IL MOTO INTERNO. P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. MI -1

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1 IL MOTO INTERNO P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -1

2 MOTO INTERNO - INTROUZIONE Nel moto interno, la presenza della parete si risente in tutto il luido: lo strato limite (dinamico e termico) inizia a svilupparsi all ingresso del condotto ino a raggiungere l asse dello stesso Le discontinuità (curve etc.) provocano una perturbazione seguita da un ulteriore sviluppo. P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -

3 MOTO INTERNO - INTROUZIONE Anche lo strato limite termico si sviluppa, a dierenza della velocità però la temperatura non può tendere ad un valore costante perchè altrimenti non ci potrebbe più essere apporto di energia nel condotto. P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -3

4 MOTO PIENAMENTE SVILUPPATO Salvo esplicito avviso, nel seguito si a rierimento al moto incomprimibile assialsimmetrico in un condotto circolare o anulare, proprietà isiche costanti. Il moto si dice dinamicamente sviluppato quando vz vz = ( r), = 0 z all equazione di continuità e dalla vr = 0, vr ( R) = 0 vr = 0 condizione di no-slip alla parete si ha r 1 R La velocità media di portata è data da v = v ( ) d z r πr r m =ρ v A π R ɺ 0 Il moto si dice termicamente sviluppato quando T ( r, z) Tw ( z) r T ( r, z) T = = T ( z) T ( z) R z z m w Ovvero quando il proilo di temperatura si mantiene simile a sè stesso. La temperatura media di miscela T m conserva il lusso di energia (v. cap.3) ed è data da 1 R Tm ( z) = T ( r, z) v ( ) d z r πr r π R v 0 P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -4 m

5 LUNGHEZZA I SVILUPPO Il rapporto tra le lunghezze di sviluppo termica e dinamica dipende dal numero di Prandtl Pr < 1 δ > δ L < L T T Pr > 1 δ < δ L > L T T Nel moto laminare si ha approssimativamente L 0.05 Re = Quindi per Re = 000, acqua (Pr = 7) L LT 0.05 Re Pr = LT = 100, = 700 Nel moto turbolento si può porre circa L L = 1/6 4 5 T 4.4 Re Re P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -5

6 MOTO LAMINARE PIENAMENTE SVILUPPATO: CALCOLO ELLE PERITE I CARICO (1) Moto di Hagen-Poiseuille ( ), moto pien. sviluppato v Eq. di continuità Eq. di N-S su r e z 1 ( r vr ) vz + = 0 vr = 0 r r z vz = ( r) = 0 z vr vr 1 p vr 1 vr v vr + vz = + υ + r + r z ρ r r r r r z vz vz 1 p vz 1 vz v z vr + vz r z = z + υ ρ r + r r + z p = 0 p = g z r dalla prima si ha ( ) dalla seconda p vz 1 vz 1 vz =µ + = µ z r r r r r r dato che abbiamo una orma del tipo g ( z) = ( r) possiamo porre entrambi i membri uguali ad una costante g ( z) = ( r) = A P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -6 z v r (scompare la densità, come nel creeping low)

7 MOTO LAMINARE PIENAMENTE SVILUPPATO: CALCOLO ELLE PERITE I CARICO () Quindi p z = cost = integrando la seconda p L 1 vz p µ = cost = r r r L condiz. al contorno: r = R v = 0 (no-slip) z vz r = 0 = 0 (simmetria) r p r C p R vz = + + C C = 0, C = µ L 4 r µ L v z = p r R 1 (PROFILO PARABOLICO) 4µ L R e quindi 1 R p R v v = v d z π r r = = π R 0 8µ L vz p R v τ w =µ = = 4µ r L R r= R π R Q = v A= 8 4 P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -7 max vel. media di portata taglio alla parete p portata in volume µ L

8 MOTO LAMINARE PIENAMENTE SVILUPPATO: CALCOLO ELLE PERITE I CARICO (3) c 4 τw 64 = = ρ v Re τw 16 = = ρv Re attore di arcy-weisbach attore di Fanning L introduzione di Re porta a supporre una alsa dipendenza dalla densità della tensione di taglio alla parete. Attenzione a non conondere arcy-weisbach con Fanning ( = 4 c ) In altre geometrie (vedi slide MI-14) C 4 A = h = Re p h b diametro idraulico P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -8

