1 Teori dell integrzione di Riemnn Definizione 1.1. Dto un sottinsieme non vuoto A di R, si definisce funzione crtteristic di A l seguente funzione χ A : R R 1, se A, χ A () = 0, se A. Si I = [, b), con < b un intervllo chiuso sinistr e perto destr. Indichimo d or in poi con µ(i) l misur dell intervllo I e definimo integrle di χ I : I(χ I ) = µ(i) = b. Osservimo che I(χ I ) è l re del sottogrfico di χ I. Definizione 1.2. Si definisce funzione semplice ogni funzione del tipo ϕ() = n λ h χ Ih (), λ h R, I h = [ h, b h ), I h I k =, per h k, h=1 ovvero ogni combinzione linere di funzioni crtteristiche di intervlli chiusi sinistr e perti destr due due disgiunti. Esempio 1.3. L funzione semplice ϕ = 3χ 2 [ 1,2) χ [3,4) si può scrivere nche nell form ϕ = 3χ 2 [ 1,0) + 3χ 2 [0,2) χ 7 [3, 2) χ [ 7,4), e sono evidentemente 2 infinite le sue rppresentzioni. L prim qui fornit è evidentemente l più economic. Osservzione 1.4. Dti due intervlli chiusi sinistr e perti destr, l loro intersezione, se non vuot, è ncor un sifftto intervllo; l loro differenz, se non vuot, è unione di uno o due intervlli di questo tipo. Segue che, dte due (o un numero finito di) funzioni semplici, è possibile rppresentrle come combinzioni lineri di un stess fmigli di intervlli chiusi sinistr e perti destr, due due disgiunti. A titolo di esempio, considerimo ϕ = 2χ [0,2) χ [3,4), ψ = 3χ [ 1,1) + χ [ 5,5). Posto Y 1 = [ 1, 0), Y 2 = [0, 1), 2 Y 3 = [1, 2), Y 4 = [ 5, 3), Y 2 5 = [3, 4), Y 6 = [4, 5), si h ϕ = 0χ Y1 + 2χ Y2 + 2χ Y3 + 0χ Y4 1χ Y5 + 0χ Y6, ψ = 3χ Y1 + 3χ Y2 + 0χ Y3 + 1χ Y4 + 1χ Y5 + 1χ Y6. Segue d qunto or or osservto che l combinzione linere di funzioni semplici è ncor un funzione semplice, quindi l insieme S delle funzioni semplici è uno spzio vettorile rele. Inoltre, il prodotto di funzioni semplici 1
è un fuzione semplice: se ϕ = n h=1 λ hχ Ih, ψ = n h=1 µ hχ Ih, llor ϕψ = ( n h=1 λ hχ Ih ) ( n k=1 µ kχ Ik ) = n h,k=1 λ hµ k χ Ih χ Ik = n h=1 λ hµ h χ Ih, dto che χ Ih χ Ik 0 se h k, χ Ih χ Ih = χ Ih. Evidentemente, ϕ = n h=1 λ h χ Ih. Definizione 1.5. Si ϕ() = n h=1 λ hχ Ih un funzione semplice. Definimo integrle di ϕ il numero rele I(ϕ) = n λ h µ(i h ). h=1 L integrle di ϕ si denot nche con R ϕ()d oppure + ϕ()d. I(ϕ) è l re con segno del sottogrfico di ϕ, risult perciò evidente che I(ϕ) non dipende dll rppresentzione di ϕ. Sono di immedit verific le seguenti proprietà: i) Linerità I(ϕ 1 + ϕ 2 ) = I(ϕ 1 ) + I(ϕ 2 ), ϕ 1, ϕ 2 S, I(λϕ) = λi(ϕ), λ R, ϕ S, ii) Positività I(ϕ) 0, ϕ S, ϕ 0, iii) Monotoni Dunque l ppliczione I(ϕ) I(ψ), ϕ, ψ S, t.c. ϕ ψ, I(ϕ) I( ϕ ), ϕ S, I : S R ϕ I(ϕ), è un ppliczione linere positiv (monoton). Si osservi che ogni funzione semplice è itt e null l di fuori di un insieme itto. Si or f : R R un funzione itt e null l di fuori di un insieme itto. Definimo come segue le clssi delle funzioni semplici rispettivmente mggiornti e minornti di f: S + (f) = {ϕ S ϕ() f(), R}, 2
S (f) = {ψ S ψ() f(), R}. Osservimo che S + (f) e S (f) sono non vuoti. Inftti esistono L, M > 0 tli che f() L, per ogni R e f() = 0 per ogni R tle che M. Dunque ϕ = Lχ [ M,M) S + (f), ψ = Lχ [ M,M) S (f). Per ogni ϕ S + (f) e per ogni ψ S (f), si h che ϕ f ψ, d cui, per l proprietà iii), si h che I(ϕ) I(ψ), ϕ S + (f), ψ S (f), cioè gli insiemi A = {I(ϕ), ϕ S + (f)} e B = {I(ψ), ψ S (f)} sono clssi seprte di numeri reli. Dunque I(ϕ) inf I(ϕ) sup I(ψ) I(ψ). ϕ S + (f) ψ S (f) I numeri reli inf ϕ S+ (f) I(ϕ) e sup ψ S (f) I(ψ) sono detti rispettivmente integrle superiore e integrle inferiore di f. Definizione 