Elettromagnetismo. Magnetismo nella materia Diamagnetismo. Lezione n Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano

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1 Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa Univsità dgli Studi di Milano Lzion n Magntiso nlla atia Diaagntiso Anno Accadico 17/18

2 Popità agntich dlla atia La atia può sibi popità agntich olto diffnti Iniziao con una classificazion di atiali sulla bas dll loo popità Supponiao di av un solnoid in gado di podu capi agntici olto intnsi Diciao dll'odin dl Tsla Un solnoid dl tipo appsntato in figua potbb av l sgunti caattistich: Capo assio. Al cnto, di cica 3 Tsla Cilindo intno h 4 c 1 c Con un siil agnt si possono ffttua isu sulla foza agntica ch agisc su vai atiali in psnza di un capo agntico stno Si scop ch si scita una foza quando il capo agntico non è unifo La foza dipnd dal gadint dl capo agntico Il gadint è più lvato all'ingsso dl agnt Si ha un gadint di cica 17 T/ Il capo è di cica 1.8 T Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa 5

3 Popità agntich dlla atia Con l'appaato pcdnt si possono studia vai atiali F F Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa 53

4 Popità agntich dlla atia È vidnt ch una toia dgli fftti agntici dlla atia dv ss piuttosto coplssa P una class di atiali l foz sono dboli L foz sono popozionali al quadato dl capo P i atiali diaagntici Vngono "spinti" dal agnt Pi atiali paaagntici Vngono "attatti" dal agnt Nlla tablla pcdnt l foz sono ifit a una assa di 1 Kg Foz di.1-1 N conto una foza pso di 9.8 N L'ossigno liquido è una tipologia diffnt (bassa tpatua) P una class di atiali l foz sono olto intns L foz sono linai con l'intnsità dl capo Matiali foagntici Sono "attatti" dal agnt Un Kg di fo isnt di una foza agntica di 4 N Pai ad una foza pso di 4 Kg Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa 54

5 Popità agntich dlla atia Matiali diaagntici Si scop ch tutt l sostanz sono soggtt a qusto tipo di foza pulsiva Dipnd dal quadato dlla cont dl solnoid È l'unico fftto p l sostanz oganich p olti coposti inoganici Paticant indipndnt dalla tpatua Matiali paaagntici P olt sostanz qusta foza attattiva isulta counqu dbol Dipnd dal quadato dlla cont dl solnoid Ad spio p talli co sodio, alluinio P alcuni coposti è un po' più intnsa NiSO 4, CuCl La foza aunta s la tpatua diinuisc Matiali foagntici La foza è attattiva d è olto intnsa Dipnd linant dalla cont dl solnoid Fa i pincipali atiali foagntici sono il fo, il nichl il cobalto Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa 55

6 Popità agntich dlla atia Val la pna fa una considazion sugli asptti di natua ngtica L ngi in gioco p i fnoni diaagntici paaagntici sono piuttosto piccol Qusto è vo anch a livllo icoscopico Considiao ad spio i dati dll'ossigno liquido ipotati in tablla Facciao ifinto al todo di isua dscitto Supponiao di vol allontana il capion (1 Kg di sostanza) p potalo fuoi dall'fftto dl capo agntico Diciao allontanalo di 1 c P opposi alla foza di 75 N il lavoo ncssaio è cica 7.5 Jouls ( 1 J) In 1 Kg di O ci sono cica 1 5 olcol L'odin di gandzza dll'ngia p olcola è 1 4 Jouls P confonto, p vapoizza 1 Kg di O liquido occoono Jouls Cica 1 Jouls p olcola Si vd ptanto ch i fnoni diaagntici o paaagntici ttono in gioco ngi olto più piccol di una tansizion di fas Non influnzano azioni chiich o pocssi biochiici Un sa NMR non ha nssun fftto collatal (occo pò psta attnzion a ipianti/potsi foagntich) Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa 56

7 Popità agntich dlla atia Abbiao già sottolinato ch non si sono ai tovat caich agntich Abbiao finoa studiato il agntiso nl vuoto Anch studiando il agntiso nlla atia non si è ai tovata vidnza di onopoli agntici I onopoli sono stati ccati in olti odi il isultato di qust icch è ch s sistono sono olto ai Assuiao ptanto ch non sistano caich agntich L quazioni dl capo sono ptanto Nl caso statico μ + μ ε E t (,t ) J μ Ptanto l'oigin dll popità agntich dlla atia è da icca nll'sistnza di conti a livllo icoscopico Conti atoich dovut al oto obital dgli lttoni Classicant l'ltton obita intono al nuclo si può appsnta co una spia pcosa da cont Un dipolo agntico Monto agntico intinsco dgli lttoni (lgato allo spin) Un fftto puant quantistico L'ltton ha un onto angola intinsco Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa 57 J

