CORSO DI PROGETTAZIONE COSTRUZIONI ED IMPIANTI A.S. 2012-201 LA GEOMETRIA DELLE MASSE
Massa = grandezza fisica che descrive la proprietà dei corpi materiali (o dei sistemi di corpi materiali) che ne determina il comportamento dinamico (traiettoria) quando sono soggetti al l'influenza di forze esterne DEFINIZIONI Punto materiale = punto in cui si può pensare concentrata una certa quantità di materia Corpo materiale = insieme infinito di punti materiali Sistema discreto = insieme finito di punti materiali Sistema continuo = insieme infinito di punti materiali adiacenti (figure piane) LA GEOMETRIA DELLE MASSE STUDIA LE PROPRIETÀ DELLE MASSE IN RELAZIONE ALLA LORO DISTRIBUZIONE NELLO SPAZIO
CENTRO DI MASSA Il centro di massa o baricentro di un sistema è il punto geometrico corrispondente al valore medio della distribuzione della massa del sistema nello spazio. Se un sistema ammette un asse di simmetria il baricentro appartiene ad un punto dell'asse Se un sistema ammette due assi di simmetria il baricentro è l'intersezione di tali assi Il baricentro può non coincidere con la posizione di alcuno dei punti materiali che costituiscono il sistema Nei sistemi discreti doppio simmetrici e nei sistemi continui (figure piane) regolari, la ricerca del baricentro può effettuarsi attraverso l'impiego di una procedura grafica utilizzando l'intersezione di assi e mediane
Centro di massa/baricentro di sistemi o figure notevoli
Centro di Massa e Momenti statici Si definisce momento statico di una massa, rispetto ad una retta distante d dal centro di massa del sistema il prodotto S(r) = m x d Un sistema costituito da più masse produce un momento statico complessivo che risulta dalla sommatoria S(r) = (m1 x d1 ) + (m2 x d2 ) + (m x d ) + (m4 x d4 ) Per la definizione stessa di baricentro risulta valida la relazione: (m1 + m2 + m + m4 ) x dg =(m1 x d1 ) + (m2 x d2 ) + (m x d ) + (m4 x d4 ) Da cui si ricava la misura della distanza del baricentro del sistema dalla retta da cui si sono calcolati i momenti statici: dg = (( m1 x d1 ) + (m2 x d2 ) + (m x d ) + (m4 x d4 )) / (m1 + m2 + m + m4 )
Se quanto abbiamo sostenuto in precedenza è vero, le coordinate del centro di massa per il sistema discreto di masse tutte uguali rappresentato, deve risultare, rispetto agli assi di riferimento indicati, posizionato in ascissa = 6 e ordinata = 4 La distanza del centro di massa dalla ascissa risulta, essendo tutte le masse uguali pari a: dg = m x (6+6+2+2)/ m x 4 = 4 La distanza del centro di massa dalla ordinata risulta, essendo tutte le masse uguali pari a: dg = m x (+9++9)/ m x 4 = 6 Per la definizione di centro delle masse, il calcolo del momento statico, effettuato rispetto agli assi locali baricentrici coordinati agli assi di riferimento globali, produce sempre risultato NULLO È possibile utilizzare le proprietà del momento statico nella ricerca del baricentro in sistemi dotati di un solo asse di simmetria o di sistemi comunque disposti rispetto agli assi di riferimento globali
Caso generale Dati: m1=4kg m2=11kg m=6kg m4=9kg le coordinate in metri dei centri delle masse rappresentate in figura Calcolando i momenti statici rispetto all'asse X si ottiene l'ordinata, Yg = (( 4 x,5 ) + (11 x,5 ) + (6 x 2 ) + (9 x 1 )) / (4+11+6+9)= (14+8,5+12+9)/0=2,45m Calcolando i momenti statici rispetto all'asse Y si ottiene l'ascissa, Xg = (( 4 x 4 ) + (11 x 5,8 ) + (6 x 1,2 ) + (9 x 5,2 )) / (4+11+6+9)= (16+6,8+7,2+46,8)/0=4,46m
