CALCOLO INTEGRALE ANTONIO IANNIZZOTTO

CALCOLO INTEGRALE ANTONIO IANNIZZOTTO Sommrio. Integrle di Riemnn: definizione, proprietà e significto geometrico, teorem dell medi. Primitive di un funzione. Tecniche di integrzione indefinit: per decomposizione, per prti, per sostituzione, per frzioni semplici. Teorem fondmentle del clcolo integrle. Clcolo dell re di un dominio pino. Integrli generlizzti: criteri di convergenz. Queste note sono un mero supporto didttico, senz lcun pretes di completezz, originlità o precisione. Indice. L integrle di Riemnn. Integrzione indefinit 9 3. Il teorem fondmentle 9 4. Integrli generlizzti 4 Riferimenti bibliogrfici 3 Versione del dicembre 5. L integrle di Riemnn Un viggio di mille migli cominci con un psso. Lo Tze Il clcolo integrle è un metodo di risoluzione per diversi problemi, l cui ide fondmentle è quell di sommre un certo numero di contributi przili, e poi pssre l limite qundo il numero di contributi tende e il singolo contributo tende. Quest ultim crtteristic differenzi il clcolo integrle d quello delle serie, visto in [4], in cui si sommno contributi sempre più piccoli (i termini dell serie), che però un volt sommti non vengono lterti. Qui esponimo l teori dell integrzione secondo Riemnn (che non è l unic), con prticolre ttenzione i suoi spetti geometrici: questi sono legti l clcolo dell re di figure pine con contorno curvilineo, quindi premettimo lcune nozioni di teori dell misur (secondo Peno- Jordn) l fine di rendere rigoros l ide di re. Costruimo per grdi l fmigli M dei sottoinsiemi di R misurbili e l loro misur, definit come un funzione : M [, + ]. Come primo psso ponimo M, =. Considerimo poi i rettngoli chiusi R = [, b] [c, d] (, b, c, d R, b, c d), ponendo R M e R = (b ) (d c), Usimo l notzione A = A A.

A. IANNIZZOTTO in prticolre l misur dei punti e dei segmenti orizzontli o verticli è (definizioni nloghe vengono dte per i rettngoli perti o semi-perti). Un pluri-rettngolo è un insieme del tipo n P = (R,... R n R rettngoli, R i R j = per ogni i j). i= R i Per esso ponimo P M e P = n R i i= (notimo che l rppresentzione di P medinte rettngoli disgiunti non è unic, m il vlore di P sì). Se P, Q M sono pluri-rettngoli t.c. P Q, llor si h P Q. Si or A R un insieme limitto. Introducimo gli insiemi σ = { P : P pluri-rettngolo, P A}, Σ = { Q : Q pluri-rettngolo, A Q}. Ovvimente si h s S per ogni s σ, S Σ, in prticolre (ved. [3]) sup σ inf Σ. Diremo che A M se sup σ = inf Σ = l, e porremo in tl cso A = l. Osservimo che, se int(a) =, si h σ = {}: pertnto, se A è misurbile, llor A =. Esempio.. Il cerchio A = {(, y) R : + y } è misurbile. Esempio.. L insieme A = {(, y) Q :, y } non è misurbile. Inftti, si h int(a) =, d cui sup σ =. D ltr prte, se Q R è un pluri-rettngolo t.c. A Q, si h nche [, ] Q e quindi Q, d cui inf Σ =. Infine, se A R è illimitto, considerimo l successione di insiemi (A n ) dove per ogni n N Se A n M per ogni n N ponimo A M e A n = A [ n, n]. A = sup n N A n [, + ]. Ovvimente si h R M, R = +. Seguono lcune proprietà dell misur (che non dimostrimo): Lemm.3. Sino A, B M. Allor A B, A B, A \ B M. Inoltre: (i) A ; (ii) A B A + B ; (iii) A B = A + B A B ; (iv) se A B =, A B = A + B ; (v) se A B, A B ; (vi) se A B, B \ A = B A.

CALCOLO INTEGRALE 3 Sino, b R t.c. < b, e f : [, b] R un funzione limitt. Un decomposizione di [, b] è dt d un insieme finito D = {,,... n }, = < <... < n = b. Per ogni i {,... n} l restrizione di f [ i, i [ è limitt, sino quindi m i = inf f, M i = sup f. [ i, i [ [ i, i [ Definimo l somm integrle inferiore e quell superiore indotte dll decomposizione D: n n s D = m i ( i i ), S D = M i ( i i ). i= Osservimo che, se D, D sono decomposizioni di [, b] t.c. D D, llor si h Denotimo inoltre Gli insiemi σ, Σ sono seprti in R: i= s D s D, S D S D. σ = {s D : D decomposizione di [, b]}, Σ = {S D : D decomposizione di [, b]}. Lemm.4. Sino D, D decomposizioni di [, b]. Allor s D S D. Dimostrzione. Se D = D l tesi è ovvi. Se D D, llor si h per le proprietà degli estremi superiore e inferiore s D s D S D. Se infine D e D sono decomposizioni rbitrrie, introducimo l decomposizione D = D D t.c. D, D D, e per il cso precedente s D s D S D S D, il che conclude l dimostrzione. Il Lemm.4 si riformul nell seguente diseguglinz, vlid per ogni funzione limitt: sup σ inf Σ. Definizione.5. L funzione limitt f : [, b] R è integrbile (secondo Riemnn) se e in tl cso il suo integrle è sup σ = inf Σ = l, Il seguente criterio semplific l Definizione.5: f() d = l. Teorem.6. (Criterio di integrbilità di Riemnn) Si f : [, b] R limitt. Allor le seguenti ffermzioni sono equivlenti: (i) f è integrbile; (ii) per ogni ε > esiste un decomposizione D di [.b] t.c. S D s D < ε.

