SOLUZIONI I ALLENAMENTO REGIONALE TEMATICO ARITMETICA 17- NOV- 017 1) Determiare il più piccolo itero positivo che ha esattamete 8 divisori che soo multipli di 3 e 6 divisori che soo multipli di 5. Risposta: 90 Svolgimeto: il umero è 90 = 3 5 I divisori multipli di 3 soo: 3, 3, 3, 3, 3 5, 3 5, 3 10, 3 10 I divisori multipli di 5 soo: 5, 5, 5 3, 5 3, 5 3, 5 3 ) I membri di ua tribù hao 10 dita alle mai e 9 ai piedi e quidi cotao idifferetemete i base 10 o i base 19. U itero positivo di due cifre è detto sacro se i etrambe le basi si scrive co le stesse due cifre ma ivertite. Trovare i base 10 la somma di tutti i umeri sacri. Risposta: 10 Svolgimeto: siao a e b le cifre, poiché le cifre soo preseti i ordie diverso otteiamo che 10a+b=19b+a da cui 9a=18b cioè a=b I umeri soo 1 4 63 84 e la loro somma è 10. 3) Quali umeri di due cifre AB soo tali che (AB) = CAAB, co C=B- 1 ( i otazioe decimale)? Restituire la somma di tutti i umeri trovati. Risposta: 76 Svolgimeto: osserviamo itato che se il quadrato di u umero termia co la stessa cifra del umero tale cifra può essere solo uo dei segueti umeri 0,1,5,6 Quidi B è uo di questi quattro umeri, dalla codizioe che C=B- 1 e C positivo ( il umero è di quattro cifre) escludiamo che B possa essere 0 o 1. Aalizziamo i due casi B= 5 (A5) = (10A+5) = 100A +100A+5 4AA5 = 4000+100A+10A +5 Uguagliado otteiamo 100A - 10 A 3980 = 0 10 A - A - 398 = 0 che o ha soluzioi comprese tra 1 e 9 B = 6 co lo stesso ragioameto otteiamo 10 A + A 497 = 0 che ha come uica soluzioe itera A = 7 L uica soluzioe per AB è 76. 4) U sottoisieme A dei umeri aturali compresi tra 1 e 100 è tale che la somma di due suoi elemeti qualsiasi è divisibile per 6. Quati elemeti può avere, al massimo, il sottoisieme A?
Risposta: 17 Svolgimeto: i umeri devoo essere tutti pari o dispari e devoo essere tutti multipli di 3 ( se i A ci fosse u umero o divisibile per 3 allora i A ci dovrebbe essere solo u altro elemeto quello che sommato co lui sia divisibile per 3 e quidi l isieme A avrebbe solo due elemeti) I multipli pari di tre tra 1 e 100 soo 16. I multipli dispari di 3 tra 1 e 100 soo 17 quidi il umero massimo è 17. 5) Il meccaismo di u particolare igraaggio è costituito da ua lastra di metallo a forma di ottagoo regolare i cui vertici soo umerati da 1 a 8 i seso orario. Ua lacetta ha u estremità fissa el cetro dell ottagoo e ruota a scatti spostado l altra estremità i corrispodeza dei vertici. La lacetta si trova iizialmete i corrispodeza del vertice 1. Negli scatti dispari la lacetta si sposta i corrispodeza del vertice opposto. I corrispodeza degli scatti pari si sposta di u vertice i seso atiorario. Detto il umero del vertice i corrispodeza del quale si trova la lacetta i corrispodeza del 017- esimo scatto, forisci come risultato il più grade divisore primo del umero la cui scrittura i base 10 è il umero di 6 cifre della forma. Risposta 0037 Negli scatti dispari la lacetta procede di +4 (il sego + idica uo spostameto i seso orario) i seso orario. Negli scatti dispari si sposta di - 1 (il sego - idica uo spostameto i seso atiorario). Ogi due scatti, a partire dalla posizioe iiziale 1, si sposta di +4-1=+3. Pertato al 017- esimo scatto si troverà ella posizioe = 1 +!"