Trasduttore. Analogico. Digitale

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1 Politecnico di Milano Misure Dinamiche - Fourier lfredo Cigada Introduzione alle misure dinamiche Grandezza fisica rasduttore Segnale nalogico Segnale Digitale

2 Quando si era parlato di taratura statica 3 Grandezza LINERE Lettura Grandezza NON LINERE Lettura Risposta dinamica degli strumenti (PRONEZZ) Esprime la capacità di uno strumento a seguire e misurare una grandezza variabile nel tempo. comportamento ideale x( t) y( t ) k Grandezza Grandezza Lettura 4 Lettura

3 Esempio di comportamento reale 5,5 x(t),y(t)/k x(t) y(t)/k,5 -, ,5 tempo Comportamento dinamico degli strumenti 6 idealmente: y(t) = k x(t) in realtà: lo strumento insegue le variazioni della grandezza da misurare (misurando), riproducendole con un certo grado di approssimazione, che dipende dalle sue caratteristiche dinamiche 3

4 Il punto di partenza.. 7 Sotto ipotesi che possiamo considerare sempre verificate è possibile pensare che non sia necessario studiare la risposta a tutti i possibili segnali variabili nel tempo, ma che sia possibile studiare la risposta a segnali semplici e che poi si possa estrapolare da questa risposta quella per segnali più complessi. Questa estrapolazione è rigorosa per sistemi lineari, ossia rappresentati da una equazione differenziale a coefficienti costanti. s = segnale s r = risposta r s semplici r semplici s semplice r semplice 4

5 Quali sono i segnali semplici più comuni??? 9 sinusoide gradino t t impulso t rampa t Che interesse ha l uso della sinusoide? L uso della sinusoide (Fourier) ben si presta a rappresentare segnali periodici, mentre la somma di impulsi è tendenzialmente più adatta per la rappresentazione di transitori, anche se è possibile analizzare segnali periodici come somma di impulsi e transitori come somme di sinusoidi. 5

6 SEGNLE SEGNLE SOMM DI SINUSOIDI SUCCESSIONE DI IMPULSI NLISI DI FOURIER NLISI DI LPLCE In ambito meccanico è assai diffusa l analisi di Fourier eorema fondamentale Sotto ipotesi molto larghe un qualsiasi segnale può essere visto come somma di un numero (eventualmente infinito) di componenti armoniche. Questo ci consente di scomporre un segnale in somma di tante componenti armoniche (sinusoidi) e quindi di studiare quali frequenze sono presenti nel segnale. Nei sistemi lineari, nota la risposta a ciascuna componente armonica, la risposta a somma di armoniche è la somma delle risposte alle singole componenti. 6

7 che cosa serve l approccio proposto?? Es : studio di sistemi lineari Ingresso I + I Ingresso empo [s] SOMM INGRESSI SIS SIS SIS Uscita Uscita empo [s] U + U 5 SOMM USCIE start Risposta di un sistema di misura ad un ingresso variabile nel tempo 4 Se uno strumento di misura è lineare, la risposta ad un ingresso variabile nel tempo può essere determinata come somma delle risposte ai vari segnali semplici (per esempio sinusoidi) in cui può essere scomposto il segnale d ingresso. 7

8 Es. pplicazioni diagnostiche 5 Si può capire, dalla risposta di un sistema meccanico, qual è la causa di un suo eventuale malfunzionamento. Esempio: gruppi turbogeneratori Misura delle vibrazioni ai supporti Es. pplicazioni diagnostiche 6 Misura su un supporto: Sensori di posizione lbero Cuscinetto Vibrazioni x giro ECCENRICI se è troppo elevata posso equilibrare il rotore Vibrazioni x giro DIVERS RIGIDEZZ SECONDO DIREZIONI (esempio: presenza delle cave negli alternatori) 8

9 Poiché si è affermato che il punto di partenza per affrontare il problema delle misure dinamiche è la scomposizione di un segnale in somma di sinusoidi si dedicherà attenzione a questo aspetto, affrontando nel seguito gli aspetti, prevalentemente da un punto di vista operativo, degli algoritmi di Fourier e delle loro conseguenze. GLI LGORIMI DI FOURIER 9

10 nalisi di Fourier 9 L analisi di Fourier effettua una trasformazione dal dominio del tempo al dominio delle frequenze. Il contenuto di informazioni passa inalterato attraverso questa trasformazione che pertanto è assolutamente reversibile. tempo F frequenza Spettri Per i segnali provenienti dai trasduttori si può pensare che la trasformazione tempo-frequenze sia sempre possibile, e che dunque un qualsiasi segnale sia sempre scomponibile in somma di sinusoidi. E necessario aprire una breve parentesi sul significato di SPERO di un segnale