8 Conti atoich Vogliao adsso utilizza qusto splic odllo atoico p cca di copnd l foz diaagntich Una tattazion igoosa ichidbb la ccanica quantistica Assuiao, anch s qusto non è copltant cotto, ch l'ltton ( q ) si uova in un'obita cicola di aggio intono al nuclo La fqunza di ivoluzion è f v π Ptanto la quantità di caica al scondo ch attavsa un punto dll'obita è v i Nl fissa il vso dlla cont abbiao tnuto conto dl fatto ch la caica dll'ltton è ngativa Inolt abbiao tascuato il fatto ch la caica sia puntifo l'abbiao considata unifont distibuita sulla ciconfnza La cont atoica dscitta costituisc un dipolo agntico Il onto agntico è ppndicola al piano dll'obita f iπ π v π π v Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa 58 i v

9 Conti atoich Dtta la assa dll'ltton il suo onto angola obital è L v Attnzion a non confond la assa ( ) con il onto agntico Anch il onto angola obital L è ppndicola al piano dll'obita Confontando l du spssioni si ottin Qusta lazion val anch quando l'obita non è cicola Val anch in ccanica quantistica quando non è più possibil pala di obit Notiao ch s la caica foss positiva il onto agntico il onto angola sabbo paallli La caica dll'ltton è ngativa L sono anti-paallli Alcuni autoi chiaano la quantità / appoto gioagntico dll'ltton La nonclatua è confusa L i v v Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa 59

10 Monti angolai onti agntici Anch al onto angola intinsco dll'ltton è associato un onto agntico Tuttavia la costant di popozionalità è diffnt g Si tatta di un fftto puant quantistico non spigabil classicant In paticola il fatto g Una cosa olto ipotant ch va dtta a poposito di onti angolai atoici è ch non possono assu tutti i valoi con continuità I valoi possibili sono discti (quantizzati) La poizion lungo un ass dl onto angola obital è un ultiplo dlla costant di Planck Lz Il onto angola intinsco può assu solo du valoi l, l + 1,, l 1, l Di consgunza anch i onti agntici atoici possono assu solo valoi discti (quantizzati) S L l( l + 1) 1 S ± z g Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa 6

11 Monti angolai onti agntici Quando paliao dll'atoo dobbiao tn conto ch è un sista coposto da lttoni nucloni Tuttavia i nucloni sono olto più psanti dgli lttoni p n Ptanto è di solito una buona appossiazion consida l'ltton sotto l'fftto di un capo coulobiano gnato da una caica fissa in un punto dllo spazio Equival a consida infinita la assa dl nuclon P quanto iguada lo spin di nucloni il onto agntico associato Il onto agntico dl poton è (g ) μ g p Notiao ch il appoto gioagntico dl poton è cica volt più piccolo di qullo dll'ltton Inolt μ p.793 Diva dal fatto ch il poton è una paticlla coposta di quak P il nuton μ n Nonostant il nuton sia nuto! Nllo studio dl agntiso nlla atia i onti agntici nuclai sono tascuati Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa 61 p S

12 Monti angolai onti agntici La ccanica quantistica pttà di foula un odllo dll'atoo ch dsciv in odo olto pciso l popità dgli atoi In paticola il onto angola total dll'atoo E quindi anch il onto agntico Risulta ch gli atoi l olcol tndono ad av un onto angola nullo I onti angolai obitali si cancllano I onti angolai intinsci si cancllano (pincipio di Pauli) In altà qusto avvin nll olcol o quando il nuo dgli lttoni è pai In patica la aggio pat dll sostanz hanno un onto angola nullo P qust sostanz l'unico fnono agntico è il diaagntiso Ccho di capi il diaagntiso studiando gli fftti di un capo agntico stno su un ltton in un'obita classica L v Si ha onto angola nullo con du obit pcos in vso opposto L v Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa 6

13 Modllo qualitativo dl diaagntiso Supponiao di av una paticlla di assa M caica q ch copi un oto cicola unifo in un'obita di aggio La foza cntipta è fonita da una fun F q La tnsion dlla fun è F, la vlocità v v M Inizialnt F v M Supponiao adsso di stabili nlla gion un capo agntico 1 ditto co in figua 1 F Natualnt dobbiao passa da a 1 Avo una capo agntico vaiabil nl tpo v Avo anch un capo lttico indotto La vaiazion dl flusso sull'obita dtina la cicuitazion dl capo lttico indotto Tascuiao il sgno ch fisso alla fin con la lgg di Lnz dφ d E d E dt E π d πe dt dt l E π π C E d dt Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa 63 E