1.6. Si f : R R un funzione itt e null fuori d un itto. Diremo che f è integrbile (secondo Riemnn) se inf I(ϕ) = sup I(ψ). (1) ϕ S + (f) ψ S (f) In tl cso, il comune vlore dell integrle inferiore e dell integrle superiore è detto integrle di f ed è indicto con un delle seguenti notzioni: I(f), R f()d oppure + f()d. Si noti che, in bse ll precedente definizione, le funzioni semplici sono integrbili e il vlore dell integrle ppen definito coincide con quello precedentemente definito per le funzioni semplici. E utile introdurre dei criteri di integrbilità, in cui rimne sottinteso che f : R R è un funzione itt e null fuori d un itto. Proposizione 1.7. f è integrbile se e soltnto se per ogni ɛ > 0 esistono ϕ 1 S (f), ϕ 2 S + (f) tli che I(ϕ 2 ) I(ϕ 1 ) < ɛ. (2) Dimostrzione. Si f integrbile. Per le proprietà crtteristiche dell estremo inferiore e dell estremo superiore, si h che per ogni ɛ > 0 esistono ϕ 1 S (f) tle che I(ϕ 1 ) > I(f) ɛ 2 e ϕ 2 S + (f) tle che I(ϕ 2 ) < I(f)+ ɛ 2. Ne segue che I(ϕ 2 ) I(ϕ 1 ) < ɛ. 3
Vicevers, se esistono ϕ 1 S (f), ϕ 2 S + (f) verificnti (2), llor inf I(ϕ) I(ϕ 2) < ɛ + I(ϕ 1 ) ɛ + sup I(ψ) ϕ S + (f) ψ S (f) Segue che per ogni ɛ > 0, si h Per l rbitrrietà di ɛ > 0, si h (1). 0 inf I(ϕ) sup I(ψ) ɛ. ϕ S + (f) ψ S (f) Proposizione 1.8. f è integrbile se e soltnto se esistono due successioni {ϕ n } S + (f), {ψ n } S (f) tli che Inoltre, il vlore comune di tle ite è I(f). I(ϕ n) = I(ψ n ). (3) n n Dimostrzione. Si f integrbile. Per le proprietà crtteristiche dell estremo inferiore e dell estremo superiore, esistono un successione ϕ n S + (f) tle che n I(ϕ n ) = inf ϕ S+ (f) I(ϕ) = I(f) e un successione ψ n S (f) tle che n I(ψ n ) = sup ψ S (f) I(ψ) = I(f), d cui segue (3). Vicevers, se esistono {ϕ n } S + (f) e {ψ n } S (f) verificnti (3), llor per ogni n N, I(ψ n ) sup I(ψ) inf I(ϕ) I(ϕ n). ψ S (f) ϕ S + (f) Pssndo l ite, per n si h che sup ψ S (f) I(ψ) = inf ϕ S+ (f) I(ϕ), dunque f è integrbile e I(f) è il vlore comune dei due iti in (3). Il seguente esempio chirisce che esistono funzioni che non sono Riemnnintegrbili. Esempio 1.9. L funzione di Dirichlet 1, se Q [0, 1), f() = (4) 0, ltrimenti, non è integrbile secondo Riemnn. Inftti, poichè si Q che R \ Q sono densi in R, ogni intervllo I chiuso sinistr e perto destr l cui intersezione con [0, 1) non si vuot, contiene si punti rzionli che punti irrzionli di [0, 1), quindi m I f = 1, min I f = 0. Segue che per ogni ψ S (f), ψ = n h=1 µ hχ Ih, si h µ h 0 e per ogni ϕ S + (f), ϕ = n h=1 λ hχ Ih, si h λ h 1 per ogni h tle che I h [0, 1). Inoltre, ffinchè ϕ f, dev essere n h=1 I h [0, 1). Segue che sup ψ S (f) I(ψ) 0 e inf ϕ S+ (f) I(ϕ) 1, d cui l integrle inferiore e l integrle superiore sono diversi. 4
Si R l insieme delle funzioni Riemnn-integrbili. Come illustr l seguente proposizione, R è uno spzio vettorile rele e l ppliczione I : R R f I(f), è un ppliczione linere positiv (monoton). Proposizione 1.10. Sino f e g integrbili e si λ R. Allor f + g e λf sono integrbili e vlgono le seguenti proprietà i) Linerità ii) Positività iii) Monotoni I(f + g) = I(f) + I(g), I(λf) = λi(f), f 0 I(f) 0, f g I(f) I(g). Dimostrzione. Sino f, g R. Per l precedente proposizione, esistono due successioni {ϕ n } S + (f), {ψ n } S (f) tli che I(ϕ n) = I(ψ n ) = I(f), n n ed esistono due successioni { ϕ n } S + (g), { ψ n } S (g) tli che I( ϕ n) = I( ψ n ) = I(g). n n Le successioni {ϕ n + ϕ n } S + (f + g) e {ψ n + ψ n } S (f + g) verificno, per l proprietà di linerità dell integrle di funzioni semplici, I(ϕ n + ϕ n ) = I(ϕ n ) + I( ϕ n ), I(ψ n + ψ n ) = I(ψ n ) + I( ψ n ). Dunque n I(ϕ n + ϕ n ) = I(f) + I(g), n I(ψ n + ψ n ) = I(f) + I(g), d cui, sempre per l proposizione precedente, segue che f+g R e I(f+g) = I(f) + I(g). Si λ = 0. Allor λf = 0 è integrbile e I(λf) = 0 = 0I(f). Si λ > 0. Esistono due successioni {ϕ n } S + (f), {ψ n } S (f) tli che I(ϕ n) = I(ψ n ) = I(f). n n 5