4 A. IANNIZZOTTO Figur. Approssimzione di R f medinte pluri-rettngoli. Dimostrzione. Provimo che (i) implic (ii). Fissto ε >, esistono due decomposizioni D, D di [, b] t.c. S D s D < ε. Posto D = D D, si h S D s D S D s D < ε. Ovvimente, (ii) implic (i). L interpretzione geometric dell Definizione.5 è l seguente (ved. figur ). Supponimo che f si integrbile e che f() per ogni [, b], e definimo il rettngoloide di f: Allor si h R f M e (.) R f = R f = {(, y) R : [, b], y f()}. f() d. Inftti, fisst un decomposizione D di [, b], sono definiti i pluri-rettngoli n n P D = [ i, i ] [, m i ], A D = [ i, i ] [, M i ]. i= Chirmente P D, Q D M, P D R f Q D ( meno di segmenti) e P D = s D, Q D = S D (qui usimo il Lemm.3). Per il Teorem.6, per ogni ε > esiste D t.c. i= Q D P D < ε. Dunque l insieme R f è misurbile e per definizione l su misur è R f = sup σ = inf Σ. Se f h segno negtivo o vribile, l precedente interpretzione geometric sussiste, purché si considerino negtive le ree situte sotto l sse (ved. Sezione 3). Le funzioni costnti trtti sono integrbili (e il clcolo dei loro integrli è immedito):

Esempio.7. Si f : [, ] R definit d { se [, ] f() = 3 se ], ]. L decomposizione D = {,, } dà quindi f è integrbile e CALCOLO INTEGRALE 5 s D = S D = 7, Inoltre, le funzioni continue sono integrbili: f() d = 7. Teorem.8. Si f : [, b] R continu. Allor f è integrbile. Dimostrzione. Per il Teorem di Weierstrß f è limitt, e per il Teorem di Cntor-Heine f è uniformemente continu (ved. [5]). Fissto ε >, esiste δ > t.c. per ogni, [, b], < δ si h f( ) f( ) < ε b. Si D = {,... n } un decomposizione di [, b] t.c. i i < δ per ogni i {,... n}, llor S D s D = n i= Per il Teorem.6, f è integrbile. (M i m i )( i i ) < ε b n ( i i ) = ε. Esempio.9. Si f : [, ] R, f() =. Per il Teorem.8, f è integrbile. Dunque, per clcolre l integrle, ovvero l re del rettngoloide i= R f = {(, y) R : [, ], y }, bst pprossimre R f dll interno e dll esterno medinte due successioni di pluri-rettngoli, le cui ree convergno llo stesso limite. Per ogni n N considerimo l decoposizione D n di nodi < n < n <... < n n <. Per ogni i {,... n} si h m i = (i ), M n i = i, d cui le somme integrli n s n = n n 3 (i ) (n )n(n ) = 6n 3, i= S n = n 3 n i = i= Pssndo l limite per n, si h s n, S n 3, d cui n(n + )(n + ) 6n 3. d = 3.

6 A. IANNIZZOTTO Esempio.. Si f : [, π ] R, f() = cos(). Per il Teorem.8, f è integrbile. Per clcolre il suo integrle, introducimo un rbitrri decomposizione D = {,... n } di [, π ], quindi pplichimo il Teorem di Lgrnge (ved. [6]) ll funzione sin(): per ogni i {,... n} esiste i ] i, i [ t.c. quindi si h Sommndo, si ottiene fcilmente d cui per l Definizione.5 sin( i ) sin( i ) = cos( i )( i i ), m i ( i i ) sin( i ) sin( i ) M i ( i i ). π ( π ) s D sin sin() S D, ( π ) cos() d = sin sin() =. Dei due metodi esposti sopr per il clcolo degli integrli, quello dell Esempio. è ssi più generle e utile di quello dell Esempio.9, come srà chirito nell Sezione 3. I prossimi risultti introducono lcune clssi di funzioni integrbili non necessrimente continue: Corollrio.. Sino f : [, b] R limitt, z,... z m [, b] (m N ) t.c. f è continu in [, b] \ {z,... z m }. Allor f è integrbile in [, b]. Dimostrzione. Per semplicità supponimo che f bbi un solo punto di discontinuità z ], b[ (gli ltri csi si trttno in modo simile). Poiché f è limitt, ponimo M = sup f inf f >. [,b] [,b] Fissto ε >, si δ > t.c. δ < ε, z ± δ ], b[. 6M L restrizione di f [, z δ] è continu, quindi integrbile (Teorem.8). Per il Teorem.6 esiste un decomposizione D di [, z δ] t.c. S D s D < ε 3. Similmente determinimo un decomposizione D + di [z + δ, b] t.c. Si D = D D +, llor ( S D s D = (S D s D ) + ε 3 + M δ < ε. S D + s D + < ε 3. sup [z δ,z+δ] ) f inf f + (S D + s D +) [z δ,z+δ] Per il Teorem.6, f è integrbile.

Esempio.. L funzione f : [, ] R definit d { ( ) rctn se f() = se = è limitt e h un unic discontinuità in, dunque è integrbile. Lemm.3. Si f : [, b] R monoton. Allor f è integrbile. CALCOLO INTEGRALE 7 Dimostrzione. Supponimo f non-decrescente e non costnte. Si h per ogni [, b] f() f() f(b), quindi f è limitt. Fissto ε >, si D = {,... n } un decomposizione di [, b] t.c. per ogni i {,... n} si bbi ε i i < f(b) f(). Allor, per l monotoni di f, ε n S D s D (f( i ) f( i )) = ε. f(b) f() Per il Teorem.6, f è integrbile. i= Proprietà dell integrle (di dimostrzione immedit): Lemm.4. Sino f, g : [, b] R integrbili. Allor: (i) f è integrbile in [c, d] per ogni c, d R, c < d b; (ii) f() d = c f() d + c f() d per ogni c ], b[; (iii) αf + βg : [, b] R è integrbile per ogni α, β R, e (αf() + βg()) d = α (iv) se f() g() per ogni [, b], llor f() d + β f() d g() d; g() d; (v) se f() per ogni [, b] e c, d R, c < d b, llor (vi) f() è integrbile e f() d f() d. d c f() d f() d; L medi di un vribile continu (estensione nturle del concetto di medi ritmetic di un insieme finito di numeri) si clcol medinte un integrle. Teorem.5. (Medi integrle) Si f : [, b] R integrbile. Allor inf f [,b] b f() d sup f(). [,b] Dimostrzione. Bst considerre l decomposizione D = {, b}, per l qule si h e concludimo. s D = inf f(b ), S D = sup f(b ), [,b] [,b]

