Analisi 2. Roberto Monti. Appunti del Corso - Versione del 3 Giugno 2011

Anlisi 2 Roberto Monti Appunti del Corso - Versione del 3 Giugno 211

Indice Cpitolo 1. Teori dell integrle di Riemnn. Integrli generlizzti 5 1. Integrli impropri su intervllo illimitto 5 2. Convergenz ssolut 7 3. Integrli oscilltori 8 4. Integrli impropri di funzioni non limitte 9 5. Esercizi 1 Cpitolo 2. Introduzione lle equzioni differenzili ordinrie 13 1. Equzioni differenzili lineri del primo ordine 13 2. Equzione differenzili vribili seprbili 14 3. Equzioni differenzili lineri del secondo ordine 15 4. Metodo dell vrizione delle costnti 17 5. Equzioni lineri del secondo ordine coefficienti costnti 18 6. Esercizi svolti 19 7. Esercizi 22 Cpitolo 3. Curve in R n 25 Cpitolo 4. Spzi metrici e normti 27 1. Definizioni ed esempi 27 2. Successioni in uno spzio metrico 29 3. Funzioni continue fr spzi metrici e in R n 29 4. Spzi metrici completi 32 5. Convergenz puntule e convergenz uniforme 34 6. Teorem delle contrzioni di Bnch 35 7. Topologi di uno spzio metrico 36 8. Spzi metrici comptti. Teorem di Weierstrss 39 9. Insiemi connessi 4 1. Esercizi svolti in clsse 43 11. Esercizi 47 Cpitolo 5. Clcolo differenzile in più vribili 49 Cpitolo 6. Teoremi di invertibilità locle e dell funzione implicit 51 1. Teorem di invertibilità locle 51 3

CAPITOLO 1 Teori dell integrle di Riemnn. Integrli generlizzti 1. Integrli impropri su intervllo illimitto Definizione 1.1. Sino R ed f : [, ) R un funzione tle che l restrizione f : [, M] R si (limitt e) Riemnn-integrbile per ogni M <. Dicimo che f è integrbile in senso improprio su [, ) se esiste finito il limite (1.1) I = lim M In questo cso, chimimo il numero rele M f(x)dx. f(x)dx = I integrle improprio di f su [, ) ovvero dicimo che l integrle improprio converge Se il limite non esiste oppure esiste m infinito diremo che l integrle improprio di f diverge. L integrle improprio eredità dll integrle di Riemnn le proprietà di linerità, di monotoni e di decomposizione del dominio. Esempio 1.2. Studimo l convergenz del seguente integrle improprio l vrire del prmetro rele α > 1 1 x dx. α Nel cso α 1 si h M [ ] 1 x α+1 x=m 1 x dx = = M 1 α 1 α α + 1 x=1 1 α e quindi: ) Se α > 1 l integrle converge 1 1 M 1 α 1 dx = lim xα M 1 α b) Se < α < 1 l integrle diverge Nel cso α = 1 si h per ogni M > 1 M 1 1 M 1 α 1 dx = lim xα M 1 α 1 1 dx = log M, x 5 = 1 α 1 ; =.

6 1. TEORIA DELL INTEGRALE DI RIEMANN. INTEGRALI GENERALIZZATI e quindi l integrle diverge 1 1 dx = lim log M =. x M Osservimo che se f è un funzione non negtiv su [, ), llor il limite in (1.1) esiste finito oppure infinito. Inftti, l funzione I(M) = M f(x)dx è monoton per M e dunque h limite per M. Teorem 1.3 (Criterio del confronto). Sino f, g : [, ) R, R, due funzioni Riemnn-integrbili su ogni intervllo [, M] R con M <. Supponimo che esist x tle che f(x) g(x) per ogni x x. Allor: ) b) g(x)dx < f(x)dx = f(x)dx < ; g(x)dx =. Dim. Senz perdere di generlità si può supporre x =. Per l monotoni dell integrle di Riemnn, si h per ogni M : M f(x)dx M g(x)dx. Le ffermzioni ) e b) seguono pssndo l limite per M. Teorem 1.4 (Criterio del confronto sintotico). Sino f, g : [, ) R, R, due funzioni Riemnn integrbili su ogni intervllo [, M], M. Supponimo che risulti g(x) > per ogni x e che esist finito e diverso d zero il limite Allor: L = lim x f(x) g(x). f(x)dx converge se e solo se g(x)dx converge. Dim. Supponimo d esempio < L <. Allor, per il Teorem dell permnenz del segno esiste x tle che per ogni x x si h L 2 f(x) g(x) 2L. Siccome g >, si può riordinre l disuguglinz ottenendo L g(x) f(x) 2Lg(x) 2 per ogni x x. L tesi segue dl Teorem del confronto. Esempio 1.5. Studimo l convergenz dell integrle improprio x α+1 I α = (1 x + 1 log + 1 ) dx x 1

2. CONVERGENZA ASSOLUTA 7 l vrire del prmetro rele α R. Ricordimo lo sviluppo infinitesimle del logritmo ( log 1 + 1 ) = 1 ( 1 ) x x + o x per x, dove o(1/x) è un errore che converge zero più velocemente di 1/x qundo x. Allor l funzione integrnd è f(x) = (1 xα 1 + 1/x log + 1 ) = 1 (1 + o(1)). x x1 α Scelt l funzione di confronto g(x) = 1 x 1 α, risult g(x) > per x > e inoltre f(x) lim x g(x) = 1. Siccome l integrle 1 dx 1 x1 α converge se e solo se α <, l integrle in esme pure converge se e solo se α <. Ad esempio, nel cso α = 2 con un conto lscito come esercizio si può clcolre esplicitmente 1 (1 x 2 + x log + 1 ) dx = 1 x 2 log2 2. 1 2. Convergenz ssolut Definizione 2.1. Sino R ed f : [, ) R un funzione tle che l restrizione f : [, M] R si (limitt e) Riemnn integrbile per ogni M <. Dicimo che f è ssolutmente integrbile su [, ) se converge l integrle improprio f(x) dx <. In questo cso, dicimo che l integrle improprio f(x)dx converge ssolutmente. Teorem 2.2. Si f : [, ) R un funzione (limitt e) Riemnn integrbile su ogni intervllo dell form [, M], M. Se f è ssolutmente integrbile su [, ) llor è integrbile in senso improprio su [, ) e inoltre (2.2) f(x)dx f(x) dx. Dim. Definimo le funzioni f +, f : [, ) R f + (x) = mx{f(x), } e f (x) = min{f(x), }, x. Chirmente f(x) = f + (x) + f (x) e f(x) = f + (x) f (x) per ogni x. È noto, inoltre, che le funzioni f +, f sono Riemnn integrbili su ogni intervllo [, M]. Per il Teorem del confronto gli integrli impropri f + (x)dx e f (x)dx

8 1. TEORIA DELL INTEGRALE DI RIEMANN. INTEGRALI GENERALIZZATI convergono. Pssndo l limite per M nell identità M f(x)dx = M ( f + (x) + f (x) ) M dx = f + (x)dx + M f (x)dx si ottiene l convergenz dell integrle improprio di f su [, ). Pssndo l limite nell disuguglinz M M M f(x)dx = f + (x)dx + f (x)dx si ottiene l (2.2). M f + (x) dx + M f (x) dx = M f(x) dx sin x Esempio 2.3. L integrle improprio dx non converge ssolutmente, x ovvero sin x dx =. x Inftti, sul generico intervllo [kπ + π/4, kπ + 3π/4], k =, 1, 2,..., risult 2 1 sin x e 2 x 1 kπ + 3π/4, e dunque Si deduce che (k+1)π kπ sin x dx x sin x 2π dx x 8 k= 2π 8(kπ + 3π/4). 3. Integrli oscilltori Tipici esempi di integrli oscilltori sono f(x) sin xdx, ovvero l integrle vlori complessi f(x)e ix dx = f(x) cos xdx + i 1 kπ + 3π/4 =. f(x) cos xdx, f(x) sin xdx, dove f : [, ) R è un funzione non negtiv, f. Il seguente teorem fornisce condizioni sufficiente per l convergenz di integrli di questo tipo. Teorem 3.1 (Criterio per integrli oscilltori). Sino f C([, )) e g C 1 ([, )), R, due funzioni con le seguenti proprietà: i) f = F con primitiv F C 1 ([, )) limitt; ii) g e lim x g(x) =.