#$ 3!"#$ + 4 = 5 (Nella formula precedete 1 idica la posizioe iiziale,!!! 3! idica di quate posizioi, a partire dalla posizioe iiziale, avaza fio al 016- esimo scatto, il +4 idica l avazameto el 017- esimo scatto). Il umero da scomporre duque è 555 = 5 x 10 4 + 5 x 10 + 5 =5 (10 4 + 10 + 1) = 5! (!"!!!)!"!!! =5! (!"!!!)(!"!!!) (!"!!)(!"!!) cercato pertato è 37. = 5! (!"!!)(!"!!)(!"!!!"!!)(!"!!!"!!) (!"!!)(!"!!) = 5 x 111 x 91 = 5 x 3 x 37 x 7 x 13. Il umero 6) Tra tutti gli iteri aveti esattamete 54 divisori positivi trovare quello che ha distaza D miima da 7000. Dare come risposta il valore di tale distaza miima D. Risposta 000 Data la scomposizioe i fattori primi di u umero m = p 1 α1 p α p α, il umero dei divisori di m è dato da d(m) = ( α 1 + 1) x ( α + 1) x x ( α + 1). Nel caso i questioe d(m) = 54. Essedo 54 = x 3 3, si hao solo i casi segueti. ( α 1 + 1) = 54 e pertato i umeri co esattamete 54 divisori ed esattamete u fattore primo soo tutti della forma a =p 1 53, co p 1 primo. ( α 1 + 1) x ( α + 1) = 6 x 9 oppure ( α 1 + 1) x ( α + 1) = x 7 oppure ( α 1 + 1) x ( α + 1) = 3 x 18 e pertato i umeri co esattamete 54 divisori ed esattamete due fattori primi soo della forma b = p 1 5 p 8 oppure c = p 1 1 p 6 oppure d = p 1 p 17, co p 1, p primi.
( α 1 + 1) x ( α + 1) x ( α 3 + 1) = x 3 x 9 oppure ( α 1 + 1) x ( α + 1) x ( α 3 + 1) = 6 x 3 x 3 e pertato i umeri co esattamete 54 divisori ed esattamete tre fattori primi soo della forma e = p 1 1 p p 3 8 oppure f =p 1 5 p p 3, co p 1, p, p 3 primi. ( α 1 + 1) x ( α + 1) x ( α 3 + 1) x ( α 4 + 1) = x 3 x 3 x 3 e pertato i umeri co esattamete 54 divisori ed esattamete quattro fattori primi soo della forma g = p 1 1 p p 3 p 4, co p 1, p p 3, p 4 primi. Il più piccolo umero co esattamete 54 divisori ed esattamete u fattore primo a 0 = 53. I più piccoli umeri co esattamete 54 divisori ed esattamete due fattore primi, dei tipi b, c e d rispettivamete, soo b 0 = 8 3 5, c 0 = 6 3, d 0 = 17 3. I più piccoli umeri co esattamete 54 divisori ed esattamete tre fattore primi, dei tipi e ed f rispettivamete, soo e 0 = 8 3 5, f 0 = 5 3 5. Il più piccolo umero co esattamete 54 divisori ed esattamete quattro fattore primi è g 0 = 3 5 7. Si verifica che a 0 > c 0 essedo!!! =!" =!!" > 1.!!!!"!!! I modo aalogo si verifica che c 0 > d 0, d 0 > b 0, b 0 > e 0, e 0 > f 0, f 0 > g 0. Essedo g 0 < f 0 < e 0 < b 0 < d 0 < c 0 calcoliamo g 0 = 3 5 7 = 6300 f 0 = 5 3 5 = 700 Essedo f 0 > 7000, o serve calcolare gli altri. Scriviamo ora i ordie crescete i umeri del tipo g. g 0 = 3 5 7 = 6300; g 1 = 3 5 11 = 9900 Essedo g 1 > 7000, o serve procedere oltre ed il umero itero positivo avete esattamete 54 divisori per cui è miima la distaza da 7150 è quidi f 0 = 700 e D = 00. 