CORO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE Metod tatstc per le decso d mpresa (Note ddattche) Bruo Chadotto 7. Teora del test delle potes I questo captolo s affrota l problema della verfca d potes statstche lmtado sostazalmete la trattazoe alla cosddetta teora classca del test delle potes parametrche e facedo, soprattutto, rfermeto a campo estratt da popolazo ormal; comuque, la portata geerale de prcp eucat e la logca delle argometazo svolte rmagoo mmutate ache se s fa rfermeto a campo estratt da popolazo o ormal. Argometazo dverse devoo essere svolte sa e rguard della mpostazoe baesaa della teora del test delle potes sa e rguard della teora de test o parametrc; aspett quest che o vegoo qu trattat. E' stato sottoleato precedeza che la teora dell'fereza statstca rguarda prcpalmete due specfc argomet: la stma ed l test delle potes. I etramb cas s tratta d valutare aspett cogt, coceret ua determata popolazoe, sulla scorta delle rsultaze campoare. Il problema della stma e quello del test delle potes, ache se sml, vao comuque teut dstt quato covolgoo problematche dverse. Ifatt, come gà detto, el prmo caso l'evdeza campoara, evetualmete tegrata da coosceze a pror, vee utlzzata per stmare u'ettà cogta relatva ad ua certa popolazoe; el secodo caso, l'evdeza campoara, evetualmete tegrata da coosceze a pror, vee utlzzata per verfcare statstcamete la valdtà d ua certa assuzoe (potes) cocerete ua specfca ettà cogta. La rlevaza del problema della verfca d potes statstche è faclmete tuble se s pesa che dall'operazoe d verfca scatursce, ella geeraltà de cas, l'accettazoe o l rfuto dell'potes formulata. A coferma d u tale fatto, vao cosderat soprattutto problem d decsoe e qual all'accettazoe o al rfuto d ua certa potes è collegata la scelta d ua partcolare lea d comportameto. Defzoe : U'potes statstca è u'affermazoe che specfca parzalmete o completamete la legge d dstrbuzoe della probabltà d ua varable casuale. L'affermazoe può rferrs sa alla forma fuzoale
della legge d dstrbuzoe che a parametr caratterstc o a sol parametr caratterstc quado s assuma ota la forma aaltca della dstrbuzoe stessa. e l'potes, usualmete dcata co l smbolo e detta potes ulla o potes zero (potes d lavoro), specfca completamete la legge d dstrbuzoe della varable casuale, s dce semplce, el caso opposto l potes vee detta composta o composta. Ioltre, se l'potes rguarda parametr caratterstc d ua partcolare dstrbuzoe d cu s coosce la forma aaltca s parla d potes parametrca; s dce vece o parametrca (o pù correttamete dstrbuto free), l'potes statstca che o presuppoe ota tale forma. Ovvamete l'potes o parametrca, come geeralmete accade, può rguardare sa la forma aaltca della dstrbuzoe sa parametr che la caratterzzao. Ad esempo se s potzza che l'altezza degl tala adult d sesso maschle s dstrbusce modo (approssmatvamete) ormale co meda par a,7 metr e scostameto quadratco medo par a,8 metr. sta trattado d ua potes statstca semplce (specfca completamete la legge d dstrbuzoe del feomeo) o parametrca (l'potes rguarda ache la forma della dstrbuzoe). e vece s dà per acqusto l fatto che l'altezza degl tala adult d sesso maschle s dstrbusce modo (approssmatvamete) ormale, l'potes statstca potrà rguardare sol parametr caratterstc meda µ e varaza σ (o lo scostameto quadratco medo σ ). L'potes sarà semplce, se specfca u precso valore umerco per due parametr, ad esempo: l'altezza meda è par a,7 metr; sarà vece composta se specfca u seme d valor, ad esempo: l'altezza meda degl tala adult d sesso maschle è compresa ell'tervallo,68,7 metr. Defzoe : U test d potes (statstca) è ua regola attraverso la quale s decde se accettare o meo l'potes formulata sulla base delle rsultaze campoare. Tal dat s rferscoo aturalmete alla varable casuale sulla cu legge d dstrbuzoe è stata formulata l'potes. e s dca co C l'uverso de campo o spazo de campo, coè l'seme d tutt possbl rsultat campoar, u test delle potes cosste el
bpartre l'seme C due sottosem dsgut C e C C C modo tale che s decde d rfutare l'potes se l puto campoaro cade C, d accettare l'potes se l puto campoaro cade C. Lo spazo C d rfuto d u'potes vee usualmete detto regoe crtca, metre s dce regoe d accettazoe lo spazo C. C pazo o uverso de campo C Regoe o spazo d rfuto d ( Regoe crtca ) C Regoe o spazo d. accettazoe dell potes Fg. - Bpartzoe dell'uverso de campo è parlato d u test statstco e o del test statstco, quato s tusce faclmete come la bpartzoe dell'uverso de campo, e coè la defzoe della regoe crtca, possa essere effettuata secodo crter o regole dfferet che o coducoo ecessaramete agl stess rsultat. Due dfferet test, e coè due mod dvers d bpartzoe dell'uverso de campo, possoo essere post a cofroto attraverso u'aals del processo logco seguto ella loro formulazoe, o pù semplcemete, sempre che sa possble, cofrotado le probabltà che s hao d commettere degl error adottado l'ua o l'altra procedura per sottoporre a test ua stessa potes. Nell'accettare o rfutare, sulla scorta dell'evdeza campoara, ua determata potes ulla, s può agre correttamete, e coè accettare u'potes vera o rfutare u'potes falsa, oppure s possoo commettere error avet dversa atura: 3
a) rfutare u'potes quado essa è vera. parla questo caso d errore d I spece o d I tpo; b) accettare u'potes quado essa è falsa. parla questo caso d errore d II spece o d II tpo. Il processo decsoale sopra llustrato può essere schematcamete rassuto ella tavola che segue. tato d atura Azo è vera è falsa accetta Decsoe corretta commette u errore d II tpo rfuta commette u errore d I tpo Decsoe corretta Tab. - Tavola d decsoe La probabltà d commettere u errore d prmo tpo, e coè la probabltà d rfutare ua potes quado essa è vera, è dcata usualmete co α. P ( ) dove α vee detto lvello d sgfcatvtà del test e ( X,X,..., ) X X rappreseta l puto campoaro. La probabltà d commettere u errore d II tpo, e coè la probabltà d accettare u'potes quado essa è falsa, è dcata co β ( Η ) ( ) P ( X C ) / Dove, che rappreseta la egazoe dell potes o, vee detta potes alteratva e, ell ambto della teora classca o frequetsta del test delle potes, completa l cotesto decsoale el seso che, ella specfca stuazoe sotto esame, o è vera l potes ulla o è vera l potes alteratva ; β ( Η ) dca, pertato, la probabltà dell errore d II tpo che dpede, ovvamete, dalla specfcazoe dell potes alteratva. La quattà γ ( ) ß ( ) e coè la probabltà d rfutare u'potes 4
quado essa è falsa vee detta forza o poteza del test relatvamete all'potes alteratva. 5