Per l proprietà di linerità dell integrle di funzioni semplici, le successioni {λϕ n } S + (λf), {λψ n } S (λf) verificno I(λϕ n) = I(λψ n ) = λi(f). n n Per l precedente proposizione si h llor che λf R e I(λf) = λi(f). Similmente si trtt il cso λ < 0, con l ccortezz che or {λϕ n } S (λf), {λψ n } S + (λf). Se f 0, llor ϕ 0 per ogni ϕ S + (f), e quindi I(f) = inf ϕ S+ (f) I(ϕ) 0. Le monotoni segue bnlmente dll positività. Intendimo or provre che il prodotto di due funzioni integrbili è un funzione integrbile. A tle scopo introducimo lcune premesse. Dte due funzioni f, g : R R, definimo come segue le funzioni f g (mssimo di f e g) e f g (minim di f e g): Si h che (f g)() = m{f(), g()}, (f g)() = min{f(), g()}. f = f 0 + f 0, f = f 0 f 0 Si noti che se ϕ, ψ S, llor ϕ ψ, ϕ ψ S. Inftti se ϕ = n h=1 λ hχ Ih, ψ = n h=1 µ hχ Ih, llor ϕ ψ = n h=1 (λ h µ h )χ Ih, ϕ ψ = n h=1 (λ h µ h )χ Ih. Come primo psso, provimo il seguente lemm. Lemm 1.11. Si f un funzione integrbile. Allor le funzioni f 0, f 0 e f sono integrbili. Dimostrzione. Per ogni ɛ > 0 esistono ϕ S + (f), ψ S (f) tli che I(ϕ) I(ψ) < ɛ. Si h ovvimente che ϕ 0 S + (f 0), ψ 0 S (f 0). Se ϕ = n h=1 λ hχ Ih, ψ = n h=1 µ hχ Ih, llor ϕ 0 = h:λ h >0 λ hχ Ih, ψ 0 = h:µ h >0 µ hχ Ih. Tenendo conto che µ h > 0 λ h > 0, dto che ψ ϕ, si h I(ϕ 0) I(ψ 0) = h:λ h >0 h:λ h >0,µ h >0 (λ h µ h )µ(i h ) (λ h µ h )µ(i h ) + h:λ h >0,µ h 0 λ h µ(i h ) n (λ h µ h )µ(i h ) = I(ϕ) I(ψ) < ɛ, h=1 d cui segue che f 0 è integrbile. Similmente, si prov che f 0 è integrbile. Dunque f = f 0 f 0 è integrbile. 6
Lemm 1.12. Sino f e g funzioni integrbili, f 0, g 0. Allor fg è integrbile. Dimostrzione. Essendo f e g itte, esiste L > 0 tle che 0 f L, 0 g L. Per ogni ɛ > 0 esistono ϕ S + (f), ψ S (f) tli che I(ϕ) I(ψ) < ɛ ed esistono ϕ S + (g), ψ S (g) tli che I( ϕ) I( ψ) < ɛ. Notimo or che possimo scegliere le funzioni semplici ϕ, ψ, ϕ, ψ vlori compresi tr 0 e L. Inftti ϕ, ϕ 0 in qunto mggiornti di f 0 e di g 0 rispettivmente. Se ψ non fosse positiv, l si sostituisc con ψ 0 che verific 0 ψ 0 f 0 = f e similmente, se non fosse positiv, si sostituisc ψ con ψ 0. Anlogmente, si h che ψ, ψ L, in qunto minornti di f L e di g L rispettivmente. Se non vlesse ϕ L, l si sostituisc con ϕ L che verific ϕ L f L = f e similmente, se non vlesse ϕ L, si sostituisc ϕ con ϕ L. Con queste modifiche, I(ϕ) e I( ϕ) diminuiscono, mentre I(ψ) e I( ψ) umentno, quindi vlgono fortiori I(ϕ) I(ψ) < ɛ, I( ϕ) I( ψ) < ɛ. Si h che ϕ ϕ S + (fg), ψ ψ S (fg). Sino ϕ = n h=1 λ hχ Ih, ψ = n h=1 µ hχ Ih, ϕ = n λ h=1 h χ Ih, ψ = n h=1 µ hχ Ih. Allor I(ϕ ϕ) I(ψ ψ) = = h=1 n (λ h λh µ h µ h )µ(i h ) = h=1 n [ ] (λ h λh λ h µ h ) + (λ h µ h µ h µ h ) µ(i h ) LI( ϕ ψ) + LI(ϕ ψ) < 2ɛL. Teorem 1.13. Sino f e g funzioni integrbili. Allor f g è integrbile. Dimostrzione. Si h che f = f 0 + f 0 = f 0 ( (f 0)), g = g 0 + g 0 = g 0 ( (g 0)). Avendo espresso in tl modo f e g come differenz di funzioni positive e integrbili (per il lemm 1.11), si h che il loro prodotto fg = (f 0)(g 0) (f 0)( (g 0)) ( (f 0))(g 0)+( (f 0))( (g 0)), essendo combinzione linere di funzioni che, in virtù del Lemm 1.12, sono integrbili, è integrbile. D qunto visto, si h il seguente risultto. Corollrio 1.14. Se f è integrbile llor f è integrbile e I(f) I( f ). 7
