RELAZIONE DI LABORATORIO DI FISICA ANNO ACCADEMICO 017/018 Esperienza di laboratorio n 1 0/11/17 Misura della densità di solidi omogenei di forma regolare GRUPPO N 10 Componenti del gruppo: Cirincione Salvatore Pio Maida Federica Mancuso Michele Migliore Antonino Torchia Laura
Introduzione e obiettivo L'esperimento consiste nel determinare la densità di un determinato materiale tramite la misurazione di cinque oggetti di forma regolare cilindrica cava di diversa massa e diverso volume, prendendo come presupposto che essi siano fatti tutti dello stesso materiale e che siano omogenei Strumentazione La strumentazione messa a disposizione era composta da: Un calibro ventesimale con una risoluzione r = 0.05 mm a cui corrisponde un errore di lettura δ x = 0.05 mm; ai fini dell esperienza di laboratorio, si poteva assumere che l errore di precisione del calibro fosse uguale all errore di lettura. Pertanto, l errore strumentale è pari a δ x = 0.05 mm. Una bilancia elettronica con un errore di lettura di una unità sull ultima cifra significativa (LSD), che corrisponde a un errore δx = 0.1 g; l errore di precisione della bilancia è 0.% del valore misurato. Pertanto, l errore complessivo introdotto dallo strumento è: δ x =0./100 V.M. + 0.1 g 5 cilindri cavi omogenei di dimensioni differenti e dello stesso materiale. Procedura e cenni teorici Attraverso il calibro ventesimale si procede con l'effettuazione di 5 misurazioni dirette per ogni cilindretto rispettivamente di diametro interno (d), diametro esterno (D) e altezza (h) e con la bilancia elettronica per quanto riguarda la massa (M) degli oggetti. Essendo la densità (ρ) di una sostanza definita come il rapporto tra massa (M) e volume (V), secondo la formula: ρ=m/v (1.0) si procede a calcolare il volume dei singoli cilindri applicando la seguente formula: V = π 4 (D d )h (1.1) In quanto misura indiretta si procede con il calcolo della propagazione dell'errore secondo la formula:
εv = segue: ( D δ D+ d δ d) + ε h D d (1.) δ V =V ε V (1.3) dove δd e δd sono rispettivamente gli errori assoluti del diametro esterno e quello interno e εh è l'errore relativo dell'altezza. Il calcolo degli errori assoluti delle altezze e dei diametri è stato effettuato tenendo in considerazione l'errore di lettura pari a 0.005 cm sommato alla semidispersione (Δx) calcolata come: Δ x= x max x min (1.4) dove x max e x min sono rispettivamente la misura massima e minima di ciascuna grandezza. Analisi dati e tabelle Effettuando 5 misurazioni per ogni grandezza si riportano nella Tabella 1.0 i valori medi delle grandezze con rispettivi errori assoluti e relativi M (g) δm (g) εm D δd εd d δd εd h δh εh 1 1.70 0.10 0.06.479 0.015 0.006.168 0.008 0.004 0.989 0.067 0.068 3.30 0.11 0.03.486 0.010 0.004.138 0.008 0.004.037 0.015 0.007 3 7.0 0.11 0.0.48 0.01 0005.130 0.010 0.005 4.349 0.030 0.007 4 8.0 0.1 0.01.484 0.010 0.004.15 0.01 0.006 4.959 0.040 0.008 5 9.30 0.1 0.01.485 0.010 0.004.130 0.01 0.006 5.635 0.055 0.010 Tabella 1.0
Tramite le formule 1.1 e 1. si procede con il calcolo dei diversi volumi con i rispettivi errori relativi, poi riportati ad errori assoluti attraverso l'uso della formula 1.3. Nella seguente tabella 1.1 si riportano i dati utili per il calcolo della densità, relativi al volume e alla massa con rispettivi errori assoluti. M (g) δm (g) V (g/cm^3) δv (g/cm^3) εv 1 1.70 0.10 1.1 0.16 0.143 3.30 0.11.57 0.15 0.059 3 7.0 0.11 5.5 0.4 0.070 4 8.0 0.1 6.4 0.4 0.070 5 9.30 0.1 7. 0.5 0.071 Tabella 1.1 Osservazioni L'approssimazione delle misure nella Tabella 1.1 avviene prima approssimando l'errore assoluto ad una cifra significativa, tranne nel caso in cui questa sia un 1, nel qual caso l'approssimazione avviene con due cifre significative; successivamente si approssima il valore best della grandezza allo stesso numero di cifre decimali dell'errore assoluto. Tuttavia però, nella Tabella 1.0, per quanto riguarda i diametri e le altezza, si è deciso di aumentare di una cifra l'approssimazione dell'errore (e di conseguenza della misura) in modo da avere una minore approssimazione nel calcolo del volume (misura indiretta). Inoltre si può notare come alcuni errori, relativi sopratutto delle altezze, siano molto grandi, questo è dovuto ad evidenti dislivelli sulla superficie dei cilindri che perciò non garantivano la precisione delle misure, inficiando il calcolo del volume e di conseguenza della densità. Metodo grafico per il calcolo della densità Nella pagina seguente viene riportato il grafico delle misurazioni ottenute in cui sono presenti le barre di errore relative a ciascuna grandezza (volume sulle ordinate e massa sulle ascisse) e per ciascun cilindro.
