Compito di Fisica 1 Ingegneria elettrica e gestionale Soluzioni fila B Massimo Vassalli 1 Dicembre 007 NB: dal momento che i dati numerici degli esercizi non sono comuni a tutti i compiti, i risultati sono dati in forma analitica, senza la sostituzione dei valori numerici. 1
1 Esercizio 1 1.1 Domanda A Innanzi tutto è necessario determinare la velocità v con cui parte la massa a seguito dell urto. Dal momento che la forza elastica della molla è posizionale, può essere trascurata durante l urto (non è impulsiva) e quindi il sistema dei due dischi risulta isolato e si conserva la quantità di moto: M 1 v 0 = M v = v = M 1 M v 0 il disco procederà verso destra fintanto che la molla non lo fermerà (alla distanza massima > L 0 da O) per poi tornare indietro. Per determinare tale distanza è sufficiente applicare la conservazione dell energia: K i + V i = K f + V f = 1 M v + 1 L 0 = 0 + 1 (1) e pertanto, semplificando, si ottiene : = M v + L 0 = = ± M v + L 0 La soluzione con il non è fisicamente sensata in quanto per costruzione è > 0. Sostituendo l espressione trovata di v si ottiene quindi: M1 = M v 0 + L 0 e la distanza massima d max richiesta dall esercizio sarà: M1 d max = L 0 = M v 0 + L 0 L 0 1. Domanda B Per quanto riguarda l urto, la presenza di attrito non cambia il risultato in quanto tale forza è non impulsiva per cui la velocità iniziale v del disco sarà la stessa della domanda A. Nel caso in cui vi sia attrito tra il disco ed il piano, il disco arriverà a fermarsi in una posizione a distanza < rispetto a quella calcolata nella domanda A. Partendo dalla conservazione dell energia già scritta nella domanda A, possiamo studiare questo caso inserendo anche l energia dissipata per attrito, ovvero il lavoro della forza di attrito f. Se lo spostamento totale è L 0 il lavoro della forza di attrito (che è costante) sarà: L f = f ( L 0 ) ed essendo f = m N = mm g
si ottiene quindi L f = mm g( L 0 ) che permette di scrivere l equazione di conservazione dell energia (1) nella forma data dal teorema delle forze vive: 1 M v + 1 L 0 + L f = 1 ovvero 1 M v + 1 L 0 mm g( L 0 ) = 1 che, riordinando i termini, diviene: + mm g mm gl 0 M v L 0 questa equazione del secondo ordine ha nuovamente due soluzioni: 1, = mm g (mm g) ± + mm gl 0 + M v + L 0 anche in questo caso è necssario selezionare la soluzione con il + che, per m = 0, corrisponde alla scelta fatta nella parte A dell esercizio. Pertanto: = mm g (mm g) + + mm gl 0 + M v + L 0 e di nuovo: d max = L 0 = mm g 1.3 Domanda C L 0 + (mm g) mm gl 0 + M 1 M v 0 + L 0 Afinché il disco si muova di moto circolare (uniforme) dopo l urto è necessario che l allungamento R sia tale da garantire la forza centripeta necessaria a mantenere l accelerazione radiale. Per il moto circolare uniforme si ha: a = v R u r pertanto, se il disco è a distanza R da O, la forza elastica è pari a: F e = Ru r e quindi la condizione richiesta è che sia: R = M v R dal momento che le condizioni dell urto non cambiano, v è la stessa determinata nella domanda A e pertanto si ha: R v = M = M M1 M v 0 = R = M 1v 0 M 3
Esercizio.1 Domanda A La condizione di rotolamento puro prevede che sia ẋ = ωr () dal momento che all istante iniziale è ẋ = v 0 e ω = 0 per ottenere rotolamento sin da subito è necessario accelerare il centro del disco per un tempo tale per cui sia valida la relazione. Dal momento che il momento M è costante possiamo sfruttare la seconda equazione cardinale rispetto al centro di massa: I θ = M = theta = ω = M I t e quindi il tempo per cui è necessario che venga applicata la forza è dato da:. Domanda B ẋ = ωr = v 0 = M I tr = t = v 0I MR Se lo sperimentatore interrompe la forza nel momento stesso in cui mette la ruota sul piano, l unica forza esterna che agisce sul sistema è l attrito tra il disco ed il piano orizzontale. Per determinarne direzione e verso dobbiamo domandarci: cosa farebbe il disco se non ci fosse l attrito? Dal momento che velocità del centro di massa e velocità angolare sono già quelle necessarie a garantire il rotolamento puro, il disco continuerebbe a rotolare con rotolamento puro anche in assenza di attrito. Questo