Allor l integrle improprio converge. 4. INTEGRALI IMPROPRI DI FUNZIONI NON LIMITATE 9 f(x)g(x)dx Dim. Per ogni M > si ottiene con un integrzione per prti: M f(x)g(x)dx = [ F (x)g(x) ] x=m x= M = F (M)g(M) F ()g() Siccome F è limitt e g è infinitesim per M, si h D ltr prte, siccome g si trov M F (x)g (x) dx sup F (x) x [, ) lim F (M)g(M) =. M M = ( g() g(m) ) sup F (x), x [, ) e dunque, usndo nuovmente il ftto che g è infinitesim F (x)g (x)dx M F (x)g (x)dx. M g (x) dx = sup F (x) g (x)dx x [, ) F (x)g (x) dx g() sup F (x) <. x [, ) Dl momento che l funzione F g è ssolutmente integrbile su [, ), per il Criterio dell convergenz ssolut esiste finito nche il limite lim M Questo termin l prov del teorem. M F (x)g (x)dx. Esempio 3.2. Usndo il Teorem 3.1 sugli integrli oscilltori, si vede che per ogni scelt del prmetro α > l integrle improprio 1 sin x x dx α converge. Inftti, l funzione f(x) = sin x h primitiv limitt F (x) = cos x e l funzione g(x) = 1/x α h derivt negtiv per x > ed è infinitesim per x. 4. Integrli impropri di funzioni non limitte Definizione 4.1. Si f : (, b] R, < < b <, un funzione (limitt e) Riemnn integrbile su ogni intervllo dell form [ + ε, b] con < ε < b. Dicimo che f è integrbile in senso improprio su (, b] se esiste finito il limite I = lim ε + b +ε f(x)dx.

1 1. TEORIA DELL INTEGRALE DI RIEMANN. INTEGRALI GENERALIZZATI In questo cso, dicimo che l integrle improprio di f su (, b] converge e ponimo b f(x)dx = I. Lo studio degli integrli impropri di funzioni come nell definizione precedente si può ricondurre llo studio di integrli impropri su intervllo illimitto trmite il cmbimento di vribile y = b che port ll trsformzione formle di integrli b x f(x)dx = (b ) 1 ( f + b y ) dy y 2. Esempio 4.2. Con un discussione nlog quell svolt nell Esempio 1.2 si deduce che, l vrire del prmetro rele α >, l integrle improprio converge se e solo se α < 1. 1 1 x α dx Enuncimo, senz dimostrzione, un Teorem del confronto sintotico per integrli di funzioni non limitte. Teorem 4.3 (Criterio del confronto sintotico). Sino f, g : (, b] R, < < b <, due funzioni (limitte e) Riemnn-integrbili su ogni intervllo dell form [ + ε, b], < ε < b. Supponimo che: i) lim g(x) = ; x + ii) il seguente limite esiste finito e diverso d zero Allor: b f(x) lim x + g(x). f(x)dx converge b 5. Esercizi g(x)dx converge. Esercizio 1. Al vrire del prmetro α, studire l convergenz e l convergenz ssolut dell integrle improprio 1 sin x log x dx. x α Questo esercizio è stto risolto in clsse. L rispost è l seguente: per α > 1 si h convergenz ssolut (e quindi nche semplice); per < α 1 non si h convergenz ssolut m c è convergenz semplice; per α = non c è convergenz semplice. Esercizio 2. Clcolre i seguenti integrli impropri log x 1) dx; 2) x 2 e 1 x (x + 1) 2 dx; 3) e βx cos(αx) dx, β >, α R.

5. ESERCIZI 11 Esercizio 3. Stbilire se convergono i seguenti integrli impropri 1) sin 2 x dx; 2) π 1 1 sin(x) dx; 3) 1 3 1 x 1 x 2 dx. Esercizio 4. Stbilire se convergono ssolutmente i seguenti integrli impropri sin x ( 1 1) dx; 2) x 2 e x cos x dx; 3) 1 + x2 x x) tn 1 sin x dx. 1 Esercizio 5. Clcolre tutti gli α > tli che converg ciscuno dei seguenti integrli impropri 1) 3) 1 (1 cos x) α tn x x dx; 2) 1 rctn x π/2 x α dx; 4) sin(x α ) log(1 + x) dx; 2 sin 1 x log α x dx. Esercizio 6. Studire l convergenz dei seguenti integrli oscilltori sin x 1) dx; 2) sin x rcsin 1 log x x dx; 3) x sin(x 4 ) dx. 2 1 Esercizio 7. i) Determinre tutti i prmetri α, β R tli che il seguente integrle improprio converg 1 + x β x α (1 + x 2 ) dx. ii) Rppresentre i prmetri mmissibili nel pino crtesino αβ.

CAPITOLO 2 Introduzione lle equzioni differenzili ordinrie 1. Equzioni differenzili lineri del primo ordine Si I R un intervllo perto e sino, b C(I) due funzioni continue. Un equzione differenzile dell form (1.3) y + (x)y = b(x), x I, si dice equzione linere del primo ordine. Fissti x I e y R, possimo prescrivere il vlore dell soluzione nel punto x : (1.4) y(x ) = y. Il problem di risolvere l equzione differenzile (1.3) con l condizione inizile (1.4) si chim Problem di Cuchy. L incognit del problem è un funzione y C 1 (I). Dedurremo l formul risolutiv dell equzione differenzile, e più in generle del Problem di Cuchy, con un rgomento euristico. Considerimo preliminrmente il cso b = : (1.5) y + (x)y =, x I. In questo cso, l equzione differenzile si dice omogene. Supponendo y, d esempio y >, l equzione differenzile (1.5) si può riscrivere nell form y /y = (x). Un primitiv dell funzione y /y è log y. Dunque, indicndo con A un primitiv di, ovvero A (x) = (x) per ogni x I, bbimo A = log y + d, per qulche costnte d R. Segue che y = exp( d A) e ponendo c = e d trovimo l soluzione (1.6) y(x) = ce A(x), x I. Quest funzione risolve l equzione omogene per ogni c R (in ltri termini l limitzione y > può essere lscit cdere). Or cerchimo un soluzione dell form (1.6) per l equzione non omogene (1.3), dove or c C 1 (I) è un funzione incognit che deve essere determint. Questo metodo si chim vrizione dell costnte. Inserendo y = c e A ce A nell equzione (1.3) ottenimo c e A = b, ovvero c = be A. Integrndo tle equzione su un intervllo (x, x) I ottenimo c(x) = c(x ) + 13 x x b(t)e A(t) dt,