9 MOTO PIENAMENTE SVILUPPATO: BILANCIO INTEGRALE I QUANTITA I MOTO all equilibrio di un cilindro di raggio r, coassiale con il condotto, supponendo il moto pienamente sviluppato ( 1) ( ) p p π r = τ r π r L Ricavando τ(r) π τ ( r) = = π r L d z r ( p p1 ) r d p Quindi la tensione di taglio nel luido varia linearmente con r, e questo è indipendente dal proilo di velocità. In particolare, alla parete R d τ w = d p z Uguagliando a oppure più in generale (canale prismatico) τ =µ w d v d r z si ottiene di nuovo, in maniera sempliicata, Hagen Poiseuille (ovvero si trova l andamento del proilo di velocità) P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -9 d p d z τw = A pb

10 MOTO LAMINARE PIENAMENTE SVILUPPATO: BILANCIO INTEGRALE I ENERGIA al bilancio di entalpia scritto per un tratto dz di condotto (v. cap.3) m ɺ d hm d z = q" p h h m = entalpia di miscela p h = perimetro riscaldato 1 βt d hm = cp dtm + d p ρ trascuro il contributo della pressione d Tm q" ph = d z m ɺ analoga a c p d d p z = τ w pb A l equazione precedente ci dice anche l ordine di grandezza di d Tm q" p h q" q" = = d z mɺ cp ρcp U ρ cp U P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -10

11 MOTO LAMINARE PIENAMENTE SVILUPPATO: COEFFICIENTE I SCAMBIO (1) Equazione di trasporto della temperatura (bilancio locale di entalpia trascurando il termine dovuto al gradiente di pressione, v. cap.3) T T T 1 T T v r + vz = a + + r z r r r z convezione = conduz. radiale + conduz. assiale q" a T a q" U c U ρ L c U p ρ p a T λ T divido per = ρ c p q" q" a [ 1] Nu 1 Nu T + + λ Lρ cp U T U L U U υ a Nu = = Re Pr = Pe Nu = a υ a U L Pe L P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -11

12 MOTO LAMINARE PIENAMENTE SVILUPPATO: COEFFICIENTE I SCAMBIO () In deinitiva allora Nu Nu + Pe L 1 Il secondo termine (che rappresenta la conduzione assiale) è trascurabile a meno che Pe <<1 (met. liquidi) Per cui si ha per la conduzione laminare Nu 1 In eetti Polhausen ha calcolato, risolvendo Nu Nu 48 = = 4.36 q" = cost 11 = 3.66 T = cost w v z T T 1 T = a z + r r r P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -1

13 SIGNIFICATO EL NUMERO I NUSSELT Nu hc q" q" = = = λ T λ ( T T ) λ ma nel moto laminare q" per cui Nu w m T = λ r r = R T r r= R gradiente alla parete = = ( T T ) / gradiente medio w Per il moto esterno si può anche considerare da cui Nu x q" m T λ δ T = q" x x distanza dal bordo di attacco λ T δ = spessore strato limite termico (o.d.g.) T P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -13

14 CONOTTI NON CIRCOLARI (1) C = c Re h iametro idraulico 4 A h = p b Fattore di Fanning τw C c = = ρv Re h Attenzione: il attore di arcy-weisbach vale p = = ρv L 4 c Per altre sezioni, approssimativamente (v. tabella per deinizione di B ) C = B + B 16 exp( ) P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -14

15 CONOTTI NON CIRCOLARI () Eetto della orma del condotto su e Nu P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -15

16 ESEMPIO Tubo circolare, q w = 0.1 W/cm, m = 10 g/s, R =10 mm Acqua, T = 0 C, µ = 10-3 Pas, λ = 0.6 W/m K, Pr = 7 TROVARE: Re, L, L T, h c, T w -T m Re ρv 4mɺ = = = 637 (moto laminare) µ π µ L = 0.05 Re = 3 L = 0.64 m LT = 0.05 Re Pr = 4 LT = 4.48 m Nu λ Nu = h = = q" Tw Tm = = 7.6K (nel moto sviluppato) h 4.36 c 134 W/m K c P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -16

