velocità del rotore (w out /w in ) è pari a Si calcolino: l angolo allo scarico del rotore, la potenza dello stadio, l efficienza della pala (η B = W/0.5vin) 2 e l efficienza dello stadio (η S = W/ H S ). Dalle tabelle del vapore d acqua: H in,n = / J/kg e H out,n,s = / J/kg. 4. Un ventilatore assiale è costituito dal solo rotore di diametro medio D m = 1 m, altezza di pala h = 200 mm costante lungo lo stadio. Esso elabora una portata V = 10 m 3 /s e ruota a 750 rpm. Le pale rotoriche sono costituite da profili aerodinamici che deflettono il flusso di 20. Ipotizzando la componente assiale della velocità costante lungo lo stadio, l ingresso assiale ed un rendimento di 0.8, si calcoli: la prevalenza fornita al fluido; [ m] la potenza assorbita; [ kw] il triangolo di velocità in uscita ed ingresso al rotore. 5. Un turboreattore viene alimentato con una portata di cherosene ṁ C = 0.89 kg/s, realtiva ad un rapporto aria-combustibile pari a sapendo che la velocità dei gas combusti rispetto all aeromobile è pari a 987 m/s, determinare la spinta nel caso in cui la velocità di volo sia pari a 200 m/s. 6. Una portata di aria pari a 0.05 kg/s attraversa un condotto di sezione pari a m 2 rafreddandosi da 75 C a 40 C. La perdita di carico misurata agli estremi del condotto è pari a 6.75 mbar; la pressione all uscita è atmosferica. Determinare la risultante degli sforzi tangenziali agenti sulla superficie del condotto. 7. Calcolare le spinte verticale ed orizzontale su un tratto curvo a 90 (nel piano verticale) di una tubazione percorsa da acqua, aventi le seguenti caratteristiche: diametro del tubo: 100 mm; raggio medio della curva: 500 mm; 18

19 portata: 0.03 m 3 /s; pressione all ingresso del tratto di condotta: 4 bar; perdite di carico: 0.1 bar. 8. Un getto di acqua, che esce da un ugello di 36 cm 2 di sezione alla velocità di 30 m/s, colpisce una paletta che lo devia all indietro nel piano orizzontale di 120. Trovare la forza totale che agisce sulla paletta nei casi di paletta fissa; paletta in moto nel verso del getto incidente a velocità costante di 9 m/s. 9. I dati di progetto di una ruota Pelton siano: (1) Salto motore 800 m, Portata 4 m 3 /s, diametro medio della ruota D = 2.5 m, Figura 8. Calcolare: (1) coppia motrice all?avviamento (ω = 0 s 1 ), (2) coppia e velocità nelle condizioni di ottimo rendimento, (3) velocità di fuga (carico nullo). Si trascurino gli attriti, il getto sia ideale e si assuma l?angolo di scarico dalle pale β 2 = 160. SOLUZIONE: Coppia avviamento N m, Condizioni ottimali: Coppia N m, Numero di giri r/min, Numero di giri alla velocità di fuga r/min. La spinta esercitata dal getto sulla ruota: F = ṁ (v 1,t v 2,t ) = ṁ (v 1 u) (1 + cos β 2 ). La potenza messa a disposizione della turbina: Ẇ = F u. Il rendimento idraulico η = Ẇ / (ṁv2 /2). 19

20 Figura 3: Rappresentazione schematica di un sistema fluido, [2]. n 1 e n 2 rappresentano i versori unitari nella direzione del flusso, S 1 e S 2 le due sezioni normali alla direzione del flusso, v 1 e v 2 le velocità medie sulle sezioni 1 e 2. Figura 4: Getto che investe una lastra fissa. 20

21 (a) (b) (c) Figura 5: Getto che investe una pala mobile. (a) Schema geometrico. (b) Triangoli delle velocità. (c) Triangolo delle velocità allo scarico. 21

22 Figura 6: Una nota sul trasporto della quantità di moto. 22

23 Figura 7: Un getto che investe una schiera di pale mobile. La forza che il getto esercita sulle pale nella direzione x di Figura genera lavoro. Figura 8: Turbina Pelton: il getto che investe le pale del rotore e i relativi triangoli delle velocita, [6]. Figura 9: Schema di turbina idraulica tipo Pelton. 23

24 Figura 10: Stadio di turbina assiale ad azione. 24

25 Figura 11: Stadio di turbomacchina (turbina) assiale. 25

26 Figura 12: Vista aerea della centrale termoelettrica di Ponti sul Mincio. 26

27 Riferimenti bibliografici [1] Giorgio Cornetti, Federico Millo, Macchine idrauliche. Edizioni il capitello, Torino, [2] Costante M. Invernizzi, Closed Power Cycles. Thermodynamic Fundamentals and Applications, Lecture Notes on Energy, 11, Springer - Verlag, London, [3] R Byron Bird, The equations of change and the macroscopic mass, momentun and energy balances, Chemical Engineering Science, 1957, Vol. 6, pp 123 to 131. [4] R Byron Bird, The basic concepts in transport phenomena, Chemical Engineering Education, Vol. 27, No. 2, Spring 1993, pp 102 to 109. [5] R Byron Bird, Warren E Steward, Edwin N Lightfood, Transport Phenomena, John Wiley & Sons, Inc, Second Edition, [6] Corrado Casci, Macchine idrauliche. Criteri di progettazione ed applicazioni numeriche, Masson Italia Editori, Milano,