11 Spettri Si cerca un modo alternativo alla visualizzazione nel tempo per dare i valori di frequenza, ampiezza e di ritardo rispetto ad un riferimento iniziale della generica sinusoide Spettri: esempio di un segnale sinusoidale rmonica = proiezione sull asse verticale di un vettore rotante. 3 4

12 Segnale sinusoidale: ampiezza 3 y(t) Im ω ϕ Re y = sin(ωt+..) ω=π/ /Τ=f ω=πf fase Segnale sinusoidale: fase 4 Φ= y = sin(ωt+φ) Situazione all istante t= Φ= Situazione all istante t=

13 Come vengono considerate le sinusoidi nei programmi di calcolo degli spettri? 5 La singola sinusoide può essere vista come proiezione sull asse reale (od immaginario) di un vettore che ruota a velocità angolare ω nel piano complesso. ω ω=πf Re f = frequenza dell armonica Im Promemoria sui numeri complessi 6 a = F cos θ b = F sin θ cos θ + j sin θ = e jθ F = F (cos θ + j sin θ ) F = a + b F = F e jθ θ = ωt+φ F F = F e jθ F e jθ = F F e j(θ +θ ) ω Im F θ b Re a ω=πf f = frequenza dell armonica 3

14 Spettri 7 In maniera più rigorosa la sinusoide può essere vista come composizione di due vettori che ruotano nel piano complesso con velocità angolare uguale in modulo, ma di segno opposto. ω=πf Spettri 8 La presenza dei due vettori controrotanti giustifica qualitativamente la presenza di frequenze negative nelle routines che eseguono l analisi di Fourier. ω=πf 4

15 Singola armonica:grandezze significative 9 FUNZIONE SINUSOIDLE x storia temporale picco spettro (modulo) - picco- picco,5,5 t f RMS = x (t)dt (tempo) = Media = x dt N i i= (frequenz e) = Grandezze significative 3 Una funzione sinusoidale è definita da due parametri: X (ampiezza) e θ (argomento). L ampiezza può essere misurata in quattro modi diversi: mpiezza di picco X P, il valore massimo raggiunto dalla funzione X P = mpiezza picco-picco X PP, la differenza fra i valori massimo e minimo raggiunti dalla funzione PP X ( X ) = X = X P X = X x(θ) X M X E X P X PP θ 5

16 Grandezze significative 3 mpiezza media X M, il valore medio della semionda positiva del ciclo. Per la x(θ) è X X sen d =.64X =. 64 = π θ θ π M X P e per la x (θ), a causa dello sfasamento, è: π π X = X cos d 3 X cos d θ θ +.64X. 64 π θ θ = = π Si noti che, per entrambe le funzioni, il valor medio dell intero ciclo è nullo M X P x(θ) X M X E X P X PP θ Grandezze significative 3 Valore efficace X E. lo scarto quadratico medio di un ciclo: X π E X sen d π = = X cos d =. 7X θ θ θ θ π π ( ) ( ) P 6

17 Quando il segnale è scomponibile in più armoniche Quando le armoniche in cui si scompone il segnale sono più di una, valendo il principio di sovrapposizione degli effetti, quanto osservato per la singola sinusoide vale per il segnale complessivo, sommando le valutazioni sulla singola armonica. Diviene importante la FSE relativa tra le diverse armoniche, in quanto necessaria per la corretta ricostruzione della forma del segnale. L algoritmo della serie di Fourier vale in maniera rigorosa per funzioni periodiche. Spettri: più armoniche 34 y = sin(ωt+ϕ ) + sin(ωt+ϕ ) Im Ω Ω ϕ ϕ Re 7

18 Spettri: più armoniche 5 x storia temporale 4 spettro (modulo) 8-3 t N RMS = ( ) x t dt i (tempo) = i= Media = x dt 4 (frequenz e) f L importanza della fase 36 Stesse armoniche in frequenza ed ampiezza, ma con fasi diverse: il segnale in rosso, somma delle due armoniche, ha un andamento ben diverso in funzione della fase relativa 8

19 Spettri completi 37 Se poi le sinusoidi che compongono il segnale sono più di due, il discorso visto si ripete per tutte le singole sinusoidi, originando lo SPERO del segnale, che deve essere definito in MODULO e FSE mplitude (power) Frequency versus ime Domain ime domain Measurements Riflettiamo su possibili problemi Gli algoritmi di Fourier nascono per funzioni periodiche, è quindi necessario capire che cosa questo significa e come comportarsi quando, come spesso accade, la funzione che rappresenta l uscita del trasduttore non è periodica. 9

