Capitolo 1. Convertitori DC/DC. 1.1 Introduzione

Transcript

1 Capitolo Convertitori DC/DC. Introduzione I convertitori DC/DC sono dispositivi che accettano una tensione di ingresso continua e producono una tensione di uscita continua, tipicamente di livello differente rispetto quella di ingresso. I convertitori DC/DC sono comunemente usati in applicazioni che richiedono una potenza continua regolata, come i computer, gli strumenti medici, i dispositivi di comunicazione e i ricevitori televisivi. Per trasferire potenza elettrica da una sorgente DC ad un carico in modo controllato, esistono sostanzialmente due modi: la conversione lineare e quella switching mode, illustrate in figura.. nelle forme più semplici. Nella figura.. a) si utilizza una resistenza variabile; in tal caso si ha una notevole dissipazione e rendimenti poco elevati. Nella figura.. b) il dispositivo di controllo del flusso di potenza dall ingresso all uscita è un commutatore ideale, alternativamente chiuso e aperto (idealmente R on = 0 e R off = ); in questo caso controllando l intervallo di tempo in cui il tasto è chiuso e quello in cui è aperto, si può regolare in maniera efficiente il flusso

2 . 2 Figura.: Conversione lineare e switched-mode. di potenza al carico (con rendimenti prossimi al 90%). a necessità di avere tensione continua in uscita comporta la presenza di elementi di immagazzinamento dell energia, che hanno il compito di eliminare le componenti di frequenza diversa da zero, originate, inevitabilmente, dal processo di commutazione. I più semplici convertitori a topologia minima sono costituiti da un dispositivo che implementa il tasto, un induttanza, un condensatore ed il carico. Variando la disposizione di tali elementi circuitali, si ottengono le varie topologie dei convertitori; le principali sono il convertitore buck ed il convertitore boost.

3 Convertitore abbassatore: BUCK.2. Generalità Il convertitore buck è detto anche step-down, in quanto permette di ottenere una tensione di uscita minore di quella d ingresso. Il ragionamento che si fa, per ottenere questa condizione, è il seguente: se si attua su una tensione di ingresso V in, una modulazione del tipo tutto-niente, tramite un interruttore, in modo che essa sia presente o assente, a seconda se l interruttore sia acceso o spento, si ottiene in uscita una tensione modulata a valore medio minore Figura.2: Modulazione tutto-niente. di V in (figura..2). Molto spesso viene utilizzata una modulazione di tipo PWM (descritta in seguito), in cui la frequenza di modulazione è costante, mentre viene variata la durata del tempo di accensione t on dell interruttore, per ottenere il valore, della tensione d uscita, desiderato. Se si considera lo sviluppo in serie di Fourier di tale tensione modulata, si osserva che esso è formato da una componente continua (essendo la tensione d uscita a valore

4 .2 4 medio non nullo), più una serie di armoniche, con frequenze multiple intere di quella fondamentale di modulazione. Si utilizza, quindi, un filtro, con caratteristiche passa-basso, che prelevi il valor medio. Il circuito di tale Figura.3: Convertitore buck. convertitore è riportato in figura..3. Il significato dei diversi parametri in figura è il seguente: V in tensione di alimentazione; R l resistenza parassita induttanza; induttanza; S interruttore a semiconduttore; d diodo; R c resistenza parassita capacità; C capacità; R load resistenza carico;

5 .2 5 V in costituisce, quindi, la tensione di alimentazione (ingresso non manipolabile), mentre il duty cycle δ è dato dal rapporto, nel k-esimo periodo, tra la durata temporale in cui l interruttore S resta acceso e lo stesso periodo T(δ = ton ). Essendo unidirezionale, la corrente nell interruttore S e nel diodo T d, qualora la corrente nell induttanza si annullasse, non potrebbe diventare negativa, restando quindi nulla. Questa condizione di funzionamento si dice conduzione discontinua. analisi del circuito è fatta in ipotesi semplificative, cioè: tensione di uscita costante; diodo ed interruttori ideali; condizioni di funzionamento a regime e duty cycle costante δ = D; non presenza di elementi parassiti..2.2 Conduzione continua e discontinua Supponiamo di avere l interruttore chiuso (on). In questa situazione il dio- Figura.4: Fase on.