: θ θ è gà detto come la costruzoe d u test s rduce effett alla bpartzoe dello spazo de campo C due sottospaz C e C. vede qud charamete come l mglor test per sottoporre a verfca u'potes sa quello che dvdua la mglore regoe crtca C ; l'altra, la regoe d accettazoe, rsulterà determata d 6
L L ( ; ) ( ; ) K e d cosegueza C C C (regoe d accettazoe) cossterà ell'seme d put campoar tal che L L ( ; ) ( ; ) < K dove K vee scelto modo che la probabltà d commettere u errore d prma spece sa par a α, allora la regoe crtca C preseta la pù bassa probabltà d'errore d II spece, tra le rego crtche che hao lvello d sgfcatvtà α (probabltà d'errore d I spece). I partcolare va osservato che, dal puto d vsta operatvo, lo spazo de campo C d rfermeto o è lo spazo d varabltà della -upla che costtusce l campoe casuale, ma lo spazo d varabltà d ua fuzoe T ( ) d tal valor. Ad es. se θ µ, la fuzoe d compattazoe è data dà X T ( X,X,,X ) X s cosderà, coè, la meda campoara X e lo spazo de campo relatvo a tale varable sarà l'tero asse reale e la sua suddvsoe potrà essere del tpo rportato ella fgura che segue: Fg. - Regoe crtca e regoe d accettazoe dell'potes Tre cosderazo vao fatte merto al teorema d Nema-Pearso: a) l teorema resta valdo qualuque sa l umero de parametr (purché fto) 7
caratterstc della legge d dstrbuzoe delle probabltà della varable casuale X; b) l teorema o rchede esplctamete l'dpedeza stocastca delle osservazo costtuet l campoe; c) el teorema soo fssate le codzo ecessare affché u test sa l pù potete ma vegoo ache dcate le regole per la dervazoe della regoe crtca. Esempo a ( ) ( ) f, e la fuzoe d destà d probabltà d ua varable casuale X defta sull'tero asse reale esteso (X: - + ). può osservare che s sta trattado ua varable casuale ormale d meda µ θ e varaza σ. Relatvamete alle seguet potes (etrambe semplc) : : < s assuma la dspobltà d u campoe casuale (,,..., ). I queste codzo s può pervere alla dvduazoe della mglore regoe crtca C, coè alla dvduazoe del test pù potete, facedo rcorso al teorema d Nema-Pearso. Le fuzo d verosmglaza sotto le potes e soo L L ( ; ) f ( ; ) ( e ( ; ) f ( ; ) ( e ( ) ( ) La mglore regoe crtca, coè quella che mmzza la probabltà ( ) dell'errore d II tpo ua volta fssata la probabltà α dell'errore d I tpo, resta dvduata dalla dsuguaglaza 8
9 ( ) ( ) K e ) ; f( ) ; f( ; L ; L ) ( ) ( dove K è ua costate da determare fuzoe d α. Prededo l logartmo degl ultm due term della dsuguaglaza s ottee K log ) ( ) ( moltplcado per due term della dsuguaglaza s ha K log ) ( ) ( essedo ) ( + + ) ( + + dove la relazoe d dsuguaglaza può essere scrtta ( ) ( ) K log + ed ache, dvdedo per la quattà egatva ( ) che verte l sego d dsuguaglaza (s rcord l'potes θ < θ ): ( ) ( ) * K K- log Poché X ha, sotto l'potes ulla :, dstrbuzoe ormale co meda µ θ e varaza σ /, sarà facle determare l valore d K che soddsfa la relazoe ( ( ) ( ) ) / K- log X P I pratca l'operazoe s semplfca teedo presete che l membro d destra della dsuguaglaza è ua fuzoe costate d K, basterà allora dvduare l valore
K* che soddsfa la relazoe od ache * ( X K / ) P X K* P / / / l che equvale alla relazoe ( Z c) P dove Z è ua varable casuale ormale stadardzzata e K * è l puto crtco / c che ha alla sua sstra (regoe crtca) l'α% de valor della dstrbuzoe. Il teorema d Nema-Pearso cosete d dervare la mglore regoe crtca soltato e cas cu sa l'potes ulla che quella alteratva soo semplc. Quado o, o etrambe le potes soo composte o esste u aalogo teorema. E' stata comuque suggerta, sempre dagl stess autor, ua procedura geerale per la dvduazoe della regoe crtca che dà usualmete buo rsultat: l test del rapporto d verosmglaza. dmostra fatt che e cas cu esste la mglore regoe crtca essa vee dvduata dal test del rapporto d verosmglaza. dmostra oltre che se esste u test uformemete pù potete (test UMP dall glese Uforml Most Powerful), coè u test che relatvamete ad ua data potes ulla semplce e per u prefssato lvello d probabltà dell'errore d I tpo mmzza la probabltà dell'errore d II tpo, qualuque sa la specfcazoe della potes alteratva composta, esso è u test del rapporto d verosmglaza. Il test del rapporto d verosmglaza può essere defto e seguet term: Defzoe 3 suppoga che,,., costtusca u campoe casuale d ua varable X la cu dstrbuzoe d probabltà sa caratterzzata dal parametro cogto θ, e s vogla sottoporre a test ua potes ulla cotro u'potes alteratva (ua o etrambe composte). dch co L ( ˆ ) l valore massmo della fuzoe d verosmglaza del campoe rspetto al parametro l cu campo d varabltà è crcoscrtto dall'potes, e s dch co L ( ˆ ) l valore massmo della
fuzoe d verosmglaza rspetto a θ, l cu campo d varabltà rguarda og valore specfcato dall'potes o. Allora la regoe crtca del test del rapporto d verosmglaza è formata da tutt put campoar che soddsfao la relazoe ( ˆ ) ( ˆ ) ( / ) ( / ) L ma L < K L ma L R dove K è scelto modo che la probabltà d commettere u errore d I spece sa uguale ad α. Da rlevare che l rapporto sopra dcato o potrà ma superare l'utà; la costate K sarà qud sempre ferore a e potrà essere determata sulla base della dstrbuzoe probablstca del rapporto stesso corrspodeza del lvello α d sgfcatvtà fssato. La dstrbuzoe d R o è sempre faclmete dervable, og caso s dmostra che, per abbastaza grade, e se soo soddsfatte certe codzo geeral d regolartà, la varable casuale W - log R, ha ua legge d dstrbuzoe approssmata del tpo χ co ν grad d lbertà, dove ν rappreseta l umero d vcol d uguaglaza putual su parametr specfcat dall potes ulla. Nelle page successve verrao dscusse alcue procedure per sottoporre a test potes su parametr della dstrbuzoe ormale. Tutt test cosderat soo test del rapporto d verosmglaza. ot che l'applcazoe d tale test al problema della verfca d potes semplc cotro alteratve semplc dà luogo a rsultat detc a quell che s otterrebbero utlzzado l teorema d Nema-Pearso. - Test sulla meda Per poter verfcare delle potes statstche s deve avere a dsposzoe u campoe d osservazo che coseta d poter cocludere sulla ragoevolezza dell'potes (ulla) formulata; se cò accade s accetta l'potes stessa (rteedola ragoevole), altrmet s procede al suo rfuto favore dell'potes alteratva. ammetta d poter dsporre d u campoe d osservazo,,., su ua popolazoe ormale d meda µ e varaza σ cogte, e d voler rsolvere seguet problem d test d'potes a) : µ µ : µ µ > µ