14 2. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE e dunque trovimo ( x ) (1.7) y(x) = c(x ) + b(t)e A(t) dt e A(x), x I, x dove c(x ) R è un numero rele. Per ogni scelt di tle numero, l funzione (1.8) verific l equzione differenzile (1.3). Il numero c(x ) si può determinre imponendo che l integrle generle y verifichi l condizione inizile y(x ) = y. Si ottiene c(x ) = y e A(x). Dunque ottenimo l formul di rppresentzione per l soluzione del Problem di Cuchy: ( x ) (1.8) y(x) = y e A(x) + b(t)e A(t) dt e A(x), x I, x Nel prossimo teorem provimo che il metedo seguito rilev in effetti l unic soluzione del problem di Cuchy. Teorem 1.1. Sino I R un intervllo perto, x I,, b C(I) e y R. Allor l funzione (1.8) risolve in modo unico il Problem di Cuchy (1.3)+(1.4). Dim. Che l funzione (1.8) risolv il problem è un conto che ripercorre ritroso l rgomento euristico. Provimo che quest soluzione è l unic. Si z C 1 (I) un soluzione dell equzione differenzile (1.3) e considerimo l funzione usiliri w(x) = e A(x) z(x) b(t)e A(t) dt, x dove A è un primitiv di. Dl momento che sull intervllo I risult x w = (z + z )e A be A =, per il Teorem di Lgrnge l funzione w è costnte su I, ovvero esiste k R tle che w(x) = k R per ogni x I. Dunque, si h ( x ) z(x) = k + b(t)e A(t) dt e A(x). x D ltr prte, se z risolve nche l condizione inizile z(x ) = y deve essere k = y e A(x) e quindi z coincide con l funzione in (1.8). 2. Equzione differenzili vribili seprbili Sino I, J R due intervlli perti e sino f C(I) e g C(J) due funzioni continue. Cerchimo le soluzioni dell equzione differenzile del primo ordine (2.9) y = f(x)g(y), x I, per qulche intervllo I 1 I. Un simile equzione si dice vribili seprbili. Eventulmente, fissti un punto x I e un vlore y J possimo prescrivere l condizione inizile (2.1) y(x ) = y. Il problem (2.9)+(2.1) si chim Problem di Cuchy. Osservimo preliminrmente che se g(y ) = llor l funzione costnte y(x) = y, x I, è certmente un soluzione dell equzione differenzile (2.9) che verific l condizione inizile.

3. EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL SECONDO ORDINE 15 Siccome voglimo dividere per g, supponimo che g(y ). Allor risult g in un intervllo perto J 1 J che contiene y. Possimo llor dividere e seprre le vribili. L equzione differenzile si riscrive nel seguente modo: (2.11) y (x) g(y(x)) = f(x), dove x vri in un intorno I 1 I del punto x tle che y(x) J 1 per ogni x I 1. Si G C 1 (J 1 ) un primitiv di 1/g(y) (nell vribile y), definit nell intervllo J 1 e dove risult g. L funzione G è strettmente monoton, perchè G (y), e pertnto G è invertibile. Si poi F C 1 (I) un primitiv di f. Integrndo l equzione differenzile (2.11) si ottiene (2.12) G(y(x)) = F (x) + C, x I 1. Qui, C R è un costnte che può essere determint trmite l condizione inizile, e precismente C = G(y ) F (x ). L soluzione del Problm di Cuchy è dunque (2.13) y(x) = G 1 (F (x) F (x ) + G(y )), x I 1, dove G 1 : G(J 1 ) J 1 è l funzione invers di G. L intervllo I 1 I è in generle più piccolo di I. Il precedente rgomento rilev due tipi di soluzione dell equzione differenzile (2.9): le soluzioni costnti e le soluzioni per cui g(y). Potrebbero, tuttvi, esserci ltre soluzioni. Se g su J, l rgomento prov che l soluzione è necessrimente dell form (2.13). Teorem 2.1. Sino I, J R due intervlli perti, x I e y J, e sino f C(I), g C(J) tli che g su J. Allor il Problem di Cuchy (2.9)+(2.1) h un soluzione unic y C 1 (I 1 ) dt dll formul (2.13), per qulche intervllo perto I 1 I contenente x. L dimostrzione del teorem è contenut nell rgomento precedente. 3. Equzioni differenzili lineri del secondo ordine Si I R un intervllo perto e sino, b, f C(I) funzioni continue. In quest sezione studimo l equzione differenzile linere del secondo ordine: y + (x)y + b(x)y = f(x), x I. L incognit è un funzione y C 2 (I). L equzione differenzile si dice linere perchè l opertore differenzile L : C 2 (I) C(I) L(y) = y + (x)y + b(x)y è un opertore linere. Il seguente teorem di esistenz e unicità dell soluzione per il reltivo problem di Cuchy è il corollrio di un teorem più generle che srà visto e provto nel corso di Anlisi 3.

16 2. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE Teorem 3.1. Sino I R un intervllo perto, x I e y, y R, e sino, b, f C(I) funzioni continue. Allor il Problem di Cuchy y + (x)y + b(x)y = f(x), x I, (3.14) y(x ) = y y (x ) = y h un unic soluzione y C 2 (I). Studimo or il cso omogeneo f =. dell equzione omogene Considerimo l insieme delle soluzioni S = { y C 2 (I) : y + (x)y + b(x)y = su I }. Dl teorem precedente segue il seguente ftto. Proposizione 3.2. L insieme S delle soluzioni dell equzione omogene è uno spzio vettorile rele di dimensione 2. Dim. S è uno spzio vettorile, perchè per ogni α, β R e y 1, y 2 S, ovvero L(y 1 ) = L(y 2 ) =, risult L(αy 1 + βy 2 ) = αl(y 1 ) + βl(y 2 ) =, e quindi αy 1 + βy 2 S. Provimo che S h dimensione esttmente 2. Fissto un punto x I, definimo l trsformzione T : S R 2 definit nel seguente modo T (y) = ( y(x ), y (x ) ). L trsformzione T è linere. Provimo che T è iniettiv e suriettiv. Ne segue che S ed R 2 sono linermente isomorfi e dunque dim(s) = dim(r 2 ) = 2. Prov dell iniettività: se T (y) = T (z) con y, z S llor y e z risolvono lo stesso Problem di Cuchy (3.14) (con f = ). Siccome per il Teorem 3.1 l soluzione del problem è unic, deve essere y = z. Prov dell suriettività: dto (y, y ) R 2, dl Teorem 3.1 segue l esistenz di y S tle che T (y) = (y, y ). Dunque, lo spzio vettorile S h un bse vettorile compost d due soluzioni. Considerimo due soluzioni y 1, y 2 S (non necessrimente linermente indipendenti). Formimo l mtrice Wronskin ( ) y1 (x) y W y1,y 2 (x) = 2 (x) y 2(x) y 2(x), e il determinnte Wronskino ( ) y1 (x) y w(x) = det 2 (x) y 2(x) y 2(x) = y 1 (x)y 2(x) y 2 (x)y 1(x). Chirmente risult w C 1 (I) e inoltre w = y 1y 2 y 2y 1 + y 1 y 2 y 2 y 1 = y 1 ( (x)y 2 b(x)y 2 ) y 2 ( (x)y 1 b(x)y 1 ) = (x)w.

4. METODO DELLA VARIAZIONE DELLE COSTANTI 17 Integrndo l equzione differenzile scoprimo che il determinnte Wronskino h l form ( x ) w(x) = w(x ) exp (t)dt, x I. x In prticolre, se w(x ) = in un punto x I llor w = in tutti i punti. Proposizione 3.3. Sino y 1, y 2 S soluzioni dell equzione omogene e si w = det W y1,y 2 il corrispondente determinnte Wronskino. Allor: (A) y 1, y 2 sono linermente dipendenti se e solo se esiste x I tle che w(x ) = (equivlentemente se e solo se w = su I); (B) y 1, y 2 sono linermente indipendenti se e solo se esiste x 1 I tle che w(x 1 ) (equivlentemente se e solo so w su I). Dim. Provimo (A). Se y 1, y 2 sono linermente dipendenti llor esistono (α, β) (, ), α, β R, tli che αy 1 + βy 2 = su I. Derivndo vle nche αy 1 + βy 2 = su I, e dunque ( ) ( ) ( ) y1 y 2 α y 2 y 2 =. β Segue che w = su tutto I. Supponimo or che w(x ) = in un punto x I. Allor, esistono (α, β) (, ) tli che ( y1 (x ) y 2 (x ) y 2(x ) y 2(x ) ) ( α β ) ( = L funzione z = αy 1 + βy 2 è in S e verific z(x ) = e z (x ) =. Dll unicità dell soluzione per il Problem di Cuchy segue che z = e quindi y 1, y 2 sono linermente dipendenti. L ffermzione (B) segue d (A) per negzione. ). 4. Metodo dell vrizione delle costnti In quest sezione illustrimo il metodo per clcolre un soluzione dell equzione non omogene (4.15) y + (x)y + b(x)y = f(x), x I, un volt si sppi risolvere l equzione omogene corrispondente. Si y 1, y 2 un bse di soluzioni per l equzione omogene y +(x)y+b(x)y =. Cerchimo un soluzione del tipo (4.16) y = c 1 y 1 + c 2 y 2 dove c 1, c 2 : I R sono funzioni d determinre. Derivndo l relzione si ottiene Imponendo l condizione y = c 1y 1 + c 1 y 1 + c 2y 2 + c 2 y 2. (4.17) c 1y 1 + c 2y 2 = l espressione precedente si riduce ll seguente y = c 1 y 1 + c 2 y 2.

