Teoria dei segnali Unità 3 e conversione A/D e conversione A/D Rappresentazione in frequenza Segnali periodici Conversione A/D 005 Politecnico di Torino
Obiettivi Introdurre gli strumenti per l analisi dei segnali a potenza media finita Introdurre la rappresentazione in frequenza per i segnali a potenza media finita Richiamare in modo organico tutti gli strumenti per l analisi dei segnali periodici Introdurre i concetti di base della conversione analogico-digitale: campionamento e quantizzazione 3 e conversione A/D 005 Politecnico di Torino
Generalità Esempi Interpretazione 5 Generalità 005 Politecnico di Torino 3
Introduzione Ricordiamo la definizione di energia di un segnale x(t), a valori reali o complessi: Ex x( τ) d = τ Si tratta di una grandezza reale e positiva, adimensionale, proporzionale all energia della grandezza fisica rappresentata da x(t) (tensione o corrente elettrica, etc.) 7 Introduzione Supponiamo che, per un certo segnale x(t), l energia non converga: Ex x() τ d = τ Si tratta naturalmente di un astrazione matematica, in quanto i segnali fisicamente realizzabili sono tutti a supporto temporale limitato, e quindi a energia finita 8 005 Politecnico di Torino 4
Introduzione Tuttavia, astrazioni molto utili nella pratica (come per esempio i segnali periodici) non hanno energia finita, e vanno dunque presi in considerazione diversamente È quindi necessario identificare un altra grandezza fisica che descriva quantitativamente le caratteristiche energetiche di questa classe di segnali 9 Potenza media È possibile che per i segnali a energia non finita converga la potenza media, definita come T / P = lim x( τ) d x T T T / Si noti come, pur trattando grandezze adimensionali, questa definizione è congruente con il fatto che una potenza sia data dal rapporto tra un energia e un tempo τ 0 005 Politecnico di Torino 5
Potenza media Per i segnali a energia finita, la potenza media è uguale a zero, come si evince facilmente dalla definizione Non è escluso che, per talune funzioni matematiche, la potenza media tenda a infinito Tuttavia, questi casi non hanno alcuna applicazione pratica nel campo delle telecomunicazioni, e quindi non verranno considerati Segnali a p.m. finita Un segnale è a potenza media finita se la potenza media non è uguale a zero (condizione che identifica i segnali a energia finita) non tende a infinito (caso che sarebbe privo di rilevanza pratica) Si tratta quindi di una quantità reale, strettamente positiva, finita 005 Politecnico di Torino 6
Segnali a p.m. finita Come sono fatti i segnali a potenza media finita? Innanzitutto essi sono a supporto illimitato nel tempo; infatti i segnali a supporto temporale finito sono a energia finita Però questa non è una condizione sufficiente affinché il segnale sia a potenza media finita: infatti esistono segnali a supporto temporale illimitato ma a energia finita 3 Segnali a p.m. finita Controesempio : t xt () = e E x() d e τ d x = τ τ = τ < ( ) x t 0 t 4 005 Politecnico di Torino 7
Segnali a p.m. finita Controesempio : t yt () = e ut () E y( ) d e τ d y = τ τ = τ < 0 y( t) t 5 Segnali a p.m. finita Intuitivamente, un segnale a supporto temporale illimitato ma che esibisce un andamento tendente a zero per t ± avrà energia finita Per contro, un segnale a potenza media finita dovrà essere persistente, ovvero non tendere a zero agli estremi del dominio 6 005 Politecnico di Torino 8
esempi Esempio Una classe importante di segnali a potenza media finita: i segnali periodici Esempio : x() t = A sin( π ft 0 ) con A una costante reale positiva Il periodo di x (t) vale T 0 = /f 0 + A x ( t) T 0 T 0 / T 0 / 4 A T 0 4 T 0 T 0 = f 0 t 8 005 Politecnico di Torino 9
Esempio Calcoliamo la potenza media di x () t T / Px lim T x() d T τ T / = τ = = A π f τ dτ = T / lim sin ( ) T 0 T T / cos(4 π f τ) = A = T / 0 A limt d T τ T / 9 Esempio Esempio : x (t) onda quadra di ampiezza ±B e periodo T 0, con B una costante reale positiva x ( t ) + B T 0 T 0 T 0 T 0 t B 0 005 Politecnico di Torino 0