b) : µ µ : µ > µ c) : µ µ : µ < µ d) : µ µ : µ µ fss ora u certo lvello d sgfcatvtà α, coè la msura della probabltà d'errore d I spece che s è dspost a sopportare. L'potes rguarda la meda d ua dstrbuzoe ormale, s scegle qud come fuzoe degl elemet del campoe (varable casuale test) la meda campoara: X T X ( X, X,..., X ) Lo spazo d varabltà della varable casuale campoara X è l'tero asse reale. La procedura d test cossterà qud ella suddvsoe dell'asse reale due rego modo tale che la probabltà d'errore d I spece sa par a α, coè modo che ( X C / ) P dove C rappreseta aturalmete la regoe crtca. è vsto precedeza che la varable campoara casuale X- T / ha ua legge d dstrbuzoe del tpo t d tudet co - grad d lbertà. Avrà qud la dstrbuzoe t, co - grad d lbertà ache la varable casuale T X- / Caso a) : µ µ : µ µ > µ L'asse reale vee dvso due tervall. Il prmo degl tervall specfca la zoa d accettazoe, l secodo la zoa crtca. Il valore umerco d c, detto valore crtco del test, s ottee dalla relazoe P ( T > c / µ µ ) α caso b) : µ µ : µ > µ
I questo caso l'potes alteratva è composta, la procedura d test uformemete pù potete (coè quella che mmzza la probabltà d'errore d II spece cotro og specfcazoe delle potes alteratve ) è esattamete detca a quella dcata el caso precedete. caso c) : µ µ : µ < µ L'potes alteratva ache questo caso è composta ma co sego d dsuguaglaza, relatvamete all'potes alteratva, vertto rspetto al caso precedete. dovrà sempre suddvdere l'asse reale e due tervall - c, c + ma questo caso la regoe crtca è data dall'tervallo - c. Il valore crtco s ottee dalla relazoe P ( T < c / µ µ ) α Da sottoleare che elle due stuazo sopra descrtte s applca l test del rapporto d verosmglaza che dvdua la mglore regoe crtca, dvdua coè, l test uformemete pù potete; a sostego d ua tale affermazoe è suffcete potzzare ua applcazoe reterata del teorema d Nema-Pearso corrspodeza a cascua specfca dell potes alteratva: la regoe crtca dvduata è sempre la stessa, ed è quella che mmzza la probabltà dell errore d II tpo, ovvamete, tale probabltà varerà al varare della specfca dell potes alteratva. caso d) : µ µ : µ µ Metre e due cas precedet s parla d potes alteratve composte udrezoal, quì s parla d potes alteratva bdrezoale. I questo cotesto l'asse reale vee suddvso tre part - c, c c, c +, l'tervallo c c costturà la zoa d accettazoe, metre due tervall - c e c + costtuscoo seme la zoa d rfuto. Poché la dstrbuzoe t è smmetrca, s scelgoo valor d c, c equdstat dallo, coè c - c c. Il valore crtco c s otterrà allora dalla relazoe P ( T < -c / µ µ ) P ( T > c / µ µ ) α / Evdetemete la procedura dcata o forsce u test uformemete pù potete; fatt, se l vero valore d µ fosse superore a µ, l test pù potete sarebbe quello dcato el caso a); se vece l vero valore d µ fosse ferore a µ l test pù 3
potete sarebbe quello dcato el caso c). No avedo maggor formazo sulle alteratve, relatvamete all'potes : µ µ, s prefersce attrbure alle due possbltà µ > µ e µ < µ uguale peso. Da rlevare che l test così otteuto rsulta quello uformemete pù potete ella classe rstretta de cosddett test corrett o o dstort (test UMPU dall glese Uforml Most Powerful Ubased). Defzoe 4 - U test s dce corretto o o dstorto se soddsfa l vcolo γ (Η ) α, coè, se la probabltà d o commettere u errore d II tpo è sempre maggore od uguale alla probabltà d commettere u errore d I tpo). Ne quattro cas sopra esamat s rfuta l'potes se la specfca determazoe della varable casuale T cade ella zoa crtca (zoa d rfuto), s accetta altrmet. Esempo suppoga d voler rsolvere l seguete problema d test d'potes : µ 3 : µ < 3 al lvello d sgfcatvtà α,, dspoedo delle formazo meda campoara 6 e della varaza campoara corretta s 36 relatve ad u campoe d 5 elemet estratt da ua popolazoe ormale. No essedo ota la varaza della popolazoe, la regoe crtca o regoe d rfuto dell'potes ulla : µ 3 s dvdua facedo rfermeto alla varable 4
t 6 3 5 3,33 <,49 rfutamo l'potes ulla : µ 3, al lvello d sgfcatvtà dell'%. Esempo 3 Dat seguet otto valor campoar 3, 9, 6, 33, 4, 8, 3 e 5 estratt da ua popolazoe ormale s vuole sottoporre a test l'potes che la meda sa par a 35 cotro l'potes alteratva che o lo sa, al lvello d sgfcatvtà α,. Il problema d test d'potes da rsolvere è : 35 : 35 Essedo la varaza della popolazoe ua cogta del problema s dovrà procedere ad ua sua stma utlzzado dat campoar essedo ( ) 8 8 3,5 s 7 8 ( 3,5), s s La determazoe della varable casuale test che questo caso, essedo cogta la varaza, è la t d tudet, è par a t s 4,7-3,5-35 -,85 s / 4,7 / 8 Essedo α, valor crtc della varable t, co (8-) 7 grad d lbertà; che defscoo la regoe crtca soo - t - 3,499 e c c t 3,499. Il valore campoaro -,85 è coteuto ell'tervallo -3,499 3,499, pertato s accetta l'potes ulla µ 35 attrbuedo la dffereza rscotrata rspetto al valore campoaro 3,5 a fattor d carattere accdetale. 5
Esempo 4 Per gustfcare la loro rchesta d aumeto d stpedo, gl mpegat d ua dtta d vedta per corrspodeza affermao d ruscre ad evadere, medamete u orde d acqusto og 3 mut. Il drettore geerale della dtta ha effettuato ua verfca casuale su temp d evasoe d 4 ord regstrado u tempo medo d evasoe d 4 mut e ua varabltà, msurata term d varaza corretta, d mut. Cosa s può cocludere rguardo alle rcheste degl mpegat se s fssa ua probabltà d errore d I tpo (lvello d sgfcatvtà) del 5%? deve sostazalmete verfcare se la meda rlevata el campoe dffersce, al lvello d sgfcatvtà del 5%, da quella dcharata dagl mpegat. Il problema d verfca d'potes è formalzzato e term seguet : La varable casuale test d rfermeto t 3 : µ > 3 X X- / ha, ell'uverso de campo, dstrbuzoe del tpo t d tudet co - grad d lbertà. Covee sottoleare che, questo specfco esempo, essedo la dmesoe campoara elevata ( 4) s può fare rfermeto alla dstrbuzoe ormale quale approssmazoe della dstrbuzoe t d studet che forsce u valore crtco (test udrezoale ), per α,5, par a,65. La regola d decsoe è quella d rfutare l'potes se l valore assuto (valore emprco) dalla v.c. test ello specfco campoe è,65, d accettare se l valore emprco è <,65. Poché 4 e s s / / 4 s ha s rfuta l'potes s 4-3 >,65 / 4 cocludedo che tempo medo rchesto per evadere u orde è superore a 3 mut dcharat dagl mpegat. Esempo 5 suppoga d dsporre d u campoe d elemet rspetto al quale 6
