TEORIA E PROGETTO DI COSTRUZIONI E STRUTTURE: ARCHITETTURA AMBIENTALE SEZIONE A APPELLO 16/7/2010 Tema A1 Risolvere gli esercizi contrassegnati con X. ESERCIZIO 1 (punti 30) - Data la struttura di figura, si chiede di: a. effettuare l analisi cinematica (2); b. determinare le reazioni vincolari (8); c. tracciare i diagrammi delle azioni interne (4+6+10). ESERCIZIO 2 (punti 18) Sia data la sezione in parete sottile riferita alla linea media di figura, avente: a = 100 mm, t = 12 mm, f y = ±400 Mpa, g = 2. Si chiede: 2a. determinare la posizione del baricentro; calcolare i momenti d'inerzia I xx, I yy, I xy. [9] 2b. Calcolare i momenti di inerzia principali I xx, I hh, individuare gli assi principali d inerzia attraverso l angolo a, indicare qual è l asse x rispetto a cui il momento d inerzia I xx è massimo. [6] 2c. Si vuole applicare nel baricentro G della sezione un azione assiale N di compressione (< 0): si calcoli il valore minimo (massimo in modulo) di N, conoscendo la tensione di snervamento a compressione del materiale ed il coefficiente di sicurezza. [3] ESERCIZIO 3 (punti 12) - 3a. Equazione della funicolare di un carico distribuito q(z); si integri l equazione per il caso q(z) = costante [7]. 3b. Espressioni del prodotto scalare di 2 vettori [5]. 1
TEORIA E PROGETTO DI COSTRUZIONI E STRUTTURE: ARCHITETTURA AMBIENTALE SEZIONE A APPELLO 16/7/2010 Tema A2 Risolvere gli esercizi contrassegnati con X. ESERCIZIO 1 (punti 30) - Data la struttura di figura, si chiede di: a. effettuare l analisi cinematica (2); b. determinare le reazioni vincolari (8); c. tracciare i diagrammi delle azioni interne (4+6+10). ESERCIZIO 2 (punti 18) Sia data la sezione in parete sottile riferita alla linea media di figura, avente: a = 90 mm, t = 12 mm, f y = ±400 Mpa, g = 2. Si chiede: 2a. determinare la posizione del baricentro; calcolare i momenti d'inerzia I xx, I yy, I xy. [9] 2b. Calcolare i momenti di inerzia principali I xx, I hh, individuare gli assi principali d inerzia attraverso l angolo a, indicare qual è l asse x rispetto a cui il momento d inerzia I xx è massimo. [6] 2c. Si vuole applicare nel baricentro G della sezione un azione assiale N di trazione (> 0): si calcoli il valore massimo di N, conoscendo la tensione di snervamento a trazione del materiale ed il coefficiente di sicurezza. [3] ESERCIZIO 3 (punti 12) - 3a. Definizione (generale) di spostamento s r e di velocità v r di un punto materiale su un piano. 3b. Data la legge di spostamento s = a t + b cos wt (a, b, w costanti; t = tempo), determinare la velocità v. 3c. Regola del parallelogramma per la somma di 2 vettori u r, v r. [6 + 3 + 3] 2
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ds dt d dt ES. 3 DI A2 _ v = = [ at + b cos( wt) ] = a - bwsin( wt) 6
TEORIA E PROGETTO DI COSTRUZIONI E STRUTTURE: ARCHITETTURA AMBIENTALE SEZIONE A APPELLO 16/7/2010 Tema B1 Risolvere gli esercizi contrassegnati con X. ESERCIZIO 1 (punti 30) - Data la struttura di figura, si chiede di: a. effettuare l analisi cinematica (2); b. determinare le reazioni vincolari (8); c. tracciare i diagrammi delle azioni interne (5+6+9). ESERCIZIO 2 (punti 18) Sia data la sezione di figura, avente: a = 150 mm, f c = -45 Mpa, g = 3. I momenti d inerzia triangolo rettangolo (3) rispetto agli assi x T, y T passanti per il suo baricentro sono: 4 4 I x I a 36, I a 72. T x = T yt y = T xt y = Si chiede: T 2a. determinare la posizione del baricentro; calcolare i momenti d'inerzia I xx, I yy, I xy. [8] 2b. Calcolare i momenti di inerzia principali I xx, I hh, individuare gli assi principali d inerzia attraverso l angolo a, indicare qual è l asse x rispetto a cui il momento d inerzia I xx è massimo. [7] 2c. Si vuole applicare nel baricentro G della sezione un azione assiale N di compressione (< 0): si calcoli il valore minimo di N (massimo in modulo), conoscendo la tensione di rottura a compressione del materiale ed il coefficiente di sicurezza. [3] N.B. Per facilitare la correzione, si prega di scomporre la sezione come in figura e di utilizzare gli assi ausiliari u e v di figura. ESERCIZIO 3 (punti 12) - 3a. La condizione di equilibrio di un corpo rigido di peso P r su un piano inclinato di un angolo a sull orizzontale [5]. 