Liceo Scientifico Paritario R. Bruni Padova, loc. Ponte di Brenta, 15/1/018 Verifica scritta di Matematica Classe V Soluzione Risolvi 4 degli 8 quesiti proposti. Ogni quesito vale 5 p.ti. 1. Determina i valori dei parametri reali a e b per i quali la funzione e ax se x < 0 f ( x)= b se x = 0 sin( πx)+1 se x > 0 risulti derivabile in!. Per i valori dei parametri trovati: ; i. determina il valore di f 0 ii. traccia il grafico qualitativo di f. La funzione f è continua in!\ 0 continuità in 0: f ( x)= f ( 0 )= f ( x ) eax = b = ( sin ( πx )+1 ) b = 1. x 0 x 0 + x 0 x 0 + La funzione f è derivabile in!\ 0 { } per note proprietà delle funzioni continue. Impongo la Impongo la derivabilità in 0: h 0 ( sin( πh)+ 1) 1 = a h 0 + h { } per note proprietà delle funzioni derivabili, infatti: f ( x)= aeax π cos πx f ( 0+ h) f 0 h se x < 0 se x > 0 = h 0 + e ah 1 sin πh = π h 0 ah h 0 + πh. f ( 0+ h) f 0 h a = π i. Imponendo la derivabilità in 0 ho appena dimostrato che f ( 0)= π. ii. La funzione è e πx se x < 0 f ( x)= 1 se x = 0 sin( πx)+1 se x > 0, e ah 1 = h 0 h 1 di 8
il cui grafico è costituito da un esponenziale per x < 0, f ( 0)= 1, una sinusoide di periodo traslata lungo il verso positivo dell asse delle ordinate di 1 per x > 0 :. Determina il valore dei seguenti iti: i. x 3 = 8 t 0 + i. x3 sin x tan x ; ii. ( 1 ln x ln x )1 ; x 0 + iii. sin π 3 x 9x + x ; iv. x 0 sin ( x) 1 cos x x. x =t sin x tan x = + 0 = sint 1 cost 1 t t cost = 4. 8 t 0 + t 3 ( sint tant)= t 0 + 8sint t 3 cost 1 cost = ii. iii. ln x=t ( 1 ln x ln x x 0 )1 = ( + ) 0 + = ( 1+t t t + ) 1 = in si è fatto uso della gerarchia degli infiniti. t + ( 1+t eln )1 t = ln( 1+t ) e t t + sin π 3 x 9x + x = sin ( + ) = 9x 9x + sin π x = 3 x + 9x + x = e 0 = 1, dove di 8
= sin + = sin π x = 3 x + x( 9 + x x) π x = sin 3 x + 3 x = sin π 6 = 1. sin π x = 3 x + x 9 + x x iv. x 0 sin ( x) 1 cos x x = 0 ( 1+ cos x x )sin x 0 = x 0 1 cos x + x dove in si è diviso numeratore e denominatore per x. ( 1+ cos x x ) sin x = x x 0 1 cos x +1 x = 4 3, tale che f ( a ) < 0 e f ( x)= +. Dimo- 3. Sia f una funzione continua in a; + stra che la funzione ammette almeno uno zero in tale intervallo. Il Teorema della permanenza del segno garantisce l esistenza di un reale b I ( + ) tale che f ( b)> 0. Poiché f è continua in a; +, lo è anche in a; b a; + ; inoltre f ( a) f ( b)< 0 quindi, per il Teorema di esistenza degli zeri, f ammette uno zero in a; b a; +. 4. Una scala lunga,5 m è appoggiata a un muro. Se la base, all istante di tempo t, scivola alla velocità x ( t)= m s, con quale velocità sta scivolando la cima della scala nell istante in cui la base si trova a 1,5 m dal muro? In riferimento alla figura, se la scala sta scivolando sul pavimento, ad un certo istante t si troverà nella posizione indicata dal triangolo BOA; applicando il Teorema di Pitagora a tale triangolo trovo che y = 6,5 x (la soluzione negativa non ha senso fisico), precisamente: y( x( t) )= 6,5 x ( t). La velocità istantanea con la quale la scala scivola sul muro nell istante in cui la base si trova a 1,5 m dal muro è y ( 1,5): 1 y ( x( t) )= ( ) y ( x( t) )= x( t) x ( t) 6,5 x t 6,5 x t y ( 1,5)= 6,5 x t 1,5 6,5,5 y ( 1,5)= 1,5 m s. 3 di 8
5. Considera un quadrante circolare AOB di centro O e raggio 1. Sia P un punto dell arco AB! tale che la sua distanza da B sia x; traccia la tangente in P all arco AB! e indica con Q il punto di intersezione della tangente con la semiretta di origine O passante per A. i. determina l espressione PQ in funzione di x e calcola ( PQ AQ). ii., rappre- posta l espressione del punto precedente uguale alla funzione f x senta il suo grafico qualitativo, indipendentemente dalle itazioni geometriche poste dal problema. Metti in evidenza il tratto del grafico che rappresenta il problema. P B i. In riferimento alla figura, considero il triangolo POB: esso ha PO = 1 e PB = x ( 0 < x < ); per il Teorema della corda e per il teorema dell angolo al centro si ha PB = sin PÔB PÔB sin = x PÔB sin = x PÔB x x 1 sin = 1 cos PÔB = 1, 4 x per cui sin PÔA = 1. Utilizzando la prima relazione fondamentale della go- niometria trovo che cos PÔA = x 4 x. Considero il triangolo rettangolo OPQ : OQ = OP cos PÔA OQ = ; applicando il Teorema di Pitagora trovo quanto x 4 x richiesto: PQ = OQ OP PQ 4 = x 4 x Poiché AQ = OQ OA AQ = x x PQ P B AQ = x 0 + x 4 x x 4 x x 4 x 1 PQ = x x ( 4 x ). 4 x = x 0 + x x 4 x = 1. x 4 x 1 AQ =, x 4 x 4 di 8