sao stat otteut valor 5, ( ) 99 e d dover rsolvere l seguete problema d test d'potes : µ 47 : µ 47 potzzado la ormaltà della dstrbuzoe della varable d teresse. No essedo ota la varaza della popolazoe e relatvamete rdotta la dmesoe del campoe o s può fare rcorso all'approssmazoe ormale, la varable casuale test da utlzzare è, pertato, la varable casuale t d tudet. X- T / dove ( ) qud ( ) 9 99 9 La determazoe assuta dalla varable casuale t d studet sotto l'potes ulla o : µ 47 rsulta essere, 5 47 t,864,488 Per ( ) 9 grad d lbertà ed α, valor crtc che delmtao la regoe d accettazoe soo - 3,5 e. 3,5. Essedo,864 < 3,5 s t t / accetta l'potes ulla : µ 47. e s scegle l lvello d sgfcatvtà α,5, valor crtc soo -t α/ e t α/ ; essedo,864 >,6 l 'potes ulla : µ 47 dovrà essere rfutata. 7
Esempo 6 suppoga d aver sommstrato ad u gruppo d cave ua partcolare deta dalla ascta fo all'età d 3 mes e d aver rscotrato seguet cremet d peso: 55, 6, 54, 57, 65, 64, 6, 63, 58, 67, 63 e 6 gramm. apedo che le cave del tpo cosderato, quado o soo sottoposte a dete specal, mostrao u cremeto medo d peso (e prm tre mes d vta) par a 65 gramm, c s domada se le rsultaze campoare sao tal da poter attrbure alla deta la dffereza rscotrata ell'cremeto medo d peso; s vuole sapere coè se la dffereza d 6,75-65 debba essere attrbuta alla deta o se o debba vece essere attrbuta a fattor avet carattere puramete accdetale. Ua possble rsposta al questo s può otteere applcado la procedura d test sopra llustrata; la procedura può essere rassuta come segue:. s fssa l lvello d sgfcatvtà, ad esempo α,5;. s specfcao le due potes : µ 65 : µ 65 L'potes alteratva è d tpo bdrezoale quato s può rteere, almeo per l mometo, che u qualsas cremeto medo d peso maggore o more d 65 gramm possa essere attrbuto all'effetto della deta; 3. s dvdua la varable casuale al test X- 65 T / che, per quato detto, è del tpo t d tudet co - grad d lbertà. Tale varable descrve l'adameto de rsultat campoar (stetzzat ella formula sopra scrtta) sotto l'potes ulla ; coè a codzoe che la deta o abba effetto e che qud le dffereze tra X e 65 sao da attrbure esclusvamete a fattor accdetal; 4. s determa l valore crtco c che soddsfa la relazoe P ( -c T c),95 Dalle tavole della dstrbuzoe t d tudet, corrspodeza d grad d lbertà, rsulta c,; 5. s poe a cofroto l valore t (la specfca determazoe della varable casuale T) calcolato su dat campoar 8
t 6,75-65 6,38 / co l valore crtco determato al puto precedete. Essedo t -3,63 < -, -c s rfuta l'potes ulla : µ 65, al lvello d sgfcatvtà α,5, s rfuta coè l'potes che la dffereza d 6,75-65 sa da attrbure al caso. Qualora s rtega, a pror, che la deta debba provocare u cremeto medo d peso ferore a 65 gramm, la procedura d test da adottare sarà quella d tpo udrezoale. I tal caso s dovrà porre : µ 65 : µ < 65 s determa po, fuzoe della varable test l valore crtco c che soddsfa la relazoe T X- 65 / P (T -c),5 Dalle tavole della dstrbuzoe t d tudet rsulta c,8. Essedo t -3,63 < -,8 -c s rfuta l'potes : µ 65. Le due procedure d test adottate, bdrezoale e udrezoale, portao etrambe alla stessa coclusoe: rfuto dell'potes ulla. A tale proposto va però sottoleato che se la t campoara avesse assuto u valore compreso ell'tervallo -, -,8 l'applcazoe della procedura d test bdrezoale, a lvello α,5 d sgfcatvtà, avrebbe comportato u'accettazoe dell'potes ulla metre, allo stesso lvello d sgfcatvtà, l'applcazoe della procedura d test udrezoale avrebbe comportato u suo rfuto. I test sopra llustrat soo, per l potes alteratva udrezoale e per l potes bdrezoale, rspettvamete, l test uformemete pù potete ed l test uformemete pù potete ella classe de test corrett. Dalle cosderazo svolte, rsulta evdete l ruolo fodametale gocato dal lvello d sgfcatvtà del test. tate l'arbtraretà ella fssazoe del lvello α, coè della probabltà massma d errore d I spece che s è dspost a sopportare, spesso l 9
rcercatore prefersce dscutere d lvello d sgfcatvtà soltato a posteror. Nel caso specfco dell'esempo cosderato, s sarebbe detto che l rsultato campoaro t -3,63 è sgfcatvo, el caso d test bdrezoale, al lvello dello,8%; voledo esprmere co tale affermazoe l fatto che l'area sottesa alla curva descrtta dalla fuzoe d destà d probabltà della dstrbuzoe t d tudet corrspodete alla regoe crtca, defta dagl tervall - -3,63, 3,63 + è par a,8. Tale valore vee usualmete detto P-value. Defzoe 5 I corrspodeza d ua partcolare determazoe t, assuta da ua qualuque varable casuale test T ( ), s dce P-value la probabltà de valor che superao, valore assoluto e ella drezoe estrema, l valore osservato. Questa defzoe vee usualmete accettata quado T ( ) è ua stma d θ usata per sottoporre a test l potes ulla : cotro u potes altreratva udrezoale : >, ed valor estrem da cosderare s collocao ella coda d destra della dstrbuzoe, oppure : <, ed valor estrem da cosderare s collocao ella coda sstra della dstrbuzoe. Molto pù problematca è la stuazoe el caso d potes bdrezoale :, questa crcostaza valor estrem da cosderare soo sa quell della coda d destra sa quell della coda d sstra, a ragoe d cò, alcu autor sostegoo che tal crcostaze l valore del P-value debba essere raddoppato; ell esempo sopra cosderato, se l potes alteratva fosse stata : µ 65, l P-value sarebbe stato par a,6,8 +,8. rchama l attezoe sul fatto che l rcorso al P-value è crtcato da molt autor a ragoe, sa dell aspetto sopra cosderato dell attrbuzoe d u valore umerco a P-value, essedo l valore stesso terpretable come evdeza emprca cotro l potes ulla ( P,8 è scuramete u evdeza emprca cotro l potes ulla : µ 65 pù forte d quato o lo sa P,6 ), sa perché può accadere che ad uo stesso valore d P possoo corrspodere realtà molto dverse. e s presuppoe, ad esempo, d voler rsolvere l problema d test : µ 65 cotro l potes alteratva : µ > 65 avedo a dsposzoe u campoe d dmesoe estratto da ua popolazoe ormale co varaza ota, sotto
l potes ulla la varable casuale test Z X 65 s dstrbusce come ua ormale / stardardzzata. I tale stuazoe, per 4, 66 la determazoe della varable casuale test è z, cu corrspode u P-value par a,8, allo stesso valore d P s pervee per 4 e 65,. Ovvamete, le due stuazo soo decsamete dverse ache se la msura dell evdeza emprca cotro : µ 65 è la stessa; ma questo è u problema che che rguarda tutta l mpostazoe classca della teora del test dell potes e che trova ua sua soddsfacete soluzoe solo ell ambto dell mpostazoe baesaa dell fereza statstca. u problem che s possoo cotrare ell ambto dell fereza statstca classca ulteror elemet formatv s rtrovao ell esempo che segue. Esempo 7 U'mpresa afferma che le battere prodotte hao ua durata meda d ore e che la loro varabltà, msurata attraverso lo scostameto quadratco medo, è par a 3 ore. Nove battere vegoo sottoposte a prova e s accerta ua durata meda d ore. Ipotzzado per la popolazoe ua varabltà par a quella dcharata dalla casa produttrce e la ormaltà della dstrbuzoe, s vuol verfcare la valdtà dell'affermazoe fatta dall'mpresa. Poché la durata delle battere s dstrbusce modo (approssmatvamete) ormale e la varaza è ota (σ ell'uverso de campo ormalmete co varaza 9 9 La formulazoe delle due potes (ulla e alteratva) è : µ µ 9), la meda campoara X s dstrburà, : µ µ pertato, fssato l lvello d sgfcatvtà α,5, la regoe d accettazoe dell'potes ulla rsulta dvduata dall'tervallo -z α/ z α/, coè dall'tervallo -,96,96. Essedo - - z - / par ad u valore ferore al valore,96 che delmta la regoe d accettazoe,