20 Quando serve Fourier: funzione periodica 39 g(t) = g(t+) = periodo La g(t) può essere scomposta in una serie di funzioni sinusoidali a frequenze equispaziate k f con f = / k=n intero Quando serve Fourier: funzione periodica 4 Per funzioni periodiche [g(t) = g(t+)], dove è il periodo], la g(t) può essere scomposta in una serie di funzioni armoniche a frequenze f n equispaziate. - f = / è detta frequenza fondamentale - f n = nf, con n intero, è la generica frequenza - le varie componenti in frequenza risultano quindi spaziate di f risoluzione in frequenza g f a ( t) n n = a = nf = + cos(πf t) + a n n n n n= n= g( )cos(πf t) dt b b sin(πf t) n = n g( ) sin(πf t) dt n

21 Funzione periodica 4 I coefficienti a n, b n derivano dalla minimizzazione delle differenze tra g(t) e la sommatoria delle funzioni armoniche, elevate al quadrato. L espressione dello sviluppo in serie di Fourier può anche essere vista con la sommatoria estesa anche alla componente a frequenza nulla (n=), ponendo: g ( t) = = cos(πf t) + n n n= n= g( ) dt B =, B sin(πf t) n n = a n n B n = b n (n =... ) Funzione periodica 4 La g(t) può essere espressa anche nella seguente forma (già illustrata per via grafica): g C = Cn cos(πf nt + ϕn ) =Re Cne n= n= B = B arctg ( n n + n ϕn = ) ( t) n n i(πfnt+ ϕn ) - ogni termine della sommatoria è complesso (e quindi definito da un modulo e da una fase) e può essere visto come un vettore rotante nel piano Reale- Immaginario (piano di Gauss). ϕ n è l angolo fra C n e l asse reale per t =. - le proiezioni sull asse reale di questi vettori concorrono a formare la g(t), che è infatti reale.

22 Funzione periodica 43 Im C n ω n = πf n Proiezione sull asse reale dei vettori C n ϕ n R e Considerazioni qualitative sulla serie di Fourier 44 G f ( ) k / -j π = / g(t) e considero la componente che ruota a f k. Moltiplicare per e -jπf kt significa annullare la rotazione di quella componente che, integrata nel tempo, dà un valore finito. tutte le altre componenti ruotano anche dopo il prodotto per e -jπf kt il prodotto integrato sul periodo è f t k dt

23 Considerazioni qualitative sulla serie di Fourier 45 in definitiva si estrae da g(t) la componente f k congelata con la fase dell istante t=. un segnale periodico nel tempo ha uno spettro discreto: tutte le armoniche sono multiple di una fondamentale. Considerazioni qualitative sulla serie di Fourier g(t) è reale: se esiste f k, a -f k esiste una componente con uguale ampiezza e fase opposta G(f k ) = G*(-f k ) Se le parti immaginarie sono antisimmetriche, la frequenza (DC) ha fase o π ed è sempre reale 46 3

24 Considerazioni qualitative sulla serie di Fourier Una funzione x(t), definita nel dominio del tempo, è detta pari (Even) se: x( t) = x( t) mentre è detta dispari (Odd) se: x( t) = x( t) d esempio, la funzione x( t) = X cosωt è una funzione pari mentre la funzione x( t) = X senωt è una funzione dispari. 47 f(t) f(t) pari dispari t t Considerazioni qualitative sulla serie di Fourier Pertanto: - la F di una funzione reale pari è una funzione reale pari. L F di una funzione reale pari è una funzione reale pari. 48 Re Re Im t Im ω 4

25 - La F di una funzione reale dispari è una funzione immaginaria dispari. L F di una funzione immaginaria dispari è una funzione reale dispari. Re Re 49 Im t Im ω Poiché la F e la F sono operazioni lineari, moltiplicando x(t) per una costante anche X(f) viene moltiplicata per la stessa costante e viceversa. Perciò, se la costante è l indice immaginario j si ha: - la F di una funzione immaginaria pari è una funzione immaginaria pari. L F di una funzione immaginaria pari è una funzione immaginaria pari. - La F di una funzione immaginaria dispari è una funzione reale dispari. L F di una funzione reale dispari è una funzione immaginaria dispari. Più in generale si ha che: - la F di una funzione complessa pari, cioè con parte reale pari e parte immaginaria pari, è una funzione complessa pari. L F di una funzione complessa pari è una funzione complessa pari. - La F di una funzione complessa dispari è una funzione complessa dispari. L F di una funzione complessa dispari è una funzione complessa dispari. 5 5

