Analisi Matematica - a.a. 27/28 - Secondo appello Soluzione del test Test A 2 3 4 5 6 7 8 9 D D A B C B A E D D Test B 2 3 4 5 6 7 8 9 B A C C B E D E A A Test C 2 3 4 5 6 7 8 9 A C B E E D C B B C Test D 2 3 4 5 6 7 8 9 C E D D A A E A C C Soluzione della parte di esercizi del Tema Esercizio Sia data la funzione f definita da f(x) = x + e. [Dominio, simmetrie, segno, continuità, eventuali asintoti, derivabilità e studio di eventuali punti di non derivabilità, monotonia, eventuali punti di estremo relativo e assoluto, studio della derivata seconda, intervalli di convessità e concavità, eventuali punti di flesso, abbozzo del grafico] Dominio. Deve essere x + 2, e quindi x 2. dom f = R \ { 2}. Simmetrie. Poiché il dominio di f non è simmetrico rispetto a x =, f non ha simmetrie. Segno. Banalmente, f(x) per ogni x dom f. Inoltre, f(x) = se e solo se x =, che quindi è punto di minimo assoluto. Continuità. dominio. Essendo prodotto e composizione di funzioni continue, f è continua nel suo Asintoti. Si ha lim f(x) = +, lim x 2 + x 2 f(x) =, e quindi la retta di equazione x = 2 è asintoto verticale per f. Vediamo i limiti all infinito. Essendo e per x ±, si ha lim f(x) = +. x ±
Ricerchiamo asintoti obliqui. Si ha perché f(x) lim x x = lim x [ ] lim f(x) + x = lim x x [ x + ] =, x e [ ] x (x + )e = lim x [ ( e )x e ] = 2, [ lim ( e )x = lim ] + o(/(x + 2)) x =. x x x + 2 la retta di equazione y = x 2 è asintoto obliquo a per f. Inoltre, perché lim x + f(x) lim x + x = lim x [ f(x) x ] = lim x x + x e =, [ ] (x + )e x = lim x + [ (e )x + e ] = 2, [ ] lim (e )x = lim + o(/(x + 2)) x =. x + x + x + 2 la retta di equazione y = x + 2 è asintoto obliquo a + per f. Derivabilità. Poiché la funzione valore assoluto non è derivabile nell origine, a priori non possiamo derivare f in x =. Per x si ottiene f (x) = sgn(x + )e e x + ( = sgn(x + )e x + (x + 2) 2 = sgn(x + )e (x + 2) 2 ) = sgn(x + )e x2 + 3x + 3 (x + 2) 2. lim f (x) = lim e x2 + 3x + 3 x + x + (x + 2) 2 = e = f +( ), (x + ) sgn(x + ) e lim f (x) = lim e x2 + 3x + 3 x x (x + 2) 2 = e = f ( ), e quindi x = è punto angoloso. Intervalli di monotonia. (x + 2) 2 Essendo x 2 + 3x + 3 > per ogni x R, si ha che f (x) > se e solo se sgn(x + ) >, cioè se e solo se x >. f è crescente in [, + [; f è decrescente in ], 2[ e in ]-2,-]; f ha un punto di minimo assoluto in x =, come già osservato, mentre non ha punti di massimo. 2
Derivata seconda e intervalli di convessità/concavità. f è derivabile due volte per x, x dom f. In tali punti si ha f (x) = sgn(x + )e = sgn(x + )e x + 3 (x + 2) 4 [ (2x + 3)(x + 2) 2 2(x + 2)(x 2 + 3x + 3) (x + 2) 4 x2 + 3x + 3 (x + 2) 4 f (x) > se e solo se (x + )(x + 3) <, cioè se e solo se 3 < x <. Inoltre, f (x) = se e solo se x = 3. Se ne deduce che f è convessa in [ 3 2[ e in ] 2 ]; f è concava in ], 3] e in [, + [; f ha un punti di flesso in x = 3 e in x =. Un abbozzo del grafico è riportato in figura. ] " # $ % & ' "!#!$!%!&!' ( ' & % $ Figura : Il grafico della funzione dell esercizio del tema Esercizio 2. Stabilire se ognuno dei seguenti integrali impropri è convergente o divergente cos x 2 x 3/2 ln( + x 4 ) dx, + cos x 2 x 3/2 ln( + x 4 ) dx. 2. Trovare tutti e soli gli α > per i quali converge l integrale improprio cos x α x 3/2 ln( + x 3α 2 ) dx. 3