Sistemi dotati di un asse di simmetria Si può interpretare la figura come composta da un triangolo isoscele scavato da una semicirconferenza alla base a cui si attribuisce un valore negativo. La posizione del baricentro rispetto alla retta di base risulta: Yg = ((2x2,67)-(2x2,66))/(2-6,28)=,11cm Si può interpretare la figura come composta da un rettangolo sormontato da un semicerchio e scavato alla base da un altro rettangolo a cui si attribuisce nei calcoli il valore negativo. La posizione del baricentro rispetto alla retta di base risulta: Yg = ((6x)+(6,28x6,85)-(12x1,5))/(6-12+6,28)=4,9cm
MOMENTO DI INERZIA Il momento di inerzia di un sistema discreto o continuo di masse rappresenta la proprietà che ne descrive il comportamento dinamico (traiettoria) rispetto agli effetti prodotti dai momenti (rotazioni). Tanto la massa (o l'area) sarà distante dall'asse istantaneo di rotazione, tanto maggiore sarà il momento di inerzia e quindi la resistenza offerta dal sistema al momento che induce la rotazione intorno all'asse. Come mostra l'esempio del pattinaggio su ghiaccio, l'atleta aumenta la sua velocità di rotazione nel momento in cui avvicina le braccia (cioè massa) all'asse di rotazione in modo da diminuire l'inerzia alla rotazione. Come vedremo in seguito il momento d'inerzia di una sezione resistente, in un elemento strutturale, fornisce indicazioni indispensabili al fine di individuare il comportamento dell'elemento, sia nei termini della resistenza alla rottura dell'elemento (SLU) sia nei termini dei limiti di funzionamento dovuti alla deformabilità dell' elemento (SLE)
Momento di inerzia assiale di un sistema discreto di masse Dati: - m1=4kg; m2=11kg; m=6kg; m4=9kg - le coordinate dei centri delle masse in metri Il momento di inerzia assiale rispetto ad una retta qualsiasi si determina moltiplicando ogni punto materiale di definita massa per la relativa distanza di questo dalla retta (asse) assunta a riferimento elevata al quadrato. Volendo calcolare il momento di inerzia del sistema discreto rispetto all'asse X si ottiene: Jx = (4x,5*,5) + (11x,5*,5) + (6x2*2) + (9x1*1) = 49+14,75+24+9 = 216,75 kgmq Allo stesso risultato si potrebbe arrivare ponendo Jx = (m1+m2+m+m4)* Y(x) 2 noto il valore di Jx si può ricavare Y(x) che essendo diverso da Yg dimostra che il momento di inerzia non gode delle proprietà che abbiamo osservato con il teorema di Varignon
Raggio di inerzia di un sistema discreto di masse Il raggio di inerzia di un sistema discreto (o continuo) costituisce una proprietà inerziale, che, come vedremo in seguito fornisce indicazioni molto utili nel caso di elementi strutturali (aste snelle) interessati da sollecitazioni semplici di compressione (solo diagramma N) o di tipo composto (diagrammi N+M) calcoliamo il momento statico rispetto all'asse X Sx = (m1*y1+m2*y2+m*y+m4*y4)=yg*(m1+m2+m+m4) Applichiamo il teorema di Varignon ai momenti statici (m1*y1)y1+(m2*y2)y2+(m*y)y+(m4*y4)y4= Y(x) *Sx Sostituiamo: Jx= Y(x)*Yg*(m1+m2+m+m4) Essendo: 2 Jx = (m1+m2+m+m4)* Y(x) uguagliando e semplificando 2 Y(x) = Y(x)*Yg* Il termine Y(x) si chiama raggio di inerzia e rappresenta la distanza ideale dall'asse X a cui si può pensare applicata idealmente l'intera massa del sistema per ottenere lo stesso momento di inerzia calcolato attraverso la sommatoria dei momenti d'inerzia delle masse singole
Teorema della trasposizione (o di Huygens) Noto il momento di inerzia assiale di un sistema discreto o continuo di masse per un asse parallelo a quello baricentrico e distante d da questo, si può determinare il valore del momento di inerzia baricentrico applicando la relazione: Dimostrazione, assumiamo che tutte le masse siano uguali e di peso 1kg): Jg = 1*4 +1*4 +1*4 + 1*4 = 16 kgmq Jx = 1*(6) + 1*(6) + 1*(4) + 1*(4) = 80kgmq Allo stesso risultato si arriva applicando la formula del trasporto: Jx = Jg + (m1+m2+m+m4)*d 2 Jx = 16+ 4*(4) ; Jx = 16+64 = 80kgmq N.B. viceversa, noto il valore di Jx (o rispetto ad un asse qualsiasi purchè parallelo a Jg) si può calcolare il valore del momento di inerzia assiale baricentrico con la stessa formula sostituendo al segno più il segno meno