18 2. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE Derivndo nuovmente si ottiene y = c 1y 1 + c 1 y 1 + c 2y 2 + c 2 y 2. Sostituendo nell equzione differenzile di prtenz, dopo qulche clcolo, si rriv ll seguente equzione c 1 (y 1 + y 1 + by 1 ) + c 2 (y 2 + y 2 + by 2 ) + c 1y 1 + c 2y 2 = f. Usndo il ftto che y 1, y 2 risolvono l equzione omogene si ottiene l second condizione (4.18) c 1y 1 + c 2y 2 = f. Mettendo sistem le condizioni (4.17) e (4.18) si rriv l sistem ( ) ( ) ( ) y1 y 2 c 1 y 1 y 2 c =. 2 f Nel sistem è pprs l mtrice Wronskin di y 1, y 2. Per l Proposizione 3.3, quest mtrice è invertibile in ogni punto x I. Questo permette di risolvere il sistem in c 1 e c 2: ( ) ( ) c 1 ( ) 1 y1 y c = 2 2 y 1 y 2. f Le due equzioni del sistem possono essere integrte. Questo procedimento determin c 1 e c 2 meno di due costnti ddittive che ppiono nel processo di integrzione. Un volt sostituite c 1 e c 2 nell (4.16), le due costnti possono essere determinte con delle eventuli condizioni inizili. 5. Equzioni lineri del secondo ordine coefficienti costnti Considerimo un equzione differenzile del tipo (5.19) y + y + by = dove or, b R sono costnti. Si cercno soluzioni dell form y(x) = e λx, dove λ C è un prmetro complesso. Sostituendo le derivte y = λe λx e y = λ 2 e λx nell equzione differenzile si ottiene l equzione e λx (λ 2 + λ + b) =. Siccome e λx, tle equzione è verifict se e solo se λ verific l equzione crtteristic: λ 2 + λ + b =. Si = 2 4b il discriminnte dell equzione. Si possono presentre tre csi. 1) >. L equzione crtteristic h due soluzioni reli distinte λ 1 = e λ 2 = +. 2 2 In questo cso, l soluzione generle y di (5.19) è un combinzione linere delle soluzioni y 1 (x) = e λ1x e y 2 (x) = e λ2x, che sono linermente indipendenti: dove c 1, c 2 R. y(x) = c 1 e λ 1x + c 2 e λ 2x, x R

6. ESERCIZI SVOLTI 19 2) <. L equzione crtteristic h due soluzioni complesse coniugte λ 1 = + i 2 = α + iβ e λ 2 = i 2 dove si è posto α = /2 e β = /2. Le funzioni z 1 (x) = e (α+iβ)x = e αx e iβx = e αx (cos βx + i sin βx) z 2 (x) = e (α iβ)x = e αx e iβx = e αx (cos βx i sin βx) = α iβ sono soluzioni vlori complessi dell equzione differenzile. Dunque, le funzioni y 1 (x) = z 1(x) + z 2 (x) = e αx cos βx 2 y 2 (x) = z 1(x) z 2 (x) = e αx sin βx 2i sono soluzioni vlori reli dell equzione differenzile. Le funzioni y 1 e y 2 sono linermente indipendenti e dunque l soluzione generle dell equzione differenzile è dell form y(x) = (c 1 cos βx + c 2 sin βx)e αx con c 1, c 2 R. 3) =. L equzione crtteristic h l soluzione rele λ = /2 con molteplicità 2. In questo cso, il metodo produce un sol soluzione y 1 (x) = e λx. Un conto diretto mostr che l funzione y 2 (x) = xe λx è pure un soluzione che è linermente indipendente dll precedente. In effetti, si h: y 2 + y 2 + by 2 = 2λe λx + λ 2 xe λx + ( e λx + λxe λx) + bxe λx = (λ 2 + λ + b)xe λx + (2λ + )e λx =, dove nell ultimo pssggio si è usto il ftto che che λ risolve l equzione crtteristic e che λ = /2. L soluzione generle dell equzione (5.19) è dunque y(x) = (c 1 + c 2 x)e λx, c 1, c 2 R. 6. Esercizi svolti Esercizio 8. Cerchimo l soluzione del Problem di Cuchy seguente y = 1 + 2x (6.2) cos y y() = π. L equzione differenzile è vribili seprbili y = f(x)g(y) con f(x) = 1 + 2x e g(y) = 1/ cos y. In prticolre, g è definit per cos y, ovvero per y π/2 + kπ con k Z. Siccome voglimo che g si definit su un intervllo, tenuto conto dell condizione inizile dovremo considerre g : (π/2, 3π/2) R. Chirmente g. Seprndo le vribili ottenimo y cos y = 1 + 2x, e integrndo trovimo l soluzione generle in form implicit dell equzione differenzile sin y = x + x 2 + C,

2 2. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE dove C R è un costnte che si determin con l condizione inizile y() = π, ovvero C = sin y() =. Or dobbimo invertire l relzione sin y = x + x 2. Osservimo che l inversione meccnic z(x) = rcsin(x + x 2 ) non fornisce l soluzione del problem (6.2) perchè z() = rcsin() = e l condizione inizile non è verifict. Per determinre l soluzione corrett osservimo che l funzione rcsin è l invers dell funzione sin ristrett ll intervllo [ π/2, π/2]. Nel nostro cso, tuttvi, y prende vlori in un intorno di π. Allor procedimo in questo modo. Ponendo w(x) = y(x) π, bbimo w() = y() π = e sin w = sin(y π) = sin y = (x + x 2 ). Siccome w ssume vlori in un intorno di, è or lecito invertire l funzione seno e ottenimo w = rcsin(x + x 2 ) e quindi y(x) = π rcsin(x + x 2 ). Quest è l soluzione del problem, che è definit nell intervllo perto I 1 = { x R : x + x 2 < 1 }. Esercizio 9. Clcolre l integrle generle dell equzione differenzile y y = ex e x + 1. L equzione crtteristic è λ 2 1 = le cui soluzioni sono λ = ±1. L soluzione generle dell equzione omogene è quindi y = c 1 e x + c 2 e x. Clcolimo l soluzione generle dell equzione non omogene con il metodo dell vrizione delle costnti. Cerchimo un soluzione dell form y = c 1 (x)e x + c 2 (x)e x, con c 1, c 2 funzioni d determinre. Derivndo si ottiene y = c 1e x +c 1 e x +c 2e x c 2 e x e imponendo l prim condizione c 1e x + c 2e x = si h y = c 1 e x c 2 e x e quindi y = c 1e x + c 1 e x c 2e x + c 2 e x. Sostituendo nell equzione di prtenz si trov e x (c 1 + c 1) + e x (c 2 c 2) c 1 e x c 2 e x = e quindi si ottiene l second condizione e x c 1 c 2e x = ex 1 + e x. Risolvimo il sistem delle due condizioni { c 1 e x + c 2e x = c 1e x c 2e x = ex 1 + e. x ex 1 + e x,