7) Scrivere la somma di tutti i umeri della forma 1 p + 7 q + 3 co (p, q, ) tera ordiata di iteri positivi, co p e q primi, tale che p + q = p q + 1. Risposta 0107 L equazioe p + q = p q + 1 è simmetrica i p e q. Se p = q si ha p = p + 1 p ( - ) = 1 p / 1 p / 1 il che è impossibile essedo p primo. Se p q suppoiamo p > q. p + q = p q + 1 p - p q = 1 - q p (p q ) = (1 q ) (1 + q). Essedo p primo p / (1 q ) (1 + q) p / (1 q ) oppure p / (1 + q). Se p / (1 q ) p 1 q. Ma avedo supposto p > q p 1 + q e pertato 1 + q p 1 q 1 + q 1 q q 0 che è impossibile essedo q primo. Se p / (1 + q ) p 1 + q. Ma avedo supposto p > q p 1 + q e pertato 1 + q p 1 + q p = 1 + q. Essedo però p e q primi, dovedo essere cosecutivi gli uici valori accettabili soo p = 3 e q =. Sostituedo ora i p + q = p q + 1 si ha =. Ricordadoci della simmetria dell equazioe p + q = p q + 1 si ha che le uiche tere ordiate (p, q, ) che la sodisfao soo (, 3, ) e (3,, ). Gli uici valori che
possoo essere assuti dall espressioe 1 p + 7 q + 3 soo duque 4 + 1 + 6 = 51 e 36 + 14 è+ 6 = 56 e la somma di questi valori è 51 + 56 = 107. 8) Qual è la somma dei umeri primi che, cotati ua sola volta, compaioo ella scomposizioe dei umeri della forma 4 + 4 co divisore di 630 miore di 9? Risposta 0500 630 = x 3 x 5 x 7 i divisori di 630 miori di 9 soo 1,, 3, 5, 6 e 7. Per = 1 si ha 4 + 4 = 1 + 4 = 5. Per = si ha 4 + 4 = 16 + 16 = 3 = 5. Per = 3 si ha 4 + 4 = 3 4 + 4 3 = 145 = 5 x 9. Per = 5 si ha 4 + 4 = 5 4 + 4 5. Seza svolgere i calcoli si può scrivere 5 4 + 4 5 = 5 4 + 4 x 4 4 ed applicare l idetità di Sophie Germai (a 4 + 4 b 4 ) = (a + b ) 4 a b = ( a + b a b ) x ( a + b + a b ). Nel caso i questioe si ha a = 5 e b = 4 pertato 5 4 + 4 5 = (5+3-40) x (5+3+40) = 17 x 97, che soo etrambi primi (per verificare che 97 è primo basta osservare che è primo co, 3, 5, 7 e cioè co i umeri primi < 97). Per = 6 si ha 4 + 4 = 6 4 + 4 6. Seza svolgere i calcoli si può scrivere 6 4 + 4 6 = 4 x 3 4 + 1 = 4 (3 4 + 8 ) = 4 x 337. 337 è primo essedo primo co, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e cioè co i umeri primi < 337. Per = 7 si ha 4 + 4 = 7 4 + 4 7. Ache qui, seza svolgere i calcoli si può scrivere 7 4 + 4 7 = 7 4 + 4 x 4 6 = 7 4 + 4 x 1 = 7 4 + 4 x ( 3 ) 4 = 7 4 + 4 x 8 4 ed applicare acora l idetità di Sophie Germai co a = 7 e b = 8 pertato 7 4 + 4 7 = (49+18-11) x ( 49+18+11) = 65 x 89 = 5 x 13 x 17. I fattori primi, cotati ua sola volta, che compaioo elle scomposizioi di 4 + 4 co divisore di 630 miore di 9 soo duque, 5, 13, 17, 9, 97, 337 e la loro somma è 500. 9. I due quadrati biachi rappresetati ella figura soo quelli di area miore che verificao le segueti codizioi: i loro lati misurao u umero itero di cetimetri; le loro aree, i cetimetri quadrati, misurao 13a e 15ab (a e b iteri positivi). Quato vale, i cetimetri quadrati, l area del rettagolo colorato i ero? [6534] Essedo 13 = 3 11, il più piccolo valore di a che rede 13a quadrato (cioè tale che tutti gli espoeti dei umeri primi che figurao ella scomposizioe siao pari) è 33 = 3 11. A questo puto, 15ab = 3 5 3 11 b = 3 5 11 b. Per lo stesso ragioameto fatto sopra, il più piccolo valore di b che rede 15ab quadrato è 55 = 5 11. Le aree dei due quadrati soo duque 3 11 e 3 5 11 dalle quali si ricavao i lati 3 11 = 66cm e 3 5 11 = 165cm. Il rettagolo colorato i ero ha come base la differeza tra i lati dei