l'potes ulla : µ vee rfutata, cocludedo che la durata meda delle battere questoe è ferore alle ore. e la varaza della popolazoe o fosse ota ed l valore 9 corrspodesse alla stma campoara corretta d tale ettà cogta, la varable casuale test d rfermeto sarebbe la t d studet co 8 ( 9-) grad d lbertà. I questo caso, al lvello α,5 d sgfcatvtà put crtc rsulterebbero par a -,36 e,36, ed essedo l valore campoaro assuto dalla varable casuale t ( -) coteuto ell'tervallo
e l'potes ulla è vera, la meda campoara X s dstrbusce, ell'uverso de campo, ormalmete co meda µ e varaza σ /. Per l'dvduazoe della mglore regoe crtca (quado esste) s può procedere alla stadardzzazoe della varable casuale X X- Z / e rferrs alle tavole della dstrbuzoe ormale stadardzzata utlzzado ua procedura del tutto aaloga a quella llustrata a proposto della dstrbuzoe t d tudet. Ad esempo per α,5, valor crtc d rfermeto per le quattro possbl potes alteratve cosderate soo: a) c,64, s rfuta l'potes ulla se Z >,64; b) c,64, s rfuta l'potes ulla se Z >,64; c) c -,64, s rfuta l'potes ulla se Z < -,64; d) c -,96 e c,96, s rfuta l'potes se Z < -,96 oppure X Z >,96. Ne quattro cas sopra cosderat, soo stat dvduat valor crtc facedo rfermeto alla dstrbuzoe ormale stadardzzata. Rsulta subto evdete come sa possble rferrs drettamete alla varable casuale X azché alla sua stadardzzata. Ifatt dall'uguaglaza X- ( Z,64) P,64 P ( X +,64 ),5 P / rsulta mmedatamete l valore crtco del test per l prmo (e secodo) caso cosderato, rfermeto alla varable casuale test X azché Z. Nella Fg. 3 s evdezao grafcamete, per tutt e quattro cas d potes alteratva cosderat, la regoe crtca e quella d accettazoe rfermeto alla varable casuale test X ed al lvello d sgfcatvtà α,5: Esempo 8 Ua fabbrca d lampade afferma che propr prodott hao ua durata meda d. ore, come acqurete s vuole verfcare l'affermazoe. ottopoedo a prova 3
u campoe casuale d lampade s rscotra ua durata meda d 97 ore. Poché è ota la varabltà (msurata dalla varaza) ella durata che rsulta essere σ.6, cosa s può cocludere rguardo all'affermazoe ad u lvello d sgfcatvtà del 5%? Il problema d verfca l'potes da rsolvere è : µ. : µ. Essedo ota la varaza ed potzzado la ormaltà della dstrbuzoe d orge, la varable casuale test d rfermeto è X- Z / che, ell'uverso de campo ha dstrbuzoe ormale stadardzzata. I valor crtc per ua probabltà d errore d I tpo, prefssata al lvello α,5, soo -,96 e,96 z z / che dvduao le zoe d accettazoe d ell'tervallo -,96,96 metre la regoe d rfuto è rappresetata da semtervall - -,96 e,96 +. Poché la determazoe della varable casuale test (valore emprco), par a 97. - 3,75, rcade ell'tervallo - -,96 (regoe crtca) s rfuta 8 / l'potes cocludedo che la durata meda delle lampade è ferore a. ore. 4
Fg. 3 - Dstrbuzoe campoara e regoe crtca relatve a quattro dverse specfcazo dell'potes alteratva rspetto all'potes ulla : µ µ 5
- Poteza d u test Nel prmo grafco della Fg. 3 (quello relatvo al caso a) dove etrambe le potes formulate soo semplc) è stata evdezata grafcamete oltre alla regoe d rfuto dell'potes ache l'area corrspodete alla probabltà α,5 dell'errore d I tpo e l'area corrspodete alla probabltà β ( ) d commettere u errore d II tpo. La poteza o forza del test γ ( Η ) ß ( ), coè la probabltà d o commettere u errore d II tpo, rsulta grafcamete espressa dall'area sottesa alla curva d destra relatva all'tervallo c + Dalla Fg. 3 e da quato detto a proposto degl tervall d cofdeza s desume che la poteza d u test resta fluezata:. - dal lvello d sgfcatvtà α prescelto;. - dalla specfcazoe dell'potes alteratva;. -dalla umerostà del campoe. L'mmedata cosderazoe da fare merto alla relazoe che lega la forza d u test al lvello d sgfcatvtà è che u test è tato pù potete quato pù è elevata la probabltà dell'errore d I tpo. Ifatt, se s osserva la Fg. 4 s vede charamete come l'cremeto del lvello α (probabltà dell'errore d I tpo), comportado u allargameto dell'tervallo d rfuto (regoe crtca), determ ua rduzoe della probabltà dell'errore d II tpo e d cosegueza u aumeto della poteza del test. 6
Fg. 4 - Relazoe tra poteza d u test e lvello d sgfcatvtà cosder ora l caso cu s vogla sottoporre a test l'potes ulla : µ µ, cotro l'potes alteratva: a) : > b) : > c) : > al lvello α d sgfcatvtà. I tre problem d test soo llustrat grafcamete ella Fg. 5. Osservado le curve traccate s vede charamete come la poteza del test cresca all'aumetare dello scarto tra l valore d µ specfcato dall'potes ulla ed l valore d µ specfcato ell'potes alteratva. Nella Fg. 6 s rporta l grafco della fuzoe forza del test relazoe a tutte le possbl specfcazo delle potes alteratve composte udrezoal : µ < µ e : µ > µ e l'potes alteratva composta bdrezoale : µ µ 7
Fg. 5 - Relazoe tra poteza del test e specfcazoe dell'potes alteratva 8
Fg. 6 - Grafco della fuzoe forza del test relatvo all'potes ulla : µ µ cotro tre dverse specfcazo dell'potes alteratva composta L'espressoe aaltca che cosete d determare l valore umerco assuto dal puto crtco relatvo alla varable casuale test X, quado s vuole sottoporre a test u'potes ulla del tpo : µ µ cotro u'potes alteratva del tpo : µ > µ è data dall'uguaglaza c µ + z α σ/ dove z α è la determazoe umerca della varable casuale ormale stadardzzata che soddsfa la relazoe P ( Z > z α ) α. Evdetemete la relazoe sopra scrtta s rfersce ad u campoe d osservazo d dmesoe estratto da ua popolazoe ormale d varaza ota σ. Ioltre, la relazoe stessa evdeza come l'ettà c (valore crtco) sa ua fuzoe decrescete d. Cò sta a sgfcare che ad u aumeto della dmesoe campoara corrspode ua dmuzoe el valore umerco d c, l che comporta u amplameto dell'tervallo che delmta la regoe crtca co u coseguete aumeto della forza del test. A ttolo esemplfcatvo s rporta l grafco della fuzoe forza del test rfermeto a due dverse dmeso campoare ed m ( > m) 9