Sommndo e sottrendo le due equzioni si ottiene c 1 = 1 1 2 1 + e x c 2 = 1 e 2x 2 1 + e. x Per determinre c 1 clcolimo l integrle indefinito c 1 (x) = 1 dx 2 1 + e x 6. ESERCIZI SVOLTI 21 medinte l sostituzione t = e x. Si ottiene c 1 (x) = 1 dt 2 t(1 + t) = 1 ( 1 2 t 1 )dt = 12 t + 1 log e x 1 + e + k 1, x dove k 1 R è un costnte dditiv. Per determinre c 2 (x) clcolimo l integrle c 2 (x) = 1 e 2x 2 1 + e dx x con l stess sostituzione. Si ottiene c 2 (x) = 1 2 ex + 1 2 log(1 + ex ) + k 2, con k 2 R. In conclusione, si ottiene l soluzione generle ( ) ( 1 y(x) = 2 log e x 1 + e + k x 1 e x + 12 ex + 12 ) log(1 + ex ) + k 2 e x, dove k 1, k 2 R sono due costnti libere. Esercizio 1. Al vrire del prmetro α R studire esistenz e unicità dell soluzione y C 1 (R) del problem { x 3 y y + 1 =, y() = α. L equzione differenzile è linere del primo ordine. Tuttvi il coefficiente di y si nnull nel punto x =, proprio dove è ssegnto il dto inizile. Clcolimo tutte le soluzioni dell equzione dove x. L equzione omogene x 3 y = y h le soluzioni y(x) = ce 1 2x 2. Cerchimo un soluzione dell equzione non omogene dell stess form, con c = c(x) funzione d determinre. Derivndo y e sostituendo nell equzione si rriv ll identità c (x) = 1 x e 1 3 2x 2. Or integrimo quest identità un un intervllo (x, x). L funzione che ppre destr non è integrbile in x =. Quindi l intervllo di integrzione deve verificre x, x > oppure x, x <. Integrndo si ottiene c(x) = c(x ) x x 1 t 3 e 1 2t 2 dt = k 1 + e 1 2x 2,

22 2. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE dove k 1 R è un costnte. Siccome bisogn distinguere l integrzione nel cso x > e in quello x <, l espressione generle per l funzione c è l seguente: { k c(x) = 1 + e 1 2x 2, x >, k 2 + e 1 2x 2, x <, dove k 1, k 2 R sono due costnti indipendenti. Dunque, l soluzione generle dell equzione differenzile è l seguente: { 1 + k y(x) = 1 e 1 2x 2, x >, 1 + k 2 e 1 2x 2, x <. Dl momento che lim y(x) = 1 x indipendentemente d k 1, k 2, tutte le funzioni y si prolungno con continuità in x = ponendo y() = 1. L funzione che ne risult verific in effetti y C 1 (R) con y () =. L verific di questo ftto è lscit come esercizio. Arrivimo lle seguenti conclusioni: 1) Per α 1 il problem non h soluzioni. 2) Per α = 1 il problem h infinite soluzioni, che dipendono d due prmetri reli. 7. Esercizi Esercizio 11. Clcolre l soluzione generle delle seguenti equzioni differenzili: i) y = y cos x 1 + sin x + sin x; ii) y = 3 x y + x2 + 1, x >. Esercizio 12. Si consideri l equzione differenzile y = (y 2 y) log(2 + x). i) Determinre il suo integrle generle. ii) Risolvere il problem di Cuchy con dto y( 1) = 1/2. Soluzione: y(x) = e x+1, x + 2 >. e x+1 + (x + 2) x+2 Esercizio 13. Si consideri l equzione differenzile y = (y 1)(y 4) cos x sin x. i) Trovre tutte le soluzioni costnti. ii) Clcolre l soluzione generle dell equzione in form implicit. iii) Clcolre in form esplicit l soluzione del problem di Cuchy con dto inizile y(3π/2) = 5.

7. ESERCIZI 23 Esercizio 14. Clcolre l soluzione del Problem di Cuchy y + y = 1 ( cos x, x π 2, π ), 2 y() = y () =. Soluzione: y = cos x log(cos x) + x sin x. Esercizio 15 (Difficile). Clcolre l soluzione y C 1 (, b), < 1 < b, del Problem di Cuchy { y = y x y + x, y(1) =, e disegnre un grfico qulittivo di y. Clcolre b e mostrre che > 1 2 e π/2.

CAPITOLO 3 Curve in R n Vedere il libro di testo, Cpitolo 6 d p.311 p.329 25

CAPITOLO 4 Spzi metrici e normti 1. Definizioni ed esempi Definizione 1.1 (Spzio metrico). Uno spzio metrico è un coppi (X, d) dove X è un insieme e d : X X [, ) è un funzione, dett metric o distnz, che per ogni x, y, z X verific le seguenti proprietà: 1) d(x, y) e d(x, y) = se e solo se x = y; 2) d(x, y) = d(y, x) (simmetri); 3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (disuguglinz tringolre). Definizione 1.2 (Spzio normto). Uno spzio normto (rele) è un coppi (V, ) dove V è uno spzio vettorile rele e : V [, ) è un funzione, dett norm, che per ogni x, y V e per ogni λ R verific le seguenti proprietà: 1) x e x = se e solo se x = ; 2) λx = λ x (omogeneità); 3) x + y x + y (subdittività o disuguglinz tringolre). Fissto un punto x X ed un rggio r, l insieme B r (x) = B(x, r) = B X (x, r) = { y X : d(x, y) < r } si dice sfer o pll (pert) di centro x e rggio r. Nel seguito, useremo le plle per definire un topologi su uno spzio metrico. Un norm su uno spzio vettorile V induce cnonicmente un distnz d su V definit nel seguente modo: d(x, y) = x y, x, y V. L disuguglinz tringolre per l distnz d deriv dll subdittività dell norm. Inftti, per ogni x, y, z V si h: d(x, y) = x y = x z + z y x z + z y = d(x, z) + d(z, y). Esempio 1.3 (Spzio metrico Euclideo). L funzione : R n [, ), n 1, così definit ( n ) 1/2, x = x 2 i x = (x1,..., x n ) R n, i=1 è un norm su R n, dett norm Euclide. Lo spzio metrico corrispondente (R n, d), dove d(x, y) = x y, si dice spzio (metrico) Euclideo. L insieme B r (x) = { y R n : x y < r } è l pll Euclide di rggio r centrt in x R n. Con l notzione x, y = x 1 y 1 +... + x n y n 27

28 4. SPAZI METRICI E NORMATI per il prodotto sclre stndrd di R n, l norm Euclide si esprime nel seguente modo: x = x, x. Il prodotto sclre è bi-linere nelle due componenti, è simmetrico, ed è non degenere. Precismente, per ogni x, y, z R n e per ogni α, β R vlgono le seguenti propretà: 1) αx + βy, z = α x, z + β y, z ; 2) x, y = y, x ; 3) x, x = se e solo se x =. Tlvolt, il prodotto sclre si indic nche con il simbolo (x, y). L verific delle proprietà 1) e 2) per l norm Euclide è elementre. Per verificre l subdittività occorre l disuguglinz di Cuchy-Schwrz. Proposizione 1.4 (Disuguglinz di Cuchy-Schwrz). Per ogni x, y R n vle l disuguglinz x, y x y. Dim. Il polinomio rele dell vribile t R: P (t) = x + ty 2 = x 2 + 2t x, y + t 2 y 2 non è mi negtivo, P (t) per ogni t R, e dunque il suo discriminnte verific = 4 x, y 2 4 x 2 y 2. L tesi segue. Verifichimo l subdittività dell norm Euclide. Dll disuguglinz di Cuchy- Schwrz si h x + y 2 = x + y, x + y = x 2 + 2 x, y + y 2 x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y ) 2 ed estrendo le rdici si ottiene l proprietà 3) di un norm. Esempio 1.5 (Norm dell convergenz uniforme). Considerimo l insieme V = C([, 1]; R n ) delle funzioni continue vlori in R n, n 1, definite sull intervllo [, 1] R. Queste funzioni hnno n componenti f = (f 1,..., f n ) e ciscun componente è un funzione continu vlori reli. L insieme V è uno spzio vettorile rele. L funzione : V [, ) f = sup f(x) = mx f(x) x [,1] x [,1] è un norm, dett norm dell convergenz uniforme o norm del sup. Nell definizione, f(x) è l norm Euclide di f(x) R n. L estremo superiore è un mssimo per il Teorem di Weierstrss. Verifichimo d esempio l disuguglinz tringolre per f, g V : f + g = sup f(x) + g(x) sup f(x) + g(x) x [,1] x [,1] sup f(x) + sup g(x) = f + g. x [,1] x [,1] Nel cso n = 1, dti f C([, 1]) ed r, l pll B r (f) = { g C([, 1]) : f(x) g(x) < r per ogni x [, 1] } è l insieme delle funzioni continue g il cui grfico è contenuto nell strisci di spessore 2r ttorno l grfico di f.