8 A. IANNIZZOTTO Il Teorem.5 divent più significtivo nel cso delle funzioni continue: Corollrio.6. Si f : [, b] R continu. Allor esiste [, b] t.c. f() d = f( )(b ). Dimostrzione. Segue dl Teorem.5 e dl Teorem dei vlori intermedi (ved. [5]). L interpretzione geometric del Corollrio.6 (se f() per ogni [, b]) è l seguente: il rettngoloide R f h l stess re del rettngolo [, b] [, f( )], per un opportuno [, b]. L Definizione.5 richiede < b. Formlmente, ess si può estendere l cso di intervlli negtivi ponendo per ogni f : [, b] R integrbile b f() d = f() d. Inoltre, per ogni [, b] l restrizione di f ll intervllo [, ] è integrbile (Lemm.4 (i)), dunque si definisce l funzione integrle di f come F : [, b] R ponendo per ogni [, b] (.) F () = f(t) dt. Osservzione.7. L integrle di Riemnn non h solo un significto geometrico, m nche un importnte significto fisico. Per esempio, considerimo un viggitore che si spost in line rett in un intervllo temporle [, T ], con un velocità vribile dt dll funzione v : [, T ] R. Per clcolre lo spostmento complessivo, possimo dividere [, T ] in n intervlli temporli medinte i nodi = t < t <... < t n = T. Per ogni i {,... n} sceglimo t i [t i, t i ] e pprossimimo lo spostmento compiuto nell intervllo [t i, t i ] con v( t i )(t i t i ). Dunque lo spostmento totle viene pprossimto con n S = v( t i )(t i t i ). Fcendo tendere n, se l funzione v è integrbile, si h i= S T v(t) dt. Similmente si clcolno il lvoro di un forz vribile, e ltre grndezze fisiche (ved. []). Osservzione.8. Un ltr interpretzione importnte dell integrle di Riemnn è quell probbilistic. Si un vribile letori compres in un intervllo [, b], con un densità di probbilità p : [, b] [, ], llor per ogni, [, b], <, l probbilità dell evento è in prticolre P ( ) = P ( b) = p() d, p() d =.

CALCOLO INTEGRALE 9 Esercizio.9. Si A R un insieme misurbile. Dimostrre che per ogni (, ȳ) R l insieme trslto Ā = {( +, y + ȳ) : (, y) A} è misurbile e Ā = A. Esercizio.. Clcolre, medinte un integrle, l re del tringolo di vertici (, ), (, ), (, ). Esercizio.. Dimostrre (per induzione) le formule uste nell Esempio.9. Esercizio.. Dimostrre il Lemm.4.. Integrzione indefinit In quest sezione introducimo l operzione invers dell derivzione (ved. [6]), dett integrzione indefinit. Definizione.. Sino I R un intervllo, f, F : I R. Si dice che F è un primitiv di f se (i) F è derivbile in I; (ii) DF () = f() per ogni I. L primitiv di un funzione, se esiste, non è unic: per esempio, è un primitiv di, come nche +. Lemm.. Sino f, F, G : I R t.c. F è un primitiv di f. Allor le seguenti ffermzioni sono equivlenti: (i) G è un primitiv di f; (ii) esiste c R t.c. G() = F () + c per ogni I. Dimostrzione. Provimo che (i) implic (ii). Se DF () = DG() = f() per ogni I, F G : I R è un funzione derivbile con derivt null, quindi è costnte in I (ved. [6]). Nel Lemm. è essenzile che tutte le funzioni sino definite in un intervllo. Nel seguito trtteremo solo questo cso, d cui si ricv quello di domini generli con ovvi dttmenti. Esempio.3. Si f : R \ {} R, f() =. Allor le sue primitive sono tutte e sole le funzioni F : R \ {} R definite d { ln() + c se < F () = ln( ) + c se >, per c, c R. Definizione.4. Si f : I R dott di un primitiv. L integrle indefinito di f è l insieme di funzioni f() d = {F : I R : F è un primitiv di f}. Osservzione.5. Confrontimo le Definizioni.5 e.4. L integrle (definito) f() d è un numero rele, mentre l integrle indefinito f() d è un insieme di funzioni. Il legme fr i due srà chirito nell Sezione 3.

A. IANNIZZOTTO Per il Lemm., not un primitiv F di f, si può scrivere sinteticmente (.) f() d = F () + c, c R. Esistono funzioni che non mmettono lcun primitiv: Esempio.6. L funzione segno è definit ponendo per ogni R se < sgn() = se = se >. Se F : R R fosse un primitiv di sgn, si vrebbe ssurdo (ved. [6]). D F () =, D + F () =, DF () =, Invece, le funzioni continue mmettono primitive (ved. Sezione 3). Dlle formule delle derivte si ricvno gli integrli indefiniti delle funzioni elementri (nei rispettivi intervlli di definizione): d = + + c ( ), d = ln + c, d = + c ( >, ), + ln() sin() d = cos() + c, cos() d = sin() + c, d = tn() + c, cos() d = cot() + c, d = rctn() + c, d = rcsin() + c, sin() + sinh() d = cosh() + c, cosh() d = sinh() + c. Presentimo or lcuni risultti grzie i quli si possono combinre gli integrli elementri per clcolrne di più complessi. Lemm.7. Sino f, g : I R, α, β R. Allor (αf() + βg()) d = α f() d + β g() d. Dimostrzione. Sino F, G : I R primitive di f, g rispettivmente. Allor, per ogni I D[αF () + βg()] = αf() + βg(), dunque αf + βg è un primitiv di αf + βg. Per il Lemm. si h (αf() + βg()) d = αf () + βg() + c, il che conclude l dimostrzione. Esempio.8. Usndo il Lemm.7 possimo integrre un polinomio f : R R, Si h f() = n n + n n +... + (n N,,... n R). f() d = n n + n+ + n n n +... + c. Nel seguito omettimo gli intervlli di definizione delle funzioni, che vnno determinti cso per cso.