17 MOTO TURBOLENTO: EQUAZIONI Condotto circolare, moto stazionario, simmetria assiale, moto sviluppato v z z + 1 ( r vr ) = 0 vr = 0 r r v v z z vz z z + = + r ( υ + ε ) v r v r 1 p 1 vz M ρ z r r r T T 1 T + vr = r ( a + εh ) z r r r r Quindi rimane 1 p 1 v 1 = r υ + ε = τ ρ z r r r r r z ( M ) ( r app ) T 1 T 1 1 v = r a + ε = r q z r r r ρ cp r r ( ) ( " ) z H app P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -17

18 MOTO TURBOLENTO: determinazione di τ w (1) Bilancio locale 1 p 1 vz 1 1 = r ( υ + ε M ) = ( r τ app ) = r ( τ lam + τtur ) ρ z r r r r r r r Bilancio integrale (v. slide MI-9) r d p τ( r) r τ ( r) = = d z τw R Per cui il taglio ha comunque andamento lineare, con una componente laminare ed una turbolenta. Una volta trovato il taglio alla parete o v* ho anche il coeiciente di arcy-weisbach 4 τw = oppure da ρ v τw v * v* = = 8 ρ v P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -18

19 MOTO TURBOLENTO: determinazione di τ w () Per determinare τ w parto da un proilo di velocità (calcoli omessi). Posso usare il proilo 1/n (Blasius) 1/ n r vz = vmax 1, n = 6 10 R E ottengo (per n = 7) = 0.316, Re < Re NB: se cambio n cambia l esponente di Re Oppure usare il proilo universale di velocità (Prandtl) v v = = ln y v * Ottenendo Ovvero (con qualche aggiustamento di costanti) + + v 8 = =.5ln ( Re ).58 v * 1 ( Re ) = ln 0.8 P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -19

20 MOTO TURBOLENTO: determinazione di τ w () Quanto detto in precedenza vale per tubi lisci. Per tubi scabri Colebrook propone, modiicando la relazione di Prandtl: 1 ε 18.7 = ln + Re che è la relazione riportata sul diagramma di Moody. (orma implicita) Una volta che ho posso calcolare p da L p = ρ h v P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -0

21 MOTO TURBOLENTO: Riepilogo delle correlazioni per C = Moto laminare, C = (tubi circolari C = 64) Re = Re Blasius, tubi lisci, Re < x10 4 = Re Tubi lisci, x10 4 < Re < 10 6 ( Re ) ln 0.8 = tubi lisci, Prandtl-Von Karman-Nikuradse, estrapolabile ad altissimo Re 1 ε.51 = ln Re Colebrook, tutto il range del moto turbolento 1 ε 560 = ln, Re > ε / tubi scabri, moto pienamente turbolento 6.9 ε = 0.78 ln + Re Haaland, approssima le cinque precedenti e non è in orma implicita P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -1

22 MOTO TURBOLENTO: Scambio termico Vista la similitudine delle equazioni, si adotta l analogia di Reynolds-Colburn 1 1 St Pr = c = Nu = Re Pr 8 8 /3 1/3 (correlazione di Colburn) Quindi se = Nu = Re Pr Re se = Nu = Re Pr Re In seguito sono state proposte correlazioni più articolate che comunque sono nella orma Nu = (Re, Pr), che deriva anche dall analisi dimensionale. Salvo diverso avviso, le proprietà isiche si calcolano alla temperatura del ilm: Tm + Tw T = P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -

23 MOTO TURBOLENTO: Riepilogo delle principali correlazioni di scambio termico 0.8 n Nu = 0.03Re Pr 5 0.7< Pr < 10, 500< Re< L / > 60 n = 0.4 riscaldamento, n = 0.3 rareddamento ittus-bolter Nu Re Pr µ = 0.07 µ w 0.7< Pr < 16700, Re> Sieder-Tate ( Re 1000) Pr Nu = / 3 ( Pr ) 0.5< Pr < 10, 300< Re< Gnielinski ( dato da Colebrook) P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -3

