Simulazione di II prova di Matematica Classe V

Liceo Scientifico Paritario R. Bruni Padova, loc. Ponte di Brenta, 09/0/018 Simulazione di II prova di Matematica Classe V Soluzione Risolvi uno dei due problemi. 1. Nel sito web della stazione meteorologica cittadina sono stati pubblicati, come ogni giorno, due grafici. Il primo grafico visualizza la distribuzione locale della pressione atmosferica al suolo mediante linee di livello (isobare) che uniscono i punti aventi la stessa pressione (misurata in chilopascal, kpa). Le linee di livello corrispondono a valori consecutivi della pressione atmosferica (100, 101, 10, ). La diagonale AB passa per i punti L e H, dove la pressione assume rispettivamente un minimo (100 kpa) e un massimo (10 kpa). Il secondo grafico rappresenta l andamento della pressione p( x) in funzione della posizione x lungo la diagonale AB (x è espresso in chilometri, con origine in A). i. Utilizzando i dati del primo grafico, individua sul secondo grafico il punto corrispondente ad H, fornendone ascissa e ordinata. ii. Una delle seguenti funzioni rappresenta la funzione p( x) nell intervallo 0 x 30, con a, b costanti reali non nulle: f ( x)= 500( a + be x ) ; g x = 300 ( x + a ) ( x + a) + 5 + b. Stabilisci quale, in base ai dati forniti nei grafici. Per la funzione così determinata, ricava i valori delle costanti a e b. 1 di 16

iii. iv. Verificato che è la seconda funzione a rappresentare i dati riportati nel grafico, con a = 5 e b = 110, studia la corrispondente funzione p( x) nel suo dominio naturale, indicando in particolare quanti e quali punti di flesso ammette. Esponi un modo per stimare accuratamente il valore medio della pressione atmosferica lungo il tratto AB e applicalo per determinare tale valore. Risoluzione. i. Utilizzando i dati del primo grafico, individua sul secondo grafico il punto corrispondente ad H, fornendone ascissa e ordinata. Nel primo diagramma, in un sistema cartesiano O x y, ho che A( 0; 18), L( 4; 15), H( 16; 6) e B( 4; 0), mentre la pressione p è legata da una certa funzione p ( x, y ) a due variabili della quale si conoscono solamente due valori: p( 4,15)= 100 (un minimo) e p( 16,6)= 10 (un massimo). Nel secondo diagramma, in un sistema cartesiano Oxy, il legame delle variabili x e y con quelle del primo diagramma è x = x + ( 18 y ) (la distanza di un punto P x ; y x H = 16 + ( 18 6) = 0 e y H = 10. dal punto A) e y = p ( x, y ). Ne segue che ii. Una delle seguenti funzioni rappresenta la funzione p( x) nell intervallo 0 x 30, con a, b costanti reali non nulle: f ( x)= 500( a + be x ) ; g x = 300 ( x + a ) ( x + a) + 5 + b. Stabilisci quale, in base ai dati forniti nei grafici. Per la funzione così determinata, ricava i valori delle costanti a e b. La prima funzione rappresenta una funzione esponenziale traslata che, per sue caratteristiche intrinseche, non ammette né minimo né massimo. Ne consegue che la funzione che rappresenta p è g. Del grafico di g conosco le coordinate di due suoi punti, L ed H; quindi + 5 300 10+ a 100 = I ( 10+ a) + 5 + b 300 10+ a b = 100 I 10+ a II 300 40+ a 10 = ( 40+ a) + 5 + b II I 40+ a 0 = 300 40+ a 300 10+ a b = 100 ( 10+ a) + 5 1= 15 ( 40+ a) ( 10+ a) + 5( 40+ a) ( 10+ a) 40+ a (( 40+ a) + 5) (( 10+ a) + 5 ) + 5 10+ a ( 10+ a) + 5 5( 10+ a) di 16