26 Esempio 5 g(t) t = f B g ( t) = + cos(πft ) = = ( + cos(πft )) dt = dt + cos(πft )dt = ( + ) sen(πft) t = cos(πft) t Esempio 5 B = = = = ( + cos(πft) ) cos(πft)dt + ( + cos(πft )) sin(πft )dt + cos(πft) cos(πft)dt = cos (πft)dt = sin(πft )dt = + = cos(πft ) sin(πft )dt = sen(πft) cos(πft)=.5*sen(4πft) t t 6

27 Rappresentazione nel piano di Gauss: sovrapposizione dei vettori rotanti 53 Im C = ϕ = C = ϕ = Im C R e Rappresentazione in modulo e fase: ϕ n C n C ω = πf R e f f f f Rappresentazione grafica 54 Rappresentazione in modulo e fase ( vettori contro-rotanti): g ( t) = + cos(πft ) G n / - f f f ϕ n - f f f 7

28 Rappresentazione grafica 55 Rappresentazione in modulo e fase ( vettori contro-rotanti): g ( t) = sen( πft ) G n - f / f f ϕ n π/ - f π/ f f 56 La trasformazione nel dominio delle frequenze definisce lo spettro della g(t), ossia l insieme dei vettori rotanti definiti dall analisi di Fourier. Lo spettro è discreto: ci sono solo le componenti con frequenza nf multipla di quella fondamentale, che vengono dette armoniche. Nel dominio delle frequenze il segnale g(t) è visto come una sommatoria di armoniche. In genere, se il segnale g(t) è continuo e privo di cuspidi, il contributo delle armoniche superiori è via via meno importante, fino ad essere trascurabile nella ricostruzione del segnale. 8

29 E se la funzione non è periodica??? La si rende periodica!!! f φ f f f = f = / + La frequenza fondamentale è f =/ ove NON è il periodo dell armonica più bassa presente nel segnale, bensì la durata di osservazione del segnale. Lo stesso valore / è poi la distanza tra le righe dello spettro f, detta anche risoluzione in frequenza. lcuni esempi hanno lo scopo di chiarire i concetti esposti. 9

30 Esempi sugli spettri 59 x(t) Fase φ f=/ f f=/ f Esempi sugli spettri x(t) Fase φ π/ f=/ f f=/ f 3

31 Esempi sugli spettri B fase B φ / f / f Spettri + φ ipotesi di linearità φ + φ equivalenza dominio del tempo- dominio delle frequenze 3

32 In realtà è possibile ricostruire qualsiasi segnale come somma di sinusoidi 63 mpiezza [EU] tempo [s] mpiezza [EU] mpiezza [EU] tempo [s] mpiezza [EU] tempo [s] Frequenza [Hz] OND QUDR (periodo 5 s) armonica (I) nalisi di Fourier 64 OND QUDR armoniche (I e III) mpiezza [EU] mpiezza [EU] tempo [s] tempo [s] mpiezza [EU] mpiezza [EU] tempo [s] Frequenza [Hz] 3

33 nalisi di Fourier 65 OND QUDR 3 armoniche mpiezza [EU] mpiezza [EU] tempo [s] tempo [s] mpiezza [EU] mpiezza [EU] tempo [s] Frequenza [Hz] nalisi di Fourier 66 OND QUDR 4 armoniche mpiezza [EU] mpiezza [EU] tempo [s] tempo [s] mpiezza [EU] mpiezza [EU] tempo [s] Frequenza [Hz] 33

34 rmoniche dispari 67 rmoniche onda quadra 4 armoniche rmoniche pari 68.5 rmoniche onda triangolare.8 4 armoniche

35 Gli spigoli richiedono più armoniche 69 Quali sono le equazioni della serie di Fourier? 7 / jπf t G( fk ) = g(t) e k dt j f t / g(t) = π G( fk ) e k dt k= G f ( ) k / = / g(t) e ( ) -jπf kt g(t) = G f e k dt k= k jπf t dt 35

36 Funzioni non periodiche: transitorio 7 Per funzioni g(t) non periodiche si può estendere quanto visto sopra considerando. In questo caso /, per cui c è continuità tra le varie armoniche nf e lo spettro è una funzione continua della frequenza. In questo caso la trasformazione dal dominio del tempo al dominio delle frequenze è la rasformata di Fourier. QUINDI: Funzione g(t) periodica nel dominio del tempo spettro discreto nel dominio delle frequenze. Funzione g(t) non periodica nel dominio del tempo spettro continuo nel dominio delle frequenze. Studio di un transitorio:l integrale di Fourier 7 36

37 Un richiamo alla matematica della trasformata di Fourier Le espressioni matematiche che riguardano questa trasformazione sono: 73 rasformata diretta G( f ) g( t) e π dt = j ft rasformata inversa + π g( t) = G( f ) ej ftdt nalisi di un segnale acquisito sperimentalmente Per analizzare un segnale si acquisisce per un certo tempo. Lasciamo ancora per un attimo da parte che il segnale è digitalizzato, consideriamo il fatto di osservare il segnale per un periodo, detto finestra di osservazione. Fare l analisi di Fourier di questo segnale significa assumere che esso sia periodico di periodo : g(t) 74 finestra t t 37