due quadrati ( 165 66 = 99cm ) e come altezza il lato del quadrato più piccolo ( 66 cm ). La sua area è quidi 99 66 = 6534cm. 10. Carlo e Leoardo stao osservado u umero itero positivo scritto alla lavaga. Carlo dice: "I miei risparmi, i euro, soo pari al quadrato di quel umero aumetato di 0". Leoardo rispode: "Beato te! Io, di euro, e possiedo solo 4 i più di quel umero". Sapedo che il umero di euro di Carlo è multiplo di quello di Leoardo, determiare quali soo i possibili valori dei risparmi di Carlo (idicare come risposta la loro somma). [1413] Sia il umero scritto alla lavaga. I risparmi di Carlo soo + 0 metre quelli di Leoardo + 4. Siccome gli euro posseduti da Carlo devoo essere u multiplo di quelli di Leoardo, ( 4)( + 4) + 0 deve essere + 4 + 0 16+ 16+ 0 + 36 36 u umero itero. Scriviamo = = = 4 +. + 4 + 4 + 4 + 4 36 I particolare, la frazioe sarà u umero itero se + 4 è uo tra i divisori di 36. Per il fatto che + 4 > 0, i possibili valori per + 4 soo 6, 9, 1, 18, 36 che corrispodoo ai segueti valori di :, 5, 8, 14, 3. Per questi valori di, si ottegoo i possibili valori dei risparmi di Carlo ( + 0): 4, 45, 84, 16, 1044. Sommadoli si ottiee 1413. 11. Determiare per quali cifre a, b, c il umero 17a11b017c è multiplo di 165. Per ogi tera a, b, c soluzioe del problema si cosideri il umero abc che si ottiee scrivedo le cifre ua di seguito all altra, ell ordie. Qual è la somma dei umeri così otteuti? [535] Essedo 165 = 3 5 11, il umero 17 a11b017c dovrà essere divisibile per 3, per 5 e per 11. Affiché sia divisibile per 3, ache la somma delle cifre a + b + c + 0 dovrà esserlo. Affiché sia divisibile per 11, la differeza a + c b 10 tra la somma delle cifre di posto pari ( a + c + 5) e la somma delle cifre di posto dispari ( b + 15 ) dovrà essere multiplo di 11 (evetualmete egativo). Ifie, la divisibilità per 5 implica che c=0 o c=5. Distiguiamo i due casi. Se c=0, la codizioe di divisibilità per 11 diveta a b 10 multiplo di 11 e questo, essedo a e b cifre comprese tra 0 e 9, è possibile solo se a b 10 = 11, cioè a = b 1. La codizioe di divisibilità per 3 diveta allora b 1 + b + 0 = b + 19 multiplo di 3 da cui si ricava che b può assumere i valori 1, 4, 7 ed, i corrispodeza, a è uguale a 0, 3, 6. I umeri abc che si ottegoo da questo caso soo quidi 010, 340, 670. Se c=5, la codizioe di divisibilità per 11 diveta a b 5 multiplo di 11 e questo, essedo a e b cifre comprese tra 0 e 9, è possibile solo se a b 5 = 0 (cioè a = b + 5 ) o a b 5 = 11 (cioè a = b 6 ). Aalizziamo i due casi. Se a = b + 5, la codizioe di divisibilità per 3 diveta a + b + c + 0 = b + 5 + b + 5 + 0 = b + 30 multiplo di 3 da cui si ricava che b può assumere i valori 0, 3 (6 o dà u valore accettabile per a) ed, i corrispodeza, a è uguale a 5, 8. I umeri abc trovati soo 505 e 835.