ii. Studio la funzione f ( x)= ( x). x 4 x dominio: D f =!\{ ; 0; }. parità: f ( x)= f ( x), x D f ; f è pari. segno di f ( x) : f ( x)> 0 per < x < x 0 ; f ( x)= 0 per x = ±. iti significativi ed eventuali asintoti: f ( x )= 1 f ammette un asintoto orizzontale di equazione y = 1 ; x ± f x x = x ± x ± x ( x) ( + x) = 4 = ± f ammette un asintoto verticale 4 4 0 ± di equazione x = ; f ( x )= + f ammette un asintoto verticale di equazione x = 0 ; x 0 x ± f ( x x )= x ± x x equazione x =. ( + x) = 4 4 0 4 = f ammette un asintoto verticale di possibile grafico qualitativo di f (parte arancione relativa alle itazioni date dal problema): 5 di 8
6. Sia f :!! una funzione definita dalla posizione x! f ( x) = e x + x. i. Verifica che la funzione ammette almeno uno zero nel semiasse negativo delle ascisse; ii. Traccia il grafico qualitativo di f; iii. Giustifica che f è invertibile e determina l equazione della retta tangente al grafico della funzione inversa f 1 nel suo punto di intersezione con l asse delle ascisse. i. La funzione data è continua in! perché somma di funzioni continue; inoltre f ( 1) f ( 0)= ( e 1 1) 1< 0, quindi per il Teorema di esistenza degli zeri posso concludere che z 1; 0 tale che f ( z )= 0. ii. Noto che f ( x)> 0 per x > z ; inoltre: f x f x =, x x x = e x +1= 1 e ( f ( x) x)= e x = 0, per cui la x x x x funzione ammette un asintoto obliquo di equazione y = x ; f x f ( x)= +, x = e x x la funzione non ammette asintoto obliquo per x +. Un possibile grafico di f potrebbe essere il seguente: +1= + per la gerarchia degli infiniti, quindi iii. Dal grafico tracciato si deduce facilmente che f è iniettiva (elementi distinti del dominio hanno immagini distinte) e suriettiva (l insieme immagine è! ), quindi biiettiva e perciò invertibile. Per determinare l equazione della retta richiesta è possibile procedere in due modi: a. Determino l equazione della retta tangente al grafico di f nel suo punto di ascissa nulla: f ( x)= e x +1 f ( 0)=, quindi t : y 1= ( x 0) t : y = x +1. La retta ri- 6 di 8
chiesta sarà la simmetrica di t rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, ovvero la retta t : x = y +1 t : y = 1 ( x 1). b. d dy f 1 ( y) y=1 = 1 d dx f x x=0 1 = = 1 ( e x +1) x=0, quindi t : y 0 = 1 ( x 1) t : y = 1 ( x 1). 7. Calcola la derivata delle seguenti funzioni: i. f ( x)= e x e ln x ; ii. iii. iv. f ( x)= ln x +1 x 1 ; f ( x)= ( e x +1) ( e x + ) ( e 3x3 + 3); f ( x)= x + ln x. x i. f ( x)= e x e ln x f ( x)= e e x e ln 1 x e e x 1 x 1 f ( x)= e ii. f ( x)= 1 1 x +1 ( = x 1 x 1) x ( x +1) x 1 = x +1 x 1 x +1 ( x 1) ( 1 x) x. x 1 iii. f ( x)= (( e x +1) ( e 3x3 + 3) ) ( e x + ) + (( e x +1) ( e 3x3 + 3) )( e x + )e 4x = = e x ( e 3x3 + 3)+ ( e x +1)e 9x + 8x( e x +1) ( e 3x3 + 3) ( e x + )e = e x + ( ( 1+ 9x )e x+3x3 + 9x e 3x3 + 3e x ) e x + = e x + iv. f ( x)= 1 x + ln x x = 1 x + 1 x x xln x x 4 x e x + 8x 3e x + e 3x3 + e ( x+3x3 )e x. = 1 1 ln x 1 x ln x + =. x x 3 x 3. 8. Determina i valori dei parametri a, b e c in modo tale che la funzione f ( x) = ax + b x + c sia parallela alla retta r : y = x. ammetta un asintoto orizzontale di equazione y = e che la retta tangente al grafico di f in T ; 0 Per i valori dei parametri trovati, tracciare il grafico qualitativo di f. 7 di 8
Le tre condizioni date si possono scrivere a sistema nel seguente modo: f ( x)= x ± f ( )= 0. f ( )= ax( x + c) x( ax + b) Sapendo che f ( x)= f ( x)= ( ac b)x x + c x + c, il sistema diventa: a = a = 4a + b 4 + c = 0 c 4 a = b = 8 b = 8. 4( ac b) ( 4 + c) c 4c = 0 = c = 0 Trovo che f ( x)= ( x 4). Per tracciare il grafico osservo che D x f =!\{ 0}, f ( x)= f ( x) (la funzione è pari, ovvero il suo grafico è simmetrico rispetto all asse delle ordinate), f ( x) 0 per x x, f x ( x 4) = = 8 x 0 ± x 0 ± x 0 + =. NOTE: i. È ammesso l uso del calcolatore elettronico o di tavole numeriche; ii. Punteggio massimo 100 p.ti. Per la sufficienza è necessario raggiungere il punteggio di 60 p.ti. 8 di 8