Pocessi casuali I pocessi casuali anche dei pocessi socasici sono un meodo maemaico pe appesenae delle funzioni del empo che abbiano caaeisiche socasiche. I pocessi casuali sono uili a appesenae fenomeni fisici quali:. posizione di una singola paicella di gas all ineno di un volume;. ensione ai campi di una esisenza; 3. segnali eleici affei da umoe 4. segnale vocale, ec. ec. I pocessi casuali possono essee inesi come insiemi di eveni, in cui ciascuna eveno è una funzione del empo. Un pocesso casuale si indica semplicemene con ; una singola ealizzazione del pocesso casuale si indica invece come ; s. Si veda la seguene appesenazione i s Spazio Campione s 4 s ; s ; s ; s3 s 3 gafica: Si noi che:. con il pocesso si inende l insieme di ue le funzioni del empo. se si fissa un eveno s i, di oiene una funzione deeminisica del empo ; si 3. se si fissa un isane di empo τ, al vaiae di si si oiene una vaiabile casuale che assume valoi τ; s i 4. se si fissa un isane di empo τ ed una ealizzazione s i, si oiene semplicemene un numeo Esempio: si considei la ensione a vuoo misuaa ai capi di un insieme di esisoi, in pesenza di umoe emico. Il pocesso casuale isulane è il modello maemaico che Pagina 3 di 37 Daa ulima evisione 5/06/00 Auoe: R. Gaudino
pemee di descivee il fenomeno fisico umoe emico. In sosanza si deve inepeae come segue:. ; s è la ensione deeminisica in funzione del empo misuaa ai capi del esisoe s i i. fissao un isane di empo τ, τ; si è l insieme dei valoi di ensione misuai su ciascuno dei esisoi. Pe caaeizzae i pocessi casuali, si dovebbeo in geneale fonie le densià di pobabilià pe ogni isane di empo. Ad esempio, le saisiche del pimo odine del pocesso sono dae, pe ogni isane di empo, dalla densià di pobabilià, f Caaeizzazione pocessi casuali I pocessi casuali si caaeizzano comunemene amie i loo valoi medi e funzioni di auocoelazione. Valoe medio di un pocesso casuale Si definisce come valoe medio di un pocesso casuale la funzione del empo: [ ] = η = E f, d Ad esempio, il valoe medio del pocesso casuale che appesena la ensione a vuoo ai capi di un esisoe è nullo, cioè η = 0 Auocoelazione di un pocesso casuale Si definisce come auocoelazione di un pocesso casuale la funzione di due vaiabili: [ ] R, = E La funzione di auocoelazione è una delle caaeizzazioni più uile nell ambio dei pocessi casuali. Pagina 3 di 37 Daa ulima evisione 5/06/00 Auoe: R. Gaudino
In paicolae, pe un pocesso a valo medio nullo, si ha in ui i casi paici che la funzione di auocoelazione ende a zeo pe sufficienemene elevai, in quano le vaiabili casuali e endono ad essee scoelae, e dunque: E[ ] E[ ] E[ ] 0. = Poenza media di un pocesso casuale Si definisce come poenza media di un pocesso casuale la funzione del empo: P [ = E ] Si ossevi che esise una elazione a poenza media e funzione di auocoelazione: P R, = Esempio di caaeizzazione di un pocesso casuale Si considei il pocesso casuale = cos ω + ϕ dove è una vaiabile casuale gaussiano con media m e vaianza σ, mene media e auocoelazione del pocesso casuale. Soluzione Calcolo della media. E[ ] cos ω + ϕ] ]cos ω + ϕ = m cos ω + ϕ ω, ϕsono valoi deeminisici. Calcolae Noae che si è oenuo il isulao poando fuoi dall opeaoe E [] ue le funzioni deeminisiche, sfuando impliciamene le popieà di lineaià dell opeaoe di media. Noae inole che, in geneale, queso pocesso ha media dipendene dal empo. Calcolo dell auocoelazione R, ]cos ω + ϕcos ω ] cos ω + ϕ = σ + ϕ cos ω m cos ω + ϕ] + ϕcos ω + ϕ Sazionaieà dei pocessi casuali Un pocesso casuale si definisce sazionaio in senso seo quando le sue saisiche sono invaiani ispeo ad una aslazione dell asse dei empi. Pagina 33 di 37 Daa ulima evisione 5/06/00 Auoe: R. Gaudino
