1 Sulla teria della prpagazine della luce nei mezzi dispersivi A. Einstein In una Nta apparsa recentemente in questi Rendicnti h prpst un esperiment ttic, per il quale secnd il mi raginament la teria ndulatria dà risultat divers rispett alla teria dei quanti. Il raginament è il seguente. Una particella di raggi canale che si muva nel pian fcale di una lente prduce luce cn superfici di ugual fase eccentriche, che per la rifrazine della lente si cnvertn in piani nn paralleli (sistema di piani dispst "a ventagli"). In una tale luce la frequenza, quindi anche la velcità di prpagazine è una funzine del punt. Se si fa passare una tale nda in un mezz disperdente, in ess la velcità di prpagazine delle superfici d egual fase è una funzine del punt; le superfici di egual fase subiscn csì nel crs della lr prpagazine in un mezz dispersiv una rtazine, che dev essere rivelabile tticamente cme una deviazine della luce. Pichè Ehrenfest e Laue dubitan della frza prbante di quest raginament, h esaminat più accuratamente secnd la teria delle nde la prpagazine della luce in mezzi dispersivi e h di fatt trvat che un tale raginament nn prta ad un risultat crrett. Il punt è, cme anche Ehrenfest ha crrettamente sservat, che seguend un frnte d nda in un mezz dispersiv si può arrivare in psti che stann al di furi del grupp d nda cnsiderat; il frnte d nda è allra davver rutat, ma nn esiste più fisicamente; al su pst se ne ha in un altr lug un nuv cn rientazine diversa. Il nstr scp è di trvare una rappresentazine matematica esatta dal punt di vista della teria ndulatria per la situazine che si verifica in un mezz dispersiv. Per far quest pssiam fin dall inizi limitarci a trattare il cas bidimensinale, ciè quell per il quale le cmpnenti del camp 1 S.B. Preuss. Akad. Wiss. 3, 18 (1922). 1
sn indipendenti dalla crdinata z. Trviam csì che i mezzi dispersivi, relativamente al pur cas ideale, si cmprtan esattamente cme quelli nn dispersivi. Sia una funzine che sddisfi l equazine delle nde, per esempi la cmpnente z dell intensità del camp elettric, sia quindi 1/2 j[ (t-r/v)+ ] =(A/r )e (1) una sluzine dell equazine delle nde per tutti gli r, che sian grandi rispett alla lunghezza d nda 2 V/ = ; indica l ampiezza al temp t in un punt (x,y) la cui distanza da un punt fiss (, ) sia uguale a r. A,,V e sn cstanti reali; e V sn legate da una relazine che rispecchia le caratteristiche ttiche del mezz. Ogni termine del tip (1) aggiunt alla sluzine dà lug, per la linearità delle equazini differenziali, ancra ad una sluzine. Pensiam ra di cnsiderare un svilupp cntinu, che frnisca nde del tip (1), distribuite cn cntinuità lung una prefissata curva nel pian x-y. I punti fissi (, ) sn da trattarsi cme dati in funzine della lunghezza s dell arc misurat lung la curva. A sufficiente distanza dalla curva, l integrale estes alla curva -1/2 jh = Ar e ds, H= (t-r/v)+, (2) è sempre una sluzine delle equazini. A,, e V sn da cnsiderarsi cme lentamente variabili lung la curva, di md che le lr variazini sian infinitamente piccle per un avanzament lung la curva di. La lunghezza d nda dev essere assai piccla rispett alla lunghezza della curva e questa dev essere inltre piccla rispett alla distanza r del punt d sservazine rispett ai punti della curva. Il calcl degll integrale (2) prduce una teria della prpagazine della luce che include i fenmeni della diffrazine di Fraunhfer e di Fresnel nel cas cilindric qui trattat, quand si pnga cstante. Nel cas che dipenda da s si ttengn sluzini nn stazinarie, ciè tali che per esse l intensità della radiazine dipenda dal temp. Nn ci interessa qui il prblema della diffrazine, ma sl il prblema ttic trascurand la diffrazine. Chiediam: quali 2