300 10+ a b = 100 ( 10+ a) + 5 (( 40+ a) + 5) (( 10+ a) + 5)= 15( 40+ a) ( 10+ a) ( 10+ a ) ( 40+ a ) + 5 ( 40+ a ) ( 10+ a ) 300 10+ a b = 100 ( 10+ a) + 5 ( a + 80a +185) ( a + 0a + 35)= 450( a + 50a +175 ) b = 100 300 ( 10+ a ) ( 10+ a) + 5 a 4 + 0a 3 + 35a + 80a 3 +1.600a + 6.000a +185a + 36.500a + 593.15 = 450a.500a 78.750 b = 100 300 ( 10+ a ) 300 b = 100 ( 10+ a ) ( 10+ a) + 5 ( 10+ a) + 5 b = 110 a 4 +100a 3 + 4.00a + 85.000a + 671.875 = 0 ( a + 5) a = 5 ( a + 50a +1.075)= 0, dove nel penultimo passaggio ho utilizzato il metodo di Ruffini per scomporre il polinomio. Precisamente, detto P( a)= a 4 +100a 3 + 4.00a + 85.000a + 671.875, il termine noto è ci sono solo 671.875 = 5 6 43, quindi provo con i suoi divisori (negativi visto che in P a segni + ): se a = 5 allora P( 5)= 340.000 0 ; se a = 5 allora P( 5)= 0. Per il Teorema di Ruffini ne segue che P( a)= ( a + 5) ( a 3 + 75a +.35a + 6.875). Detto Q( a)= a 3 + 75a +.35a + 6.875, il termine noto è 6.875 = 5 4 43, quindi provo ci sono solo segni + ): con i suoi divisori (negativi visto che in Q a se a = 5 allora Q( 5)= 17.000 0 ; se a = 5 allora Q( 5)= 0. Per il Teorema di Ruffini ne segue che Q( a)= ( a + 5) ( a + 50a +1.075), ovvero P( a)= ( a + 5) ( a + 50a +1.075). Poiché il secondo fattore di P( a) ha discriminante di segno negativo, l unica soluzione reale dell equazione P( a)= 0 è a = 5. iii. Verificato che è la seconda funzione a rappresentare i dati riportati nel grafico, con a = 5 e b = 110, studia la corrispondente funzione p( x) nel suo dominio naturale, indicando in particolare quanti e quali punti di flesso ammette. È richiesto lo studio in! della funzione p( x)= dominio D p =!. 300 ( x 5 ) ( x 5) + 5 +110. simmetrie: p( x) p( x) p( x), la funzione non è né pari né dispari. segno di p( x) : p x 0 11x 60x + 150 x 5 + 5 0 x D p (non si annulla mai). 3 di 16

limiti significativi ed eventuali asintoti: lim p( x) z=x 5 = 300z 300 lim +110 = lim +110 = 110 ; la funzione p ammette un asintoto orizzontale di equazione y = x ± z ± z + 5 z ± z 110. : monotonia ed estremanti di p x 300 x 5 p ( x)= ( x 5) + 5 ( x 5) + 5 = 300 4 ( x 5 ) 600 5 ( x 5) =. ( x 5) + 5 5+ ( x 5) 600 5 ( x 5) p ( x) 0 0 15 x 5 15 5 x 0. Quindi la funzione 5+ ( x 5) è crescente in 5; 0, ammette un minimo (assoluto) L( 5; 100) e un massimo (assoluto) H( 0; 10), coerentemente con il grafico dato. : concavità di p x Mi aspetto tre punti di flesso visto che il grafico di p compie una sola oscillazione attorno all asintoto. 600 5 ( x 5) p ( x)= 4 x 5 5+ ( x 5) 8 5 x 5 = 600 5+ ( x 5) 5+ ( x 5) x 5 5+ ( x 5) = 400 + 5 ( x 5 ) x 5 x 5 = 400 5+ ( x 5) 3 x 5 x 5 p ( x) 0 400 x 5 N 1 0 x 5 ; 0 : 3 ( x 5) 3 5 + 5 N 0 x 5 15 3 15 3 x 5 15 3 5+ x 5 x 5 4 3 = 3 5 + 5 x 5 + 15 3 5 Ne segue che p è convessa in 15 3 ; 5 5 + 15 3 ; + e ammette tre punti di 5 flesso: F 1 15 3 ; 110 5 3! 0,5; 101,5, F 5 ; 110 = 1,5; 110 e 5 F 3 + 15 3 ; 110+ 5 3! 0,5; 118,5. grafico di p x : il grafico determinato è coerente con il grafico dato. 3.. 4 di 16