3. FUNZIONI CONTINUE FRA SPAZI METRICI E IN R n 29 Esempio 1.6 (Norm integrle). Considerimo l insieme V = C([, 1]) delle funzioni continue vlori reli definite sull intervllo [, 1] R. L funzione 1 : V [, ) f 1 = 1 f(x) dx è un norm, dett norm dell convergenz L 1 ([, 1]). L verific delle proprietà dell norm è elementre. Ad esempio, l subdittività dell norm 1 segue dll subdittività del vlore ssoluto e dll monotoni dell integrle. Precismente, per f, g V si h f +g 1 = 1 f(x)+g(x) dx 1 L pll centrt nell funzione null f = B r () = { g C([, 1]) : ( ) 1 f(x) + g(x) dx = f(x) dx+ 1 g(x) dx < r } è l insieme delle funzioni continue g con integrle di g minore di r. 2. Successioni in uno spzio metrico 1 g(x) dx. Un successione in uno spzio metrico (X, d) è un funzione x : N X. Si us l seguente notzione x n = x(n) per ogni n N e l successione si indic con (x n ) n N. Definizione 2.1. Un successione (x n ) n N converge d un punto x X nello spzio metrico (X, d) se lim d(x n, x) = ovvero ε > n N n n : d(x n, x) ε. n In questo cso si scrive nche x n x per n in (X, d) oppure nche lim x n = x, n si dice che l successione è convergente ovvero che x è il limite dell successione. Se il limite di un successione esiste llor è unico. entrmbi limiti di (x n ) n N, llor risult e quindi d(x, y) = ovvero x = y. d(x, y) d(x, x n ) + d(x n, y), n, 3. Funzioni continue fr spzi metrici e in R n Se inftti x, y X sono Definizione 3.1. Sino (X, d X ) e (Y, d Y ) due spzi metrici e si x X. Un funzione f : X Y si dice continu nel punto x X se per ogni ε > esiste δ > tle che per ogni x X vle d(x, x ) < δ d(f(x), f(x )) < ε. L funzione si dice continu se è continu in tutti i punti di X. Negli spzi metrici, l continuità è equivlente ll continuità sequenzile, nel senso del seguente teorem.

3 4. SPAZI METRICI E NORMATI Teorem 3.2. Sino f : X Y e x X. Sono equivlenti le seguenti due ffermzioni: A) f è continu in x ; B) Per ogni successione (x n ) n N in X vle l impliczione: lim x n = x in X lim f(x n ) = f(x) in Y. n n Dim. A) B). Fissto ε >, dll continuità di f segue l esistenz di δ > tle che per ogni x X vle: d X (x, x ) < δ d Y (f(x), f(x )) < ε. Dll convergenz dell successione segue l esistenz di n N tle che per n n si h d X (x n, x ) < δ. Quindi per tli n n deve essere d Y (f(x n ), f(x )) < ε. B) A). Supponimo per ssurdo che f non si continu in x X. Allor esiste ε > tle che per ogni n N esistono dei punti x n X tli che d X (x m, x ) < 1/n m d Y (f(x n ), f(x )) ε. L successione (x n ) n N contrddice l ffermzione B). Per le funzioni f : X R vlori reli si possono definire in modo nturle le operzioni di somm, moltipliczione e reciproco. Queste funzioni ereditno l continuità delle funzioni d cui sono composte. Teorem 3.3. Si (X, d X ) uno spzio metrico e si R munito dell distnz Euclide. Sino f, g : X R funzioni continue in un punto x X. Allor: i) L funzione somm f + g : X R è continu nel punto x ; ii) L funzione prodotto f g : X R è continu nel punto x ; iii) Se f su X, llor l funzione reciproc 1/f : X R è continu in x. L dimostrzione si bs sulle nloghe proprietà dei limiti di successioni reli ed è omess. Specilizzimo l discussione l cso di X = R n e Y = R m, n, m 1, entrmbi muniti dell rispettiv distnz Euclide. Più precismente, dto un insieme A R n considerimo lo spzio metrico (A, d) dove d è l distnz Euclide su A ereditt dllo spzio mbiente. Teorem 3.4. Si f : A R m un funzione, f = (f 1,..., f m ), e si x A R m un punto fissto. Sono equivlenti: A) f è continu in x ; B) le funzioni coordinte f 1,..., f m : A R sono continue in x. Dim. L impliczione A) B) segue dll disuguglinz f i (x) f i (x ) f(x) f(x ) che vle per ogni i = 1,..., m e per ogni x A. L impliczione B) A) si verific nel seguente modo. i = 1,..., m esiste δ i > tle che x x < δ i f i (x) f i (x ) < ε. Con l scelt δ = min{δ 1,..., δ m } vle llor l impliczione x x < δ f(x) f(x ) < mε. Fissto ε >, per ogni

Questo termin l dimostrzione. 3. FUNZIONI CONTINUE FRA SPAZI METRICI E IN R n 31 Esercizio 16. Determinre tutti i prmetri reli α, β tli che l funzione f : R 2 R sotto definit si continu nel punto (, ) R 2 rispetto ll distnz Euclide: x α y β (x, y) (, ), f(x, y) = x 2 + y 2 (x, y) = (, ). Per individure un possibile rispost l quesito studimo l funzione f ristrett d un rett nel pino dell form y = mx per qulche m R. Precismente, considerimo l funzione ϕ : R R così definit per x ϕ(x) = f(x, mx) = x α+β m β x 2 + m 2 x = m β 2 x α+β 2 1 + m. 2 Al limite per x si ottiene: lim ϕ(x) = x se α + β > 2, m β 1+m 2 se α + β = 2, + se α + β < 2. D questo ftto deducimo che per α + β 2 l funzione f non è continu in (, ). Proveremo che per α +β > 2 l funzione è continu in (, ) usndo l definizione. Prtimo dll seguente disuguglinz: x α y β x 2 + y 2 (x2 + y 2 ) α/2+β/2 1 = (x, y) α+β 2. Fissimo ε > e cerchimo δ > tle che d R 2((x, y), (, )) = (x, y) < δ d R (f(x, y), f(, )) = x α y β x 2 + y 2 < ε. Per l disuguglinz precedente, un possibile scelt di δ > che grntisce tle impliczione è l seguente: 1 δ = ε α+β 2 dove l rdice è ben definit per α + β > 2. Il precedente esercizio può essere risolto in modo efficiente nche utilizzndo le coordinte polri nel pino. Esercizio 17. Stbilire se l funzione f : R 2 R sotto definit è continu nel punto (, ) R 2 rispetto ll distnz Euclide: x 2 y (x, y) (, ), f(x, y) = x 4 + y 2 (x, y) = (, ). L esme di f lungo il fscio di rette y = mx, m R, produce le seguenti informzioni. Chirmente bbimo x 3 m ϕ(x) = f(x, mx) = x 4 + m 2 x = xm 2 x 2 + m, 2