Osservzione 1.15. Il precedente risultto non è invertibile, ovvero esistono funzioni f non integrbili tli che f è integrbile. Un esempio si ottiene modificndo l funzione di Dirichlet nel seguente modo 1, se Q [0, 1), f() = 1, se (R \ Q) [0, 1), (5) 0, ltrimenti, Evidentemente f = χ [0,1) è integrbile, mentre f no. Teorem 1.16 (Integrbilità delle funzioni continue). Si f : R R continu e null fuori d un insieme itto. Allor f è integrbile. Dimostrzione. Si (, b) un intervllo perto tle che f è null in R \ (, b). Per il teorem di Heine-Cntor, f è uniformemente continu in [, b], ovvero ɛ > 0 δ > 0, y [, b], y < δ f() f(y) < ɛ. Suddividimo [, b) in intervlli I h, h = 1,..., m, chiusi sinistr e perti destr, due due disgiunti, di misur minore di δ. Per il teorem di Weierstrss, f ssume mssimo M h e minimo m h su ciscun intervllo chiuso I h. Per ogni h = 1,..., m, esistono ξ h, η h I h tli che f(ξ h ) = M h, f(η h ) = m h. Dto che ξ h η h < δ, si h che M h m h < ɛ. Definimo ϕ = m h=1 M hχ Ih, ψ = m h=1 m hχ Ih. Si h che ϕ S + (f), ψ S (f) e I(ϕ) I(ψ) = m m (M h m h )µ(i h ) < ɛ µ(i h ) = ɛ(b ). h=1 h=1 Il precedente teorem si generlizz l cso in cui f h un numero finito di punti di discontinuità. Teorem 1.17. Si f : R R continu trnne che in numero finito di punti, itt e null fuori d un insieme itto. Allor f è integrbile. Dimostrzione. Sino 1,..., n i punti di discontinuità di f. Si (, b) un intervllo perto contenente 1,..., n e tle che f si null in R \ (, b). Sino d = min{ 1, 2 1,..., n n 1, b n }, L = sup R f(), l = inf R f(). 8
Si ɛ tle che 0 < ɛ < d 2 e sino J k = [ k ɛ, k + ɛ), k = 1,..., n. Per l scelt ftt di ɛ, gli intervlli J k sono due due disgiunti e contenuti in (, b). L insieme K = [, b] \ n k=1 ( k ɛ, k + ɛ) è un chiuso e itto su cui f è continu, dunque uniformemente continu per il teorem di Heine-Cntor, ovvero ɛ > 0 δ > 0, y K, y < δ f() f(y) < ɛ. Suddividimo [, b) \ n k=1 J k in intervlli I h, h = 1,..., m, chiusi sinistr e perti destr, due due disgiunti, di misur minore di δ. Per il teorem di Weierstrss, f ssume mssimo M h e minimo m h su ciscun intervllo chiuso I h. Per ogni h = 1,..., m, sino ξ h, η h I h tli che f(ξ h ) = M h, f(η h ) = m h. Dto che ξ h η h < δ, si h che M h m h < ɛ. Definimo ϕ = m h=1 M hχ Ih + n k=1 Lχ J k, ψ = m h=1 m hχ Ih + n k=1 lχ J k. Si h che ϕ S + (f), ψ S (f) e I(ϕ) I(ψ) = m n (M h m h )µ(i h ) + (L l)µ(j k ) < h=1 < ɛ k=1 m µ(i h ) + 2ɛn(L l) ɛ(b ) + 2n(L l)ɛ. h=1 Definizione 1.18. Si f : [, b) R un funzione itt. Diremo che f è integrbile in [, b) se l funzione f(), se [, b), f () = 0, se R \ [, b) è integrbile. In tl cso, si definisce integrle di f esteso ll intervllo [, b): f()d = I(f ) Dl teorem 1.17, ogni funzione f : [, b) R che si itt e continu d eccezione di un numero finito di punti è integrbile, dto che l su estensione f è itt, null fuori di un itto e con un numero finito di punti di discontinuità ( quelli di f si ggiungono eventulmente e b). In prticolre, se f è continu nell intervllo chiuso [, b], f [,b) è itt e continu, quindi integrbile. 9