6 .2 6 do risulta inversamente polarizzato e la configurazione del circuito diviene quella mostrata nella figura..4. Per le ipotesi fatte, la corrente crescerà con pendenza V in V out ( di (t) dt = V = V in V out ), dove V out è la tensione di uscita sulla capacità, fino a quando non viene raggiunto il tempo δ, in cui l interruttore si riapre. A questo punto, la tensione ai capi di si inverte bruscamente, mandando in conduzione il diodo, il quale evita il danneggiamento dell interruttore, ed offre una via di libera circolazione alla corrente. Quest ultima decrescerà con pendenza pari a Vout. a configurazione del circuito nella fase off è riportato di seguito (figura..5). Si possono verificare Figura.5: Fase off. due diverse condizioni di funzionamento: al termine della fase off, l interruttore è ancora carico. Il circuito funziona in continuos current mode[?] (c.c.m.)(figura..6); la corrente si annulla durante la fase off. Il circuito funziona in discontinuous current mode (d.c.m.)(figura..7). Supponiamo di essere nel caso c.c.m. e ricaviamo la tensione di uscita. Sappiamo che la tensione nell induttore è V l (t) = di l (t). Integrando su un dt

7 .2 7 Figura.6: Continuos current mode. completo periodo si ha i l (t) i l (0) = T 0 V l(t)dt. Essendo il convertitore in funzionamento di regime, si potrà supporre che la corrente nell induttore, all inizio di un ciclo, è uguale a quella alla fine del ciclo stesso. Ciò equivale a dire, che la tensione media nell induttore nel ciclo è nulla. Possiamo quindi scrivere: T 0 ton T V l (t)dt = (V in V out )dt V out dt = 0 t on = (V in V out )DT V out T ( D) = 0 (.) Dalla. possiamo ricavare che: V out = DV in (.2) Quest ultima relazione mostra che la tensione d uscita è minore di quella d ingresso, essendo 0 < D <, da cui il nome di step down. Un simile legame lo si può ottenere anche fra la corrente media I out circolante nel carico e quella

8 .2 8 Figura.7: Discontinuous current mode. I in che attraversa l alimentazione. Poichè si è supposto che il convertitore ha un rendimento unitario, avremo che la potenza media in ingresso sia uguale alla potenza in uscita, cioè: I out I in = D (.3) Si può osservare che il buck si comporta come un trasformatore in continua, in cui il rapporto di trasformazione è D per la tensione e D per la corrente. Supponiamo ora di porci in quello che si definisce caso critico, cioè la situazione limite tra conduzione continua e discontinua quando la corrente si annulla t = kt (figura..8). In tale situazione, assumendo lineare l andamento della corrente nelle due fasi e calcolando l area del corrispondente triangolo, il valor medio della corrente nell induttanza, coincidente con il valor medio della corrente nel carico, risulta pari a I b = I outb = T T 0 i (t)dt = T T I p 2 = 2 I p (.4)

9 .2 9 Figura.8: imite tra conduzione continua e discontinua. e, quindi, assumendo la tensione in ingresso pari ad U, durante la fase in cui S è acceso, si ricava I b = I outb = 2 I p = U V out 2 DT = T V out 2 ( D) = T V in D( D) (.5) 2 dove il pedice b sta ad indicare boundary, cioè confine, nella fattispecie tra conduzione continua e discontinua. A questo punto per un corretto funzionamento in modo continuo, si deve assicurare che la corrente media nel carico, che coincide con la corrente media nell induttore, sia comunque maggiore di I b. Per svincolarci dalla dipendenza di δ, dobbiamo considerare il worstcase, che corrisponde alla I b massima per un δ pari a 0.5. In tali condizioni possiamo scrivere che l induttanza dovrà essere maggiore della quantità: = V int 8I m (.6) dove I m sarà la corrente massima nel carico. In conduzione discontinua (figura..7) annullando ancora il valor medio nel periodo della tensione sull indut-

10 .2 0 tanza si ottiene che al legame (.2) si sostituisce V out = D D + q V in (.7) che degenera nella.2 per q = D, cioè in conduzione continua. Il valore medio della corrente nell induttanza in conduzione discontinua si può invece esprimere come I = I out = 2 I p(d + q) = T V in 2 ( V in V out )D 2 (.8) avendo ricavato q dalla.6. Da quanto visto si ottiene il diagramma riportato in figura..9. Sul piano duty cycle-valor medio corrente di uscita si possono Figura.9: Duty cycle in funzione della corrente di uscita per V out costante e per diversi valori di V in. evidenziare le due regioni di conduzione continua e discontinua. Si è supposto V out costante e si considerano le diverse curve per diversi valori di V in. a curva limite tra conduzione continua e discontinua è descritta dalla.5 (si noti che non dipende dai diversi valori di V in ), quelle in conduzione discontinua sono descritte dalla.8 e quelle in conduzione continua sono delle rette in