iv. Esponi un modo per stimare accuratamente il valore medio della pressione atmosferica lungo il tratto AB e applicalo per determinare tale valore. 30 30 300 n 5 Un metodo è quello di determinare la somma di p n = n=0 ( n 5) + 5 +110 e dividere il risultato per il numero di valori considerati che sono 31. n=0 Nulla esclude di raffinare tale metodo, considerando ad esempio un incremento non unitario ma di 0,1. In tal caso il valor medio sarà il rapporto tra ( n 5 5) + 5 +110 e il 300 300 n 5 5 n=0 numero di valori considerati che sono 301. Utilizzo il primo metodo per ridurre i calcoli visto che la somma non è riducibile alla ridotta n-esima di una serie telescopica o a una geometrica: n p n 0 101, 1 100,8 100,5 3 100,3 4 100,1 5 100 6 100,1 7 100,5 8 101, 9 10,3 10 104 11 106, 1 108,7 13 111,3 14 113,8 15 116 16 117,7 17 118,8 18 119,5 19 119,9 0 10 1 119,9 119,7 3 119,5 4 119, 5 118,8 6 118,5 7 118, 8 117,8 9 117,5 30 117, Ottengo µ! 111,3. 5 di 16

. Nella figura sottostante è riportato il grafico della funzione f ( x), derivata prima della funzione reale f x definita e continua nell intervallo 0; 8. sono note le coordinate dei punti evidenziati e le seguenti caratte- Del grafico di f x ristiche: i tratti AB 1 e FG sono segmenti di retta; i punti B 1 e B non appartengono al grafico; il tratto B F ha un andamento di tipo sinusoidale e si raccorda col tratto FG senza presentare un punto angoloso. i. Traccia in due distinti riferimenti cartesiani i grafici plausibili delle funzioni f ( x) e f ( x) nell intervallo 0; 8, nell ipotesi che sia f ( 0)= 0, motivando in modo esauriente i passaggi. Quanto vale f ( 6)? Qual è il massimo valore assunto da f ( x), e in corrispondenza a quale o a quali valori di x viene assunto? ii. iii. Giustifica il fatto che la funzione f ( x) presenta un punto di non derivabilità di tipo angoloso nell intervallo 0; 8, quindi determina la misura in gradi, minuti e secondi dell angolo acuto α individuato dalle tangenti al grafico di f ( x) in tale punto angoloso. Date tutte le precedenti ipotesi sulla funzione f ( x), indica quali tra le seguenti affermazioni sono vere, motivando la risposta. a. Come conseguenza del teorema di Lagrange, deve esistere necessariamente almeno un valore x nell intervallo 0; 6 tale che f ( x)= 1 3. b. Poiché f x non soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Lagrange nell intervallo 0; 6, non può esistere alcun valore x interno a tale intervallo tale che f ( x)= 1 3. c. Benché f x non soddisfi tutte le ipotesi del teorema di Lagrange nell intervallo 0; 6, esistono più valori x interni a tale intervallo tali che f ( x)= 1 3. 6 di 16

iv. Di tutti i valori assunti dalla funzione f ( x), esponi un metodo per determinare il valore medio. Utilizza tale metodo per determinare tale valore. Risoluzione. i. Traccia in due distinti riferimenti cartesiani i grafici plausibili delle funzioni f ( x) e f ( x) nell intervallo 0; 8, nell ipotesi che sia f ( 0)= 0, motivando in modo esauriente i passaggi. Quanto vale f ( 6)? Qual è il massimo valore assunto da f ( x), e in corrispondenza a quale o a quali valori di x viene assunto? : Determino l espressione analitica di f x Il primo tratto è per ipotesi rettilineo e, date le coordinate di A e di B 1, si deduce che f ( x)= x per 0 < x <1. Il secondo tratto è sinusoidale (terza ipotesi), in particolare un coseno traslato di unità verso destra e di periodo T = 6 = 4. Sapendo che y = cos( nx) ha periodo T = π n, n = π. Ne segue che f ( x)= cos π ( x ) = cos π x π = cos π x per < x < 6. Il terzo tratto è orizzontale (prima ipotesi e viste le coordinate di F e G), quindi f ( x)= 1 per 6 < x < 8. In definitiva, tenuto conto anche della seconda ipotesi: x se 0 x < f ( x)= cos( πx ) se < x 6 1 se 6 < x 8. Deduco facilmente l espressione analitica di f x : 1 se 0 < x < π f ( x)= sin π x se < x < 6 0 se 6 < x < 8 da cui il grafico, 7 di 16