Teorem 1.19. Si f : [, b) R monoton e itt. Allor f è integrbile. Dimostrzione. Per fissre le idee, f si crescente. E conveniente estendere f ll intervllo chiuso [, b] ponendo f(b) = sup [,b) f. Dto ɛ > 0, si suddivid [, b) in intervlli I k = [ k 1, k ), k = 1,..., n, venti mpiezz k k 1 < ɛ, dove = < 1 <... < n 1 < n = b. Essendo f crescente e ricordndo l definizione di f(b), si h f( k 1 ) f() f( k ), I k, k = 1,..., n. Le funzioni ϕ = n k=1 f( k)χ Ik S + (f ) e ψ = n k=1 f( k 1)χ Ik S (f ) verificno I(ϕ) I(ψ) = n (f( k ) f( k 1 ))µ(i k ) < k=1 < ɛ n (f( k ) f( k 1 )) = ɛ(f(b) f()). k=1 Proposizione 1.20 (Additività dell integrle). Si f : [, b) R integrbile. i) Se [c, d) [, b), llor f è integrbile in [c, d). ii) Per ogni c (, b), si h f()d = f()d + Dimostrzione. Nelle ipotesi del punto i), sino f(), se [, b), f () = 0, se R \ [, b) f(), se [c, d), f1 () = 0, se R \ [c, d) c f()d (6) Si h che f1 = f χ [c,d), essendo prodotto di funzioni integrbili, è integrbile, ovvero f è integrbile in [c, d). Nelle ipotesi del punto ii), si h che f = f (χ [,c) + χ [c,b) ) = f χ [,c) + f χ [c,b), d cui f()d = I(f ) = I(f χ [,c) ) + I(f χ [c,b) ) = f()d + b f()d. c 10
E utile definire f()d nche se b. Si definisce f()d = f()d = 0, b f()d, se > b. L formul (6) continu vlere indipendentemente dll ordine i cui si susseguono i punti, b, c, purchè f si integrbile sul più grnde degli intervlli d essi individuti. E sufficiente considerre i vri csi che si presentno. A titolo di esempio, si b < < c. Si h che ( ) f()d = f()d = f()d f()d = b b = f()d + c f()d. Osservzione 1.21. Le proprietà di linerità e monotoni, nonchè l integrbilità del prodotto di funzioni integrbili, continuno vlere per gli integrli estesi un intervllo. Bst inftti osservre che Si noti ncor che kd = k (f + g) = f + g, (λf) = λf, f g f g, (fg) = f g. 1d = ki ( χ [,b) ) = k(b ). Teorem 1.22 (Teorem dell monotoni). Sino f, g : [, b) R integrbili e continue, f g. Esist [, b) tle che f( ) < g( ). Allor f()d < g()d. Dimostrzione. Si k = (g f)( ) > 0. Essendo g f continu, esiste un intorno destro [. + h) di, contenuto in [, b), tle che (g f) k in 2 [, + h). Allor = 0 g()d (g f)()d + f()d = 0 +h (g f)()d = (g f)()d + +h (g f)()d h k 2 > 0. 11
Corollrio 1.23. Si f : [, b) R integrbile e continu, f 0. f()d = 0. Allor f 0 in [, b). Teorem 1.24 (Teorem dell medi integrle). Sino f, ϕ : [, b] R continue, ϕ 0. Posto m = min [,b] f, M = m [,b] f, si h m ϕ()d f()ϕ()d M Si ϕ()d. (7) Se ϕ non è identicmente null in [, b], esiste un punto ξ [, b] tle che f(ξ) = f()ϕ()d. (8) ϕ()d Dimostrzione. L funzione f ϕ è integrbile in [, b) essendo continu nell intervllo chiuso [, b]. L (7) segue dll monotoni e dll linerità dell integrle. Se poi ϕ 0, dl Teorem 1.22 segue che ϕ()d > 0. Si possono dividere llor i tre membri dell doppi disuguglinz (7) per ϕ()d, ottenendo m f()ϕ()d b ϕ()d M. Dto che un funzione continu in un intervllo chiuso ssume tutti i vlori compresi tr il suo minimo e il suo mssimo, esiste ξ [, b] verificnte (8). Osservzione 1.25. Nel cso prticolre ϕ 1, il teorem dell medi integrle ssicur l esistenz di ξ [, b] tle che f(ξ) = f()d. (9) b Il secondo membro di quest uguglinz è detto medi integrle di f in [, b], il primo membro è detto vlor medio di f in [, b]. Il vlor medio di f in [, b] coincide con il vlore dell funzione costnte che h lo stesso integrle di f in [, b]. Si f : [, b) R un funzione integrbile. Allor per ogni [, b], f è integrbile in [, ). Rimne quindi definit un funzione dett funzione integrle. F : [, b] R F () = f(t)dt, (10) 12