11 .2 quanto fissati V out e V in la variabile D non dipende dalla I out come si evince dalla.2. Il grafico in figura..9, consente di fare alcune osservazioni interessanti. Si è assunto V out costante in quanto questo è il principale obiettivo del controllo dei convertitori DC/DC: la regolazione della tensione in uscita. In conduzione continua, fissato un valore della tensione di ingresso, è univocamente determinato il valore del duty cycle che fornisce il valore desiderato della tensione di uscita, indipendentemente dalla I out e quindi dalle variazioni del carico (la variazione del carico corrisponde ad una variazione della corrente essendo la tensione in uscita costante). In particolare, dalla.2, tale valore del duty cycle risulta D = V outdes V in (.9) dove V outdes è il valore desiderato della tensione di uscita ed V in il particolare valore della tensione in ingresso. In conduzione discontinua,invece, il valore del duty cycle che assicura la tensione di uscita desiderata, con una tensione d ingresso fissata, dipende dal carico ed in particolare da I out, come si evince dalla zona di conduzione discontinua riportata nel grafico di figura Modello delle fasi Abbiamo visto che dipendentemente dallo stato dell interruttore S il convertitore buck cambia configurazione[?]. Se S è acceso, il convertitore si trova nella configurazione di figura..4. Assumendo come variabili di stato la corrente nell induttore e la tensione sul condensatore, a tale configurazione corrisponde il modello tempo continuo nello spazio di stato (V in = u(t)) x(t) = A on x(t) + B on u(t) (.0)

12 .2 2 con A on = B on = (R l + RcR load R c+r load R load (R c+r load ) ( R load C(R c+r load ) C(R c+r load ) (.) ) T 0 (.2) Viceversa se l interruttore S risulta spento il sistema si trova nella configurazione mostrata in figura.5. A tale configurazione corrisponde il modello tempo continuo nello spazio di stato con x(t) = A off x(t) + B off u(t) (.3) A off = A on (.4) ( ) T B off = 0 0 (.5) Nel caso in cui la corrente si annulla durante la fase off, si è visto che il circuito funziona in discontinuous current mode (d.c.m.). Tale configurazione è presentata in.6. Il modello tempo continuo che corrisponde a tale Figura.0: Fase Conduzione discontinua configurazione è x(t) = A disc x(t) + B disc u(t) (.6)

13 .2 3 con A disc = B disc = 0 0 (.7) 0 C(R c+r load ) ( ) T 0 0 (.8) Quindi i possibili stati in cui può trovarsi il convertitore buck sono riportati nella tabella seguente. Diodo(S) Interruttore(S0) Stato off off Q0 off on Q on off Q2 o stato Q 0 rappresenta la fase di conduzione discontinua (corrente nell induttore nulla), in cui abbiamo il diodo (S) contropolarizzato (off) e l interruttore( S0) aperto (off). o stato Q rappresenta la fase di chiusura dell interruttore, mentre lo stato Q 2 rappresenta la fase di apertura (off) dell interruttore con conduzione continua, cioè, con la corrente nell induttore maggiore di zero. Il convertitore buck si può, dunque, vedere come una macchina a stati finiti, il cui diagramma degli stati è riportato in Fig..7. a transizione dallo stato Q 0 allo stato Q è data dalla chiusura dell interruttore S0 (on). a transizione dallo stato Q allo stato Q 2, invece, è data dall apertura dell interruttore (off). Infine, la transizione dallo stato Q 2 allo stato Q 0 è data dal passaggio in conduzione discontinua, cioè dall annullarsi della corrente nell induttore (i D = i = 0).