3b. Definizione del lavoro di una forza F r ; si calcoli il lavoro che si deve compiere per portare il corpo di peso P r = 100000 newton dalla base, punto A, al punto superiore B del piano inclinato. A ha quota z = 0, B quota z = 50 m, il segmento AB ha proiezione orizzontale A B lunga 100 m, per cui l angolo a è definito come: a = arctan 50 100 = arctan1. N.B. La forza si mantiene sempre orizzontale. [7]. ( ) 2 7
TEORIA E PROGETTO DI COSTRUZIONI E STRUTTURE: ARCHITETTURA AMBIENTALE SEZIONE A APPELLO 16/7/2010 Tema B2 Risolvere gli esercizi contrassegnati con X. ESERCIZIO 1 (punti 30) - Data la struttura di figura, si chiede di: a. effettuare l analisi cinematica (2); b. determinare le reazioni vincolari (8); c. tracciare i diagrammi delle azioni interne (5+6+9). ESERCIZIO 2 (punti 18) Sia data la sezione di figura, avente: a = 120 mm, f t = 4.8 Mpa, g = 3. I momenti d inerzia triangolo rettangolo (3) rispetto agli assi x T, y T passanti per il suo baricentro sono: 4 4 I x I a 36, I a 72. T x = T yt y = T xt y = Si chiede: T 2a. determinare la posizione del baricentro; calcolare i momenti d'inerzia I xx, I yy, I xy. [8] 2b. Calcolare i momenti di inerzia principali I xx, I hh, individuare gli assi principali d inerzia attraverso l angolo a, indicare qual è l asse x rispetto a cui il momento d inerzia I xx è massimo. [7] 2c. Si vuole applicare nel baricentro G della sezione un azione assiale N di trazione (> 0): si calcoli il valore massimo di N, conoscendo la tensione di rottura a trazione del materiale ed il coefficiente di sicurezza. [3] N.B. Per facilitare la correzione, si prega di scomporre la sezione come in figura e di utilizzare gli assi ausiliari u e v di figura. ESERCIZIO 3 (punti 12) - 3a. Dimostrazione della relazione che fornisce la tensione normale s z su una sezione soggetta ad azione assiale N e momenti flettenti M x, M y. 3b. Su una sezione avente I xx = 1.8 10 8 mm 4, max (x) = 400 mm agisce M y = 9.0 10 7 : si calcoli il massimo valore di s z. [9 + 3] 8
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TEORIA E PROGETTO DI COSTRUZIONI E STRUTTURE: ARCHITETTURA AMBIENTALE SEZIONE A APPELLO 16/7/2010 Tema C Risolvere gli esercizi contrassegnati con X. ESERCIZIO 1 (punti 30) - Data la struttura 2 di figura con F = ( 2 2) ql, W = ql 2, si chiede di: a. effettuare l analisi cinematica (2); b. determinare le reazioni vincolari (8); c. tracciare i diagrammi delle azioni interne (4+6+10). ESERCIZIO 2 (punti 16) Sia data la sezione di figura: le dimensioni a, h = 6a, b = 4a sono riferite alla linea media; sia a = 120 mm, t = 12 mm (spessore costante), f y = ±500 Mpa, g = 2. Adottando l approssimazione in parete sottile, si chiede: 2a. determinare la posizione del baricentro; calcolare i momenti d'inerzia I xx, I yy, I ss ; spiegare perché x ed y sono assi principali; calcolare i raggi giratori d inerzia r x (giacente su x) e r y [11]. 2b. Si vuole applicare alla sezione il momento flettente M y (> 0: tende le fibre inferiori): si calcoli il valore massimo di M y, conoscendo la tensione di snervamento f y del materiale ed il coefficiente di sicurezza g ; si tracci il grafico delle tensioni s z lungo x. [5] ESERCIZIO 3 (punti 14) - 3a. Definizione di tensione, relazioni di Cauchy per lo stato di sforzo (dimostrazione), perché il tensore (matrice) delle tensioni s ij è simmetrico? 3b. Trovare le tensioni principali per lo stato di sforzo s 11 = 20, s22 = -20, s 12 = 15 ( Mpa). [10 4] 13
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