Esempio Calcoliamo la potenza media di x (t): T / Px lim T x( ) d T τ T / = τ = T / = limt Bdτ = B T T / Esempio 3 Esempio 3: Segnali persistenti non periodici x3( t) = α irt ( itb) i= dove r(t) è un impulso rettangolare causale di durata T b e ampiezza, e α, =,, i i è una sequenza nota di numeri che possono assumere i valori ± 005 Politecnico di Torino
Esempio 3 x 3 ( t ) α + α 0 α α 3 4T b 3T b T b Tb 0 Tb Tb 3T b 4Tb 5Tb 6Tb t α α 4 3 α α α 4 α 5 3 Esempio 3 Questo segnale rappresenta un possibile modello matematico per il cosiddetto segnale per trasmissione dati, dove ciascun valore a i rappresenta un bit da trasmettere, T b è il periodo di segnalazione, ovvero l intervallo di tempo disponibile per la trasmissione di ogni bit, e r(t) è il segnale elementare usato per convogliare l informazione relativa all i-esimo bit 4 005 Politecnico di Torino
Esempio 3 Calcoliamo la potenza media di x 3 (t): = τ = T / Px lim 3 T x3 () d T τ T / T / = limt dτ = T T / 5 Esempio 4 Spesso non riusciamo a trovare una rappresentazione analitica del segnale: alcuni segnali sono infatti modelli di fenomeni fisici o oggetto di misurazioni Nella figura che segue è riportata una forma d onda che potrebbe rappresentare il rumore termico misurato ai capi di un resistore 6 005 Politecnico di Torino 3
Esempio 4 n( t) t 7 interpretazione 005 Politecnico di Torino 4
Interpretazione Abbiamo detto che i segnali a potenza media finita non sono fisicamente realizzabili Tuttavia, essi sono molto utili in quanto sono modelli (astrazioni) di segnali assai importanti nelle telecomunicazioni Vediamo quindi come possono essere interpretate fisicamente le principali classi di segnali a potenza media finita 9 Segnali periodici I segnali periodici non esistono fisicamente, perché hanno durata illimitata, il che non è compatibile con la realizzabilità fisica Essi tuttavia modellano segnali che si ripetono ciclicamente per intervalli di tempo molto lunghi rispetto all intervallo T di ripetizione Esempio tipico delle telecomunicazioni: le portanti sinusoidali 30 005 Politecnico di Torino 5
Segnali non periodici Anche i segnali a potenza media finita non periodici non esistono fisicamente, perché hanno durata illimitata Essi tuttavia modellano segnali che si ritrovano nelle comunicazioni elettriche, come per esempio: il già citato segnale per trasmissione dati il già citato segnale di rumore termico misurato ai capi di un resistore 3 Segnali non periodici Anche in questi casi, la durata effettiva del segnale non sarà illimitata, ma molto grande Di conseguenza il segnale a potenza media finita costituisce un modello, nel limite della durata del segnale tendente a infinito 3 005 Politecnico di Torino 6
Segnali per trasmissione dati Riprendiamo la definizione xt () = αirt ( it ) α i, i =,, i= x t α + ( ) α 0 α α 3 4T b 3T b T b Tb 0 Tb Tb 3Tb 4Tb 5Tb 6Tb t α 4 α 3 α α α 4 α 5 33 Segnali per trasmissione dati La sequenza binaria α i, i =,, modella la stringa di bit trasmessi È ragionevole pensare che, cambiando la sequenza di bit trasmessi, le caratteristiche fondamentali del segnale (come la larghezza di banda) tendano a mantenersi Pur cambiando i dettagli della forma del segnale, si intuisce come tutte le possibili varianti costituiscano una famiglia che si deve poter analizzare unitariamente 34 005 Politecnico di Torino 7
Segnali per trasmissione dati Questo segnale verrà in seguito modellato come un processo casuale, ovvero come un insieme di forme d onda parametrizzato da variabili aleatorie (in questo caso, le variabili casuali a i ) Vedremo quindi come questo segnale a potenza media finita rappresenti una possibile realizzazione di un processo casuale 35 Rumore termico Anche il rumore termico misurato ai capi di un resistore può essere interpretato come uno tra molti segnali possibili n( t) t 36 005 Politecnico di Torino 8
Rumore termico Ripetendo la misura molte volte, si troveranno segnali simili, tutti però con caratteristiche comuni Anche questo segnale verrà modellato come un processo casuale In questo caso, la dipendenza dall elemento casuale non è esplicitabile Il segnale assumerà ancora il significato di una tra le molte possibili realizzazioni del processo casuale 37 005 Politecnico di Torino 9