Fg. 7 - Grafco della fuzoe forza del test relatvo a due dverse dmeso campoare U'ultma cosderazoe da fare merto alla poteza o forza d u test statstco rguarda la varaza campoara della varable casuale test. c Dalla formula sopra scrtta rsulta che l valore crtco c è legato fuzoalmete ed seso postvo a c, cò sta a sgfcare che a pù bass valor d c corrspodoo pù bass valor d c e qud pù ampe rego crtche. arà pertato possble, operado su c otteere u cremeto ella poteza d u test seza dover ecessaramete procedere ad u aumeto della dmesoe campoara o della probabltà dell'errore d I tpo. Questa affermazoe ha aturalmete sgfcato soltato e cas cu sa effettvamete possble operare su c, ad esempo, attraverso u opportua pafcazoe della rlevazoe campoara o del dsego degl espermet. Il caso pù semplce e pù sgfcatvo è quello relatvo alle modaltà d estrazoe delle utà campoare e s cosdera la meda campoara X quale varable casuale test; fatt, come gà sottoleato, se s procede all estrazoe da ua popolazoe fta rmettedo og volta l utà estratta ella popolazoe (campoameto co rpetzoe) s ha, se vece s effettua l estrazoe modo esaustvo N (estrazoe seza rpetzoe) s ha, dove N è la dmesoe della N popolazoe e è la dmesoe del campoe. Relatvamete alla varaza c della varable casuale test, s deve sottoleare che ella geeraltà de cas tale varaza dpede dalla varabltà del feomeo oggetto 3
d studo, coè, dalla varaza della popolazoe che è u ettà usualmete cogta (parametro d dsturbo). dovrà, pertato, procedere ad ua stma d tale ettà l che porta alla determazoe d ua stma d postva d tale quattà ˆ c vee usualmete detto errore stadard. ˆ c c ; la radce Esempo 9 cosder la varable casuale cotua X defta el semasse reale postvo esteso (X : + ) co fuzoe d destà d probabltà f ( ; ) e e s suppoga d voler rsolvere l seguete problema d test d'potes : θ : θ > uppoedo, oltre, la dspobltà d u campoe d due elemet ( ) e defedo la regoe crtca attraverso la dsuguaglaza X + X 9,5 s può dervare l'espressoe aaltca della fuzoe forza del test γ ( ) determadoe l valore per : θ 4. Come pù volte sottoleato, la fuzoe forza del test rappreseta la probabltà d o commettere u errore d II tpo, coè la probabltà d rfutare l'potes quado l'potes stessa è falsa. ( ) P ( X C / ) - P( X C / ) e s esplcta l'potes alteratva el modo seguete : > 4 e s tee coto della regola d decsoe prescelta (accettare l'potes quado X + X < 9,5), e del fatto che le due varabl casual campoare X e X soo dpedet, s avrà: 3
P ( X + X < 9,5 / ) 9,5 9,5 f ( ; ) d d f ( ; )d d 9,5 9,5 e + d d e qud + 9,5 9,5 9,5 9,5 + ) ) e dd e Per θ 4 s ha 9,5 4 + 9,5 4 e 4,3 è pù volte affermato che la varable casuale X- T / ha ua legge d dstrbuzoe t d tudet quado la popolazoe che geera l campoe è d tpo ormale. No sempre però, ella rcerca applcata, rsulta soddsfatta la codzoe d ormaltà; c s deve allora chedere che cosa succede alla legge d dstrbuzoe della varable T, defta dalla formula quado ua tale codzoe o sussste. L'osservazoe da fare è che la varable T s dmostra partcolarmete sesble alle varazo ella legge d dstrbuzoe della popolazoe che geera l campoe. Le cosderazo sopra svolte mpogoo ua certa cautela ell utlzzazoe della dstrbuzoe t d tudet, el seso che s può fare rcorso ad ua tale dstrbuzoe solo quado s è suffcetemete covt della ormaltà, o approssmatva ormaltà, della popolazoe che geera l campoe. Tale affermazoe vale aturalmete e cas cu la dmesoe del campoe o supera le 3 utà, oltre tale dmesoe, come gà sottoleato, la dstrbuzoe t d tudet e la dstrbuzoe ormale pratcamete cocdoo, basterà allora rferrs alla dstrbuzoe ormale purchè questa costtusca ua buoa approssmazoe della dstrbuzoe della meda campoara. Per quato cocere cas cu s abba a che fare co campo d dmesoe 3
superore a 3, s rmada a quato sommaramete detto a proposto degl tervall d cofdeza per campo estratt da popolazo d cu o è ota la legge d dstrbuzoe. Ifatt, s rleva mmedatamete come le procedure proposte per sottoporre a test delle potes statstche, e quelle utlzzate per la determazoe degl tervall d cofdeza, preseto put d cotatto tal da cosetre u passaggo mmedato dall'tervallo d cofdeza alla regoe d accettazoe. A sostego d quato sopra affermato s può, ad esempo, cosderare l problema d test, sulla meda µ d ua popolazoe ormale co varaza ota par a σ, defto dalle potes : : La regoe d accettazoe dell'potes : al lvello α,5 d sgfcatvtà, rsulta essere che può ache essere scrtta X - µ σ /, 96,96 X,96 / X +,96 / e tale espressoe rappreseta l'aalogo dell'tervallo d cofdeza (al lvello del 95%) per la meda d ua popolazoe ormale X,96 X +,96 come gà vsto precedeza. L'mplcazoe è duque che u tervallo per la meda, al lvello d cofdeza del 95%, costtusce l'tervallo che clude tutte quelle potes, sulla meda stessa, che verrebbero accettate ua procedura d test bdrezoale, qualora fosse stato fssato u lvello d sgfcatvtà par a,5. La somglaza tra le procedure d test e quelle d determazoe degl tervall d cofdeza, o deve aturalmete durre a cofodere problem d test co quell d stma; ess soo logcamete e sostazalmete dvers. - Test sulla varaza Nel caso cu s vogla sottoporre a test u'potes sulla varaza d ua popolazoe ormale, dspoedo d u campoe d elemet e per u certo α, s 33
deve operare modo aalogo a quato fatto relatvamete alla meda. La varable casuale campoara d rfermeto (varable casuale test) dveta W ( - ) che ha ua legge d dstrbuzoe del tpo χ co - grad d lbertà ed è defta ell'tervallo +. Caso a) b) : : σ σ > σ (od ache : > σ ) * Il valore crtco c s ottee dalla relazoe σ P ( W > c / σ σ ) α Caso c) : σ σ : σ < σ Il valore crtco c s ottee dalla relazoe P ( W < c / σ σ ) α Caso d) : σ σ : σ σ I valor crtc c e c (s ot che la dstrbuzoe χ o è smmetrca) s ottegoo dalle relazo P ( W > c / σ ) α/ σ P ( W < c / σ ) -α/ σ Esempo ulla scorta d ua luga espereza è stato calcolato lo scostameto quadratco medo σ sulla varable descrtta dal tempo d aestesa relatvamete a soggett d sesso maschle sottopost ad uo specfco trattameto; tale scostameto è rsultato par a,5 ore. Lo stesso trattameto vee applcato ad u campoe d soggett d sesso femmle, rscotrado uo scostameto quadratco medo, el tempo d aestesa, par a,3 ore. apedo che vet soggett femml sottopost a trattameto presetao, e cofrot dell'aestetco, le stesse codzo de soggett maschl, s vuole spegare l'cremeto rscotrato ella varabltà. I altr term, c s chede se l'cremeto 34