Per determinare l espressione analitica di f, devo immaginarmi una funzione la cui derivata sia proprio f. Nel primo tratto potrebbe essere f ( x)= x, in effetti f ( x)= x. Inoltre soddisfa la condizione f ( 0)= 0. Quindi, nel primo tratto, f ( x)= x. Nel secondo tratto potrebbe essere f ( x)= k π sin π x, dove k è una qualche costante reale; in effetti f ( x)= π π cos π x = cos π x. Poiché f è per ipotesi continua, devo imporre la continuità in x = : lim f ( x)= f ( )= lim f ( x ) = k. Quindi, nel secondo x x + tratto, f ( x)= ( 1 sin( πx ) π). Nel terzo tratto potrebbe essere f ( x)= x + k, dove k è una qualche costante reale; in effetti f ( x)= 1. Poiché f è per ipotesi continua, devo imporre la continuità in x = 6 : lim f ( x)= f ( 6 )= lim f ( x) = 6+ k k = 4. Quindi, nel terzo tratto, f ( x)= x 4. x 6 x 6 + In definitiva: da cui il grafico f ( x)= x se 0 x ( 1 sin( πx ) π) se < x 6 x 4 se 6 < x 8, Per quanto detto prima, f ( 6)=. f ammette massimo assoluto in 0; 8 per il Teorema di Weierstrass. Dal grafico di f deduco che f è crescente in 0; 3 5; 8, per cui ammetterà un massimo relativo H( 3; ( 1+1 π) )!( 3;,6). Tale massimo però non è assoluto, infatti f ( 8)= 4. Quindi il valore massimo assunto dalla funzione f è 4 in corrispondenza di x = 8. ii. Giustifica il fatto che la funzione f ( x) presenta un punto di non derivabilità di tipo angoloso nell intervallo 0; 8, quindi determina la misura in gradi, minuti e secondi dell angolo acuto α individuato dalle tangenti al grafico di f ( x) in tale punto angoloso. 8 di 16

Poiché = lim f x ( x) lim f x + ( x)= 1, la funzione ammette un punto angolo in x =, come si poteva notare dal grafico di f. Dette tan β = e tan γ = 1 ( γ = 45 ), α = β γ tanα = tan( β γ) tan β tan γ 1 tanα = tanα = 1+ tan β tan γ 1+ tanα = 1 3 α = arctan 1 3 α! 18 6 6. iii. Date tutte le precedenti ipotesi sulla funzione f ( x), indica quali tra le seguenti affermazioni sono vere, motivando la risposta. a. Come conseguenza del teorema di Lagrange, deve esistere necessariamente almeno un valore x nell intervallo 0; 6 tale che f ( x)= 1 3. b. Poiché f x non soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Lagrange nell intervallo 0; 6, non può esistere alcun valore x interno a tale intervallo tale che f ( x)= 1 3. c. Benché f x non soddisfi tutte le ipotesi del teorema di Lagrange nell intervallo 0; 6, esistono più valori x interni a tale intervallo tali che f ( x)= 1 3. a. è falsa in quanto f non è derivabile in 0; 6 (si veda ii.). b. è falsa in quanto il Teorema di Lagrange pone una condizione sufficiente e non necessaria. c. è vera, esistono esattamente tre valori: nel primo tratto: f ( x)= 1 3 x = 1 3 0;. nel secondo tratto: f ( x)= 1 3 cos ( πx )= 1 3 x = 4k ± π arccos 1 3, k! x = 4 ± π arccos 1 3 ; 6. iv. Di tutti i valori assunti dalla funzione f ( x), esponi un metodo per determinare il valore medio. Utilizza tale metodo per determinare tale valore. Un metodo è quello di determinare la somma di 8 n=0 f n, dove f ( n) = n se n = 0,1, ( 1 sin( πn ) π) se n = 3,4,5,6 n 4 se n = 7,8, e dividere il risultato per il numero di valori considerati che sono 9. 0+1 + + ( 1+ 1 π )+ 0+ ( 1 1 π )+ 0+ 3 + 4 Ottengo µ = = 3 9 = 1,5. 9 di 16