38 nalisi di un segnale acquisito sperimentalmente 75 La cosa può funzionare più o meno bene, in quanto il segnale g(t) acquisito potrà, in genere, presentare una discontinuità in corrispondenza della fine del periodo di acquisizione: g(t) discontinuità t Per questo motivo possono essere necessari degli accorgimenti che verranno precisati nel seguito nalisi di un segnale acquisito sperimentalmente 76 Una corretta scelta della durata della finestra di osservazione è importante per eseguire analisi rappresentative del fenomeno fisico osservato: deve essere sufficientemente grande per poter risolvere tutte le armoniche a minor frequenza presenti nel segnale da acquisire è necessario poter stimare a priori il contributo in frequenza del segnale misurato. Fatta l assunzione di periodicità del segnale entro la finestra di osservazione, la g(t) acquisita può essere analizzata attraverso la serie di Fourier. 38

39 nalisi di un segnale acquisito sperimentalmente La serie di Fourier, come visto, produce spettri a righe definiti dalla frequenza (che è il valor medio) alla frequenza. La frequenza fondamentale è f = /, dove non è più il periodo, ma la finestra di osservazione; f = / è anche la risoluzione in frequenza. Le prime righe possono essere associate alla scelta della lunghezza della finestra C f ϕ n Fas n Modulo e valor medio f = f = / f + 77 f + ltri esempi 78 x(t) / f 39

40 ltri esempi 79 g(t) t / = periodo della sinusoide / = frequenza = finestra di osservazione / = frequenza fondamentale Modulo > periodo di g(t), anzi, multiplo del periodo del segnale / / f ltri esempi 8 g(t) Discontinuità! f = finestra di osservazione / = frequenza fondamentale s = periodo sinusoide = 4/3 f s = frequenza sinusoide = 3/4 f f s f < f Lo spettro ottenuto evidenzia come non ci sia la frequenza f s e come il valor medio del segnale risulti non nullo (errore di leakage) 4

41 nalisi di un segnale acquisito sperimentalmente 8 ULERIORE PSSO: ho una funzione g(t) campionata con frequenza f c da t = - a t = + lo spettro è continuo ( ; / ) ma limitato ad una frequenza massima pari a f c / per problemi di aliasing. ULIMO PSSO, corrispondente al caso reale: la funzione g(t) è campionata con frequenza f c in un intervallo finito di tempo -. La funzione si considera periodica con periodo pari alla durata dell osservazione lo spettro è allora a righe (perché la funzione è periodica) e limitato ad una frequenza massima f c / per problemi di aliasing. nalisi di un segnale acquisito 8 sperimentalmente Lo strumento che consente di effettuare l analisi in frequenza di una funzione g(t) campionata per un periodo è la trasformata discreta di Fourier (DF). L algoritmo ottimizzato dal punto di vista numerico, implementato sui calcolatori (ad esempio gli analizzatori di spettro), è la FF (Fast Fourier rasform). FF ricostruisce il segnale g(t), osservato per un tempo con frequenza di campionamento f c, con una sommatoria di armoniche sottomultiple di f c : f c= t = N = numero di campioni t N N f c= Il generico tempo t è dato da: n t (<n<n-) La generica freq. f è data da: k f (<k<n-) f = = f frequenza fondamentale e risoluzione spettrale 4

42 84 Il segnale ricostruito è composto da N componenti armoniche (compreso il valor medio a frequenza nulla), ma non tutte sono però utilizzabili a causa dell aliasing. Sono affidabili solo le armoniche con frequenza minore di f c /, ossia solo: f f N N k f = c k = c = = frequenze f ( ) Le frequenze sono sottomultipli di f c (e, ovviamente, multiple di /) : N,,, LL, deriva dal criterio di Nyquist 4

43 85 Supponiamo di campionare un segnale per 4 secondi con f c = Hz: N di campioni: N = / t = *f c =4* = 4 Risoluzione in frequenza: / = /4 =.5 Hz Frequenza massima: f max = f c / = / = 5 Hz, o anche f max = f *N/ =.5 * 4/ = 5 Hz Un accenno al significato di finestra 86 Dunque nel caso reale non solo la funzione è campionata, ma anche accade che non è possibile osservarla per una durata infinita. cquisire il segnale per una durata finita equivale a moltiplicare il segnale x(t) per una funzione w(t), detta FINESR RENGOLRE o BOXCR, con le seguenti caratteristiche w( t) = w( t) = < t < t < ; t > Il passaggio attraverso la finestra rettangolare serve per estrarre una parte di segnale da quello originario. Di fatto questo modo di procedere periodicizza la funzione assumedo forzatamente che il periodo della fondamentale sia la finestra di osservazione del segnale. 43