In prticolre, CALCOLO INTEGRALE ( 3 + + 5) d = 4 4 + 3 3 + 5 + c. Esempio.9. Effettundo un decomposizione in somm, si h ( + d = ) d = + rctn() + c. + Lemm.. (Integrzione per prti) Sino f, g, F, G : I R t.c. F è un primitiv di f e G è un primitiv di g. Allor f()g() d = F ()G() F ()g() d. Dimostrzione. Si h per ogni I d cui per il Lemm.7 si conclude. D[F ()G()] = f()g() + F ()g(), Il metodo di integrzione per prti si può usre in diversi modi: ponendo f() = e ricvndo G() d = G() g() d; pplicndo l formul due volte per riottenere lo stesso integrle con segno opposto; derivndo utili formule di ricorrenz per integrli dipendenti d un intero n. Seguono lcuni esempi: Esempio.. Si h ln() d = ln() d = ln() + c. Esempio.. Si h, pplicndo due volte il Lemm., e sin() d = e cos() + e cos() d = e cos() + e sin() e sin() d, d cui e sin() d = e (sin() cos()) + c. Esempio.3. Si h, usndo i Lemmi. e.7 cos() d = sin() cos() + sin() d = sin() cos() + ( cos() ) d = sin() cos() + cos() d, d cui cos() d = + sin() cos() + c.

A. IANNIZZOTTO Esempio.4. Clcolimo l integrle sinh() sinh() cosh() d = + c. Inftti, integrndo per prti si h sinh() d = sinh() cosh() cosh() d = sinh() cosh() sinh() d, d cui l conclusione. Esempio.5. Si h per ogni n N l seguente formul ricorsiv: ln() n d = ln() n n ln() n d, in prticolre ln() d = ln() ln() + + c. Usndo il metodo di integrzione per prti, si può incorrere in un circolo vizioso. Per esempio, cos() cos() d = + sin() d cos() = sin() + sin() tn() d = sin() cos() tn() + cos()d[tn()] d = cos() d (l integrle si clcol per sostituzione, ved. Esempio.3). Tvolt è utile, per clcolre un integrle, cmbire vribile. Lemm.6. (Integrzione per sostituzione/) Sino f : I R, g : J I derivbile. Allor [ f(g())dg() d = f(t) dt] Dimostrzione. Se F : I R è un primitiv di f, llor d cui il che conclude l dimostrzione. D[F g]() = f(g())dg(), [ f(t) dt] t=g() = t=g(). f(g())dg() d, Con opportune scelte di f, g, dl Lemm.6 si deducono le seguenti formule: Dg() g() d = ln ( g() ) + c, e g() Dg() d = e g() Dg() + c, d = rctn(g()) + c, + g() e ltre simili.

CALCOLO INTEGRALE 3 Esempio.7. Ponendo g() = + e f(t) = t nel Lemm.6 si h [ ] + d = t dt = t= + ln( + ) + c. Può essere utile combinre diversi metodi: Esempio.8. Integrndo prim per prti e poi per sostituzione, si h rctn() d = rctn() + d = rctn() ln( + ) + c. Con i metodi fin qui introdotti si può studire l integrzione delle funzioni rzionli. f, g : R R due polinomi di grdi n, m N rispettivmente. L funzione rzionle f() g() Sino è definit (e continu) nell insieme A = R \ {,... h }, dove,... h R (h m) sono le rdici di g. Dunque A è un unione finit di intervlli perti, in ognuno dei quli vle qunto segue. Costruimo un metodo generle, detto metodo delle frzioni semplici, prtendo di vlori minimi di n, m 3 : () n =, m =. Possimo porre f() =, g() = + b (, b R, > ): per il Lemm.6 si h f() g() d = ln( + b ) + k. () n =, m =. Possimo porre f() =, g() = + b + c (, b, c R, > ), quindi clcolimo = b 4c e distinguimo tre sotto-csi: (.) se >, esistono, R, t.c. g() = ( )( ), quindi trovimo A, B R t.c. f() g() = A + B, d cui per i Lemmi.7,.6 f() g() d = A ln( ) + B ln( ) + k; (.) se =, esiste R t.c. g() = ( ), d cui per il Lemm.6 f() g() d = ( ) + k; (.3) se <, llor usimo l tecnic del completmento del qudrto ponendo ( b ) g() = + 4c b + = d (( 4 d + b ) ) 4c b d +, d =, 4 d cui per il Lemm.6 si h f() g() d = [ d d t + ]t= dt 3 Qui denotimo k l costnte dditiv. d + b d = ( d rctn d + b ) d + k.