Momento centrifugo di un sistema di masse Si definisce momento centrifugo di un sistema discreto o continuo di masse la somma dei prodotti delle singole masse per le rispettive distanze da due assi (in genere ortogonali) Per il sistema in figura il momento di inerzia centrifugo, calcolato rispetto agli assi globali X,Y risulta essere: Jx,y= m1*(x1*y1)+m2*(x2*y2) + m*(x*y)+m4*(x4*y4) Sviluppando i termini numerici nella ipotesi di masse tutte uguali e pari ad 1kg Jx,y=1*(6*)+1*(6*9)+1*(2*)+1*(2*9) = 18+54+6+18= 96kgmq Calcoliamo adesso il momento centrifugo rispetto agli assi locali baricentrici: Jlocal x,y = 1*(2*(-)) + 1*(2*() + 1*(-2*(-)) + 1*(-2*()) = -6+6+6-6 = 0 N.B. Il momento centrifugo di un sistema continuo o discreto calcolato rispetto agli assi baricentrici (principali) fornisce valore nullo
Momento di inerzia assiale di un sistema continuo (rettangolo) Il calcolo del momento di inerzia assiale di un rettangolo può effettuarsi, in analogia con la procedura vista con i sistemi discreti, scomponendo la figura in tante strisce infinitesime di superficie da. Assumiamo quale asse la retta X Possiamo utilizzare la stessa formula precedente sostituendo ai punti materiali le aree infinitesime Che, può scriversi come: Jx= Y(x)*Yg*(BxH) Jx= (H/2)*2/*H*(BxH) = BH/ Ovviamente, rispetto all'asse Y il momento di inerzia vale: Jy= (B/2)*2/*B*(BxH) = HB/
Momento di inerzia baricentrico di un rettangolo Come vedremo meglio in seguito, le sezioni di elementi strutturali interessate dalla azione delle sollecitazioni flettenti (diagramma del momento flettente) ruotano intorno al loro asse baricentrico. Nel caso di una sezione strutturale di geometria rettangolare il momento di inerzia baricentrico rispetto ad un asse parallelo alla base (o all'altezza) della figura si può ricavare applicando la formula del trasporto vista in precedenza per i sistemi discreti. Basta sostituire alla somma delle masse l'area del rettangolo Modulo di resistenza 2 Jg = B*H/ - (H/2)* (B*H) Jg = B*H/ - B*H/4 Jg = B*H/12 Come indicato dal grafico la regione critica, ai fini della resistenza della sezione, risulta essere quella posta alla maggiore distanza (cioè ad H/2) dall'asse istantaneo di rotazione (asse neutro). Questa circostanza produce un altro indicatore della inerzia della sezione chiamato modulo di resistenza. Wasse locale forte = (B*H/12)/(H/2) Wasse locale debole = (H*B/12)/(B/2)
Proprietà inerziali di figure geometriche notevoli A=B*H G=H/2 JB = B*H / JH = H*B / JY = B*H /12 JZ = H*B /12 iy = H /RadQ12 iz = B /RadQ12 2 Wy = B*H /6 Wz = H*B 2 /6 A=B*H/2 G=H/ JB = B*H /12 JY = B*H /6 iy = H /RadQ18 iz = B /RadQ24 2 Wy = B*H /12 2 Wz = H*B /24 A=,14*R G=D/2 4 JY=JZ =,14*D /64 iy = iz = D /4
Proprietà inerziali di figure composte Applicando le proprietà viste in precedenza è possibile ricavare le proprietà inerziale di figure piane comunque composte Esempio 1 - sezione dotata di un asse di simmetria Coordinata del baricentro Yg= [2*(4x1)*2,5 + (6x1)*0,5)]/ (6+4+4) = 1,64cm Momento di inerzia baricentrico (asse locale Y) Jy = (1*216/12) + [ 2*(4*1)/12 + (2*4)x (2,5*2,5)=18 +(0,67+50) Jy = 68,67 cm 4 Wy = 68,67/ = 22,89 cm iy = RadQ (Jy/ A) = RadQ 68,67/(6+8)=2,21cm N.B. Con una procedura analoga si possono ricavare tutte le altre proprietà inerziali relative all'asse locale Z
Esempio 2 - sezione ad elle con lati diseguali Coordinate del baricentro Yg= [(6*1)x0,5 + (4*1)x2,5)]/(6+4)= 1,cm Zg= [(6*1)x + (4*1)x0,5)]/(6+4)= 2cm