Proposizione 1.26 (Lipschitzinità dell funzione integrle). Si f : [, b) R integrbile. L funzione integrle F () definit in (10) è lipschitzin in [, b]. Dimostrzione. Si M = sup [,b) f() e sino, y [, b]. Si h che F (y) F () = quindi y f(t)dt = f(t)dt + F (y) F () f(t)dt = y y f(t)dt f(t)dt = f(t) dt M y. y f(t)dt, Teorem 1.27 (Teorem di Torricelli-Brrow). Si f : [, b) R integrbile e si [, b) un punto in cui f è continu. Allor l funzione integrle F () definit in (10) è derivbile in e F ( ) = f( ) (11) Dimostrzione. Per ogni ɛ > 0 esiste δ > 0 tle che per ogni [, b) verificnte < δ si h f() f( ) < ɛ. Per ogni h R tle che + h [, b) si h F ( + h) F ( ) f( ) = h d cui = 0 +h F ( + h) F ( ) h f(t)dt +h h 0 +h f(t)dt f(t)dt hf( 0 ) h f( ) f( )dt +h = 0 +h = (f(t) f( ))dt, h f(t) f( ) dt. h Si h < δ. Si h llor che per ogni t pprtenente ll intervllo di estremi e + h, t < δ, quindi f(t) f( ) < ɛ. Quindi per ogni h tle che h < δ F ( + h) F ( ) f( ) h ɛ 13
Osservzione 1.28. Se f è definit nell intervllo chiuso [, b], è continu in b e l su restrizione d [, b) è integrbile, llor F è derivbile in b e F (b) = f(b). L dimostrzione riclc quell del precedente teorem. Teorem 1.29 (Teorem fondmentle del clcolo integrle). Si I un intervllo, eventulmente ilitto e si f : I R continu. Per ogni I, l funzione integrle F () definit in (10) è derivbile in I e F () = f(), I, (12) ovvero F è un primitiv di f in I. Inoltre, se G è un primitiv di f in I, llor per ogni b I si h f(t)dt = F (b) = G(b) G(). (13) Dimostrzione. Si possono presentre i csi <, = o >. In ciscun cso, essendo f continu nell intervllo chiuso di estremi e, come pure nell intervllo chiuso di estremi e + h, per ogni h tle che + h I, risultno ben definiti F () e F ( + h). Inoltre, per l dditività dell integrle, si h F ( + h) F () = +h f(t)dt, per cui gli rgomenti del teorem di Torricelli-Brow si pplicno e segue (12). Se G è un primitiv di f in I, llor (G F ) 0 in I, quindi G F è costnte in I. In prticolre, (G F )(b) = (G F )(), d cui G(b) G() = F (b) F () = F (b). L formul (13) consente di ricondurre il clcolo degli integrli l clcolo delle primitive. Per brevità si pone [G(t)] b = G(b) G(). Proposizione 1.30. Si f definit e continu in un intervllo eventulmente ilitto I e sino g 1, g 2 definite in un intervllo J e vlori in I, derivbili in J. Allor l funzione è derivbile in J e ϕ() = g2 () g 1 () f(t)dt (14) ϕ () = f(g 2 ())g 2() f(g 1 ())g 1(), J. (15) Dimostrzione. Fissto I, considerimo l funzione integrle F (y) = f(t)dt. Si h che y ϕ() = g 1 () f(t)dt + g2 () f(t)dt = g2 () f(t)dt g1 () f(t)dt = = F (g 2 ()) F (g 1 ()). 14
Dto che F = f in I, pplicndo l regol di derivzione delle funzioni composte si h l tesi. L teori dell integrzione di Riemnn è stt fin qui svolt per le funzioni itte e nulle fuori d un insieme itto. Intendimo or estendere tle nozione funzioni non necessrimente nulle l di fuori di un itto e non necessrimente itte. Comincimo con il considerre il cso di un funzione f : [, + ) R che si integrbile in [, c), per ogni c >. Se esiste finito il ite c f()d, llor si dice che f è integrbile in senso improprio (o in senso generlizzto) in [, + ) o che f è integrle convergente, e si definisce + f()d = c f()d. Anlogmente, dt f : (, b) R, che si integrbile in [c, b), per ogni c < b, se esiste finito il ite c c f()d llor si dice che f è integrbile in senso improprio (o in senso generlizzto) in (, b) o che f è integrle convergente, e si definisce f()d = c c f()d. Dt un funzione f : R R integrbile in ogni intervllo, si dice che f è integrbile in senso improprio (o in senso generlizzto) in R se esiste R tle che f è integrbile in senso improprio in (, ) e in [, + ). In tl cso si definisce + f()d = f()d + + f()d. Osservzione 1.31. Quest ultim definizione non dipende dll scelt di R, come si verific fcilmente utilizzndo l proprietà di dditività dell integrle. Inoltre, se f è integrbile in R, llor + f()d = c + 15 c f()d.