4 A. IANNIZZOTTO (3) n =, m =. Possimo porre f() = + b, g() = + b + c (, b,, b, c R,, > ), quindi clcolimo = b 4c e distinguimo tre sotto-csi: (3.) se >, esistono, R ( ) e A, B R t.c. f() g() = A + (3.) se =, esistono R, A, B R t.c. f() g() = A + B ; B ( ) ; (3.3) se <, esistono, R (possibilmente uguli), A, B R t.c. f() g() A( + b) = + b + c + B ( )( ) ; d ognuno di questi sotto-csi possimo ricondurci () o (). (4) m 3, n < m. Per il Teorem di scomposizione dei polinomi (ved. []) si può scomporre g nel prodotto di polinomi di grdo o, così che f() g() viene riformult come somm di funzioni rzionli ricdenti nei csi ()-(3). (5) n m. Per il Teorem dell divisione euclide (ved. []) esistono due polinomi q, r : R R t.c. f() = g()q() + r() e il grdo di r è minore di m, d cui che ricde nei csi ()-(4). f() g() = q() + r() g(), In effetti, conviene usre le formule precedenti (specilmente quell del sotto-cso (.3)) solo come modello e svolgere i clcoli cso per cso: Esempio.9. Si h: + d = 3 ln( ) + 4 ln( 3 ) + c, 5 + 6 3 + 4 d = 3 ln( ) + + c, + 6 + d = ( + 3 ) rctn + c, + + d = ln( + + ) 3 rctn( + ) + c, + 3 d = 3 ln( ) 3 ln( + + ) + c. Esempio.. Clcolimo l integrle 4 + d. Il denomintore si scompone (medinte completmento del qudrto) nel prodotto di due polinomi di grdo, irriducibili: 4 + = ( + + )( + ).

CALCOLO INTEGRALE 5 Seguendo il modello del sotto-cso (.3), cerchimo A, B, C, D R t.c. 4 + = A + B + + + C + D +, il che corrisponde risolvere il seguente sistem linere: A + C = A + B + C + D = A B + C + D = B + D =. L soluzione è A =, B =, C =, D =. Dunque ricvimo 4 + d = + + + d + d = 4 + + + d + 4 + + d 4 = ( 4 ln + + + d + 4 + + + + d ) + rctn( + ) + rctn( ) + c. Lemm.. (Integrzione per sostituzione/) Sino f : I R, g : J I derivbile e biunivoc. Allor [ f() d = f(g(t))dg(t) dt] t=g (). Dimostrzione. Poiché g è biunivoc e derivbile (in prticolre continu), ess è strettmente monoton: supponimo g crescente. È definit l funzione invers g : I J. Applicndo il Lemm.6 lle funzioni t f(g(t))dg(t) e g (), si h [ f()dg(g ())Dg () d = f(g(t))dg(t) dt] Rmmentndo (ved. [6]) che Dg(g ())Dg () =, concludimo. Esempio.. Ponendo t = e (cioè g(t) = ln(t)) nel Lemm., si h [ e + d = t + t ]t=e dt [ = t dt t + ]t=e dt [ ] = ln t ln t + t=e = ln(e + ) + c. t=g (). Nell integrzione di vrie combinzioni di funzioni trigonometriche, il Lemm. viene usto insieme lle seguenti formule: sin() = tn() + tn(), cos() = tn(), sin() cos() = + tn() + tn(),

6 A. IANNIZZOTTO sin() = tn( ) + tn( ), cos() = tn( ) + tn( ). Esempio.3. Riprendimo il clcolo dell integrle + tn( cos() d = ) tn( d ) [ + t = t + t ]t=tn( dt [ ) = = ln ( t)( + t) ]t=tn( dt ( ( ) ) ) + tn ln ( tn ( ) ). Esempio.4. Usndo le formule precedenti e ponendo t = tn( ) (cioè g(t) = rctn(t)), si h + tn( sin() + cos() + d = ) 4 tn( ) + d [ + t = 4t + + t ]t=tn( dt ) = ( ( ) ) ln tn + + c. L uso delle formule di integrzione per sostituzione non è semplice, in qunto occorre scegliere un trsformzione opportun secondo l ntur dell funzione integrnd. Un espediente consiste nell scelt dell stess integrnd come nuov vribile di integrzione, mmesso che si possibile. Esempio.5. Clcolre l integrle indefinito + d. L integrnd è l funzione +, che è derivbile nel suo insieme di definizione ], [ ], + [ e decrescente in ognuno degli intervlli che lo compongono. Ponimo dunque t = g () con Per il Lemm. si h g(t) = t, Dg(t) = t (t ). + [ d = t (t ) ]t= dt. + Clcolimo dunque l integrle nell vribile t, l cui integrnd è un funzione rzionle con denomintore di grdo 4, che si decompone fcilmente. Occorre trovre A, B, C, D R t.c. t (t ) = A t + + B t + C (t + ) + C (t ).

CALCOLO INTEGRALE 7 Sviluppndo l somm secondo membro ed eguglindo i coefficienti, trovimo il sistem linere A + B = A + B + C + D = A B C + D = A B + C + D =, l cui unic soluzione è A =, B = C = D =. Abbimo dunque t (t ) dt = t + dt t dt (t + ) dt (t ) dt = ln( t + ) ln( t ) + (t + ) + (t ) + c. Tornndo ll vribile originri, bbimo + d = ( ln + ) + ( ln + ) + + + c. Esempio.6. Clcolimo l integrle d. Applichimo il Lemm. con g(t) = cosh(t), usndo l formul cosh(t) sinh(t) = e l Esempio.4. Si h [ d = sinh(t) dt] t=rccosh() [ sinh(t) cosh(t) t ] = + c t=rccosh() = rccosh() + c. Osservimo infine che non tutte le funzioni dotte di primitive possono essere integrte in modo elementre, secondo uno dei metodi qui illustrti: è il cso delle funzioni sin(), e, le cui primitive non si possono esprimere in form esplicit come combinzioni delle funzioni elementri (per integrre queste funzioni servono tecniche più vnzte, ved. []). Per ltri metodi ed esempi sull integrzione indefinit, ved. [7]. Esercizio.7. Sino f : R R pri e F : R R un primitiv di f. Dimostrre che F è dispri. E se f è dispri? Esercizio.8. Ri-clcolre l integrle dell Esempio.3 usndo il Lemm.7 e l formul cos () = cos() +. Esercizio.9. Nell Esempio. bbimo comincito integrndo sin() e derivndo e. Che succede fcendo l scelt invers?

