Corso di Ordinamento Soluzione dei Temi di Matematica proposti nella Sessione Ordinaria 00.
Sommario Problema... Punto.... Punto.... Punto.... 4 Punto 4.... 5 Problema... 6 Punto.... 6 Punto.... 7 Punto.... 8 Punto 4.... 8 Questionario... 9 Quesito.... 9 Quesito.... 9 Quesito.... 9 Quesito 4.... 0 Quesito 5... 0 Quesito 6.... 0 Quesito 7.... 0 Quesito 8.... Quesito 9.... Quesito 0....
Problema Punto. Osservato che deve essere 0, indicato con y il raggio di, deve essere anche 0 y. Il triangolo PBQ è un triangolo rettangolo. Per il teorema di Pitagora risulta PB BQ PQ ossia: y y da cui: y y e, infine, esplicitando la y, y. Punto. La funzione y è un iperbole equilatera riferita a rette parallele ai propri assi di simmetria (funzione omografica). Elenco le caratteristiche: D,, Domino Centro C ; ; Equazioni assi di simmetria Equazione retta su cui giace l Asse trasverso a : y. Vertici, Equazione retta su cui giace l Asse non trasverso a : y. V ;, Asintoti A. O. y, A. V.. Intersezioni con gli assi 0, Grafico. A,,0 B. V.
La funzione è invertibile, in quanto è strettamente decrescente nel suo dominio. (Una verifica la si può fare determinando il segno della derivata prima). La funzione inversa è la stessa in quanto l iperbole ha per asse di simmetria la retta y bisettrice del I e III quadrante. Alternativamente, esplicitando la, si ha che: y y y y. y Punto. Il dominio della funzione Determino la derivata prima di g' La funzione g è,, g. D. g non è derivabile nei punti di ascissa., ossia la Per determinare l equazione della retta tangente nel punto R 0,, calcolo il valore della derivata di g per 0. Risulta g ' 0 e, pertanto, l equazione della tangente a g nel punto R è: t : y, ossia t : y 0. R R Nel punto S,0 la funzione g non è derivabile, ma risulta: lim g' lim lim ; lim g' lim lim. Pertanto il punto S è un punto angoloso a doppia tangente, le cui equazioni sono: ts : y e ts : y.. 4
Punto 4. L area del triangolo mistilineo ROS è: d d d ln 0 0 0 0 0 ln ln 4. 5
Problema Punto. La funzione esponenziale è una funzione definita e continua in, strettamente positiva e interseca l asse delle ordinate nel punto 0,. Risulta crescente nel dominio se la base b 0, decrescente se 0b. Inoltre: se0 b 0 se0 b lim b ; e lim b. 0 seb seb Grafico. G : f b con 0 b b 6
G : f b con b b Punto. Il punto P, appartenendo alla curva, ha coordinate, P 0 0 b. Il punto B, intersezione con l asse delle ascisse della retta per P parallela all asse Y, ha coordinate B,0 0. La derivata prima della funzione esponenziale è: f '( ) b lnb e, pertanto, la tangente alla curva nel punto P è la retta: 0 0 : t y b b lnb. P 0 L intersezione di t P con l asse X è il punto A0,0 ln b. La lunghezza del segmento AB è la distanza d A, B 0 0 ln b ln b. Posto d A, B ln b si ottiene ln b da cui b eb e. e 7
Punto. La retta r, dovendo passare per l origine, ha equazione del tipo r : y m. Dovendo, inoltre, essere tangente alla funzione f e, le condizioni da porre sono: y m (*) per la condizione di tangenza; y e m e (**) per il significato geometrico della derivata prima. Sostituendo la (**) nella (*), ottengo: y m da cui m m, la cui soluzione è. y m Il punto di tangenza ha coordinate, e, che sostituite nella retta r mi danno il valore del coefficiente angolare m e. L angolo che la retta r forma con il semiasse positivo delle ascisse deve essere tale che: tg e da cui arctge 69.805.88 rad. Punto 4. L area richiesta si può determinare come la differenza tra l area del rettangolo OAPE e quella del trapezoide T sotteso da G con l asse delle ascisse, per e 0,. Risulta: A e e d e e. 0 e 8