32 4. SPAZI METRICI E NORMATI e dunque, fcendo il limite per x con m R fissto, si trov: lim ϕ(x) =. x L restrizione di f d un qulsisi rett del fscio è continu nel punto x =. Questo non permette tuttvi di concludere che f è continu in (, ). In effetti, f non è continu in (, ). Considerimo inftti l restrizione di f d un prbol dell form y = mx 2 : ψ(x) = f(x, mx 2 x 4 m ) = x 4 + m 2 x = m 4 1 + m. 2 Se m, l funzione ψ è un costnte non null. Dunque per ogni m R è possibile scegliere successioni di punti (x n, y n ) n N nel pino tli che (x n, y n ) (, ) per n e lim f(x n, y n ) = m n 1 + m. 2 Dunque, f non è continu in (, ). Osservzione 3.5. L Esercizio 17 mostr che esistono funzioni f : R 2 R con le seguenti proprietà: 1) L funzione x f(x, y) è continu in x R, per ogni y R fissto; 2) L funzione y f(x, y) è continu in y R per ogni x R fissto; 3) L funzione (x, y) f(x, y) non è continu, d esempio nel punto (, ). 4. Spzi metrici completi Definizione 4.1 (Successione di Cuchy). Un successione (x n ) n N in uno spzio metrico (X, d) si dice di Cuchy se per ogni ε > esiste n N tle che per d(x n, x m ) < ε per ogni m, n n. Tutte le successioni convergenti sono di Cuchy, inftti se x n x llor per ogni ε > si h d(x n, x m ) d(x n, x) + d(x, x m ) ε per di scegliere m, n n con n N sufficientemente grnde. Gli spzi metrici in cui tutte le successioni di Cuchy sono convergenti hnno propretà specili. Definizione 4.2 (Spzio metrico completo). Uno spzio metrico (X, d) si dice completo se ogni successione di Cuchy in (X, d) è convergente d un elemento di X. Definizione 4.3 (Spzio di Bnch). Uno spzio di Bnch (rele) è uno spzio normto (rele) (V, ) che è completo rispetto ll metric indott dll norm. 4.1. Esempi di spzi di Bnch. Teorem 4.4. I numeri reli R con l distnz Euclide formno uno spzio metrico completo. Dim. Si (x n ) n N un successione di Cuchy in R. Provimo preliminrmente che l successione è limitt. Inftti, scelto ε = 1 esiste n N tle che x n x m < 1 per m, n n, e in prticolre per n n si h x n x n + x n x n 1 + x n,

e dunque, per n N si h l mggiorzione 4. SPAZI METRICI COMPLETI 33 x n mx{ x 1,..., x n 1, 1 + x n }. Per il Teorem di Bolzno-Weierstrss, dll successione limitt (x n ) n N si può estrrre un sottosuccessione convergente (x nj ) j N. Ovvero esiste x R tle che x nj x per j. Provimo che x n x per n. Fissto ε > si n N dt dll condizione di Cuchy e sceglimo j N tle che n j n e x x nj < ε. Allor per n n risult Questo termin l dimostrzione. x n x x n x nj + x nj x 2ε. Esempio 4.5. I numeri rzionli Q R con l distnz Euclide d(x, y) = x y, x, y Q, non sono uno spzio metrico completo. Inftti l successione ( x n = 1 + n) 1 n Q, n N, è di Cuchy, in qunto converge (in R) l numero e R \ Q, m il limite non è in Q. Esempio 4.6. Lo spzio k-dimensionle R k, k N, con l norm Euclide è uno spzio di Bnch. Inftti, se (x n ) n N è un successione di Cuchy in R k, llor indicndo con x i n l coordint i-esim di x n, i = 1,..., k, l successione (x i n) n N vlori reli è di Cuchy in R e dunque converge x i n x i R. Posto x = (x 1,..., x k ) R k, d questo segue che x n x in R k : ( k ) 1/2 lim x n x = lim (x i n x i ) 2 =. n n i=1 Esempio 4.7. Lo spzio X = C([, 1]) con l distnz dt dll norm integrle d(f, g) = 1 f(x) g(x) dx non è completo. Per n N si f n C([, 1]) l funzione così definit x [, 1/2] f n (x) = n(x 1/2) x [1/2, 1/2 + 1/n] 1 x [1/2 + 1/n, 1]. L successione (f n ) n N è di Cuchy. Inftti, dti m, n N con m n risult d(f m, f n ) = 1 f n f m dx 1/2+1/n L cndidt funzione limite è l funzione { x [, 1/2] f(x) = 1 x (1/2, 1]. 1/2 ( f n + f m )dx 2 n. In effetti, l funzione f è Riemnn-integrbile su [, 1] e risult 1 lim n f n (x) f(x) dx =,

34 4. SPAZI METRICI E NORMATI m f non è in C([, 1]) perchè h un punto di discontinuità. Dunque l successione (f n ) n N non converge d un elemento di X = C([, 1]). Teorem 4.8. Lo spzio X = C([, 1]; R k ), k 1, con l norm dell convergenz uniforme: f = sup f(x) x [,1] è uno spzio di Bnch. Dim. Si (f n ) n N un successione di Cuchy in X. Per ogni x [, 1] fissto, l successione (f n (x)) n N è un successione di Cuchy in R k e quindi è convergente. Esiste un punto che chimimo f(x) R k tle che f n (x) f(x) per n. Risult definit un funzione f : [, 1] R k. Provimo che: lim f n f =. n Per ogni ε > fissto, esiste n N tle che per ogni x [, 1] vle f n (x) f m (x) < ε per m, n n. Fcendo tendere m e usndo l convergenz f m (x) f(x) per m si ottiene per ogni x [, 1] f n (x) f(x) < ε per m, n n. Questo prov l ffermzione. Rimne d provre che f X, ovvero che f : [, 1] R k è continu. Verifichimo l continuità in un generico punto x [, 1]. Fissto ε > sceglimo un n n nostro picere. Siccome l funzione f n è continu in x, esiste δ > tle che per ogni x [, 1] si h x x < δ f n (x) f n (x ) < ε. Dunque, per x x < δ si ottiene f(x) f(x ) f(x) f n (x) + f n (x) f n (x ) + f n (x ) f(x ) 3ε. Questo prov l continuità di f. 5. Convergenz puntule e convergenz uniforme Si A R k un un insieme e sino f, f n : A R, n N, funzioni. Definizione 5.1 (Convergenz puntule). Dicimo che l successione (f n ) n N converge puntulmente d f su A se per ogni x A risult lim f n(x) f(x) =. n Definizione 5.2 (Convergenz uniforme). Dicimo che l successione (f n ) n N converge uniformemente d f su A se per ogni x A risult lim sup f n (x) f(x) =. n x A L convergenz uniforme implic quell puntule m non vicevers.

6. TEOREMA DELLE CONTRAZIONI DI BANACH 35 Esempio 5.3. Si f n : [, 1] R, n N, l funzione f n (x) = x n. Per x [, 1] si h il limite puntule { se x < 1, lim f n(x) = f(x) = n 1 se x = 1. D ltr prte l convergenz, l convergenz non è uniformementein qunto per ogni n N si h sup x [,1] f n (x) f(x) = sup x [,1] f n (x) = 1. Ripetendo prol per prol l prte finle dell dimostrzione del Teorem 4.8 si prov il seguente ftto: Teorem 5.4. Sino A R k, k 1, f n C(A; R) funzioni continue ed f : A R. Se f n f per n uniformemente su A llor f C(A; R) e per ogni x A vle il teorem sullo scmbio dei limiti: lim lim f n (x) = lim n x x x x lim f n (x). n 6. Teorem delle contrzioni di Bnch Si X un insieme e si T : X X un funzione d X in se stesso. Simo interessti ll esistenz di soluzioni x X dell equzione T (x) = x. Un simile elemento x X si dice punto fisso di T. Definizione 6.1 (Contrzione). Si (X, d) uno spzio metrico. Un ppliczione (funzione) T : X X è un contrzione se esiste un numero < λ < 1 tle che d(t (x), T (y)) λd(x, y) per ogni x, y X. Teorem 6.2 (Bnch). Si (X, d) uno spzio metrico completo e si T : X X un contrzione. Allor esiste un unico punto x X tle che x = T (x). Dim. Si x X un qulsisi punto e si definisc l successione x n = T n (x ) = T... T (x ), n-volte. Provimo che l successione (x n ) n N è di Cuchy. Inftti, per l disuguglinz tringolre si h per ogni n, k N k k d(x n+k, x n ) d(x n+h, x n+h 1 ) = d(t n+h (x ), T n+h 1 (x )) h=1 d(t (x ), x ) h=1 h=1 k λ n+h 1 λ n d(t (x ), x ) λ h 1. L serie converge e λ n per n, dl momento che λ < 1. Poichè X è completo, esiste un punto x X tle che x = lim n T n (x ). Provimo che x = T (x). L funzione T : X X è continu e quindi bbimo x = lim T n (x ) = lim T (T n 1 (x )) = T ( lim T n 1 (x )) = T (x). n n n Provimo infine che il punto fisso è unico. Si x X tle che x = T ( x). Allor bbimo d(x, x) = d(t (x), T ( x)) λd(x, x) d(x, x) =, perchè λ < 1, e quindi x = x. h=1