Il calcolo della densità con relativo errore assoluto avviene tramite il metodo grafico della retta di minima e massima pendenza. Sfruttando le barre di errore di ciascuna misurazione che delimitano un rettangolo si crea un fascio di rette che interseca tutti i segmenti che rappresentano l'errore e passanti per l'origine; la dipendenza che lega massa e volume è infatti una dipendenza lineare descritta dalla formula 1.0 che, graficamente, rappresenta una retta con intercetta con l'asse delle y pari a zero (quando V=0 allora M=0), perciò passante per l'origine degli assi. Sfruttando questo metodo si può facilmente notare se uno dei dati è errato (per diverse motivazioni) in quanto non allineato con gli altri cioè non rispettando la dipendenza lineare a noi nota; in questo caso osservando il grafico si può notare come il primo dato sia visibilmente fuori allineamento per cause imputabili ad errori di misurazione e probabilmente alla non regolarità della superficie del cilindro. Per questo motivo il primo dato può non essere tenuto in considerazione nel calcolo della densità degli oggetti. (Si nota da questo punto di vista l'importanza di avere più dati da porre nel grafico, in quanto nonostante possa bastare solo un dato e l'origine per il calcolo della densità, se si fosse presa solamente il primo il risultato ottenuto sarebbe stato errato, con più dati invece si garantisce invece una maggiore accuratezza del risultato) Di questo fascio ottenuto tuttavia, si rappresentano esclusivamente le rette che hanno minima e massima pendenza (tramite il comando di Sci-DAVis draw line ), è più facile infatti disegnare la retta di massima e quella di minima pendenza anziché la retta che meglio si adatta ai dati sperimentali, in quanto in quest ultimo caso si possono tracciare più rette senza poterne scegliere una con sicurezza. Per questo motivo, si tracciano la rette che hanno la massima e minima pendenza e si calcola la pendenza che meglio si adatta ai dati sperimentali come media fra il valore massimo e minimo. In questo caso però la pendenza della retta rappresenta la densità per la formula 1.0, perciò si avrà: ρ max+ ρ min ρbest= Inoltre, possiamo stimare l indeterminazione dei parametri calcolando la semidispersione come: ρ max ρ min δρ= Lavorando sul grafico si ottengono i valori: ρ max= Δ y max =1.304 g/cm3 Δ x max ρ min= Δ y min =1.78 g /cm3 Δ x max
ρ max+ ρ min ρbest= =1.91 g /cm 3 δρ= ρ max ρ min =0.01 g/cm 3 (Il grafico sottostante è rappresentato in formato A4 ruotato di 90 verso destra e con massa e volume rispettivamente sull'asse delle ordinate e quello delle ascisse)
Fonti bibliografiche: Introduzione al Laboratorio di Fisica: gli errori nelle misure sperimentali Aurelio Agliolo Gallitto Introduzione all'analisi degli errori: lo studio nelle incertezze fisiche John R. Taylor Scheda dell'esperienza di laboratorio n 1 Per la visualizzazione dei dati su grafico è stato utilizzato il programma SciDAVis