14 .3 4 Figura.: Diagramma degli stati.3 Convertitore elevatore: BOOST.3. Generalità Il convertitore boost, o step-up, è un elevatore di tensione, nel senso che, al contrario del buck, presenta una tensione di uscita maggiore di quella d ingresso(fig..2). Osservando il circuito, si può notare come esso differisce Figura.2: Convertitore boost dal buck, solo per la diversa topologia dei componenti. analisi del circuito

15 .3 5 è fatta nelle stesse ipotesi semplificative del buck..3.2 Conduzione continua e discontinua Quando l interruttore S è chiuso (figura..3), V in si trova applicata ai capi dell induttanza ed il diodo d si contropolarizza, avendo l anodo praticamente a massa. a corrente nell induttore sale linearmente, immagazzinando energia magnetica, fino a quando, l interruttore non si apre. Quando S si apre, Figura.3: Fase on poichè tende a mantenere costante il regime di corrente, la tensione su si inverte, provocando la conduzione del diodo d. a configurazione del circuito diviene quella mostrata in Fig..4. Trascurando la presenza degli elementi parassiti, in condizione di regime, con duty cycle δ = D costante, il legame tra valor medio V out della tensione di uscita e tensione continua V in d ingresso può essere ricavato imponendo nullo il valor medio della tensione sull induttanza, cioè T T 0 di (t) dt = 0. (.9)

16 .3 6 Figura.4: Fase off Scomponendo questo integrale nella somma di due integrali ciascuno relativo ad una fase del convertitore, la.9 si può scrivere come T T 0 di (t) dt = T DT 0 V in dt + T T DT (V in V out )dt = = V in D + (V in V out )( D) = 0 (.20) da cui V out = V in D (.2) Quindi, come si vede dalla.2, è giustificato il nome di step-up dato al convertitore poichè si ha sempre V out > V in (0 < D < ). Ricaviamo la relazione simile che si ha per i valori medi delle corrente in uscita (cioè la corrente I out nel carico R load ) ed in ingresso (cioè la corrente I in nel generatore), supponendo che il convertitore abbia rendimento unitario. In tale ipotesi, scriveremo V in I in = V out I out. (.22) Usando il legame tra le tensioni dato dalla.2 si ha che I out = V in V out I in = ( D)I in. (.23)

17 .3 7 Anche per il boost come per il buck si parla di conduzione continua quando la corrente nell induttanza non si annulla nel periodo, mentre si parla di conduzione discontinua in caso contrario. a situazione limite tra conduzione continua e discontinua, cioè quando la corrente si annulla t = kt, è analoga a quella del buck. In questa condizione il valor medio della corrente nell induttanza risulta pari a I b = T T 0 i (t)dt = T T I p 2 = 2 I p = = V in 2 DT = D( D)T V out 2 (.24) Tenendo conto che la corrente nell induttanza coincide con quella in ingresso ed usando la.23, si ricava che il valor medio della corrente in uscita in condizioni di confine tra conduzione continua e discontinua è dato I 0b = D( D)2 T V out 2 (.25) In conduzione discontinua (figura..7), annullando ancora il valor medio nel periodo della tensione sull induttanza, si ottiene V out = D + q V in (.26) q Il valore medio della corrente nell induttanza in conduzione discontinua si può esprimere come I = 2 I p(d + q) = DV in (D + q)t (.27) 2 da cui si ottiene il valor medio della corrente di uscita I 0 = q D + q I = T V in qd (.28) 2

18 .3 8 e ricavando q dalla.26 I 0 = V 2 int (V out V in )2 D2 (.29) Come per il buck si ottiene il diagramma di Fig..5. a curva limite tra conduzione continua e discontinua è descritta dalla.25, quelle in conduzione discontinua sono descritte dalla.29 e quelle in conduzione continua sono delle rette in quanto fissati V out e V in la variabile D non dipende dalla I 0 come si evince dalla.2. interpretazione del grafico di figura..5 è analoga a Figura.5: Duty cycle in funzione della corrente di uscita per V out costante e per diversi valori di V in. quella riportata per il convertitore buck. Vediamo adesso, come scegliere l induttanza, affinchè il sistema lavori in continuos current mode. In tali condizioni di funzionamento, la corrente media nel carico I 0, deve essere maggiore al valore che si avrebbe nel caso in cui il chopper funzionerebbe in condizioni di boundary. Utilizzando la.25 ed imponendo I 0 > I 0b, per avere

19 .3 9 il c.c.m., si ottiene I 0 > D( D)2 T V out 2 (.30) da cui > D( D)2 T V out 2I 0 = R loadt 2 D( D) 2 (.3) Se consideriamo il worst-case, che si ha in corrispondenza di I b massima e quindi per un duty-cycle pari a 0.5, avremo > R loadt 6 (.32).3.3 Modello delle fasi Se l interruttore S è acceso, il convertitore si trova nella configurazione di figura..3[?]. Assumendo anche nel caso del boost, come variabili di stato la corrente nell induttore e la tensione sul condensatore, a tale configurazione corrisponde il modello tempo continuo nello spazio di stato (V in = u(t)) x(t) = A on x(t) + B on u(t) (.33) con A on = B on = Rl 0 ( 0 C(R c+r load ) (.34) ) T 0 (.35) Viceversa se l interruttore S risulta spento il sistema si trova nella configurazione mostrata in figura..4. A tale configurazione corrisponde il modello tempo continuo nello spazio di stato x(t) = A off x(t) + B off u(t) (.36)

