PROVA SCRITTA DI ELETTROTECNICA, 20 febbraio 208 CdS Ing. Meccanica canali (A-L) e (M-Z) Docenti: C. Petrarca F. Villone COMPITO B Esercizio: La rete di Fig. è a regime sinusoidale per t < 0. Determinare la tensione v(t) t. e(t) = { J Msinωt V t < 0 J 0 V t 0 J M = 00 A; J 0 = 00 A; ω = 400 rad s R = 0.5 Ω; R 2 = 0.2 Ω; R 3 = 3 Ω; R 4 = Ω; L = 0.5 mh; C = 25 mf Esercizio2: Nota la lettura del voltmetro, nella rete trifase di Fig.2 alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni ai morsetti -2-3,: ) calcolare l indicazione del wattmetro W e dell amperometro; 2) calcolare la potenza attiva e la potenza reattiva erogata dai generatori. P = 0 kw; cosφ (ant) = 0.8; V = 450 V; Z = 6 + j4 Ω; Z 2 = 4 j3 Ω; Z 3 = j2 Ω; Z p = j4 Ω NOME e COGNOME MATR. Si prega di non scrivere nella zona sottostante.
j(t) R R 3 v(t) C R 2 L R 4 Fig. Z Z 2 2 W V Z p Z 3 3 A cosφ (ant) P Fig. 2
Soluzione esercizio La rete è a regime sinusoidale per t < 0 Applichiamo il metodo simbolico. j(t) R R 3 v(t) C v C (t) R 2 i L (t) L R 4 Calcolo dei fasori e delle impedenze: J = 00; Z L = j0.2; Y L = j5 ; Z C = j0.; Y C = +j0 Calcolo delle impedenze equivalenti: Z S = (R 2 + Z C ) = 0.2 j0.; Z P = (Z S R 3 ) = 0.32 j0.037 Z P2 = (Z L R 4 ) = 0.038 + j0.92 Z eq = Z S2 = Z P + Z P2 = 0.70 + j0.54 R Z S2 R + Z S2 = 0.4 + j0.08 Calcolo della corrente in Z S2 : La corrente nell induttore L è R I ZS2 = J = 70.8 j6.3 Z S2 + R I L = I ZS2 R 4 Z L + R 4 = 64.9 j29.3
Calcolo della corrente nel condensatore C: I C = I Zs2 Calcolo della tensione sul condensatore C: R 3 Z S + R 3 = 44.6 j.8 V C = Z C I C = 0.8 j4.4 Antitrasformazione nel dominio del tempo: i L (t) = 7.2 sin(000t 0.42) A v C (t) = 4.4 sin(000t.6) V Calcolo condizioni iniziali: i L (0 ) = 29.3 A v C (0 ) = 4.4 V Studio del transitorio per t 0 La tensione sul condensatore può essere espressa come: v C (t) = v C0 (t) + v Cp (t) Calcolo dell integrale particolare. Esso rappresenta la soluzione di regime. v Cp (t) = J 0 R R 3 R + R 3 = 20 V
Scrittura delle equazioni di stato. Usiamo il circuito resistivo associato j(t) R R 3 v(t) v C (t) R 2 i L (t) R 4 In cui v L (t) = L di L(t) = H { dt i L + H 2 v C + v 0 (t) dv C (t) i C (t) = C = H dt 2 i L + H 22 v C + i cc (t) H = [(R 2 R 3 ) + R ] R 4 = H 22 = ( R 2R 3 + R R 2 + R ) R 4 3 = 0.384 R 2 R 3 + R R 2 + R + R 4 3 = = 2. [(R + R 4 ) R 3 ] + R 2 R 3 (R + R 4 ) + R R 3 + R + R 2 4 H 2 = + H 22R 3 R 4 R + R 4 + R 3 = +0.384; H 2 = H 2 H R 3 H 2 = = 0.384 R R 2 + R 2 R 3 + R R 3
v 0 = J 0 (R R 4 ) R 2 R 3 R 2 + R 3 + R + R 4 = 30.76 V R 3 R i cc = J 0 = 9.23 A R 2 R 3 + (R + R 4 )(R 2 + R 3 ) Combinando le equazioni si ottiene l equazione differenziale di ordine 2 omogenea: d 2 v C (t) dt 2 + [( H L ) + (H 22 C )] dv C(t) dt Da cui l equazione algebrica associata σ = 853.8 2 Le radici sono reali e distinte λ 2 + 853.8 λ + 7.69 0 4 = 0 + [ H H 22 H 2 H 2 ] = 0 LC = 426.9; ω r 2 = 7.69 0 4 ; = σ 2 ω r 2 = 0.53 0 5 > 0 λ = 02; λ 2 = 75 v C (t) = K e 02t + K 2 e 75t + 20 V Problema di Cauchy { dv C dt (0 + ) v C (0 + ) = v C (0 ) = 4.45 V = ( H 2 C ) i L(0 ) H 22 C v C(0 ) i cc(0 + ) = 695 C K { + K 2 = 24.4 02K 75K 2 = 695 v C (t) = 27.2e 02t + 2.8e 75t + 20 V Nota la v C (t), si ricava la i C (t) e da questa la v(t) v(t) = v c (t) + R 2 i c (t) = v c (t) + R 2 C dv c(t) dt
Soluzione esercizio 2 Z Z 2 2 W V Z p Z 3 3 A cosφ (ant) P Tensione stellata di alimentazione: E = V /sqrt(3) 260 V Spostamento del centro stella E Z V 0 0 = E = E E 2 = E exp ( j 2π 3 ) { E 3 = E exp (+j 2π 3 ) + E 2 + E 3 Z 2 Z 3 Z + Z 2 + Z 3 = +54.5 + j232.3 V
Corrente nel carico squilibrato: I Z = E V 0 0 Z I Z2 = E 2 V 0 0 Z 2 I Z3 = E 3 V 0 0 { Z 3 = 5.7 j34.9 = +9.3 j07.3 = 3.6 + j42.2 Corrente in ZP: I P = V 23 Z P Potenza assorbita dal carico equilibrato: Corrente nel carico equilibrato = E 2 E 3 Z P = 2.5 Q = Ptg(φ) = Qtg( 0.64) = 7500 VAR I E = P2 + Q 2 3E Fasori delle correnti nel carico equilibrato = 6.0 A Correnti di alimentazione I E = I E exp( jφ) = 2.8 + j9.6 I E2 = I E exp ( j2π ) =.9 j5.9 3 { I E3 = I E exp (+ j2π ) = 4.7 + j6.3 3 I = I Z + I E = 7. j25.2 A { I 2 = I Z2 + I E2 + I P = 0.2 j23.2 A I 3 = I Z3 + I E3 I P = 94.0 + j48.5 A
Indicazione del Wattmetro: W = real(v 23 I 2) = 55449 W Potenza assorbita dal carico squilibrato P Z = Z I Z 2 = 7506 + j5004 { P Z2 = Z 2 I Z2 2 = 46402 j34802 P Z2 = Z 3 I Z3 2 = j40470 Potenza assorbita dal carico Z P P ZP = Z P I ZP 2 = j50625 Potenza complessa erogata dai generatori: P g = P Z + P Z2 + P Z3 + P ZP + P = 63909 W { Q g = Q Z + Q Z2 + Q Z3 + Q Zp + Q = 53797 VAR