Osserviamo che le funzioni integrande sono positive e quindi possiamo utilizzare i criteri del confronto e del confronto asintotico.. Studiamo il primo integrale. Per x si ha da cui si deduce che cos x 2 2 x4, ln( + x 4 ) x 4, cos x 2 x 3/2 ln( + x 4 ) 2 e quindi l integrale è divergente. Per quanto riguarda il secondo integrale, osserviamo che x 4 x 3/2 x 4 = 2x 3/2 per x, cos x2 x 3/2 ln( + x 4 ) 2 x 3/2 ln( + x 4 ), e che per x + si ha ln( + x 4 ) ln x. 2 x 3/2 ln( + x 4 ) 2 x 3/2 ln x per x +, e quindi l integrale dato è convergente grazie al criterio del confronto. 2. Si osservi che, essendo α >, per x si ha mentre In particolare, per x + si ha cos x α x 3/2 ln( + x 3α 2 ) lim x + ln( + x3α 2 ) = cos x α 2 x2α, se α > 2/3, ln 2 se α = 2/3, + se α < 2/3. ln( + x 3α 2 ) x 3α 2 se α > 2/3, ln( + x 3α 2 ) = ln 2 se α = 2/3, ln( + x 3α 2 ) (2 3α) ln x se α < 2/3. x 2α 2x 3/2 x 3α 2 = 2x α /2 se α > 2/3, cos x α x 3/2 ln( + x 3α 2 ) x4/3 2 ln 2x 3/2 = 2 ln 2 x /6 se α = 2/3, cos x α x 3/2 ln( + x 3α 2 ) Si deduce che x 2α 2(2 3α)x 3/2 ln x = 2(2 3α)x 3/2 2α ln x se < α < 2/3. se α > 2/3, l integrale converge se e solo se α /2 <, e quindi per 2/3 < α < 3/2; se α = 2/3, l integrale converge; se < α < 2/3, l integrale converge se e solo se 3/2 2α <, e quindi per /4 < α < 2/3. l integrale dato converge se e solo se /4 < α < 3/2. 4
Esercizio 3 Risolvere il problema di Cauchy { y = x 2 (4y + ) y() =. Procediamo per separazione di variabili. Deve essere y 4y + = x2. Integrando si ottiene 4 ln 4y(x) + = 3 x3 + c. Sfruttando la condizione iniziale y() = si ricava c = 4 ln 4y() + = 4 ln 5, da cui ln 4y(x) + = 4 3 x3 + ln 5. Poiché 4y() + = 5 >, la soluzione del problema di Cauchy soddisfa ln(4y(x) + ) = 4 3 x3 + ln 5. Risolvendo l equazione si ottiene y(x) = 4( 5e 4x 3 /3 ). Soluzione della parte di esercizi del Tema 2 Esercizio Sia data la funzione f definita da f(x) = x 3 e x 2. [Dominio, simmetrie, segno, continuità, eventuali asintoti, derivabilità e studio di eventuali punti di non derivabilità, monotonia, eventuali punti di estremo relativo e assoluto, studio della derivata seconda, intervalli di convessità e concavità, eventuali punti di flesso, abbozzo del grafico] Dominio. dom f = R \ {2}. Asintoti. x = 2 è asintoto verticale y = x 2 è asintoto obliquo a + y = x + 2 è asintoto obliquo a 5