Volendo raffinare tale metodo, posso considerare un incremento non unitario ma infinitesimale. In questo caso mi accorgo che di fatto sto calcolando l area racchiusa tra il grafico di f, l asse x e le rette x = 0 e x = 8. Il valor medio sarà AREA = AREA 8 (la somma di 8 0 tutti gli infinitesimi è pari a 8 0). In questo caso l area si calcola agevolmente: primo tratto: si tratta del complementare di mezzo segmento parabolico individuato dalla retta y =, quindi 1 1 3 4 = 4 3 ; secondo tratto: si tratta di una sinusoide ed è noto che il suo valor medio è nullo. Essendo traslata rispetto all asse y trovo ( 6 ) = 8 ; terzo tratto: si tratta di calcolare l area di un trapezio rettangolo: In definitiva µ = 4 3 + 8+ 6 8 = 3 1 = 1,916. ( 4 + ) ( 8 6) = 6. 10 di 16

Risolvi cinque dei dieci quesiti. 1. Discuti la continuità e la derivabilità della seguente funzione reale: f ( x)= x x se x 0 1 se x = 0. Valuta la funzione all infinito. Risposta. Il dominio della funzione è!. f è continua in!\ 0 { } per note proposizioni sulle funzioni continue. Verifico la continuità in x = 0 : lim f ( x x 0 )=? f ( 0)=? lim x 0 + Poiché lim x = lim x 0 ± ±x x 0 ± exln ±x f ( x ) lim ( x)x =? 1=? lim = e lim x 0 ln ( ±x) x 0 ± 1 x continua anche in x = 0. Quindi f è continua in!. x 0 + xx. := H e lim x 0 ± ±1 x 1 x = e lim x 0 ± x = 1, la funzione risulta essere Determino l espressione analitica della derivata prima di f: f ( x)= ( x x ) = ( e x ln x ) = x x x ln x = x x ln x + x 1 x x x = x x ( ln x +1). f è derivabile in!\{ 0} per note proposizioni sulle funzioni derivabili. Verifico la derivabilità in x = 0 : lim f ( x)=? lim f ( x) lim ( x ( x 0 x 0 + x 0 )x ln( x)+1)=? lim ( xx ln x +1). x 0 + Poiché lim ( x ln ( ±x)+1)= lim x lim ( ln ( ±x )+1 )= lim ( ln ( ±x )+1 )=, la fun- ± ± x 0 ± ±x x 0 ± ±x zione non risulta essere derivabile in x = 0. x 0 Rimane da valutare la funzione all infinito: lim f x x = lim x x x = e lim x ln ( x ) x = e = 0 ; lim f x x + = lim x x = e lim x x + x ln = e + x + = +. x 0. Data la funzione f ( x)= 4, ricava le equazioni di tutte le rette tangenti al suo grafico passanti per il punto A( 0; 4). x +1 Risposta. Considero il fascio di rette passanti per A: y 4 = mx y = mx + 4, dove m = f x T ascissa del punto T x T ; 4 x T +1 Ma f = 8x T x T +1 x T ( ) di tangenza del fascio con il grafico di f. con, quindi, sostituendo le coordinate del punto T e l espressione analitica della derivata calcolata in x T nell equazione del fascio ottengo: x T 11 di 16

4 x T +1 = 8x T ( x T +1) x + 4 x T T +1= x T + x T +1 x T 4 x T = 0 x T x T 1 = 0 x T = 1 x T = 0 x T = 1. Quindi i rispettivi coefficienti angolari valgono m 1 =, m = 0 ed m 3 =. Finalmente, le equazioni delle rette cercate sono t 1 : y = x + 4, t : y = 4 e t 3 : y = x + 4. 3. Determina tipo e carattere della serie + ( 1) n. n=0 n+3 Risposta. + ( 1) n = 1 + ( 1) n = 1 + 1 n. Si tratta di una serie geometrica di ragione q = 1 ; n+3 n=0 8 n n=0 8 n=0 poiché 1< q <1, la serie è convergente. 4. Due punti materiali si muovono nello stesso verso su una retta secondo le leggi orarie s 1 ( t)= 4t + 5t + 4 e s ( t)= ( t +1) (le s i, i = 1,, sono espresse in metri, t in secondi). i. Determina le posizioni iniziali dei due punti e stabilisci la distanza tra loro dopo un tempo infinito. ii. Determina la velocità dei due punti materiali all infinito. Risposta. i. Le posizioni iniziali sono s 1 0 = m = s 0. Il quesito chiede poi di valutare Δs = s ( t) s 1 t per t + : lim 4t + 5t + 4 4 t +1 = lim t + ( t +1)+ 4t + 5t + 4 = lim Δs = lim t +1 t + t + ( 4t + 5t + 4)= + = t + 3t = lim t + t( 1+1 t)+ t 4 + 5 t + 4 t ii. v 1 ( t)= ( t)= lim v 1 t + s 1 8t + 5 4t + 5t + 4 e v t ( t)= + + = lim t + t 3t ( t +1)+ 4t + 5t + 4 = + + = = lim t + 3t t = 3 ( 1+1 t)+ 4 + 5 t + 4 t 4 = 0,75 m. = ( t)=. Passando al limite per t + : s t 8+ 5 t 4 + 5 t + 4 t = m s, lim t + v ( t )= lim = m s. t + 5. Enuncia il Teorema di esistenza degli zeri. Supponi che f sia una funzione definita e continua in I = a; +, che f ( a )< 0 e lim f ( x )= +. Dimostra che esiste almeno x + una soluzione dell equazione f ( x)= 0 in I. 1 di 16 Risposta. Sia f una funzione di dominio reale D continua in a; b D. Se f ( a) f ( b )< 0 allora esiste (almeno) uno z a; b tale che f ( z )= 0.