44 87 Nella realtà si può considerare che il segnale acquisito passi attraverso due stadi : il primo consiste nel moltiplicarlo per la finestra rettangolare w(t), il secondo nel moltiplicare il segnale finestrato per una funzione costituita da una serie di impulsi di ampiezza unitaria ed equispaziati di una quantità t pari all intervallo di campionamento adottato. Potranno risultare prive di senso le prime armoniche dello spettro, perché associate a frequenze forzate dalla periodicizzazione della funzione, ma quelle superiori, se effettivamente presenti nel segnale, saranno bene evidenziate nello spettro 88 Gli analizzatori di spettro, ad esempio, lavorano con un buffer di memoria che consente il campionamento di 4 punti alla volta. In questo caso il numero N di campioni è 4 e il numero di righe nello spettro è N/, ossia 5. Se scelgo di campionare per = s, avrò: risoluzione in frequenza: intervallo di acquisizione: frequenza di campionamento: frequenza massima: f = / = / Hz t = /N =.95 s f c = / t = 5. Hz f max = f c / = 5.6 Hz La tabella successiva mostra lo schema di calcolo di queste grandezze, per N fisso, in base al parametro scelto: 44

45 89 Parametro scelto t f max f f max t = N = fisso t f max fisso = fisso f f = fisso = N t f = N t = N t f = N t t = N N f max = f t = N N f max = f Se si vuole aumentare la risoluzione, cioè avere f piccolo devo aumentare la durata dell acquisizione Se si vuole avere f max elevata devo aumentare la frequenza di campionamento f c. Nota bene 9 Se si desidera alzare la risoluzione in frequenza, non ha alcun senso operare sulla frequenza di campionamento, bensì sulla durata del campionamento, che deve essere aumentata. Se l obiettivo è quello di riconoscere la presenza di una particolare frequenza, senza interesse per il valore in ampiezza di quell armonica, è tecnica diffusa quella di aggiungere alla storia temporale una sequenza di zeri. Se, viceversa, interessa aumentare la massima frequenza osservabile, bisogna alzare la f s 45

46 testimonianza che gli algoritmi di Fourier si possono applicare a tutte le funzioni, si mostra che il discorso è valido anche per la funzione che definisce la finestra rettangolare di ampiezza jω t ( ) ( ) jω t jω t H jω = h t e dt = e dt = [ e ] = e = jω h(t) e jω jω e = jω e j ω jω FOURIER jω ω sen = ω H(f) 9 Funzione non campionat a ( ) sin( x) H f = x -/ / - 3/ - / - / / / 3/f 9 COME SI ESEGUE L FF 46

47 93 Interessa fornire qualche indicazione su come operativamente si esegue la FF. utti i programmi hanno nelle loro librerie la funzione FF, che però non fornisce direttamente lo spettro. Le più datate accettano solo storie temporali composte da un numero di punti pari a n. In tal modo vengono sfruttate le simmetrie delle funzioni circolari per eseguire più rapidamente le operazioni; tuttavia la velocità dei calcolatori riesce a far sì che, pur partendo da un base di dati qualsiasi, sia possibile eseguire la sequenza di operazioni in tempi brevi e più che ragionevoli. 94 Le routines di FF dunque accettano in ingresso una sequenza di N valori campionati. Viene restituita una sequenza di N numeri complessi; dal momento che ogni numero complesso consta di parte reale ed immaginaria, e non è possibile ottenere informazioni maggiori rispetto a quelle di partenza (N), solo metà dei numeri restituiti avranno un significato, dunque le informazioni utili saranno nei primi N/ numeri complessi, mentre i dati contenuti nei secondi N/ punti saranno ridondanti. 47

48 95 lla FF non è data alcuna informazione sulla scala dei tempi, sulla frequenza di campionamento, dunque è compito dell operatore costruire la scala dei tempi. Si utilizza un esempio per scendere maggiormente nel dettaglio delle operazioni da compiere per arrivare ad ottenere lo spettro di un segnale. Esempio 96 V cicli f = Hz mpiezza= unità s 48

49 Si prende il vettore dei dati e si chiama la FF o similare: FF 97 N punti della storia temporale N numeri complessi 98.e+ * i. -.i. -.i. -.i -. -.i -. -.i -. -.i i -. +.i Solo reale 8 riga 49