Se a = b 6, la codizioe di divisibilità per 3 diveta a + b + c + 0 = b + 5 + b 6 + 0 = b + 19 multiplo di 3 da cui si ricava che b può assumere il valore 7 (1 e 4 o dao valori accettabili per a) ed, i corrispodeza, a è uguale a 1. L ultimo umero trovato è 175. La somma richiesta è: 10+340+670+505+835+175=535. 1. Il prof. Rossi deve dividere i partecipati ad ua gara di matematica i squadre formate dallo stesso umero di compoeti. Egli ota che, formado squadre da membri, resta fuori u partecipate. Formado squadre da 3, e rimagoo fuori. Se le squadre soo di 4 compoeti, e restao esclusi 3. E così via facedo tutti i tetativi fio a =10. I sitesi, cercado di formare squadre di compoeti (co 10), restado esclusi sempre - 1 partecipati. Quati soo, al miimo, i partecipati alla gara? [519] Essedo il resto della divisioe tra il umero P di partecipati e ogi compreso tra e 10 uguale a - 1, effettuado la divisioe tra P+1 ogi compreso tra e 10 si otterrà come resto 0. ( P P + 1 0 N, 10 ) 1 P+1 sarà quidi multiplo di tutti gli da a 10 e, dovedo cercare il umero miimo di partecipati, avremo P+1=mcm(, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)=50, da cui P=519. 13) Trovare tutti gli iteri x per cui l espressioe x + 8x risulti essere u quadrato perfetto. Forire come risposta la somma dei valori assoluti degli iteri trovati. Soluzioe: [0018] dovrà essere x + 8x = a cioè x + 8x a = 0, risolvedola i x abbiamo x + = 4 ± 16 a che è u itero se = 0 a da cui x = 0 e x = 8, oppure se 16 + a = b cioè 4 + a = b co a 0. Ora l uica tera pitagorica co 4 come elemeto è (3,4,5), quidi a = 3 e le soluzioi soo x = 1 e x = 9 ; la soluzioe duque 0 + 8 + 1 + 9 = 18. 14) Per quali umeri sia 4 trovati. 9 che soo umeri iteri? Dare come risposta la somma dei valori 9 3 Soluzioe: [0087] riscriviamo 4 come 4 allora tale umero sarà itero se è u itero o 4 egativo. Co la divisioe fra poliomi otteiamo: 3 = + 8 + 4, 4 dovrà allora essere 4 u divisore (positivo) di 3, cioè 1,,4,8,16,3; allora i possibili valori di soo 5,6,8,1,0,36, la somma di questi umeri è 87. (I realtà adrebbe bee ache la soluzioe = 0, ma questa o dà alcu cotributo alla risposta 87). 15) Tra i umeri iteri da 1 fio ad compreso e è stato tolto uo. La media dei rimaeti umeri è 6,18. Quale itero è stato tolto? 1+... + x Soluzioe: [0017] dobbiamo risolvere l equazioe = 6, 18 dove x è il umero tolto. 1 1+... + ( 1) +... + Cerchiamo di stimare : 6,18 (a siistra abbiamo scelto x = e a 1 1 destra x = 1 ), da cui (usado la formula della somma dei primi umeri iteri)
( 1) ( + 1) / 1 6,18 semplificado e moltiplicado per otteiamo: 5,36 +, ( 1) 1 1+... + 51 x quidi può essere solo 51 o 5. Se = 51 allora = 6, 18 ha come soluzioe x = 17, 50 metre se = 5 o si hao soluzioi itere. 16) Ua tera di umeri iteri positivi del tipo ( a, b, b + 1) si dice ua tera pitagorica acuta se a + b = ( b +1). Tali tere possiamo ordiarle el seguete modo : (, b, b + 1) a è miore di ( c, d, d + 1) se. Premesso ciò trovare la vetesima tera pitagorica acuta i ordie di gradezza crescete (la prima è ( 3,4,5), la secoda è ( 5,1,13) etc.). Dare come risposta la somma dei tre elemeti della tera trovata. 1 Soluzioe: [17] da a + b = ( b +1) svolgedo i coti si ha b = a, quidi ua geerica tera a 1 a + 1 pitagorica acuta si può parametrizzare el seguete modo: a,, co a umero dispari. Il vetesimo umero dispari che icotriamo partedo da 3 è a = 41, e la relativa tera è ( 41,840,841). Il risultato è quidi: 41+840+841=17. 