In queso coso si useà solo una definizione più lasca, dea sazionaieà in senso lao, che coinvolge solo la media e l auocoelazione del pocesso. Si usa spesso l abbeviazione WSS, da Wide Sense Saionay In paicolae, un pocesso casuale si definisce sazionaio in senso lao quando:. la media è cosane nel empo E[ ] = η. la funzione di auocoelazione dipende solo dalla diffeenza dei empi τ = e dunque si può scivee: R,, ] + τ] = R τ Una conseguenza impoane pe i pocessi sazionai in senso lao iguada la poenza, che isula cosane nel empo, e pai all auocoelazione pe = 0. Infai P ] ] = 0 R Commeno: moli pocessi fisici, ed in paicolae ui quelli consideai in queso coso, hanno caaeisiche di sazionaieà. Ad esempio, il umoe emico in un cicuio eleonico è in pima appossimazione sazionaio. Inuiivamene, queso vuol die che le caaeisiche socasiche del pocesso sono indipendeni dal empo. Popieà della funzione di auocoelazione di un pocesso WSS La funzione di auocoelazione di un pocesso sazionaio in senso lao ha le segueni popieà. è una funzione pai, cioè R τ R τ =. è una funzione a valoi posiivi nell oigine, cioè R 0 0 infai R 0 [ = E ] 3. ha un massimo nell oigine R τ R 0 Un andameno ipico di funzione di auocoelazione di un pocesso sazionaio in senso lao è illusao nella soosane figua: τ R τ Pagina 34 di 37 Daa ulima evisione 5/06/00 Auoe: R. Gaudino
Cenni sul conceo di egodicià di un pocesso casuale Un pocesso casuale è deo egodico se le medie empoali uguagliano le medie di insieme. In sosanza, pe un pocesso sazionaio, l egodicià ichiede che le medie fae sulle divese ealizzazioni del pocesso medie di insieme siano uguali ispeo a quelle fae su una singola ealizzazione ispeo al empo medie empoali. La seguene figua Media empoale sulla ealizzazione s ; s ; s ; s 3 Media di insieme all isane schemaizza gaficamene che cosa si inende pe medie empoali oppue di insieme. Ad esempio, pe quano iguada il pocesso casuale appesenane la ensione a vuoo ai capi di un guppo di esisoi:. pe media di insieme si inende, fissao un ceo isane di ossevazione, la media delle ensioni a quell isane su ui i esisoi;. pe media empoale si inende quella misuaa su un singolo esisoe, e faa ispeo al empo. I pocessi casuali consideai in queso coso si suppoanno sempe egodici, salvo ale indicazioni esplicie. Densià speale di poenza di pocesso WSS Pagina 35 di 37 Daa ulima evisione 5/06/00 Auoe: R. Gaudino
Si definisce densià speale di poenza di un pocesso WSS la asfomaa della sua auocoelazione: G f j τ = τ π f R e dτ Popieà della densià speale di poenza di un pocesso WSS. G f è una funzione eale e pai. f 0. G 3. P = G f df la poenza del pocesso è pai all inegale della densià speale 4. dao un sisema lineae con funzione di asfeimeno H f, la densià speali in uscia è daa da: G f = H f G f y Le ulime due popieà collegano la densià speale con le definizioni di poenza, e sono esemamene impoani. Rumoe gaussiano bianco Il pocesso casuale più usao nell ambio della eoia delle comunicazioni è il umoe gaussiano bianco. Un pocesso causale n si dice gaussiano bianco se:. pe, n è una vaiabile gaussiana a valoe medio nullo N0. G n f = f la densià speale è piaa in fequenza, da cui la definizione di umoe bianco N0 3. R τ = δ τ Si ossevi che la poenza oale di un umoe gaussiano bianco, daa dall inegale della densià speale, isula infinia e dunque chiaamene non fisica. Tuavia, il modello è usao in molissimi casi paici pe appesenae un umoe piao su una banda molo più laga dei fili del sisema. Rumoe gaussiano bianco all uscia di un filo E impoane calcolae la poenza di un umoe gaussiano bianco all uscia di un filo ideale, ad esempio un passabasso con banda passane B mosao nella seguene figua: Pagina 36 di 37 Daa ulima evisione 5/06/00 Auoe: R. Gaudino
H f f B N 0 f G n f B H f G f n N 0 f B Si ha in uscia G N 0 ou f = H f Gn f = H f Pe il calcolo della poenza: N0 N0 P = Gou f df = H f df = df = N ou 0 B B Pagina 37 di 37 Daa ulima evisione 5/06/00 Auoe: R. Gaudino