8 A. IANNIZZOTTO Esercizio.3. Dimostrre che sin() sin() cos() d = + c. Esercizio.3. Dimostrre per ogni n N le seguenti formule ricorsive: n cos() d = n sin() n n sin() d, n sin() d = n cos() + n n cos() d. Ricvre sin() d. Esercizio.3. Verificre l Esempio.3 derivndo l primitiv ottenut. Quindi clcolre sin() d. Esercizio.33. Ccolre i seguenti integrli indefiniti: + d, + d, ln() d, + 4 d, cos() + sin() d, e d, + 3 d, + sin() + cos() d, + 4 d, ( ) d, cosh(3) d, e d, + d, e d, sin() 3 d, sin() cos() + cos() d, sin( ) sin() sin() + cos() d, ln ( + + ) d, + 4e + e d, d, e 4 sin() d, Esercizio.34. (difficile) Clcolre l integrle indefinito (e ) rcsin( + e ) d. e e + d, + + d, 5 4 d.

CALCOLO INTEGRALE 9 3. Il teorem fondmentle Riprendimo il concetto di integrle di Riemnn e lo colleghimo quello di integrle indefinito, seguendo il rgionmento delineto nell Esempio.. In quest sezione ssumeremo, b R, < b. Teorem 3.. (Fondmentle del clcolo integrle) Sino f : [, b] R continu, F : [, b] R l funzione integrle definit d (.). Allor F è un primitiv di f. Dimostrzione. Si ], b[ (i csi =, b si studino nlogmente). Dimostrimo che F è derivbile in e che F ( ) = f( ). Poiché è interno ll insieme [, b], esiste δ > t.c. B δ ( ) [, b] (ved. [3]). Per il Lemm.4 (ii) e il Corollrio.6, per ogni B δ ( ) \ { } esiste B δ ( ) t.c. F () F ( ) = [ = = f( ). ] f(t) dt f(t) dt f(t) dt Qundo, nche, così per continuità di f si h il che conclude l dimostrzione. F () F ( ) lim = f( ), Il risultto precedente fornisce un formul per il clcolo dell integrle di Riemnn di un funzione continu: Corollrio 3.. Sino f : [, b] R continu, G : [, b] R un primitiv di f. Allor f() d = G(b) G(). Dimostrzione. L funzione f è integrbile per il Teorem.8. Per definizione di funzione integrle (ved. (.)) si h f() d = F (b) F (). Inoltre, per il Teorem 3. F è un primitiv di f, quindi per il Lemm. esiste c R t.c. G() = F () + c per ogni [, b], d cui l conclusione. Il modo usule per rppresentre l relzione ppen dimostrt è il seguente: (3.) f() d = [F ()] b, dove F : [, b] R è l funzione integrle definit in (.), o qulunque ltr primitiv di f. Esempio 3.3. Poiché cosh() è un primitiv di sinh(), pplicndo (3.) si h sinh() d = [cosh()] = e + e Per mezzo del Teorem 3., i metodi di integrzione visti nell Sezione producono ltrettnti metodi di integrzione definit (osservimo che questi vlgono solo per funzioni continue):.

A. IANNIZZOTTO Lemm 3.4. Sino f, g : [, b] R continue, α, β R, F, G : [, b] R primitive di f, g rispettivmente. Allor Dimostrzione. Dl Lemm.7 e d (3.). (αf() + βg()) d = [αf () + βg()] b. Lemm 3.5. Sino f, g : [, b] R continue, F, G : [, b] R primitive di f, g rispettivmente. Allor f()g() d = [F ()G()] b Dimostrzione. Dl Lemm. e d (3.). F ()g() d. Lemm 3.6. Sino f : [c, d] R, g : [, b] [c, d] derivbile, crescente. Allor Dimostrzione. Dl Lemm.6 e d (3.). f(g())dg() d = d c f(t) dt. Lemm 3.7. Sino f : [, b] R, g : [c, d] [, b] derivbile, crescente. Allor f() d = d c f(g(t))dg(t) dt. Dimostrzione. Dl Lemm. e d (3.). Osservimo che se g è crescente si h Dg(t), mentre se g è decrescente si h Dg(t). Nei Lemmi 3.6, 3.7, se g è decrescente si inverte l ordine degli estremi di integrzione. Esempio 3.8. Clcolimo i seguenti integrli: ln() [ ln() 3 d = 3 + 4 d = d = 4 π 4 d = tn() d = ] = ln()3 3 t + dt = ( ) rctn, [ ( )] (/) d = rcsin = π 6, ( ) d +, ( ) d = 3, t + t dt = [t rctn(t)] = π 4. A volte è più conveniente clcolre prte l integrle indefinito e poi pplicre (3.): Esempio 3.9. Clcolimo π e 4 sin() d.