24 ESEMPIO Scambio termico in moto turbolento Tubo circolare, =15 mm, v = 4 m/s, acqua, T m = 40 C, T w = 80 C, TROVARE: Nu T Re = υ= = λ = 6 60 C m /s, Pr 3.01, 0.65 W/mK ρv = = µ (moto turbolento) = = (tubo liscio) Re Colburn Nu = Re Pr = 346 h = ittus Bolter (risc) Nu = 0.03Re Pr = 383 ( W/m K ) 0.33 c µ Sieder-Tate Nu = 0.07 Re Pr = 446 µ w ( Re 1000) Pr Gnielinski, = Nu 8 = = 460 hc = W/m K / ( Pr 1) 8 P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI ( ) ( c ) Gnielinski, tubo scabro, = 0.03 Nu = 644 h = 7000W/m K

25 EFFETTI I IMBOCCO PERITE I CARICO All imbocco lo strato limite è più sottile, per cui la tensione di taglio e la caduta di pressione sono maggiori. E presente anche una perdita per accelerazione (dovuta al cambio di proilo del luido con conseguente variazione di quantità di moto, v. cap.3) P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -5

26 EFFETTI I IMBOCCO SCAMBIO TERMICO Nella zona di imbocco Nu x è una unzione del numero di Prandtl e del numero di Graetz: Re Pr Gz = Quindi Nu aumenta all imbocco. La zona di imbocco può essere una razione signiicativa del condotto, trascurarla porta a sottostimare lo scambio termico. / x Correlazione di Al-Arabi Per l eetto di imbocco, in moto turbolento Nu Nu = 1+ ( z ) 0.1 / Pr + Re z / 1/ P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -6

27 COEFFICIENTE GLOBALE I SCAMBIO RESISTENZA TERMICA Scambio termico attraverso una parete, stazionario, no irraggiamento A Qɺ λ = hc1 A( T1 T ') = ( T ' T ") = hc A( T " T ) t T Qɺ = u A T T = ( ) 1 1 T R T T1 hc1 q" T' hc Q Rt1 Rt Rt3 T1 T' T" T t T'' T x R T t 1 = = + + ua A hc λ hc 1 Le resistenze termiche in serie si sommano. Per aumentare la potenza termica Q con T costante, si devono aumentare u o A. L aumento di A può non essere possibile in componenti miniaturizzati. Per determinare u, è inutile essere molto accurati nel calcolare le basse resistenze termiche. Per aumentare u, bisogna cominciare dalla resistenza termica più alta (ovvero, il più basso h c ). P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -7

28 ESEMPIO: TUBO IN CROSSFLOW iametro interno i = 0 mm, spessore t = mm, lunghezza L = m, materiale acciaio inox λ = 16 W/m K Interno: acqua, 80 C, v i = 4 m/s, Esterno: aria, 0 C, v e = 15 m/s Trovare:R T, W T, T, T Per il tubo t << per cui si può considerare parete piana In questo caso e i A e A i per cui bisogna modiicare la deinizione di R T 1 t 1 RT = RTi + RTp RTe = + + Ah A λ A h ove A m = (A i + A e )/ i ci m e ce R Tp t 0.00 = = = A λ π m K/W Per l esterno Re = 3700, Pr = 0.7, Nu = 96, h c = W/m K (v. in ondo) Per l interno Re = 05000, Pr =.4, Nu = 536, h c = W/m K (Gnielinski) P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -8

29 ESEMPIO: TUBO IN CROSSFLOW - Quindi si ha R R Ti Te 1 1 = = = Ai hc π = 1 1 A h = π = i ce K/W K/W a cui R T = = K/W, in maggior parte dovuta a R te Per migliorare lo scambio termico bisogna agire su R te Si ha poi W T = (T i -T e )/R T = 1166 W E per quanto riguarda le temperature di parete: T = T i W T R ti = 79.5 C (interno tubo) T = T e + W T R te = 78.9 C (esterno tubo) Ovvero il T si concentra sulla resistenza termica maggiore. Si deinisce anche coeiciente globale di scambio o conduttanza di parete 1 1 W u = 10 Rierito qui all area media del tubo A R = π = m K m T P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -9

30 ESEMPIO: TUBO IN CROSSFLOW -3 Correlazioni di scambio termico per cilindro in crosslow (da Mills) P. i Marco Termoluidodinamica Appl. MI -30