Derivabilità. Per x 3 si ottiene e quindi x = 3 è punto angoloso. Intervalli di monotonia. f (x) = sgn(x 3)e x 2 x2 5x + 7 (x 2) 2. lim f (x) = lim e x2 5x + 7 x 2 x 3 + x 3 + (x 2) 2 = e = f +(3), lim f (x) = lim e x2 5x + 7 x 2 x 3 x 3 (x 2) 2 = e = f (3), Essendo x 2 5x + 7 > per ogni x R, si ha che f (x) > se e solo se sgn(x 3) >, cioè se e solo se x > 3. f è crescente in [3, + [; f è decrescente in ], 2[ e in ]2,3]; f ha un punto di minimo assoluto in x = 3, come già osservato, mentre non ha punti di massimo. Derivata seconda e intervalli di convessità/concavità. f è convessa in [, 2[ e in ]2, 3]; f è concava in ], ] e in [3, + [; f (x) = sgn(x 3)e x x 2 (x 2) 4 f ha un punti di flesso in x = e in x = 3. Un abbozzo del grafico è riportato in figura 2. Esercizio 2. Stabilire se ognuno dei seguenti integrali impropri è convergente o divergente sen x 3/2 x 4/3 ln( + x 2/3 ) dx, + sen x 3/2 x 4/3 ln( + x 2/3 ) dx. 2. Trovare tutti e soli gli α > per i quali converge l integrale improprio x 4/3 ln( + x 2α 2 ) dx.. Studiamo il primo integrale. La funzione integranda è positiva. Per x si ha da cui si deduce che sen x 3/2 x 3/2, ln( + x 2/3 ) x 2/3, sen x 3/2 x 4/3 ln( + x 2/3 ) x3/2 x 4/3 x 2/3 = x /2 per x, 6
( ' & " # $ "!#!$ % $ # " & ' ( ) Figura 2: Il grafico della funzione dell esercizio del tema 2 e quindi l integrale è convergente. Per quanto riguarda il secondo integrale, osserviamo che sen x 3/2 x 4/3 ln( + x 2/3 ) x 4/3 ln( + x 2/3 ), e che per x + si ha ln( + x 2/3 ) ln x. x 4/3 ln( + x 2/3 ) x 4/3 ln x per x +, e quindi l integrale dato è convergente grazie al criterio del confronto. 2. Si osservi che, essendo α >, per x si ha x α, mentre lim x + ln( + x2α 2 ) = se α >, ln 2 se α =, + se α <. In particolare, per x + si ha ln( + x 2α 2 ) x 2α 2 se α >, ln( + x 2α 2 ) = ln 2 se α =, ln( + x 2α 2 ) (2 2α) ln x se α <. 7
x 4/3 ln( + x 2α 2 ) x 4/3 ln( + x 2α 2 ) x 4/3 ln( + x 2α 2 ) Si deduce che x α x 4/3 x 2α 2 = x α 2/3 se α >, x 2 ln 2x 4/3 = ln 2 x /3 se α =, x α (2 2α)x 4/3 ln x = (2 2α)x 4/3 α ln x se < α < 2/3. se α >, l integrale converge se e solo se α 2/3 <, e quindi per < α < 5/3; se α =, l integrale converge; se < α <, l integrale converge se e solo se 4/3 α <, e quindi per /3 < α <. l integrale dato converge se e solo se /3 < α < 5/3. Esercizio 3 Risolvere il problema di Cauchy { y = x(2y + ) y() =. Procediamo per separazione di variabili. Deve essere y 2y + = x. Integrando si ottiene 2 ln 2y(x) + = 2 x2 + c. Sfruttando la condizione iniziale y() = si ricava da cui c = 2 ln 2y() + = 2 ln 3, ln 2y(x) + = x 2 + ln 3. Poiché 2y() + = 3 >, la soluzione del problema di Cauchy soddisfa ln(2y(x) + ) = x 2 + ln 3. Risolvendo l equazione si ottiene y(x) = 2( 3e x 2 ). 8
Soluzione della parte di esercizi del Tema 3 Esercizio Sia data la funzione f definita da f(x) = x 4 e x 3. [Dominio, simmetrie, segno, continuità, eventuali asintoti, derivabilità e studio di eventuali punti di non derivabilità, monotonia, eventuali punti di estremo relativo e assoluto, studio della derivata seconda, intervalli di convessità e concavità, eventuali punti di flesso, abbozzo del grafico] Dominio. dom f = R \ {3}. Asintoti. x = 3 è asintoto verticale y = x 3 è asintoto obliquo a + y = x + 3 è asintoto obliquo a Derivabilità. Per x 4 si ottiene e quindi x = 3 è punto angoloso. Intervalli di