20 .3 20 con A off = B off = (R l + RcR load R c+r load R load (R c+r load ) ( R load C(R c+r load ) C(R c+r load ) (.37) ) T 0 (.38) Nel caso in cui la corrente si annulla durante la fase off, è noto che il circuito funziona in discontinuous current mode (d.c.m.). Tale configurazione è presentata in.6. Il modello tempo continuo che corrisponde a tale Figura.6: Fase Conduzione discontinua configurazione è x(t) = A disc x(t) + B disc u(t) (.39) con A disc = B disc = 0 0 (.40) 0 C(R c+r load ) ( ) T 0 0 (.4) Quindi i possibili stati in cui può trovarsi il convertitore boost sono riportati nella tabella seguente

21 .4 2 Diodo(S) Interruttore(S0) Stato off off Q0 off on Q on off Q2 Figura.7: Diagramma degli stati Valgono le stesse considerazioni fatte per il convertitore buck. In figura..7 è riportato il diagramma degli stati del convertitore boost..4 Tecniche di modellizzazione.4. Introduzione Il progetto del sistema di controllo di un convertitore necessita di un modello matematico che riproduca il più fedelmente possibile il comportamento del convertitore reale, almeno in un range di frequenze fissato e in un intorno del punto di lavoro in cui si desidera operare. A causa della presenza del tasto di commutazione (diodo più transistore), i convertitori switching sono

22 .4 22 dispositivi intrinsecamente non lineari. Solitamente si preferisce ricondursi ad un modello lineare, operando una linearizzazione per piccole variazioni intorno ad un punto di lavoro. In tal senso, le tecniche più usate per la modellizzazione dei convertitori DC/DC sono la tecnica di media nello spazio di stato (State Space Averaging) e quella di media sugli interruttori (Averaging Switch Model). Sia SSA che ASM individuano, per via analitica, un modello medio lineare di un generico convertitore..4.2 State Space Averaging (SSA) Il metodo SSA Consideriamo un convertitore in conduzione continua che abbia un unico tasto, acceso nell intervallo temporale δt e spento nell intervallo δ T ; quando l interruttore commuta, passa da una configurazione circuitale descritta dal sistema: x(t) = y = A on x(t) + B on u C on x (.42) durante δt e con u = V in, ad un altra data da: x(t) = y = A off x(t) + B off u C off x (.43) durante δ T. e equazioni possono essere mediate nel tempo per ottenere un unico sistema lineare, ovvero: x(t) = y = Ax(t) + Bu Cx (.44)

23 .4 23 con A = A on δ + A off δ B = B on δ + B off δ C = C on δ + C off δ Per ottenere un sistema lineare equivalente, valido solo se δ = D =costante, che modelli la dinamica del sistema vero per piccole variazioni di δ, si riscrivono le equazioni considerando che: δ = D+ˆδ x = X+ˆx y = Y +ŷ u = U = V in δ = δ = ( D) ˆδ = D ˆδ dove le lettere maiuscole indicano valori di regime e quelle con ˆ indicano piccole variazioni di tali valori. Quindi y = Y + ŷ = cx = c(x = X + ˆx) con c = C on δ + C off δ = C on (D + ˆδ) + C off (D ˆδ) = (C on C off )ˆδ + C Il sistema che si ottiene è: ˆ x(t) = Y + ŷ = AX + BU + Aˆx + [(A on A off )(X + ˆx) + (B on B off )U]ˆδ (.45) C(X + ˆx) + (C on C off )(X + ˆx)ˆδ trascurando i termini del secondo ordine e le perturbazioni rispetto ai valori di regime, si ottiene un modello valido solo a regime di tipo: X = Y = A BV in CX (.46)