14 Modllo qualitativo dl diaagntiso Il capo lttico indotto accla l'ltton E d dt dv M qe dt M dv q d dt dt L'quazion si intga facilnt v F E Mdv qd v 1 dv q d M v+δv 1 F 1 Δ v q M 1 v +Δv La vlocità è auntata S la vlocità aunta dv aunta anch la foza cntipta ( v +Δv) v v Δv M + M + O( Δv ) F F M 1 Ni casi di intss Δv v Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa 64

15 Modllo qualitativo dl diaagntiso Olt alla tnsion dlla fun abbiao anch la foza di Lontz: F 1 F + F F qv F q ( v +Δv ) 1 MΔv F ( v +Δv ) Tascuiao ancoa una volta i tini in Δv Confontiao con il isultato dlla diapositiva pcdnt F Mv Δ v q M Vdiao l'intssant cicostanza ch il capo agntico fonisc anch la ncssaia foza cntipta aggiuntiva Ncssaia p antn il aggio dll'obita costant La tnsion dlla fun non è cabiata Non dipnd dal tipo di foza ch lga la paticlla Funziona allo stsso odo con la lgg di Coulob Δv v v Δv F M + M 1 q 1 1 MΔv Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa 65

16 Modllo qualitativo dl diaagntiso Vniao al sgno dlla foza lttootic In lina di pincipio Δv potbb ss ngativa 1 indicando una dclazion dlla caica Utilizziao la lgg di Lnz La vaiazion vlocità dv gna una vaiazion di flusso ch si oppon al flusso di 1 S q > la vaiazion di vlocità dv ss positiva: Δv > In tini di onto di dipolo agntico Inizialnt il onto di dipolo è Dopo l'acclazion il onto è auntato +Δ Dall diapositiv pcdnti q v q Δ Δv F 1 Δ q v +Δv v Δv Δ v q M 1 Δ q 4M 1 Δ q 4M 1 Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa 66

17 Modllo qualitativo dl diaagntiso Vdiao ptanto ch l'ltton acquista un onto di dipolo agntico aggiuntivo L'aunto Δ è anti-paalllo al capo applicato 1 Il onto di dipolo aggiuntivo è nl vso opposto a qullo di 1 anch quando l'ltton uota in snso invso Succd p la lgg di Lnz P la lgg di Lnz la vaiazion di vlocità dv gna una vaiazion di flusso opposta a qulla causata da 1 1 Δv Δ co nl caso pcdnt Concludiao ch p ntabi i vsi dlla vlocità dll'ltton c'è un onto di dipolo aggiuntivo Anch p un atoo con du lttoni con du obit pcos in snso opposto Un atoo ch inizialnt ha onto angola onto agntico nulli Acquista un onto di dipolo agntico pai a Δ Δ Δ Δ Δ Analogo all'atoo sfico ch si dfoa acquista un dipolo lttico q v q 4M v 1 Δv +Δv q 4M 1 Δv Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa 67

18 Modllo qualitativo dl diaagntiso Abbandoniao l'ipotsi ch l'obita sia ppndicola al capo agntico La poizion dl capo agntico sull'ass ppndicola al piano dll'obita è cosθ z z Nlla soa di onti agntici aggiuntivi ian solo la coponnt z di Δ La gandzza cosθ è la poizion dl aggio dll'obita sul piano x y Mdiando su tanti atoi D'alto canto q Δ 4M Δ Δcos θ x + y + z z Utilizzando qusto isultato cos θ q 4M cos cos θ x + y x + y Δ x y z 3x cos θ x cos θ 3 Δ q 6M Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa 68 θ θ x θ 3

19 Modllo qualitativo dl diaagntiso Infin considiao un atoo in cui ci sono Z lttoni (q, M ) Il onto agntico ch l'atoo acquista è R Z Δ Δ k 1 Possiao adsso calcola il onto agntico ch acquista un volu V di atia ch contin n atoi p unità di volu Il nuo di atoi è N Il onto agntico è NΔ k ρ nv N V Av A Z k 6 k 1 M N A Av M ZR N Av A 6 Z k ZR 6 k 1 6 Ricodiao ch la foza su un onto agntico è ( diapositiva 19) Notiao ch il vso dlla foza dipnd dal sgno di 1 Z k Z k 1 ρ n N A Av M è la assa dl volu V in g Z 1 1 R MNAv A ( ) F Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa 69

20 Modllo qualitativo dl diaagntiso Calcoliao la foza p l sostanz citat nlla diapositiva ( ) F 1 R MNAv 6 Ossviao ch La foza è popozional alla assa Il gadint dl capo è ngativo, la foza è ditta lungo il vso positivo dll'ass z È una foza pulsiva Calcoliao il odulo F z F z Ripoduc olto bn l'odin di gandzza dll foz P valoi più accuati occo il valo satto di R R F MN z Av z 1.4 N R MNAv 6 z 18 T/ 1.8 T R M 1Kg C N Av < z Kg Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa 7