monotonia. f (x) = sgn(x 4)e x 3 x2 7x + 3 (x 3) 2. lim f (x) = lim e x2 7x + 3 x 3 x 4 + x 4 + (x 3) 2 = e = f + (4), lim f (x) = lim e x2 7x + 3 x 3 x 4 x 4 (x 3) 2 = e = f (4), Essendo x 2 7x + 3 > per ogni x R, si ha che f (x) > se e solo se sgn(x 4) >, cioè se e solo se x > 4. f è crescente in [4, + [; f è decrescente in ], 3[ e in ]3,4]; f ha un punto di minimo assoluto in x = 4, come già osservato, mentre non ha punti di massimo. Derivata seconda e intervalli di convessità/concavità. f è convessa in [2, 3[ e in ]3, 4]; f è concava in ], 2] e in [4, + [; f (x) = sgn(x 4)e x 2 x 3 (x 3) 4 f ha un punti di flesso in x = 2 e in x = 4. Un abbozzo del grafico è riportato in figura 3. 9
( ' & % " # "!# $ # " % & ' ( ) * Figura 3: Il grafico della funzione dell esercizio del tema 3 Esercizio 2. Stabilire se ognuno dei seguenti integrali impropri è convergente o divergente sen x 2 x 5/3 ln( + x 4/3 ) dx, + sen x 2 x 5/3 ln( + x 4/3 ) dx. 2. Trovare tutti e soli gli α > per i quali converge l integrale improprio x 5/3 ln( + x 3α 3 ) dx.. Studiamo il primo integrale. La funzione integranda è positiva. Per x si ha da cui si deduce che e quindi l integrale è divergente. sen x 2 x 2, ln( + x 4/3 ) x 4/3, sen x 2 x 5/3 ln( + x 4/3 ) x 2 x 5/3 x 4/3 = x per x, Per quanto riguarda il secondo integrale, osserviamo che sen x 2 x 5/3 ln( + x 4/3 ) x 5/3 ln( + x 4/3 ), e che per x + si ha ln( + x 4/3 ) ln x. x 5/3 ln( + x 4/3 ) x 5/3 ln x per x +, e quindi l integrale dato è convergente grazie al criterio del confronto.
2. Si osservi che, essendo α >, per x si ha mentre In particolare, per x + si ha x 5/3 ln( + x 3α 3 ) x 5/3 ln( + x 3α 3 ) x 5/3 ln( + x 3α 3 ) Si deduce che lim ln( + x x3α 3 ) = + x α, se α >, ln 2 se α =, + se α <. ln( + x 3α 3 ) x 3α 3 se α >, ln( + x 3α 3 ) = ln 2 se α =, ln( + x 3α 3 ) (3 3α) ln x se α <. x α x 5/3 x 3α 3 = x 2α 4/3 se α >, x 2 ln 2x 5/3 = ln 2 x 2/3 se α =, x α (3 3α)x 5/3 ln x = (3 3α)x 5/3 α ln x se < α <. se α >, l integrale converge se e solo se 2α 4/3 <, e quindi per < α < 7/6; se α =, l integrale converge; se < α <, l integrale converge se e solo se 5/3 α <, e quindi per 2/3 < α <. l integrale dato converge se e solo se 2/3 < α < 7/6. Esercizio 3 Risolvere il problema di Cauchy { y = x(3y + 2) y() =. Procediamo per separazione di variabili. Deve essere y 3y + 2 = x. Integrando si ottiene 3 ln 3y(x) + 2 = 2 x2 + c. Sfruttando la condizione iniziale y() = si ricava c = 3 ln 3y() + 2 = 3 ln 5,
da cui ln 3y(x) + 2 = 3 2 x2 + ln 5. Poiché 3y() + 2 = 5 >, la soluzione del problema di Cauchy soddisfa ln(3y(x) + 2) = 3 2 x2 + ln 5. Risolvendo l equazione si ottiene y(x) = 3( 5e 3x 2 /2 2 ). Soluzione della parte di esercizi del Tema 4 Esercizio Sia data la funzione f definita da f(x) = x 2 e x. [Dominio, simmetrie, segno, continuità, eventuali asintoti, derivabilità e studio di eventuali punti di non derivabilità, monotonia, eventuali punti di estremo relativo e assoluto, studio della derivata seconda, intervalli