24 .4 24 Da qui si ricava il guadagno statico, ovvero il rapporto fra la tensione d ingresso e quella di uscita: V out V in = CA B (.47) Se invece si trascurano i valori di regime ed i termini del secondo ordine, si ottiene il modello del sistema per piccoli segnali: ˆ x(t) = ŷ = Aˆx + [(A on A off )X + (B on B off )U]ˆδ C ˆx + (C on C off )Xˆδ (.48) Da quest ultimo modello si ricava facilmente la funzione di trasferimento del circuito equivalente per piccole variazioni di δ: G(s) = ŷ(s) ˆδ(s) = C(sI A) [(A on A off )X + (.49) +(B on B off )V in ] + (C on C off )X Applicazione al PWM Se si considera un convertitore controllato con la tecnica PWM, per ottenere la funzione di trasferimento complessiva tra ŷ e ˆδ, occorre considerare che l ingresso vero del sistema è la tensione di riferimento v ref (t) che viene data in ingresso al modulatore per generare il segnale i(t) che ha duty-cycle δ. Calcoliamo la funzione di trasferimento del modulatore con il metodo esposto nel paragrafo precedente. Il modulatore PWM confronta (come visto in.5.2) la tensione v c (t) con una forma d onda triangolare v r (t) che si ripete con periodo /f s. Analogamente a δ, la tensione di controllo subisce piccole variazioni intorno ad un valore costante v c (t) = V c + ṽ c (t) (.50)

25 .4 25 fermo restando che stia sempre sotto il valore massimo V r. Supponiamo che la perturbazione sia di tipo sinusoidale con frequenza f s nota ed ampiezza e fase sconosciute: ṽ c (t) = a sin(ωt ϕ) (.5) Il segnale i(t) viene generato secondo la seguente legge: v c (t) v r (t) i(t) = 0 v c (t) < v r (t) (.52) Il duty-cycle del segnale i(t) può essere scomposto secondo Fourier come δ(t) = V c V r + a V r sin(ωt ϕ) + componenti a più alta frequenza. (.53) e componenti a più alta frequenza non sono considerate in quanto sono eliminate dal filtro passa-basso in uscita al convertitore. Dalle equazioni precedenti segue che: D = V c V r δ(t) = a V r sin(ωt ϕ) e quindi la funzione di trasferimento del modulatore PWM è: G m (s) = δ(s) ṽ(s) = V r. Tale funzione di trasferimento è molto semplice; di solito nella realtà il comparatore può introdurre anche un piccolo ritardo. Applicazione al convertitore boost ideale Consideriamo il caso di un convertitore boost ideale, cioè senza elementi parassiti. Come visto nel paragrafo.3.3, considerando R l = 0 ed R c = 0,

26 .4 26 nel caso l interruttore sia acceso si ha: x = 0 0 x 2 0 CR load x x V in (.54) y = [ 0 ] x x 2 (.55) Nel caso l interruttore sia spento si ha: = 0 x 2 C CR load x x V in (.56) y = [ 0 ] x x 2 (.57) Come si può vedere si ha: A = A on D + A off D = A on A on D + A off D = 0 D D C RC (.58) B = B on = B off C = C on = C off Per la.46 X = R load C D D 0 0 V in. D 2 /C = V in D 2 R load D (.59) Per calcolare la funzione di trasferimento complessiva: (si A) = = s 2 + s D D s + D 2 R load C C s + R load C s + D R load C D C s = (.60) (.6)

27 .4 27 (A A 2 ) = 0 C 0 (.62) G(s) = C(sI A) (A A 2 )X = V in s R load D 2 D 2 C s D 2 + s 2 D 2 R load + (.63) Tale funzione ha il guadagno, i poli e lo zero dipendenti dal punto di lavoro scelto. Applicazione al convertitore buck ideale Consideriamo il caso di un convertitore buck ideale. Come visto nel paragrafo.2.3, considerando R l = 0 ed R c = 0, nel caso l interruttore sia acceso si ha: x x 2 = 0 C CR load x x V in (.64) y = [ 0 ] x x 2 (.65) Nel caso l interruttore sia spento si ha: x x 2 = 0 C CR load x x V in (.66) y = [ 0 ] x (.67) x 2

28 .4 28 con A on = A off. Per calcolare la funzione di trasferimento complessiva dalla.49: G(s) = C(sI A) (B B 2 )V in (.68) A = A on D + A off D = A on ( D ) + A off D = A on (.69) dato che A on = Aoff. = (si A) = s 2 + s + R load C C s s + C RC s + R load C C = (.70) s (.7) (B B 2 ) = 0 (.72) G(s) = V in C. s 2 + s CR load + C (.73)..4.3 Averaged Switch Model Abbiamo visto che ci sono due modi di operare : CCM (Continuosly Current Mode) e DCM (Discontinuosly Current Mode). Nel primo caso si suppone che la corrente nell induttore, sempre presente in qualsiasi configurazione topologica, non sia mai nulla all interno del periodo di commutazione. In modalità DCM, invece, si suppone che la corrente vada a zero prima della