Questionario Quesito. Data una n n -pla di numeri reali, a, a, a,... a, a, a n n n 0 rappresentare come: il polinomio lo posso n n n i n n... 0 i i0 p a a a a a a a. Risulta: n n p' n a n a... a a a ; n n n n n n n p'' n n a n a... 6a a ; p''' n n n a n a... 6a n n4 n ossia ad ogni derivata, il polinomio derivato si abbassa di grado e perde l ultimo termine. Iterando il procedimento e calcolando la derivata n-sima ottengo: n p n n n n... a n! a. Quesito. n Ricordo che: una retta è perpendicolare ad un piano quando è perpendicolare ad una qualunque retta contenuta nel piano e passante per il punto d intersezione della perpendicolare con il piano. Il triangolo ABP è rettangolo in B ^ in quanto la retta r è perpendicolare ad AB; ^ Il triangolo PBC ABP è rettangolo in B in quanto la retta r è perpendicolare a BC. Per dimostrare che il triangolo APC è rettangolo, uso il teorema delle tre perpendicolari che dice: Conducendo dal piede di una perpendicolare ad un piano la perpendicolare ad una qualsiasi retta r del piano, quest ultima retta risulta perpendicolare al piano individuato dalle prime due. La retta BA è condotta dal piede B della retta PB, perpendicolare al piano del triangolo ABC, perpendicolarmente alla retta AC dello stesso piano (ABC è un triangolo rettangolo in A). Pertanto, quest ultima, risulta perpendicolare al piano individuato da PB e AB, ossia al piano ABP; quindi CA è perpendicolare a qualunque retta passante per A contenuta nel piano PAB; in particolare è perpendicolare alla retta PA e pertanto il triangolo APC è rettangolo in A. Quesito. Ricordando il significato geometrico della derivata prima, è sufficiente imporre la condizione f ' (*). Essendo: f ' e da cui: e ossia ln., imponendo la (*) si ottiene: n e 9
Quesito 4. Posto y e osservato che y 0, ricordando il limite notevole proposto è: sin y lim 4 sin 4lim 4. y0 y sin lim, il limite 0 Quesito 5 Indicata con a 80cm 8dm l apotema del cono, con l altezza, 0, e con r il raggio della circonferenza di base, risulta: r 64 Il volume del cono è: V 64. 64 Si ha che: V' 8 0 per 0,. 8 Pertanto il volume del cono circolare retto è massimo per e risulta: V 64 8 64 8 04 04 04 dm 9 dm 7 dm 7 l 64. Quesito 6. Il dominio della funzione f si determina imponendo cos 0. Tale condizione è vera k, k con k. Pertanto il dominio della funzione è: D f k; k k. Quesito 7. Affinché la funzione h sia continua nel punto 4 devono verificarsi le seguenti condizioni:. La funzione h deve essere definita in 4; lim h lim h ;. 4 4. limh h4 4. La funzione è definita in 4 e risulta Risulta: lim lim 4 0 4. 4 4 lim h lim k 6 k 9 4 4 h 4 0. 0
Imponendo l unicità del limite si ottiene Quesito 8. 9 k. 6 Ricordando la proprietà: la somma dei termini equidistanti di una progressione aritmetica deve essere costante si ottiene la seguente uguaglianza: n n n n n n (*). Per la proprietà delle classi complementari l equazione (*) risulta equivalente alla: n n n ossia: nn nn n n. 6 Essendo 6 n 6 n n ossia n l equazione (*) è equivalente a n 9n4 0, le cui soluzioni sono n, non accettabile e n 7. Quesito 9. Essendo AB AC deve essere ^ AC B ABC. ^ ^ Se il triangolo esistesse, indicato con l angolo AC B opposto al lato AB, per il teorema dei seni dovrebbe risultare: sin sin 45 da cui sin sin 45, 4 il che è assurdo. Ripeto il procedimento nel secondo caso, ottenendo: sin sin 0, valore accettabile. 4 Ricavo l angolo ottenendo: arcsin 48.5907789 48 5' 5.6'' 4 80 arcsin 80 48.5907789.4096 4'4.64''. 4 Entrambi i valori sono accettabili, in quanto sommati a 0 tali somme sono minori di 80.
Quesito 0. Il volume del solido richiesto è dato dalla rotazione attorno all asse delle ordinate dell area A raffigurata. Tale volume lo determino come la differenza del volume del cilindro di raggio di base 4 e altezza e l integrale, per il calcolo del volume, della funzione inversa della funzione assegnata y. Risulta: 5 8 V y dy y 0 5 5 5. 0