di convessità e concavità, eventuali punti di flesso, abbozzo del grafico] Dominio. dom f = R \ {}. Asintoti. x = è asintoto verticale y = x è asintoto obliquo a + y = x + è asintoto obliquo a Derivabilità. Per x 2 si ottiene e quindi x = 3 è punto angoloso. Intervalli di monotonia. f (x) = sgn(x 2)e x x2 3x + 3 (x ) 2. lim f (x) = lim e x2 3x + 3 x x 2 + x 2 + (x ) 2 = e = f +(2), lim f (x) = lim e x2 3x + 3 x x 2 x 2 (x ) 2 = e = f (2), Essendo x 2 3x + 3 > per ogni x R, si ha che f (x) > se e solo se sgn(x 2) >, cioè se e solo se x > 2. f è crescente in [2, + [; f è decrescente in ], [ e in ],2]; f ha un punto di minimo assoluto in x =, come già osservato, mentre non ha punti di massimo. 2
Derivata seconda e intervalli di convessità/concavità. f è convessa in [, [ e in ], 2]; f è concava in ], ] e in [2, + [; f (x) = sgn(x 2)e x x (x ) 4 f ha un punti di flesso in x = e in x = 2. Un abbozzo del grafico è riportato in figura 4. ( ' " # $ % "!#!$!% & % $ # " ' ( Figura 4: Il grafico della funzione dell esercizio del tema 4 Esercizio 2. Stabilire se ognuno dei seguenti integrali impropri è convergente o divergente cos x 2 x 7/4 ln( + x 5/2 ) dx, + cos x 2 x 7/4 ln( + x 5/2 ) dx. 2. Trovare tutti e soli gli α > per i quali converge l integrale improprio cos x α/2 x 7/4 ln( + x 2α 2 ) dx.. Studiamo il primo integrale. La funzione integranda è positiva. Per x si ha da cui si deduce che cos x 2 x 4, ln( + x 5/2 ) x 5/2, cos x 2 x 7/4 ln( + x 5/2 ) x 4 x 7/4 x 5/2 = x /4 per x, 3
e quindi l integrale è convergente. Per quanto riguarda il secondo integrale, osserviamo che cos x 2 x 7/4 ln( + x 5/2 ) 2 x 7/4 ln( + x 5/2 ), e che per x + si ha ln( + x 5/2 ) ln x. x 7/4 ln( + x 5/2 ) x 7/4 ln x per x +, e quindi l integrale dato è convergente grazie al criterio del confronto. 2. Si osservi che, essendo α >, per x si ha mentre In particolare, per x + si ha cos x α/2 x 7/4 ln( + x 2α 2 ) cos x α/2 x 7/4 ln( + x 2α 2 ) cos x α/2 x 7/4 ln( + x 2α 2 ) Si deduce che lim ln( + x x2α 2 ) = + cos x α/2 x α, se α >, ln 2 se α =, + se α <. ln( + x 2α 2 ) x 2α 2 se α >, ln( + x 2α 2 ) = ln 2 se α =, ln( + x 2α 2 ) (2 2α) ln x se α <. x α x 7/4 x 2α 2 = x α /4 se α >, x 2 ln 2 x 7/4 = ln 2 x 3/4 se α =, x α (2 2α)x 7/4 ln x = (2 2α)x 7/4 α ln x se < α <. se α >, l integrale converge se e solo se α /4 <, e quindi per < α < 5/4; se α =, l integrale converge; se < < α <, l integrale converge se e solo se 7/4 α <, e quindi per 3/4 < α <. l integrale dato converge se e solo se 3/4 < α < 5/4. Esercizio 3 Risolvere il problema di Cauchy { y = x 3 (5y + 2) y() =. 4
Procediamo per separazione di variabili. Deve essere y 5y + 2 = x3. Integrando si ottiene 5 ln 5y(x) + 2 = 4 x4 + c. Sfruttando la condizione iniziale y() = si ricava c = 5 ln 5y() + 2 = 5 ln 7, da cui ln 5y(x) + 2 = 5 4 x4 + ln 7. Poiché 5y() + 2 = 7 >, la soluzione del problema di Cauchy soddisfa ln(5y(x) + 2) = 5 4 x4 + ln 7. Risolvendo l equazione si ottiene y(x) = 5( 7e 5x 2 /4 2 ). 5