21 Toia di Langvin dl diaagntiso La toia dl diaagntiso dscitta è adottata in olti tsti È adottata da Pucll a non da Mazzoldi Mazzoldi psnta la toia classica di Langvin basata sulla pcssion dl onto angola L Il onto dlla foza sull'ltton obitant n fa pcssa il onto angola ω L La otazion aggiuntiva gna una cont Δi L Δ i f ω L π L'atoo acquista un onto agntico aggiuntivo Δ ω π π L Δ Δiπ 1 Ossviao ch in ntabi i casi si tatta di toi qualitativ ch ostano una si di inconsistnz di natua todinaica Una toia igoosa ichid la ccanica quantistica Δ 4 Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa 71

22 Paaagntiso Abbiao dscitto l'fftto dl capo agntico lgato al oto obital dgli lttoni Abbiao notato ch quasi tutt l sostanz (olcol) hanno un onto angola obital nullo Abbiao inolt notato ch gli lttoni possggono un onto angola intinsco (spin) la cui poizion lungo un ass assu du soli valoi: ± / Il onto agntico intinsco dll'ltton è μ J/T ± μ ± μ agnton di oh P il pincipio di sclusion di Pauli gli lttoni tndono a disposi in coppi con onto angola nullo Anch il onto agntico saà nullo In alcun olcol il nuo di lttoni è dispai (ad s. NO) oppu la configuazion lttonica è tal da non av la cancllazion dllo spin p du lttoni (O ) In qust sostanz un capo agntico stno può allina i onti agntici fa copai un onto di dipolo Nllo stsso vso dl capo agntico applicato Nl vso opposto isptto al diaagntiso Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa 7

23 Paaagntiso Abbiao visto ch un dipolo agntico in un capo agntico possid un'ngia potnzial data da U In ccanica quantistica avvin la stssa cosa, ad spio p lo spin di un ltton atoico La poizion dl onto agntico lungo può av solo valoi: ±μ U ±μ In un atial a tpatua T gli lttoni possggono anch un'ngia di agitazion tica Il nuo di lttoni ch hanno un dtinato valo dl onto agntico si calcola utilizzando la statistica di oltzann Intoducndo l ngi dalla tablla n axp μ / kt up a si dtina iponndo ch il nuo total di lttoni sia N n axp U / kt n + n N up down Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa 73 U j z j z j z U up + / μ μ down / +μ μ n axp μ / kt down + +

24 Paaagntiso n axp μ / kt up n axp μ / kt down + Calcoliao la costant a n n N up μ + ( / kt + μ / kt) down a + N a μ / kt + μ / kt Il onto agntico dgli N lttoni si calcola con la soa n + n up up down down + μ / kt μ / kt N μ + b μ / kt + μ / kt up N + ( μ ) n ( μ ) n + + N μ down j z U up + / μ μ down / +μ μ Nμ b tanh μ kt μ kt Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa 74

25 Paaagntiso La foula ch abbiao tovato fonisc il onto agntico di un blocco di atia con N lttoni Ricodiao ch il onto agntico dgli lttoni a "quantizzato" nlla dizion dl capo agntico È nllo stsso vso di Ossviao ch p capi olto lvati o tpatu bass il onto agntico indotto satua Tutti i onti dgli spin si allinano nllo stsso snso di N μ μ n axp μ / kt up tanh 1 kt P capi agntici dll'odin di 1T tpatua abint μ kt μ μ. tanh kt kt μ tanh kt Qusto è il isultato ch si ottin s si assu ch il dipolo agntico può assu tutti i valoi di ngia fa μ +μ Nμ b Nμ kt N g μ kt S Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa 75

26 Paaagntiso La toia dscitta può ss stsa anch ad atoi olcol con configuazioni di onto angola più coplicat Il gafico osta l'accodo fa calcoli toici basati sui conctti dscitti dati spintali P atoi con onto angola J 3/, 5/, 7/ Va sottolinato ch la toia ch abbiao discusso dsciv i conctti fondantali ncssai p dsciv il paaagntiso Tuttavia p una tattazion igoosa ch ipoduca sattant i dati spintali occo saina in aggio dttaglio il onto angola dll sostanz ch si vogliono dsciv Analisi dl gn sono al di là dgli obbittivi dl coso Il foagntiso è un fnono lgato anch'sso allo spin dll'ltton La dscizion icoscopica dl fnono è olto coplicata Dao di cnni dopo la tattazion fnonologica dl agntiso nlla atia μ T Elttoagntiso Pof. Fancsco Ragusa 76