punti sn al temp t illuminati e quali n, e inltre trascurand il fenmen della diffrazine. A questa dmanda è facile rispndere cn sluzini della frma (2). H dipende dalla scelta del punt d sservazine e del punt sulla curva, e varia in generale rapidamente, quand il punt sulla curva la percrre; jh perciò e è una funzine rapidamente scillante. Pssn quindi cntribuire sstanzialmente all integrale sl quelle parti della curva per le quali H/ s si annulla. Se ne esistn rispett al punt e al temp d sservazine cnsiderati, allra c è "luce", altrimenti c è "bui". Scegliam ra cme curva il tratt dell asse x tra =-b e =+b e cnsideriam la sluzine sl per punti d sservazine cn y psitiv. Ci interessiam sl dell asse del fasci di raggi, e l assumiam infinitamente sttile, di md che è evidentemente sufficiente frnire la cndizine di illuminazine per il punt di mezz =0. Otteniam quindi per l intensità della radiazine la cndizine ( H/ ) =0. (3) =0 Stt le cndizini gemetriche cnsiderate la nrmale d nda ha evidentemente la direzine del raggi vettre spiccat dall rigine delle crdinate al punt d sservazine. Il cas che ci interessa è un fascett in un mezz dispersiv, che muta la sua direzine di radiazine cn velcità anglare cstante. Ci apprssimiam gradualmente a quest cas trattand un cas più semplice. I. Tren d nde di direzine cstante. Specializziam la (2) cn le cndizini / =0, / =0. Pniam inltre che qui cme nel seguit sia sufficiente 2 2 1/2 dve si è pst r =(x +y ) r=r -x /r, (4). La cndizine (3) dà x=0. 3
La prpagazine della luce avviene lung l asse y. II. Tren d nde di direzine variabile in un mezz nn dispersiv. Pniam / =, / =0. Allra H=( + )(t-r /V+x /Vr )+. La velcità V in quest cas è indipendente dalla frequenza /2. L equazine (3) dà (t-r /V)+ x/vr =0. (5) Che si tratti veramente di un raggi di direzine variabile, l si ricnsce cme segue. La luce, che al temp t illumina il punt d sservazine, passa dall rigine delle crdinate al temp t =t-r /V. I punti di sservazine illuminati stann sulla direzine x/r =- Vt /. Questa direzine quindi cambia cn il temp t. La luce passante a un dat temp t dall rigine delle crdinate si prpaga rettilineamente. III. Tren d nde di direzine variabile in un mezz dispersiv. Pniam ancra / =, / =0. Si cnsidera ra tuttavia che V dipenda da. Pniam n=c/v, quindi pertant n=n +(dn/d )d =n +(dn/d ), e allra 1/V=(n +(dn/d ) )/c 4
La cndizine (3) dà ra H=( + )[t-(r -x /r )/c](n +(dn/d ) )+. [t-r (n + (dn/d ))/c]+ n x/cr =0. (6) Ci chiediam ra: che ne è di un grupp d nde, che in un breve intervall di temp attrn a t=0 passa la superficie y=0? Evidentemente un tale grupp nn si prpaga cn la velcità V=c/n, ma cn la velcità di grupp V =c/(n+ (dn/d )). Per il punt g d sservazine illuminat da quest grupp dev essere sddisfatta la cndizine t-r /V =t-r (n+ (dn/d )/c=0. g L equazine (6) dà quindi anche in quest cas x=0. (7) Il grupp d nde si prpaga quindi rettilineamente lung l asse y e la nrmale d nda ha la stessa direzine. Perciò è dimstrat che la luce generata da particelle di raggi canale nn subisce deviazine in mezzi dispersivi, in cntrast cn il precedente raginament elementare. Ciò ha dat anche la ricerca che, secnd l amichevle cmunicazine di E. Warburg, è stata cndtta da Geiger e Bthe nell Istitut Fisic-Tecnic di Stat. Cnclusini più prfnde sulla natura del prcess elementare di emissine, secnd questi risultati della trattazine terica, nn si pssn trarre dall esperiment. E da sservare che una deviazine della luce nei mezzi dispersivi in dipendenza dall stat di mt della mlecla emittente prterebbe ad una cntraddizine cn il secnd principi della termdinamica, cme mi ha fatt sservare Laue. Ma pichè nn ci si deve aspettare una tale curvatura anche secnd la teria ndulatria, risulterebbe nn necessari apprfndire quest punt. E mi sentit dvere esprimere in quest lug il mi sincer ringraziament a Warburg, Geiger e Bthe. 5