Integrndo due volte per prti si h e 4 sin() d = e4 e 4 4 sin() cos() d d cui Applicndo (3.) si h π = e4 4 e 4 sin() d = e4 5 [ e e 4 4 sin() d = 5 Esempio 3.. Clcolimo l integrle CALCOLO INTEGRALE sin() e4 8 cos() 4 sin() e4 cos() + c. ] π e4 sin() cos() 4 d. e 4 sin() d, = eπ +. Applicndo l trsformzione t = 4 e poi il metodo per l integrzione delle funzioni rzionli, si h 4 t d = 3 4 t dt = 3 ( + t ) dt t + = [ t + ln( t) ln(t + ) ] 3 = 3 + ln( 3) ln( + 3). Come sppimo dll formul (.), l integrle di Riemnn può essere usto per clcolre l re di lcuni sottoinsiemi misurbili di R. Definizione 3.. Sino f, g : [, b] R continue, t.c. f() g() per ogni [, b]. L insieme D f,g = {(, y) R : [, b], f() y g()} è detto dominio normle (rispetto ll sse ). Inoltre, un insieme D R che si ottiene come unione finit di domini normli è detto dominio regolre. Lemm 3.. Si D f,g R un dominio normle. Allor D f,g M e D f,g = (g() f()) d. Dimostrzione. Per semplicità considerimo solo il cso f g. Detti R f, R g i rettngoloidi di f, g rispettivmente, per (.) sppimo che R f, R g M e Detto R f = f() d, R g = g() d. R f = {(, y) R : [, b], y < f()},

A. IANNIZZOTTO Figur. Il dominio D. si dimostr che R f M e R f = R f. Dunque, per il Lemm.3 (vi) e per il Lemm.4 (iii) bbimo D f,g M e il che conclude l dimostrzione. D f,g = R g R f = Esempio 3.3. Clcolimo l re del dominio normle (g() f()) d, D = {(, y) R : [, ], y + } (ved. figur ). Per il Lemm 3. si h [ D = ( + ) d = + 3 3 Esempio 3.4. Clcolimo l re del cerchio di rggio r > D = {(, y) R : + y r }. ] = 7 6. L insieme D è il dominio normle delimitto dlle funzioni continue f, g : [ r, r] R, definite d Per il Lemm 3. bbimo f() = r, g() = r. D = r r r d. Applicndo due sostituzioni ( = rt, t = cos(π s)) ottenimo r r d = r t dt r π = r sin(π s) ds = r [ π s + sin(π s) cos(π s) ] π,

CALCOLO INTEGRALE 3 d cui infine Figur 3. Il dominio D = D D. D = πr. Osservzione 3.5. Qundo si clcolno le ree medinte integrli occorre fre ttenzione un prticolre: gli insiemi situti nel semipino y viene ttribuit re negtiv. Dunque, per conoscere l ver misur di un dominio che contiene prti situte si sopr che sotto l sse occorre clcolre seprtmente le misure di tli prti usndo il Lemm 3. e poi sommre i risultti (in forz del Lemm.3 (iv)). Per esempio, si D il dominio delimitto dll sse, dll curv y = cos() e dlle rette =, = π (ved. figur 3). Esso si divide nturlmente in due prti: Si h D = D = { (, y) R : [, π ], y cos() }, { [ π ] } (, y) R :, π, cos() y. D = D = d cui D =. Osservimo che invece π π π cos() d = [ sin() ] π =, ( cos()) d = [ sin() ] π π D = π π cos() d, cos() d =. Esercizio 3.6. All luce del Teorem 3., il Corollrio.6 divent qusi un riformulzione del Teorem di Lgrnge (ved. [6]). Qul è l differenz? =,

4 A. IANNIZZOTTO Esercizio 3.7. Clcolre i seguenti integrli: π tn() + sin() + 3 cos() d, 4 d, 4 3 + 3 d, e (e + ) d, Esercizio 3.8. Dt l funzione f :], ] R definit d 7 f() = ln( + 3 ) 3, 6 ln() + + 5 e e + d, verificre che ess h in un discontinuità eliminbile. Trovre un strtegi per clcolre l integrle f() d. Esercizio 3.9. (difficile) Clcolre l integrle definito π sin() cos() (cos() 3 )( cos() 3 + 5) d. Esercizio 3.. Clcolre l re del dominio di form ellittic D = {(, y) R : + y } b, con, b >. Esercizio 3.. Clcolre l re del dominio D delimitto inferiormente dll rett di equzione y = e superiormente dll prbol di equzione y =. Esercizio 3.. Clcolre l re dell coron circolre D = {(, y) R : + y 4}. Esercizio 3.3. Clcolre l re del dominio delimitto dll curv y = + ln() e dlle rette y =, =, =. Esercizio 3.4. Clcolre l re del dominio delimitto dll curv y = e e dlle rette y =, = ±. Esercizio 3.5. (difficile) Clcolre il limite lim (suggerimento: usre i Teoremi di de l Hôpitl). (et ) dt 3 4. Integrli generlizzti Finor ci simo occupti sempre di funzioni limitte, definite su intervlli comptti. Per rimuovere queste due limitzioni occorre introdurre gli integrli generlizzti (o impropri), che si dividono in tre tipi. Definizione 4.. (Integrle generlizzto del primo tipo) Sino R, f : [, + [ R. L funzione f è integrbile se (i) f è integrbile in [, ] per ogni > ; d.

(ii) lim + f(t) dt = l, l R. In questo cso l integrle di f è CALCOLO INTEGRALE 5 + f() d = l. L proprietà (i) si esprime dicendo che f è loclmente integrbile. Qulor in (ii) si bbi l = ±, scriveremo + f() d = ±, senz che ciò significhi che f è integrbile. L definizione di integrle generlizzto su intervlli del tipo ], b] è nlog 4. Se f : R R ed esiste c R t.c. f è integrbile si in ], c] che in [c, + [, llor diremo che f è integrbile in R e porremo + f() d = c f() d + Esempio 4.. Sino α >, f : [, + [ R definit d + c f() d. f() = α (ved. figur 4). Ess è continu, quindi loclmente integrbile (Teorem.8). L condizione (ii) chim in cus α in qunto, per ogni >, si h α t α dt = se α, α ln() se α =. Dunque, (ii) è verifict solo per α > e si h + α d = α, mentre per α ], ] si h + d = + α (si noti l somiglinz con l serie rmonic generlizzt, ved. [4]). Per verificre l integrbilità (in senso generlizzto) di un funzione non è sempre necessrio clcolrne l integrle: Teorem 4.3. (Criterio di Cuchy) Si f : [, + [ R loclmente integrbile. Allor le seguenti ffermzioni sono equivlenti: (i) f è integrbile; (ii) per ogni ε > esiste M > t.c. per ogni, R, M < < si h f() d < ε. Dimostrzione. Segue dll Definizione 4. e dl criterio di Cuchy per i limiti di funzioni (ved. [5]). 4 Per brevità, svolgeremo quest teori solo per il cso di intervlli illimitti superiormente.