50 99.e-5 *. -.i. -.i i. +.i. -.i. +.i. +.i -. +.i -. -.i. +.i -. +.i. -.i -. +.i -. -.i. -.i. -.i. +.i. -.i i metà Cplx conj 6 Parte reale della fft 4 [V] [N punti]

51 Parte immaginaria della fft 5 [V] -5 [N punti] Modulo della funzione di trasferimento mpiezza errata 6 [V] 4 [N punti] non Hz 5

52 Come si trattano i dati 3 t MRICE DI tempi canale canale canale n Diversi formati:scii, binario (integer, real ) 4 %%%% sse delle frequenze dt=dati(,)-dati(,); freq=(/dt)/n*(:(n/-)); Ndt = risoluzione in frequenza Solo la prima metà del vettore 5

53 5 %%%% Modulo e fase dello spettro mod(:(n/))=/n*abs(spe(:(n/))); mod()=spe()/n; Per recuperare il valore corretto dell ampiezza si dividono tutte le righe dello spettro per N/. 6 Divisione per N: FF 53

54 Prodotto delle righe per. Serve perché se considero le prime N/ righe, ho le ampiezze dei vettori corrispondenti alla sola parte positiva (o negativa) delle frequenze, quindi pari a metà dell ampiezza del segnale di partenza. 7 La sola armonica, ricoprendosi su se stessa, va divisa solo per N. Spettro completo 8 [V] [deg] 3 [Hz] [Hz] Significato fase 54

55 9 Si ricorda che esiste un altro metodo, semplice, per ricavare lo spettro, ricordando che per i numeri complessi il prodotto di un numero per il suo complesso coniugato è pari al quadrato del suo modulo ( a + ib)( a ib) = a iab + iab i b = a + b Dunque, se prelevo il vettore in uscita della FF e lo moltiplico per il suo complesso coniugato, otterrò, in corrispondenza ad ogni riga, il quadrato delle ampiezze delle righe dello spettro (ovviamente anche in questo caso si ha la normalizzazione legata al numero di punti acquisiti N). In tal caso si parla di Power Spectrum (Spettro di potenza). Spesso, quando lo spettro del segnale di partenza è continuo (trasformata di Fourier), si incontra anche la Densità di potenza spettrale. In questo caso le unità di misura sono (unità grandezza /Hz). In tal caso è necessario effettuare una integrazione su una banda finita per ottenere un valore di energia finita. 55

56 Spettro: nuova storia 8 cicli f = Hz mpiezza= unità Spettro completo Che cosa è cambiato rispetto al caso precedente? [V] [deg] [Hz] Significato fase [Hz]

57 3 Nel primo caso all interno della finestra erano contenuti un numero intero di cicli il periodo del segnale è un sottomultiplo della finestra di osservazione. Viceversa, nel secondo caso, nella finestra osservata sono presenti N(interi)+una frazione di ciclo del segnale armonico: questo comporta una stima errata sia della frequenza del picco, sia dell ampiezza. 4 Questo avviene perché la frequenza che dovrebbe avere il segnale nello spettro discreto sta a metà strada tra due delle righe disponibili. Viene salvato il contenuto globale di energia, ma portandolo su più righe di ampiezza minore 57

58 5 EFFEO FINESR Effetto finestra 6 Si torna ora al problema del legame tra il periodo della funzione e la durata della finestra di osservazione. Lo spezzone di segnale acquisito non contiene necessariamente un numero intero di periodi; tuttavia, calcolarne la DF implica rendere il segnale periodico di periodo. Il risultato è una approssimazione dello spettro vero, a meno dell effetto finestra. Definiamo: = durata dello spezzone di segnale acquisito = periodo (vero!) del segnale dovrà essere >> 58

59 Effetto finestra L effetto finestra consta a sua volta di due termini: ) dilatazione delle righe spettrali: al posto delle righe spettrali si osservano picchi a banda stretta ma finita. Questo è dovuto al fatto che la riga teorica associata alla frequenza del segnale non si trova in una delle posizioni consentite da Fourier (lunghezza della finestra non multipla del periodo del segnale). Il contenuto energetico del segnale si sparge su parecchie righe dello spettro. ale errore va sotto il nome di errore di leakage. La larghezza delle bande si restringe sempre di più all aumentare di, cioè all aumentare della risoluzione in frequenza. Effetto finestra B) creazione di picchi artificiali dovuti alla eventuale presenza di periodi non completi agli estremi dello spezzone Se ad esempio il segnale acquisito è una sinusoide e =.5 : g(t) t segnale di cui si valuta lo sviluppo in serie 59