29 .4 29 fine del periodo di commutazione. Di seguito sarà trattato solo la modalità CCM nel caso di un convertitore boost. Per le altre configurazioni si può procedere in modo analogo. Modello medio non lineare del tasto Dal circuito del convertitore estraiamo la sottorete contenente esclusivamente i dispositivi di commutazione, ovvero il transistore ed il diodo. a figu- Figura.8: Rete di switching del boost ra..8 illustra la rete di switching di un convertitore boost. Consideriamo i valori medi delle forme d onda ai capi della rete di commutazione. Dalla Fig..8, sotto le ipotesi di conduzione continua, possiamo scrivere le seguenti equazioni: < i 2 (t) >= ( δ(t)) < i (t) > (.74) < v (t) >= ( δ(t)) < v 2 (t) > dove δ(t) è il duty-cicle definito in precedenza. Adoperando generatori controllati, possiamo tradurre tali relazioni in termini circuitali, ottenendo lo schema di figura..9 che costituisce il modello medio, non lineare, della rete di commutazione del convertitore.

30 .4 30 Figura.9: Modello medio non lineare del tasto del boost Modello medio lineare per piccoli segnali Dal modello medio non lineare, ricaviamo il corrispondente lineare operando una linearizzazione per piccoli segnali intorno ad un punto di lavoro. Esprimiamo le grandezze di tasto come somma di un contributo costante (statico) più una piccola variazione: δ(t) = ˆδ(t) D ; < v j (t) >= ˆv j (t) + V j ; < i j (t) >= I j + î j (t) ; J =, 2 sostituendo tali relazioni in.74 e tralasciando i termini in cui compare il prodotto di piccole variazioni (termini del secondo ordine), abbiamo: < i 2 (t) >= I 2 + î 2 (t) = ( ˆδ(t) D)(î (t) + I ) = = î + I ˆδî ˆδI Dî DI = î + I ˆδI Dî DI < v (t) >= ˆv (t) + V = ( ˆδ(t) D)(ˆv 2 (t) + V 2 ) = = ˆv 2 + V 2 ˆδV 2 Dˆv 2 DV 2 = ˆv2 + V 2 ˆδV 2 Dˆv 2 DV 2 Isolando la parte costante dalla parte variabile otteniamo le relazioni: I 2 = I DI = ( D)I

31 .4 3 Figura.20: Tasto nel convertitore boost: modello medio lineare statico V = V 2 DV 2 = ( D)V 2 î 2 = î ˆδI Dî = ( D)î ˆδI = Dî ˆdI ˆv = ˆv 2 ˆδV 2 Dˆv 2 = ( D)ˆv 2 ˆδV 2 = D ˆv 2 ˆδV 2 che in termini circuitali, ricorrendo all uso del trasformatore ideale, diventano gli schemi di Fig..20 e Fig..2. In realtà il modello alle variazioni include Figura.2: Tasto nel convertitore boost: modello medio lineare variazioni quello statico dato che in continua ˆδ = 0.

32 .4 32 Applicazione al convertitore boost Sostituendo il modello del tasto nel circuito completo del convertitore, si ottiene il modello medio lineare del convertitore, illustrato in figura..22, che permette di ricavare tutte le funzioni di trasferimento a cui siamo interessati. Calcoliamo la funzione di trasferimento controllo-uscita del convertitore Figura.22: Modello medio lineare del convertitore boost boost, ovvero : G(s) = ˆv 0(s) ˆδ(s) def = ˆv 0 ˆδ ; (ˆv in = 0) (.75) Consideriamo il circuito di Fig..22 con ˆv in = 0 e facciamo un analisi alle variazioni. Posto z = z(s) = (R// Cs = R RCs + (.76) si ha: ˆv 0 = z(d î in ˆδI in ) sî in = ˆδV 0 D ˆv 0 ˆv 0 = z s D (ˆδV 0 D ˆv 0 zˆδi in ˆv 0 ˆδ = ( z s D 2 V 0 zi in ) ( + z s D 2 ) (.77)

