Integrazione di funzioni goniometriche e irrazionali In questo arofondimento resentiamo alcune tecniche er integrare articolari classi di funzioni goniometriche e irrazionali.. Integralidifunzionigoniometriche Integrali del tio sin n cos m Illustriamo mediante alcuni esemi le tecniche di integrazione degli integrali del tio sin n cos m, essendo n ed m due interi ositivi. Il rocedimento di integrazione varia a seconda che n ed m siano ari o disari. ESEMPIO Caso in cui n è disari Calcoliamo sin cos. sin cos sin sin cos sin cos Þ cos sin cos sin cos 4 sin Þ cos þ sin Þ cos 4 cos os5 5 ESEMPIO Caso in cui m è disari Calcoliamo cos. Integrale da calcolare sin cos I due integrali ottenuti ossono ricondursi alla forma f 0 Þ½f ÞŠ Utilizziamo una tecnica simile a quella dell esemio recedente. cos cos cos sin Þ cos cos cos sin sin sin cos sin Il rimo integrale è immediato e il secondo è della forma f 0 Þ½f ÞŠ /8
ESEMPIO Caso in cui n e m sono ari Calcoliamo sin 4. sin 4 sin Þ cos Dalle formule di bisezione segue: sin cos e cos os 4 þ 4 cos cos 4 þ os 4 cos 4 cos 4 þ cos 8 8 Dalle formule di bisezione si deduce: cos os 4 Abbiamo una somma di integrali immediati 8 þ sin 4 4 sin In generale: una tecnica simile a quella dei rimi due esemi (riscrivere la funzione integranda in modo che comaia un solo fattore uguale a sin o a cos Þ si alica er calcolare gli integrali del tio sin n cos m se n è disari o m è disari; una tecnica simile a quella indicata nel terzo esemio (utilizzo delle formule di bisezione sin cos, cos os e, in certi casi, della formula sin cos sin Þ si alica er calcolare gli integrali del tio sin n cos m quando sia n sia m sono ari. Integrali che sono funzioni razionali di sin e cos Se la funzione integranda è una funzione razionale di sin e cos, si uò condurre l integrale a quello di una funzione razionale frazionaria con la sostituzione: t tan e l imiego delle formule arametriche: sin t þ t e cos t þ t Questo rocedimento, ur avendo il regio della generalità, orta sesso a calcoli iuttosto laboriosi ed è quindi consigliabile solo quando non sembra esservi nessun altro metodo er risolvere l integrale. ESEMPIO Integrazione di funzioni goniometriche tramite le formule arametriche Calcoliamo sin. Ponendo t tan, ossia arctan t, si ha: þ t dt quindi, ricordando che sin t þ t, abbiamo: /8
sin t þ t = sin þ t dt t dt ln jtjþc ln tan Integrali del tio sin m cos n, cos m cos n sin m sin n, Questi integrali si calcolano tramite le formule di Werner, che consentono di trasformare la funzione integranda in una somma. ESEMPIO Utilizzo delle formule di Werner Calcoliamo: sin cos 4. Ricordando che: sin cos ½ sin Þþ sin þ ÞŠ abbiamo: sin cos 4 ½ sin Þþ sin 7ÞŠ Formule di Werner sin þ sin 7Þ Ora abbiamo una somma di integrali immediati cos 4 cos 7. Integralidifunzioniirrazionali Integrali diendenti da n ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a þ b Se la funzione integranda è una funzione irrazionale che contiene un solo radicale del tio n ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a þ b, il calcolo dell integrale uò essere condotto a quello di una funzione razionale mediante la sostituzione ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi n a þ b t. ESEMPIO Integrazione ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi di funzioni contenenti un solo radicale del tio n a þ b Calcoliamo ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi. þ 4 Poniamo ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 4 t, da cui t 4. Ne segue: t dt Quindi abbiamo: t 4 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t dt þ 4 t qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 4Þ 8 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 4 t 8Þ dt t 8t /8
Integrali diendenti da ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a Se la funzione integranda è una funzione irrazionale contenente un solo radicale del tio ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a, il calcolo dell integrale uò avvenire tramite la sostituzione: a sin t, con t La condizione su t garantisce l invertibilità della funzione a sin t ESEMPIO Integrazione ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi di funzioni contenenti un solo radicale del tio a ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Calcoliamo 4. In questo caso a, quindi oniamo sin t, ossia t arcsin. Ne segue che: cos tdt Abbiamo quindi: ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 4 4 sin t cos tdt 4 cos tdt os tþ dt ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 4 sin t sin t ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos t cos t Formula di bisezione: cos t os t Osserva È lecito ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi scrivere cos ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t cos t invece di cos t jcos tj erché stiamo suonendo t. t þ sin t arcsin þ sin arcsin Ricordando che t arcsin sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi arcsin þ 4 Alicando la formula di dulicazione del seno: sin arcsin sin arcsin cos arcsin arcsin þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 Integrali diendenti da ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ a o ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 Se la funzione integranda è una funzione irrazionale che contiene un solo radicale, del tio ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ a oure a, il calcolo dell integrale uò essere condotto a quello di una funzione razionale mediante la sostituzione: ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a t ESEMPIO Integrazione ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi di funzioni ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi contenenti un solo radicale del tio þ a o a ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Calcoliamo þ 4. Poniamo: ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 4 t, cioè t ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 4 þ 4/8