Si noti che, vicevers, l esistenz del ite c + f()d non grntisce c che f si integrbile in R; bst considerre l funzione f() = o f() = sin. Esempio 1.32. Dto α > 0, l funzione f() = α è integrbile in [1, + ) se e solo se α > 1. Inftti c 1 α 1, se α 1, α 1 α d = 1 log c, se α = 1, d cui c + 1 α d = +, se α 1, 1, se α > 1. α 1 Si consideri or un funzione f : [, b) R che si integrbile in [, c) per ogni c (, b). Se esiste finito il ite c b f()d, llor si dice che f è integrbile in senso improprio (o in senso generlizzto) in [, b) o che f è integrle convergente, e si definisce f()d = c b f()d. Anlogmente, dt f : (, b) R che si integrbile in [c, b) per ogni c (, b), se esiste finito il ite c + c f()d, llor si dice che f è integrbile in senso improprio (o in senso generlizzto) in (, b) o che f è integrle convergente, e si definisce f()d = c + c f()d. Dt f : (, b) R, che si integrbile su ogni intervllo [c, d), per ogni c, d tli che < c < d < b, si dice che f è integrbile in senso improprio (o in senso generlizzto) in (, b) se esiste (, b) tle che f è integrbile in senso generlizzto in (, ) e in [, b). In tl cso si definisce f()d = 0 f()d + 16 f()d.
L proprietà di dditività dell integrle grntisce che l definizione non dipende dll scelt di (, b). Osservzione 1.33. Le definizioni precedenti sono utili qundo f non si estendibile con continuuità ll intervllo chiuso [, b], dto che in tl cso l integrle f()d è già definito dll teori dell integrzione per funzioni itte su intervlli itti, e si vede immeditmente che, per l continuità dell funzione integrle, in tl cso integrle improprio e integrle usule coincidono. L definizione si pplic principlmente l cso di funzioni ilitte in un intorno di uno degli estremi dell intervllo. Se poi f : [, b] \ { } R, con un punto interno ll intervllo [, b], llor si dice che f è integrbile in senso improprio (o in senso generlizzto) se lo è in senso generlizzto in [, ) e in (, b). In tl cso si definisce f()d = 0 f()d + f()d. Esempio 1.34. Dto α > 0, l funzione f() = α è integrbile in (0, 1) se e solo se α < 1. Inftti 1 c 1 1 α, se α 1, α 1 α d = c log c, se α = 1, d cui 1 c + c α d = +, se α 1, 1, se α < 1. 1 α Osservzione 1.35. Dlle definizioni dte seguono fcilmente le proprietà di linerità e di monotoni per gli integrli impropri. Non è invece detto che il prodotto di funzioni integrbili in senso improprio si un funzione integrbile in senso improprio: f() = 1 è integrbile in senso improprio in (0, 1) m (f f)() = 1 no. Qundo i iti introdotti in tutte le definizioni precedenti esistono e sono infiniti, si prl di integrli divergenti. Ad esempio, dt f : [, + ) R che si integrbile in [, c), per ogni c >, se c f()d = + o c f()d =, si dice che f è integrle divergente, e si definisce rispettivmente + f()d = + o 17 + f()d = +.
D qunto visto, si h llor che l funzione f() = α in [1, + ) è integrle convergente se α > 1 ed integrle divergente se α 1; f() = α in (0, 1) è integrle convergente se α < 1 ed integrle divergente se α 1. Proposizione 1.36 (Criterio del confronto). Sino f, g : [, + ) R integrbili in [, b) per ogni b >. Esist tle che 0 f() g(), per ogni. Se g è integrbile in [, + ), llor lo è nche f. Vicevers, se f è integrle divergente in [, + ), llor lo è nche g. Dimostrzione. L funzione F (c) = f()d è crescente, per l positività di f e l monotoni dell integrle. Dunque esiste c + f()d = sup c 0 f()d, quindi l funzione f è integrle divergente o convergente second che il ite si finito o +. Se g è integrbile in [, + ), llor per ogni c, si h f()d g()d + g()d R Allor il ite c + f()d è finito e perciò nche c + f()d per l dditività dell integrle. Si or f integrle divergente. Si h che c + f()d = + e, per l dditività dell integrle, c + f()d = +. Dto che g()d l dditività dell integrle, nche c + f()d, si h c + g()d = + e, per g()d = +. Dgli rgomenti usti nell dimostrzione dell precedente proposizione c segue che se f h segno costnte, llor esiste il c f()d e quindi f è integrle convergente o integrle divergente. Proposizione 1.37. Si f : [, + ) R integrbile in [, b) per ogni b >. Se f è integrbile in [, + ), llor lo è nche f e + + f()d f() d Dimostrzione. Ricordimo che si possono rppresentre le funzioni f e f in funzione delle funzioni f 0 = m{f, 0} e f 0 = min{f, 0}. Precismente, si h f = (f 0) + (f 0), f = (f 0) (f 0). Dto che 0 f 0 f e 0 (f 0) f, dll Proposizione 1.36 segue che f 0 e (f 0) sono integrbili in [, + ), dunque lo è nche f che si esprime come loro combinzione linere. L disuguglinz segue l solito dll monotoni dell integrle. 18