17) Quate soo le coppie (p,) di iteri o egativi co p primo tali che p + 3=6 + 6? [000] L equazioe p + 3=6 + 6 comprede due termii, 3 e 6, che sparirebbero cosideradola modulo 3. Prima si deve prestare attezioe al caso particolare = 0, u valore accettabile i quato o egativo. Solo i questo caso 6 = 6 0 = 1 e quidi 6 o è cogruete a 0 modulo 3. Sostituedo = 0 si ottiee p 3 = 1 e quidi la soluzioe accettabile (,0). Se ivece 0, si cosidera l equazioe di parteza modulo 3: p + 6 cioè p 6. Si aalizzao i tre casi 0,1, (mod 3): se 0 allora p 0 6 0=0; se 1 allora p 1 6 1=0; allora p 6 =64 =6. Il terzo caso è impossibile: ifatti, u quadrato perfetto o è mai cogruo a modulo 3; detto i altre parole, o è u residuo quadratico modulo 3. Segue che, i ogi caso, p 0 (mod 3). Questo sigifica che, ricordado la defiizioe stessa di cogrueza, 3 p, e quidi 3 p. Siccome p è u umero primo, l uica possibilità è p = 3. Si sostituisce questo valore ell equazioe di parteza, ricavado 9+ 3=6 + 6 cioè 6+=6 + 6. Secodo il testo del problema, deve essere o egativo, e il caso = 0 è stato già trattato. Quidi 1, il che determia 6 6 e 6, co uguagliaza el solo caso =1. Segue che 6 + 6 6+ e l uguagliaza vale se e solo se = 1. I questo modo si determia la secoda soluzioe (3,1), e si prova ache che o e esistoo altre. 18. Ua raa sale ua scala di 5000 gradii saltado prima sul 3, poi scededo di 1, saledo di 5, scededo di 3, saledo di 7 e così via. Purtroppo uo scalio tra il 004 e il 018 (compresi gli estremi) è pericolate, ma o si sa quale. La raa potrà salire la scala solo se lo scalio pericolate è il umero... Dare come risposta la somma dei umeri degli scalii trovati. Soluzioe: [8044] partedo da terra, scalio 0, vediamo dove arriva la raa dopo u certo umero di mosse. Si hao due situazioi possibili: l ultima mossa è a salire e allora 3 1+ 5 3 + 7... + (k + 1) (k 1) + (k + 3) = 1+ k + 1+ k + 3 = 4k + 3 co k = 1,,... e
quidi la raa raggiuge u gradio cogruo a 3 modulo 4; oppure l ultima mossa è a scedere e allora 3 1+ 5 3 + 7... + (k + 1) (k 1) = 1+ k + 1 = k co k = 1,,... e quidi la raa raggiuge u gradio pari. Di cosegueza la raa o toccherà mai i gradii dispari cogrui a 1 modulo 4; sarà quidi salva se il gradio pericolate è uo tra 005, 009, 013, 017, la cui somma fa 8044. 19) Aa ha iserito ua parola d ordie alla porta e rivela a Bruo che essa corrispode al cubo della somma dei valori di per i quali l espressioe 14+4 è u umero primo. Qual è la parola d ordie? [744] Si ha che 14+4=( )( 1) è primo solo se uo dei due fattori è1o- 1: el primo caso = 13, che effettivamete dà come risultato 11, e = 3 che dà come risultato - 9, che o è primo; el secodo caso = 1 che dà come risultato 11 che è primo, e = 11 che dà come risultato - 9, che o è primo. Le soluzioi soo quidi = 1, 13. Da cui 14 3 =744. 0) Scrivi la cifra delle uità del umero 137 753. [0007] Quado si cosiderao le poteze di u itero x modulo u qualche (i questo caso = 10), come abbiamo visto importa solo il valore x mod (i questo caso x mod 10 cioè la cifra delle uità). Se si moltiplica u umero che ha 7 come cifra delle uità ripetutamete per se stesso, si prova che si ottegoo umeri che hao come cifra delle uità la prima volta 9, la secoda 3, la terza 1 e la quarta uovamete 7. Duque la cifra delle uità delle poteze di 137 soo 7,9,3,1,7,9,3,1,7,... e si ripetoo ogi 4. Siccome 753 = 1+4 188, la cifra delle uità di 137 753 è la stessa di 137, cioè 7. Notiamo che l elevameto a poteza è ua classica operazioe ripetuta.