33 .5 33 Figura.23: Circuito pe l analisi in continua dove le grandezze V 0 e I in si calcolano dal circuito in continua di Fig..23, che è derivato da quello di figura..22, cortocircuitando l induttore e aprendo il condensatore. Sostituendo le.78 in.77 si ha: V 0 = D V in ; I in = V in RD 2 (.78) ˆv 0ˆδ = (z V in s z V in RD 2 ) ( + D 2 z s ) = zv in RD 2 s (s + zd 2 )RD 2 (.79) sostituendo il valore di z si ottiene: ˆv = 0ˆδ V in RD 2 s D 2 RCs 2 + s + RD = V in 2 RD 2 s D 2 C s D s + RD 2 che, logicamente, coincide con il valore trovato con il metodo SSA. (.80).5 Controllo.5. Introduzione Nei vari convertitori lo scopo del controllo è quello di mantenere la tensione di uscita entro una banda di tolleranza accettabile del valore di riferimento,

34 .5 34 indipendentemente dalle fluttuazioni che si possono avere sulla tensione d ingresso e sul carico d uscita del convertitore. A tale scopo, il valore medio della tensione d uscita, viene controllato attraverso la durata della fase on e della fase off dell interruttore. Uno dei metodi possibili, è la tecnica PWM (Pulse Width Modulation), in cui la frequenza di commutazione è costante, mentre viene variato il rapporto tra la durata della fase on ed il periodo di modulazione (duty cycle). Di seguito analizzeremo il controllo con reazione di tensione usando la tecnica PWM..5.2 Controllo PWM Tipicamente, per eseguire la regolazione PWM, si usa uno schema di controllo classico, come quello illustrato in figura..24 Figura.24: Controllo PWM Il blocco denominato modulatore PWM varia il duty cycle dell onda quadra, che pilota il transistore, in base al valore della tensione di controllo V c in uscita dal regolatore. Un sistema capace di eseguire una tale trasformazione può essere un sistema basato appunto sulla tecnica PWM illustrato in figura..25, che impiega un comparatore che esegue un confronto fra un onda (general-

35 .5 35 Figura.25: Circuito generatore PWM mente un dente di sega o un onda triangolare), detta portante, di periodo T s pari a quello di commutazione dei convertitori (quindi la frequenza del segnale stabilisce la frequenza di commutazione), con la tensione di riferimento, detta modulante. uscita del comparatore commuta a livello alto quando l ampiezza dell onda è maggiore della tensione di riferimento. Non appena la tensione di riferimento diviene minore della tensione dell onda, il comparatore commuta a livello basso figura..26. Vediamo ora come reagisce il controllo in seguito ad una variazione della tensione d ingresso. Tale variazione deve essere vista, come disturbo da eliminare, in quanto si vuole mantenere la tensione media di uscita costante. Supponiamo che la tensione d ingresso aumenti, questo provocherà un incremento della tensione d uscita e di conseguenza della tensione di controllo, che farà diminuire il tempo t on e quindi il duty-cycle, riportando il valore di uscita al valore desiderato. Viceversa, se la tensione d ingresso diminuisce, diminuirà la tensione d uscita ed

36 .5 36 Figura.26: Funzionamento del modulatore PWM il segnale di controllo, che faranno stavolta aumentare il duty-cycle, ripristinando il valore di tensione d uscita al livello desiderato. In modo analogo si ragiona per una variazione di carico. Consideriamo il caso di un convertitore Figura.27: Schema controllo convertitore Buck buck operante in Continuos Conduction Mode. Abbiamo visto in precedenza che il convertitore è caratterizzato dal modello tempo continuo nello spazio

37 .5 37 di stato x(t) = Ax(t) + b u (.8) con (considerando per semplicità R c = 0 e R l = 0) A = b = 0 ( C CR load V in 0 (.82) ) T (.83) ed u = 0 se l interruttore è aperto, u = se l interruttore è chiuso. Applichiamo al buck un controllo in tensione con tecnica PWM (figura..27). a tensione di controllo V contr = K(V out V ref ) (con k > 0) è comparata con un onda (ad esempio un segnale sawtooh) V ramp che varia tra V l e V u. Se la tensione di controllo V contr è minore che il sawtooh, l interruttore è chiuso. Si può quindi scrivere u = 0 se V ramp k(v out V ref) < 0 u = se V ramp k(v out V ref) >= 0 (.84) Ciò significa che x(t) = Ax(t) + b η(v ramp + k(v ref V out)) (.85) dove η(.) è la funzione step.