rscotrato sa da attrbure al sesso oppure a fattor avet atura accdetale. Il problema può essere formalzzato specfcado l'potes ulla e l'potes alteratva e term che seguoo : f m f,5 : σ > σ m, 5 dove σ f sta ad dcare lo scostameto quadratco medo relatvo alla popolazoe d sesso femmle, σ m lo scostameto quadratco medo relatvo alla popolazoe d sesso maschle. otto l'potes ulla, e coè a codzoe che l'potes ulla sa vera, la varable casuale test dove 9 w 9 m (X X) rappreseta la varaza calcolata sul campoe d vet soggett femml, avrà ua dstrbuzoe del tpo χ co 9 grad d lbertà. Relatvamete allo specfco campoe s ha,3 w,5 e s fssa u lvello d sgfcatvtà ell'orde del 5%, s può determare, sulla scorta delle tavole della dstrbuzoe χ, l valore crtco c per l quale rsulta soddsfatta la relazoe P (W c),95 Poché rsulta essere c 3,, la zoa d accettazoe sarà data dall'tervallo 3,, metre la regoe crtca rsulterà espressa dall'tervallo 3, +. tate tale stuazoe s rfuta l'potes ulla; s rfuta, coè, l'potes che la dffereza rscotrata ella varabltà sa da attrbure al caso. e l lvello d sgfcatvtà vee fssato ell'orde dell'%, s deduce u valore crtco c 36,. I tal caso, e coè al lvello d sgfcatvtà dell'%, l valore campoaro rcadrebbe ella zoa d accettazoe della potes ulla; verrebbe pertato 35
attrbuta al caso la dffereza rscotrata. Esempo Ua fabbrca d battere d automobl dchara che l propro prodotto preseta ua varabltà ella durata (msurata dalla varaza) par a,8 (σ,8). U campoe casuale d 6 battere vee sottoposto a prova evdezado ua varaza corretta par a. vuole verfcare, al lvello d sgfcatvtà del 5% (α,5) se la varaza ella durata del prodotto è superore a,8. La formulazoe delle potes per l problema esame è : σ,8 metre la v.c. test d rfermeto è : σ >,8 W ( ) che, ell'uverso de campo, ha ua dstrbuzoe del tpo χ co - grad d lbertà. Per α,5 e ( ) 5 grad d lbertà l valore crtco rsulta essere χ 4,996, pertato la regola d decsoe sarà (test udrezoale): s accetta, 5 se l χ emprco è 4,996, s rfuta se l χ emprco è > 4,996. Essedo ( ) 5 8,7 4,996 s accetta l'potes.,8 - Test sulle frequeze Voledo utlzzare la teora del test delle potes per rsolvere u problema d verfca d'potes sulle frequeze relatve (probabltà) d u partcolare eveto, s può procedere come llustrato elle page precedet; s fssa coè u lvello α d sgfcatvtà (probabltà dell'errore d I tpo) e s dvdua po la regoe crtca (d rfuto dell'potes ulla formulata) che massmzza la poteza del test (probabltà d o commettere u errore d II tpo). e la dmesoe del campoe è suffcetemete elevata per sottoporre a test 36
u'potes su ua probabltà s può fare rcorso alla dstrbuzoe ormale essedo questa ua approssmazoe abbastaza buoa della dstrbuzoe bomale per suffcetemete elevato e p > 5, q > 5, dove rappreseta la dmesoe campoara, p la probabltà dell'eveto che teressa e q -p la probabltà cotrara. I partcolare se X rappreseta l umero d success prove beroullae (prove dpedet), la proporzoe campoara X pˆ p q ha ua dstrbuzoe approssmatvamete ormale co meda p e varaza. e s vuole qud sottoporre a test ua specfca potes, al lvello d sgfcatvtà α, del tpo : p p cotro l'potes alteratva : p > p s può fare rcorso alla varable casuale ormale stadardzzata pˆ - p p q / Z dove q -p. rfuterà l'potes se pˆ - p p q / > Z α coè se pˆ > p q + Z α dove Z α è l valore (puto crtco) della dstrbuzoe ormale p stadardzzata che ha alla sua destra l'α% de cas. ot che l'potes ulla p p o specfca solo la meda p della dstrbuzoe beroullaa ma ache la varaza p q. Esempo suppoga d voler sottoporre a test l'potes /3 cotro l'potes alteratva > / 3 dspoedo d u campoe d osservazo dpedet che evdeza ua frequeza relatva pˆ 5 /,75. Poché sotto l'potes ulla, la proporzoe campoara p ha ua dstrbuzoe approssmatvamete ormale co meda p /3 e varaza p q / /9, se s scegle l lvello d sgfcatvtà α,5, l puto crtco che delmta la regoe crtca sarà z α,645. 37
Pertato l'potes ulla : p /3 dovrà essere rfutata quado Coè quado p - /3 / 3,645 pˆ / 3 +,645 / 3,7 Essedo Pˆ,75 >,7, l'potes ulla : p 3 vee rfutata al lvello d sgfcatvtà del 5%. Come llustrato elle page precedet essedo l'potes alteratva composta o sarà possble determare la poteza del test e l valore α,5 l valore massmo della probabltà dell'errore d I tpo. e s specfcasse l'potes alteratva term d u precso valore umerco rsulterebbe possble, come charto precedeza, calcolare la poteza del test. Nella tabella che segue, per α, e α,5, soo rportat valor assut dalla fuzoe forza del test corrspodeza d alcue partcolar specfche dell'potes alteratva. P p q / α 5% α %,7 p poteza,744 p p q / p q / poteza,6,346 3,57, 4,7,,65,337,8,7,798,3,67,33,557,59,38,,69,37,969,66,66,48,7,3,364,358,69,4,73,34 -,64,64,455,35,75,36 -,65,8 -,86,574,77,97 -,66,948 -,865,86,79,88 -,37,99 -,587,944,8,77-3,88,999 -,373,99,83,66-4,7, -3,, Tab. 3 - Poteza del test relatvo all'potes dell'esempo 3. 38
Ovvamete ache rfermeto alle proporzo (probabltà) s possoo presetare cas d test d'potes del tpo : p p cotro l'alteratva bdrezoale : p p od ache : p p p cotro l'alteratva : ( p < p ) ( p > p ). Esempo 3 suppoga d avere a che fare co ua dstrbuzoe beroullaa e d voler sottoporre a test l'potes ulla : p,5 al lvello d sgfcatvtà α,5 ammetta, oltre, d poter dsporre d u campoe d osservazo dpedet e d volere calcolare la poteza del test rfermeto a cascua delle seguet specfche dell'potes alteratva a) : p,55 b) : p,6 c ) : p,65 d ) : p,7 e) : p,75 Essedo suffcetemete elevata la dmesoe campoara e rsultado, oltre, p e q superor a 5, s può approssmare la dstrbuzoe bomale co la dstrbuzoe ormale che, quado l potes ulla : p,5 è vera, ha meda p,5 5 e varaza p q,5,5 5. Poché α,5 s rfuta l'potes ulla : p,5 quado la determazoe campoara della varable casuale ormale stadardzzata X- p Z p q assume u valore superore al puto crtco c,65 che è l valore che soddsfa la relazoe (quado l'potes ulla è vera) e modo equvalete coè X- 5 P,65 5,5 ( X 5 + 5,65 ),5 P 39
( X 58 ),5 P La poteza d u test è msurata dalla probabltà d rfutare u'potes quado questa è falsa, s dovrà allora calcolare la probabltà X > 58 per cascua specfca dell'potes alteratva coè ( X 58 / ),5 P I valor della poteza del test per var cas rchest soo rportat ella tabella che segue m p p q X Z Poteza p,55 55 4,97,5,38 p,6 6 4,9 -,5,695 p,65 65 4,77 -,57,94 p,7 7 4,58 -,73,997 p,75 75 4,33-4,4, Tab. 4 - Valor della poteza del test Esempo 5 Relatvamete ad ua dstrbuzoe beroullaa s vuole rsolvere l problema d test d'potes : p,5 : p / 3 al lvello d sgfcatvtà α, e presuppoedo la dspobltà d 36 osservazo campoare dpedet. vuole evdezare, oltre, la crescta della poteza del test al crescere della dmesoe campoara cosderado partcolare valor 36, 64,, 44 e 96. La dstrbuzoe bomale può essere approssmata dalla dstrbuzoe ormale essedo, tutt cas cosderat, la dmesoe campoara suffcetemete elevata e p, q maggore d 5. Per cascua specfca del valore s calcola la meda µ p e lo scostameto 4