L Proposizione 1.37 utorizz d pplicre il criterio del confronto funzioni che cmbino segno, in prticolre dl confronto con le potenze negtive si deduce il seguente risultto. Corollrio 1.38. Si > 0 e si f : [, + ) R integrbile in [, b) per ogni b >. Se esistono α > 1 e M > 0 tli che f() M α, [, + ), (16) llor f è integrbile in [, + ). Se esistono α 1, m > 0 e b tli che llor f non è integrbile in [, + ). f() m α, b, (17) Dimostrzione. Dl criterio del confronto e dll integrbilità /non integrbilità delle potenze d esponente negtivo in un intorno di + illustrto nell Esempio 1.32, si h che nel primo cso f è integrbile in [, + ) e quindi pure f, in virtù dell Proposizione 1.37, mentre nel secondo cso f non è integrbile in [, + ). Osservzione 1.39. Solitmente l ipotesi (16) viene conseguit verificndo che esiste α > 1 tle che + α f() = 0, (18) mentre l ipotesi (17) viene conseguit verificndo che esiste α 1 tle che + α f() = +. (19) Nturlmente, qunto esposto per funzioni definite in un semirett superiormente ilitt [, + ) si generlizz, con le ovvie modificzioni, gli ltri csi di integrli impropri. Osservzione 1.40. L proposizione 1.37 stbilisce che se il vlore ssoluto di un funzione è integrbile in senso improprio, llor lo è l funzione dt. Vedimo con un controesempio che tle enuncito non si può invertire, ovvero esistono funzioni f integrbili in senso improprio tli che f non lo è. Considerimo l funzione f() = sin in [π, + ). Integrndo per prti si h π sin [ d = cos ] c π π cos d. 2 19
Dto che [ c + cos 2 1 2, cos ] c π = 1 π, [π, + ), pplicndo il Corollrio 1.38 si h che f() = sin è integrbile in [π, + ). D ltr prte, nπ π n 1 sin d = k=1 (k+1)π kπ sin n 1 d k=1 = Scego n = 2 p, con p N. Si h 2 p 1 k=1 d cui n 1 k=1 1 (k + 1)π 1 (k + 1)π π 1 k + 1 = 1 ( 1 2 + 3 + 1 ) ( 1 + 4 5 + 1 6 + 1 7 + 1 ) ( +... + 8 2 p π p + π ovvero f() è integrle divergente. sin 0 d = +, (k+1)π kπ sin d = 2 π sin d = n 1 k=1 1 k + 1 1 2 p 1 + 1 +... + 1 2 p > 1 2 + 1 2 +... + 1 2 = p 2, Abbimo visto che nell mbito dell teori dell integrzione per funzioni itte e nulle fuori d un insieme itto l integrbilità di un funzione f implic quell del suo vlore ssoluto f m non il vicevers, verificndosi il cso di funzioni non integrbili il cui vlore ssoluto lo è. Può prim vist sorprendere il ftto che nell mbito degli integrli impropri si verifichi esttmente l opposto, ovvero se il vlore ssoluto di un funzione è integrbile, llor lo è l funzione stess, mentre si dà il cso di funzioni integrbili il cui vlore ssoluto non lo si. Il ftto è che l nozione di integrbilità per funzioni itte e nulle fuori d un insieme itto è legt ll regolrità dell funzione e l regolrità di un funzione può solo migliorre se l si sostituisce con il suo vlore ssoluto. Abbimo inftti visto che un funzione itt vente un numero finito di discontonuità è integrbile. Di più, si possono crtterizzre le funzioni integrbili secondo Riemnn come quelle i cui punti di discontinuità costituiscono un insieme di misur null secondo Lebesgue (Teorem di Lebesgue-Vitli). 20 ) >
Precismente, un insieme E R si dice di misur null secondo Lebesgue se per ogni ɛ > 0 esiste un successione di intervlli {I k } k N tli che E k N I k e se, per ogni n N, n k=1 µ(i k) < ɛ. Invece nell mbito dell teori degli integrli impropri si dà sempre per inteso che sussist l integrbilità dell funzione su ogni intervllo di un opportun clsse che dipende dl cso considerto. Ad esempio se f : [, + ) R, si suppone di spere già che f si integrbile su ogni intervllo [, c), con c c > e si richiede che esist finito il ite c + f()d. Se d esempio f 0, tle ite esiste e coincide con il sup c f()d, così che l condizione di integrbilità equivle richiedere che f tend 0 bbstnz velocemente per +, ovvero un condizione sull ordine di infinitesimo di f (che divent un condizione sull ordine di infinito nel cso di un integrle improprio in un intorno di un numero rele). Allor è chiro che se f cmbi segno i contributi di segno opposto reltivi gli intervlli in cui f è lterntmente positiv e negtiv possono przilmente compensrsi e grntire l esistenz e finitezz del ite in questione nche qundo per f tle ite è infinito. 21