Sia b I ( + ). f è continua in a; b I per ipotesi e, per il Teorema della permanenza del segno, f ( b)> 0 ( f ( b) è dello stesso segno del lim f ( x )= + ). Quindi, essendo per ipotesi f ( a)< 0, f ( a) f ( b)< 0. Per il Teorema di esistenza degli zeri esiste (almeno) uno x + z a; b tale che f ( z)= 0, ovvero z a; b è una soluzione dell equazione f ( x )= 0.! 6. Verifica che i punti A( 1; 1; 1), B( 3; 3; 1) e C( 3; 1; 0) sono i vertici di un triangolo isoscele e determinane l area. Qual è l equazione del piano perpendicolare al triangolo passante per A e per B? Risposta. AB = ( 1+ 3) + ( 1 3) + ( 1+1) = 4 ; BC = ( 3 + 3) + ( 1 3) + ( 0+1) = 17 ; + ( 1+1) + ( 1+ 0) = 17. Poiché BC = AC, il triangolo ABC è isoscele. AC = 1+ 3!!" Poiché AB 4; 4; 0 e AC A ABC = 1 AB!!"!!!" 1 AC = det!!!" ( 4; 0; 1), l area sarà î ĵ ˆk 4 4 0 4 0 1 = 1 4î + 4ĵ +16ˆk = 1+1+16 = 6. Alternativamente si può determinare il piede dell altezza relativa alla base AB, ovvero il suo punto medio M: M( 1; 1; 1); successivamente la misura dell altezza CM: CM = ( 3 +1) + ( 1 1) + ( 0+1) = 3 ; infine l area: A ABC = 1 AB CM = 1 4 3 = 6. Determino l equazione del piano π passante per A, B e C: x 1 y +1 z +1 x 1 y +1 z +1 π : 3 1 3 +1 1+1 3 1 1+1 0+1 = 0 4 4 0 4 0 1 = 0 4( x 1)+ 4( y +1)+16( z +1)= 0 π : x + y + 4z + 4 = 0. Quindi π! ( 1; 1; 4). Poiché il piano γ : ax + by + cz + d = 0 da ricercare è perpendicolare a π, γ! i π! = 0 a + b + 4c = 0. Inoltre so che A γ a b c + d = 0 e che B γ 3a + 3b c + d = 0. Mettendo le tre condizioni a sistema trovo che: I a + b + 4c = 0 II a b c + d = 0 III 3a + 3b c + d = 0 Quindi γ : x + y z 1= 0. I I + II III + 3II b = a 4c b = c a + 3c + d = 0 a = c, con c 0. 4c + 4d = 0 d = c 13 di 16