quadratco medo p q corrspodeza del valore p,5 µ p σ p q 36 8 3 64 3 4 5 5 44 7 6 96 98 7 Poché l valore p specfcato dall'potes alteratva, è pù elevato d quello specfcato dall'potes ulla, al lvello d sgfcatvtà α,, rfutamo l'potes quado la determazoe campoara della varable casuale ormale stadardzzata assume u valore superore al valore crtco c zα,3 essedo questo l valore che soddsfa la relazoe ed ache da cu X- 8 P,33 3, ( X 3,33 + 8 ), P ( X 4,99 ), P I valor crtc corrspodeza degl altr valor d soo 64 4,33 + 3 4,3 5,33 + 5 44 6,33 + 7 6,65 85,98 4,3 4
6,65-66,67 P Z P 4,7 ( Z -,658 ),86 85,98-96 44 P Z P 5,66 ( Z -,773 ),95 4,3-3',67 96 P Z P 6,6 ( Z -,4788 ),99 - Determazoe della dmesoe del campoe Nella trattazoe fo ad ora svolta è stata cosderata fssa la dmesoe campoara, s presetao però spesso stuazo cu o c s lmta alla fssazoe del solo lvello d sgfcatvtà avedo ache teresse a che la poteza del test o sa ferore ad ua certa sogla. Per poter cosegure u tale obettvo s potrà tervere coveetemete sulla dmesoe campoara. Esempo 6 cosder, l caso cu, rfermeto a ua dstrbuzoe ormale, s vogla sottoporre a test l'potes ulla : cotro l'potes alteratva : > µ al lvello d sgfcatvtà α,5 e modo tale che la poteza del test ( ) o sa ferore a,9. rcorda che, ( ) - ( ), coè, che la poteza d u test rappreseta la probabltà d o commettere u errore d II tpo. rfuta l'potes ulla quado per la meda campoara vale la dsuguaglaza +,645 Poché l vcolo sulla poteza mpoe l rspetto della relazoe od ache ( X +,645 / ),9 P X / +,645 / P e teedo presete che l valore Z della varable casuale ormale stadardzzata che ha alla sua destra l 9% de cas è par a -,8, dovrà essere soddsfatta l'uguaglaza,9 4
da cu +,645 / (,645 +,8 ) ( )/ -,8 [ ] [( )/ ] 8,567 se o è tero s opera ua approssmazoe per eccesso. Per, e 4 s avrà 34, 68, s fssa pertato la dmesoe campoara 35. - Cofroto tra campo Nelle page precedet è stato aalzzato l problema della verfca d potes statstche sulla scorta d dat coceret sgol campo. Pù specfcamete, s è dscusso della possbltà d utlzzazoe de dat campoar per la determazoe della struttura geerale d ua partcolare popolazoe rappresetata medate u modello probablstco, d forma ota ma caratterzzato da parametr cogt. Verrà aalzzato ora l problema del cofroto tra due campo, avedo come fe l'accertameto delle possbltà d ua loro attrbuzoe alla stessa popolazoe o a popolazo avet u parametro caratterstco d uguale valore. Relatvamete a due grupp d osservazo campoare, ache se geerat da ua stessa popolazoe, s rscotra geeralmete ua qualche dffereza, l problema da rsolvere sarà qud quello d accertare l'evetuale sgfcatvtà statstca d ua tale dffereza. Evdetemete, og coclusoe favorevole alla sgfcatvtà d ua dffereza, comporterà l'attrbuzoe de due campo, cu la dffereza s rfersce, a popolazo dstte. Ne put seguet le cosderazo sarao lmtate modo quas esclusvo al problema del cofroto d mede relatve a campo estratt da popolazo ormal. suppoga d avere a dsposzoe u gruppo d m osservazo campoare casual relatve ad ua popolazoe ormale X d meda cogta e varaza ota µ ed u secodo gruppo d osservazo campoare casual relatve ad ua popolazoe ormale Y d meda cogta µ e varaza ota. suppoga, oltre, d volere stablre se la dffereza evetualmete rscotrata tra le due mede campoare sa da attrbure al caso o al fatto che le due mede µ e µ, delle popolazo che hao e 43
geerato due campo, soo dverse; s vuole altr term decdere per l'evetuale sgfcatvtà statstca della dffereza. Il problema d cu sopra può essere formalzzato attraverso ua specfcazoe dell'potes ulla e dell'potes alteratva seguedo la lea d ragoameto descrtta elle page precedet. Le possbl formulazo, strettamete legate alla problematca dell'aals che s sta coducedo, portao alla cosderazoe de tre cas seguet: Caso a) : µ µ : µ > µ Caso b) : µ µ : µ < µ Caso c) : µ µ : µ µ La varable casuale Z X- Y / m + / ha, quado l'potes ulla è vera, legge d dstrbuzoe ormale stadardzzata. Avedo dvduato la legge d dstrbuzoe d ua fuzoe (quella che teressa) degl elemet campoar, sarà facle defre la regoe crtca e quella d accettazoe per la rsoluzoe de problem dcat. Ifatt, poché ell'espressoe sopra rportata compare la dffereza tra le due mede campoare, sarà facle l'estesoe d quato detto a proposto d ua sgola meda al caso presete. I valor crtc e tre cas propost s dervao faclmete dalle relazo: Caso a) P ( Z > c / µ µ ) α s accetta l'potes se z < c, s rfuta altrmet: Caso b) P ( Z <- c / µ µ ) α s accetta l'potes se z > - c, s rfuta altrmet; Caso c) P ( Z < - c / µ µ ) α/ s accetta l'potes se - c < z < c, s rfuta altrmet. Ne tre cas cosderat z rappreseta la specfca determazoe della varable casuale ormale stadardzzata Z. 44
Nelle dag spermetal ove test statstc vegoo applcat regolarmete per lugh perod d tempo, o rsulta dffcle ua msura precsa della varabltà de rsultat; tal cas potrà essere applcata la teora sopra esposta, og qual volta s vogla procedere ad u cofroto fra mede, attraverso u semplce rcorso alle tavole della dstrbuzoe ormale stadardzzata. Va rlevato però che soo molto pù frequet cas cu la varabltà rsulta essere ach'essa, oltre valor med, ua cogta del problema. Esempo 7 Per u campoe casuale d studet dell'uverstà d Freze s rleva u'età meda d, a ed ua varaza (campoara corretta) par a,44. Per u campoe casuale d studet dell'uverstà d Roma valor rscotrat soo vece a e,5. Prefssado ua probabltà d errore d I tpo a lvello α,5, s vuole verfcare statstcamete l'uguaglaza ell'età meda tra gl studet de due Atee. e co µ s dca l'età meda degl studet dell'uverstà d Freze e co µ l'età meda degl studet dell'uverstà d Roma l problema d test da rsolvere è: : µ µ : µ µ Essedo le dmeso campoare suffcetemete elevate s può rteere accettable la cogettura che la varable casuale campoara ( X- Y )- ( - ) - dove X e Y soo le due mede campoare e / m + / ( e le due varaze campoare corrette) ha, ell'uverso de campo, ua dstrbuzoe approssmatvamete ormale e può pertato essere utlzzata quale v.c. test. La regoe d accettazoe d resta defta dall'tervallo -,96,96 metre la regoe d rfuto è data da due tervall - -,96 e,96 +. Essedo la determazoe della varable casuale test sotto l'potes par a 45