Ne segue: ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 4 e t þ 4 t dt Abbiamo allora: ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 4 t ) þ 4 t Þ ) þ 4 t t þ ) t 4 t t t 4 t ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 4 t t þ 4 t dt t þ 4Þ 4t dt L integrale si uò ricondurre a una somma di integrali immediati er scomosizione t 4 þ t þ 4 t dt lnjtjþ 8 t ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Ricorda ora che t t þ 4 þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi lnj þ 4 þ jþ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 8 þ 4 þ Þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 4 þ Þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi lnj þ 4 þ jþ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 4 Svolgendo i calcoli 5/8
Esercizi. Integralidifunzionigoniometriche Esercizi reliminari Test Per calcolare quale dei seguenti integrali è utile la sostituzione tan t? sin A cos B cos C tan D cos Effettuando nell integrale þ sin la sostituzione tan t, a quale dei seguenti integrali si viene ricondotti? A t þ 4t þ dt B t þ 4t þ dt C t þ t þ 4t þ dt D t þ t þ 4t þ dt ESERCIZIO GUIDATO Calcola i seguenti integrali: a. sin cos 4 b. cos 4 a. sin cos 4 sin sin cos 4 sin cos Þ cos 4 :::::::::: b. cos 4 cos Þ os :::::::::: a. 7 cos7 5 cos5 ; b. sin 4 þ 4 sin þ 8 Calcola i seguenti integrali. 4 cos 5 6 7 8 sin sin cos sin cos sin cos 4 ESERCIZIO GUIDATO Calcola cos. sin cos þ cos þ cos sin 5 sin5 cos þ 5 cos5 8 sin 4 9 0 þ sin Þ sin cos sin cos tan þ tan Þ tan 4 ½ sin 4 cos þ Š 5 cos5 4 sin 4 5 sin5 ½ ln jcos jþtan Š tan þ tan þ Poni tan t, ossia arctan t e þ t dt Verifica che con queste sostituzioni l integrale si trasforma in t dt. Calcola quest ultimo integrale, quindi ritorna alla variabile ricordando la sostituzione oerata. h ln tan þ ln tan i 6/8
Calcola i seguenti integrali con il metodo illustrato nell esercizio guidato recedente. 5 cos tan 6 4 tan 7 5 6 þ sin 6 4 þ tan 7 5 7 8 5cos 4 ln tan þ 4 ln tan h þ sin os ln tan i þ ESERCIZI Calcola i seguenti integrali, ricordando le formule di Werner. 9 sin cos 0 sin cos 4 sin sin cos cos cos cos 5 0 4 cos cos 6 4 sin sin 4 8 6 sin þ sin. Integralidifunzioniirrazionali Esercizi reliminari Per calcolare un integrale in cui comare una radice del tio ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9, quale delle seguenti sostituzioni otrebbe essere utile? A 9 sin t B ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 t C sin t D ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 t 4 Per calcolare un integrale in cui comare una radice del tio ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 þ, quale delle seguenti sostituzioni otrebbe essere utile? A 9 sin t 5 ESERCIZIO GUIDATO Calcola i seguenti integrali: ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a. b. þ B ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 þ t C sin t D ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 þ t a. Poni sin t e verifica che con questa sostituzione l integrale si trasforma in cos tdt; risolvi quest ultimo integrale, quindi ritorna alla variabile. ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t b. Poni þ þ Þ t e verifica che con questa sostituzione l integrale si trasforma in 4t dt; risolvi quest ultimo integrale, quindi ritorna alla variabile. a. arcsin þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ; b. ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ln þ þ Þþ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 7/8
Calcola i seguenti integrali. ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6 6 8 arcsin 4 þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6 7 8 9 0 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 6 5 arcsin 5 þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6 8ln 6 þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 5 ln ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 8ln þ þ 6Þþ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 6 ESERCIZI ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 9 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 9 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ln þ þ 9 þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 9 " ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi # 9 9 4 5 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 8 arcsin qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 Þ þ 8 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ln j ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 j ln jj ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ln þ þ Þþc 8/8