7. Considera il triangolo T 0, rettangolo isoscele di cateto di lunghezza 4 cm. Uno dei due cateti è l ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele T 1. Uno dei sue cateti è l ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele T. Così via. Sia a ( n) la successione delle aree dei triangoli e p ( n) la successione dei perimetri dei triangoli. Individua la tipologia di successioni e determina i caratteri di + p n n=0. Risposta. La situazione è rappresentata nella figura seguente: + a n n=0 e di Noto che l area di T n+1 è la metà dell area di T n, per ogni n!. Ne consegue che a ( n) è una successione geometrica di ragione q a = 1 e a 0 = 8. Determino i primi elementi della successione p ( n) : p 0 = 4( +1) ; p 1 = 4( +1); p = ( +1) ; p 3 = +1 ;. Noto che p n+1 = p n, ovvero p n. è una successione geometrica di ragione q p = 1 e p 0 = 4 +1 Poiché 1< q a,q p <1, + a n n=0 e + p n n=0 sono convergenti. 8. Dato nel riferimento Oxyz il piano π di equazione x + 3y + z 4 = 0 e dette A, B, C le sue intersezioni con gli assi x, y e z, calcola l area del triangolo ABC e la distanza di O dal piano π. Determina infine il volume della piramide ABCO 1. 1 Il volume di una piramide di area di base A e altezza h è V = 1 3 A h. 14 di 16

Risposta. Determino le coordinate di A, B e C: { A}= π { ( x; y; z) ( x; y; z)! 3 y = 0 z = 0} A( ; 0; 0); { B}= π { ( x; y; z) ( x; y; z)! 3 x = 0 z = 0} B( 0; 4 3 ; 0); { C}= π { ( x; y; z) ( x; y; z)! 3 x = 0 y = 0} C( 0; 0; ). Noto facilmente che il triangolo è isoscele di base AC, infatti AB = +16 9 + 0 = 34 e BC = 0+16 9 + = 34. Quindi per calcolare l area: determino la lunghezza della base AC: AC = + 0+ = ; determino il punto medio di AC: M( ; 0; ); determino la lunghezza di BM: BM = 1 +16 9 +1 = 5 3. Ottengo che A ABC = 1 AC BM = 5. Per un metodo alternativo (e generale), vedi quesito 6. 3 4 Determino la distanza di π da O( 0; 0; 0): h = dist( π, 0)= 8+ 9 + 8 = 4 3. Determino il volume della piramide ABCO: V ABCO = 1 3 A ABC h = 1 3 5 3 4 3 = 0 9 3! 0,46. 9. Si vuole costruire una stanza a forma di parallelepipedo di volume 96 m 3, la cui base sia un quadrato. Per rifinire la stanza è necessario tappezzare le pareti laterali e costruire il pavimento. Per l acquisto e la posa delle piastrelle per il pavimento è previsto un costo di 16 al metro quadrato; per l acquisto e la posa della tappezzeria è previsto un costo di 18 al metro quadrato. Quali devono essere le dimensioni della stanza affinché il costo complessivo di rifinitura sia il minimo possibile? Risposta. La funzione da ottimizzare è la funzione costo. Sia x la misura in metri dello spigolo di base e y la misura in metri dello spigolo laterale. La funzione costo sarà c( x,y)= 16 x +18 ( 4xy). Sapendo il volume complessivo, posso determinare y in funzione di x: x y = 96 y = 96 x. Quindi c( x)= 16 x + 43 x c ( x)= 16( x 43 x ) c x. = 3 x3 16 e c ( x) 0 x 6 0; + x, quindi la funzione costo ammette un minimo L( 6; 178); le dimensioni della stanza affinché la spesa sia minima devono essere x = 6 m e y = 8 3 =,6 m. 15 di 16

10. Nella figura a fianco sono riportati i grafici di una funzione f ( x), della sua derivata prima f x f e della derivata seconda ( x) (tutte e tre le funzioni sono derivabi-, f ( x) e f ( x) al li in! ). Associa f x giusto grafico, motivando la tua scelta. Risposta. Noto che y si annulla quando y 3 ammette punti estremanti; inoltre quando y 3 cresce y è positiva, mentre quando y 3 decresce y è negativa. Quindi potrebbe essere che y 3 = f e y = f oppure che y 3 = f e y = f. y 1 è crescente per gli x < 0 e ammette massimo in x = 0. Poiché per le x < 0 y 3 è positiva e in corrispondenza di tale massimo y 3 si annulla, potrebbe essere che y 1 = f e y 3 = f oppure che y 1 = f e y 3 = f. L unica combinazione coerente è y 1 = f e y 3 = f e y 3 = f e y = f, ovvero y 1 = f, y 3 = f e y = f. NOTE: i. È ammesso l uso del calcolatore elettronico o di tavole numeriche; ii. Punteggio massimo 15 p.ti. Per la sufficienza è necessario raggiungere il punteggio di 10 p.ti. 16 di 16