60 Effetto finestra si ottiene il seguente risultato: Il contenuto energetico del segnale si sparge su diverse righe anziché su una soltanto: l ampiezza della banda a frequenza f è minore dell ampiezza della sinusoide. amp ll aumentare della durata : la banda delle righe si riduce i lobi laterali si stringono attorno al lobo centrale la loro altezza non diminuisce f Frequenza [Hz] f f = / Usare solo il segnale all interno della finestra di osservazione per calcolare lo spettro può essere interpretato come calcolare la trasformata della funzione moltiplicata per una funzione finestra che vale per < t < e per altri valori di t. Se il fenomeno oggetto delle misure è periodico e di periodo misurabile (ad esempio una macchina rotante), posso pensare di legare la durata della finestra di osservazione al periodo del fenomeno (acquisizione sincrona): ho così eliminato tutti i problemi dell effetto finestra 6

61 Finestre di osservazione speciali Se il fenomeno oggetto delle misure non è periodico, o, comunque, non si può effettuare un acquisizione sincrona: Poiché la coesistenza dei due fenomeni dell effetto finestra (comparsa di bande di ampiezza ridotta anziché di righe con ampiezza corretta, comparsa di lobi laterali) può dar luogo a difficoltà di interpretazione dello spettro, spesso conviene eliminarne uno dei due, sia pure a costo di un peggioramento dell altro. I lobi laterali sono dovuti ad un effetto di bordo, cioè alla presenza di frammenti di periodo agli estremi del segnale. Per ridurre l effetto di bordo, posso pensare ad un metodo che smussi i punti singolari agli estremi della finestra: questo metodo potrebbe consistere nell adozione di nuove finestre, che ad esempio, pur distorcendo il segnale, lo obblighino ad avere lo stesso valore all inizio ed alla fine della finestra, e magari anche con la stessa derivata: g(t) t 6

62 Esempio: applicazione della finestra cosinusoidale al segnale visto in precedenza: 3 segnale.5 finestra Il risultato del pre-trattamento è il seguente: Segnale finestrato

63 Lo spettro che si ottiene è il seguente: 5 amp finestra rettangolare finestra cosinusoidale f Frequenza [Hz] f Esempi Numero intero di cicli nella storia temporale.5 Storia temporale Modulo dello spettro empo [s] Frequenza [Hz] 63

64 Esempi Impulso t f armoniche.5 Storia temporale Modulo dello spettro empo [s] Frequenza [Hz] 8 Esempi Rumore random empo [s] Hz 8 64

65 Spettri 9 SEGNLE DI FORZ NEL DOMINIO DEL EMPO Spettri SEGNLE DI FORZ NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE 65

66 Spettri 3 SORI EMPORLE REGISR D UN MICROFONO L PSSGGIO DI UN CONVOGLIO FERROVIRIO 6 Storia temporale delle pressioni 4 Pressione [Pa] empo [s] Spettri 3 SPERO REGISRO D UN MICROFONO L PSSGGIO DI UN CONVOGLIO FERROVIRIO [Pa] Frequency spectra of a single raw microphone [Hz] 66

67 Esempi 33 SDIO DI SN SIRO: VIBRZIONI COPERUR ERZO NELLO QUNDO VIENE SEGNO UN GOL Incontro INER JUVENUS 4 aprile

68 PRONEZZ, RIPRES L obiettivo ideale sarebbe, dato un certo ingresso sinusoidale, avere un uscita pure sinusoidale con un fattore di amplificazione costante al variare della frequenza e con sfasamento nullo (si vedrà poi che sulla fase è possibile adottare regole meno restrittive) q i q o 35 Viceversa, la presenza della funzione di trasferimento, per ciascuna delle frequenze considerate, opera una trasformazione che modifica il modulo (da i a o ) e la fase (che significa un ritardo nel tempo). Nell ottica di studiare le prestazioni di uno strumento, queste modifiche sulle diverse armoniche (sinusoidi) che formano il segnale di ingresso, devono essere tali per cui il segnale in uscita, ottenuto come somma delle risposte ai singoli segnali semplici in ingresso, deve avere lo stesso aspetto di quello ricevuto in ingresso, il che significa lo 36 stesso segnale, al più moltiplicato per una costante e traslato nel tempo. 68

69 Lo strumento effettua correttamente queste operazioni solo in una banda compresa tra due frequenze fmin ed fmax, la banda in cui lo strumento è PRONO. 37 o ω φ ο i φ ι x(t) mplificazione Ritardo Segnale originale 38 t 69

70 NLIIC: è nota l equazione dello strumento (si tratta comunque di un modello, di una Studio del semplificazione, non è una comportament descrizione completa dello o dinamico strumento) degli strumenti: SPERIMENLE: non è nota due possibilità l equazione dello strumento o è troppo complessa; è comunque la via più sicura per eseguire una RUR DINMIC 39 7