36 4. SPAZI METRICI E NORMATI 7. Topologi di uno spzio metrico Definizione 7.1 (Insiemi perti e chiusi). Si (X, d) uno spzio metrico i) Un insieme A X si dice perto se per ogni x A esiste ε > tle che B ε (x) A. ii) Un insieme C X si dice chiuso se X \ C è perto. Esempio 7.2. 1) Gli insiemi, X sono contempornemente perti e chiusi. 2) In X = R con l distnz d(x, y) = x y vlgono i seguenti ftti: i) Gli intervlli (, b) con, b sono perti. ii) Gli intervlli [, b] con < < b < sono chiusi. iii) Gli intervlli [, ) e (, b] con <, b < sono chiusi. iv) Gli intervlli (, b] e [, b) con <, b < non sono nè perti nè chiusi. 3) In X = R 2 con l distnz Euclide: i) Il cerchio {x R 2 : x < 1} è perto. ii) Il cerchio {x R 2 : x 1} è chiuso. 4) In uno spzio metrico generico (X, d) le plle B r (x), x X e r >, sono perte. Si inftti y B r (x) ovvero s := d(x, y) < r. Sceglimo ε > tle che s + ε < r. Se z B ε (y) llor dll disuguglinz tringolre segue che e quindi B ε (y) B r (x). d(z, x) d(z, y) + d(y, x) < ε + s < r Definizione 7.3 (Interno e chiusur). Si A X un insieme. i) Un punto x X si dice punto interno di A se esiste ε > tle che B ε (x) A. ii) L interno di A è l insieme A = { x X : x è un punto interno di A }. iii) Un punto x X si dice punto di chiusur di A se per ogni ε > risult B ε (x) A. iv) L chiusur di A è l insieme A = { x A : x è un punto di chiusur di A }. v) L frontier di A è l insieme A = { x X : B r (x) A e B r (x) (X \ A) per ogni r > }. In ltri termini, A = A (X \ A). Esempio 7.4. In R 2 con l distnz Euclide considerimo il cerchio perto A = { x R 2 : x < 1 }. Allor: i) A = A, inftti A è perto. ii) L chiusur di A è il cerchio chiuso A = { x R 2 : x 1 }. iii) L frontier di A è l circonferenz-bordo A = { x R 2 : x = 1 }. Proposizione 7.5. Sino A X un insieme e x X. Sono equivlenti:

7. TOPOLOGIA DI UNO SPAZIO METRICO 37 A) x A; B) Esiste un successione (x n ) n N con x n A per ogni n N tle che x n x per n. Dim. A) B) Se x A llor per ogni r > risult B r (x) A. I prticolre, per ogni n N esiste x n A B 1/n (x). L successione (x n ) n N è contenut in A e converge d x in qunto d(x n, x) < 1/n. B) A) Provimo che l negzione di A) implic l negzione di B). Se x / A llor esiste ε > tle che B ε (x) A = e quindi non può esiste un successione contenut in A convergente x. Teorem 7.6. Si (X, d) uno spzio metrico e si A X. Allor: i) A è perto se e solo se A = A ; ii) A è chiuso se e solo se A = A. Dim. L prov di i) è lscit come esercizio. Provimo ii). Se A è chiuso llor X \ A è perto. È sufficiente provre che A A, perchè l inclusione A A è sempre verifict. Si x A. Se per ssurdo fosse x X \ A llor esisterebbe ε > tle che B ε (x) A = e non ci srebbe un successione (x n ) n N contenut in A tle che x n x per n. Dunque deve essere x A. Supponimo or che si A = A e provimo che A è chiuso, ovvero che il complementre X \ A = X \ A è perto. Si x X \ A un punto che non è di chiusur per A. Allor esiste ε > tle che B ε (x) A =. Se così non fosse ci srebbe un successione in A che converge d x. M llor B ε (x) X \ A, che dunque è perto. Esempio 7.7. Si A = { x R n : x < 1 } l pll di rggio unitrio in R n centrt nell origine. Siccome A è perto risult A = A. L chiusur di A è l pll chius A = { x R n : x 1 }. Inftti, i punti sull circonferenz x = 1 possono essere pprossimti con successioni di punti contenuti in A. I punti nell esterno, ovvero i punti x R n tli che x > 1, non possono invece essere pprossimti con successioni contenute in A e dunque non pprtengono ll chiusur di A. Definizione 7.8. Si (X, d) uno spzio metrico. L fmigli di insiemi τ(x) = { A X : A è perto in X } si dice topologi di X. Teorem 7.9. L topologi di uno spzio metrico X verific le seguenti proprietà: (A1), X τ(x); (A2) Se A 1, A 2 τ(x) llor A 1 A 2 τ(x); (A3) Per ogni fmigli di indici A risult A α τ(x) per ogni α A α A A α τ(x).

38 4. SPAZI METRICI E NORMATI L verific di questo teorem è elementre ed è omess. In prticolre, l proprietà (A2) si estende d intersezioni finite di perti. Per ogni n N vle: n A 1,..., A n τ(x) A k τ(x). L proprietà (A2), tuttvi, non si estende d intersezioni numerbili di perti. Inftti, l insieme { x R n : x 1 } { = x R n : x < 1 + 1 } n n=1 k=1 non è perto per essendo intersezione numerbile di perti. Osservzione 7.1. In modo dule, l fmigli dei chiusi di uno spzio metrico verific le seguenti proprietà: (C1), X sono chiusi; (C2) Se C 1, C 2 sono chiusi llor C 1 C 2 è chiuso; (C3) Per ogni fmigli di indici A risult A α è chiuso per ogni α A α A A α è chiuso. In generle, l unione numerbile di chiusi non è chiuso. Teorem 7.11 (Crtterizzzione topologic dell continuità). Sino (X, d X ) e (Y, d Y ) due spzi metrici e si f : X Y un funzione. Sono equivlenti le seguenti ffermzioni: 1) f è continu; 2) f 1 (A) X è perto in X per ogni perto A Y ; 3) f 1 (C) X è chiuso in X per ogni chiuso C Y. Dim. Provimo l impliczione 1) 2). Verifichimo che ogni punto x f 1 (A) è un punto interno di f 1 (A). Siccome A è perto e f(x ) A, esiste ε > tle che B Y (f(x ), ε) A. Per l continuità di f esiste δ > tle che d X (x, x ) < δ implic d Y (f(x), f(x )) < ε. In ltre prole, si h f(b X (x, δ)) B Y (f(x ), ε). M llor si conclude che B X (x, δ) f 1 (f(b X (x, δ)) f 1 (B Y (f(x ), ε)) f 1 (A). Notre che l inclusione sinistr in generle non è un uguglinz. Provimo l impliczione 2) 1). Controllimo che f è continu in un generico punto x X. Fissto ε >, l insieme B Y (f(x ), ε)) è perto e quindi l ntimmgine f 1 (B Y (f(x ), ε)) è pert. Siccome x f 1 (B Y (f(x ), ε)), esiste δ > tle che d cui, pssndo lle immgini, segue che B X (x, δ) f 1 (B Y (f(x ), ε)), f(b X (x, δ)) f(f 1 (B Y (f(x ), ε))) B Y (f(x ), ε). Notre che l ultim inclusione in generle non è un uguglinz. L cten di inclusioni provt mostr che se d X (x, x ) < δ llor d Y (f(x), f(x )) < ε, che è l continuità di f in x.