vuol dire che non è necessaria nessuna forza di attrito per mantenere la condizione di rotolamento puro e quindi il coefficiente di attrito minimo è µ = 0. Allo stesso risultato si arriva anche operando come nel seguito della risposta ma ponendo M = 0. Nel caso in cui vi sia un momento M, la ruota continuerà ad aumentare la sua velocità angolare e quindi l attrito dovrà agire in maniera da aumentare anche la velocità lineare, ovvero lungo +x. Eśufficiente scrivere la prima cardinale orizzontale e la seconda cardinale rispetto al centro di massa per ottenere la forza di attrito necessaria a garantire il rotolamento puro: f = mẍ (3) fr + M = I θ (4) dalle quali, tenendo conto della relazione di rotolamento puro, si ottiene e quindi, riordinando: f = mẍ = mr θ = mr ( M I R f) f = mr I M 1 + mr I R 4
ed essendo, per un disco, I = 1 mr, si ha f = M 3 R per determinare il coefficiente di attrito minimo è sufficiente ricordare che, se N è la forza normale, per l attrito statico deve valere: f µ N la prima cardinale verticale ci permette di ottenere N: e quindi infine M 3 R N = mg µmg = µ M 3mgR che, come anticipato, per F = 0 restituisce il risultato µ = 0..3 Domanda C Nel caso in cui ci sia anche una molla ad agire nella fase iniziale di accelerazione si ha, contemporaneamente all aumento della velocità angolare θ dovuto al momento M, una variazione della velocità lineare ẋ. La prima e la seconda cardinale permettono di scrivere le due equazioni: mẍ = x (5) I θ = M (6) Dal momento però che la molla è scarica all istante iniziale, la molla non agisce sul sistema e la soluzione del problema è la stessa della domanda A. 3 Esercizio 3 3.1 Domanda A Osserviamo il problema dal sistema di riferimento solidale con la guida rotante. Dal momento che tale sistema è non inerziale, il punto materiale sentirà una forza fittizia data in generale da: in cui i due termini sono dati rispettivamente da: F = m(a T + a C ) (7) a T = A + α r + ω (ω r) (8) a C = ω v (9) in cui A è nullo così come a C in quanto il punto è fermo. Durante la fase di accelerazione si ha ω = ωj 0 ed anche α = αj 0 per cui sono non nulli 5
i secondi due termini di accelerazione di trascinamento. Svolgendo il prodotto vettoriale, dato che r = xi, ci si accorge che αj xi = αx è un contributo ortogonale alla guida e che pertanto non viene equilibrato dal chiodo ma dalla guida stessa. Il chiodo deve pertanto limitarsi ad equilibrare esclusivamente il termine di forza centrifuga dato da: f = mω xi e quindi la forza esercitata dal chiodo T durante la fase di accelerazione risulta: T = mω di e tenendo conto che il moto rotatorio della guida è uniformemente accelerato, ovvero che ω = αt si ottiene infine 3. Domanda B T = mα t di L energia dissipata nell urto con il punteruolo in P è data esattamente dall energia cinetica posseduta dal punto subito prima di urtare con il punteruolo (non l energia totale, in quanto quella potenziale, essendo posizionale, rimane inalterata). Durante il moto a ω costante (ω = ω 0 ), la forza di trascinamento dipende solo dalla distanza x del punto dall asse, f = mω 0xi e ad essa è possibile associare un energia potenziale (analogamente a quanto fatto con la molla ma con il segno invertito): U(x) = 1 mω 0x dal momento che la forza di Coriolis viene equilibrata dalla guida, questa è l unica forza esterna a fare lavoro e pertanto l energia del punto materiale si conserva. Chiamando i l istante iniziale (appena viene tolto il chiodo che tiene il punto fermo) e f l istante subito prima dell urto, si ha: K i + U i = K f + U f = K f = K i + U i U f essendo K i = 0 (punto inizialmente fermo), l energia cinetica subito prima dell urto è data da: K f = U i U f = 1 mω 0d + 1 mω 0L = 1 mω 0(L d ) che verrà interamente dissipata nell urto. 6
3.3 Domanda C La reazione vincolare della guida durante il moto del blocchetto deve essere tale da equilibrare sia il peso (lungo j), sia le forze apparenti ortogonali alla guida stessa. Dalla 7 si nota infatti che se v è non nullo (lungo i) si produce una forza di Coriolis lungo : f C = mωj ẋi = mωẋ la reazione vincolare R della guida sarà pertanto: R = mgj mωẋ 7