6 A. IANNIZZOTTO Figur 4. Le funzioni (α = α,, ). Il seguente lemm present lcune proprietà che si possono utilizzre per verificre l integrbilità di un funzione: Lemm 4.4. Sino f, g : [, + [ R loclmente integrbili. Allor si h: (i) se f, g sono integrbili, per ogni α, β R αf + βg è integrbile e + (αf() + βg()) d = α + f() d + β + g() d; (ii) se f() g() per ogni [, + [ e g è integrbile, f è integrbile e + f() d + g() d; (iii) se f(), g() > per ogni [, + [, g è integrbile e f() lim = l, l R, + g() f è integrbile; (iv) se f() è integrbile, f è integrbile; (v) se f è integrbile e continu, si h lim f() =. + Dimostrzione. Dimostrimo (i). L funzione αf + βg è loclmente integrbile per il Lemm.4 (iii), e per i risultti di [5] si h lim + (αf(t) + βg(t)) dt = α + f() d + β + g() d. Dimostrimo (ii). Segue dl Lemm.4 (iv). Dimostrimo (iii). Supponimo l > (se l = si procede nlogmente), llor esiste M > t.c. per ogni M si h f() < lg(), e lg è integrbile per (i). Dunque f è integrbile per (ii).

Dimostrimo (iv). Ricordimo che per ogni [, + [ si h CALCOLO INTEGRALE 7 f() = f + () f (), f() = f + () + f (), con f ± (). Dunque bst pplicre (ii) e (i). Dimostrimo (v). Supponimo f() per ogni [, + [, e procedimo per ssurdo: esistno ε >, M > t.c. f() ε per ogni M, d cui + f(t) dt ε, contro l (ii) del Teorem 4.3, e quindi contro l integrbilità di f. Se f è di segno vribile, si usno come sopr f ±. Per stbilire se un funzione f : [, + [ R, loclmente integrbile (per esempio continu), è integrbile in senso generlizzto, si può usre un delle precedenti proprietà e confrontrl con un funzione di cui si conosce il crttere (tipicmente un di quelle studite nell Esempio 4.). Esempio 4.5. L funzione cos() è integrbile in [, + [ per il Lemm 4.4 (ii) e (iv), in qunto cos() e è integrbile (Esempio 4.). L funzione ln() non è integrbile in [, + [ per (iii), in qunto ln() lim + = +. L funzione + non è integrbile in [, + [ per (iii), in qunto ( + ) lim + =. Esempio 4.6. L funzione di Guß e è integrbile in R in qunto è continu e lim + e =. Come visto nell Sezione, tuttvi, il suo integrle non si può clcolre con metodi elementri (vle π). Osservimo che l impliczione (iv) del Lemm 4.4 non si può invertire. Esempio 4.7. L funzione sin() è integrbile in [π, + [. Inftti ess è continu e per ogni > π si h π sin(t) t [ dt = cos(t) t ] π π cos(t) t dt.

8 A. IANNIZZOTTO Qundo +, si h [ lim + cos(t) ] t = π π, mentre cos(t) lim + π t dt esiste in R per l Esempio 4.5 (nche questo integrle non si può clcolre con tecniche elementri). Tuttvi, l funzione in esme non è ssolutmente integrbile per il Teorem 4.3, in qunto per ogni k N si h (k+)π π sin() k d = (n+)π n= nπ k (n+)π = π n= k n= nπ n +, sin() e l ultim quntità diverge positivmente per k (perché?). d sin() (n + )π d Osservzione 4.8. Fr gli integrli generlizzti del primo tipo e le serie numeriche (ved. [4]) esiste un relzione nturle. Per esempio, si f : [, + [ [, + [ un funzione continu, non-crescente, t.c. Studimo il crttere dell serie + f() d = l R. f(n). n= Quest è un serie termini non-negtivi, quindi possimo pplicre il criterio del confronto. Si per ogni n N n n = f() d. n L serie n= n è nch ess termini non-negtivi e converge l, per dditività dell integrle: inftti, per ogni k N si h k k n = f() d n= e il secondo membro tende l per k. D ltr prte, l monotoni di f e il Teorem.5 implicno f(n) n per ogni n N, d cui f(n) l. n= Per esempio, lo studio dell serie rmonic generlizzt si può bsre sull Esempio 4.. L second estensione, indipendente dll prim, dell integrle di Riemnn rigurd le funzioni (possibilmente) illimitte.

CALCOLO INTEGRALE 9 Definizione 4.9. (Integrle generlizzto del secondo tipo) Sino, b R, < b, f : [, b[ R. L funzione f è integrbile se (i) f è integrbile in [, ] per ogni ], b[; (ii) lim f(t) dt = l, l R. b In questo cso l integrle di f è f() d = l. Chirmente, se f è integrbile secondo Riemnn in [, b], lo è nche secondo l Definizione 4.9 e i due integrli hnno lo stesso vlore. L definizione di integrle generlizzto su intervlli del tipo ], b] è nlog. Infine, se f :], b[ R ed esiste c ], b[ t.c. f è integrbile si in ], c] che in [c, b[, diremo che f è integrbile in ], b[ e f() d = c f() d + c f() d. Esempio 4.. Con metodi nloghi quelli dell Esempio 4. si vede che l funzione (α > ) α è integrbile in ], ] se e solo se α ], [, e in tl cso si h α d = α. I seguenti risultti si dimostrno come il Teorem 4.3 e il Lemm 4.4: Teorem 4.. (Criterio di Cuchy) Si f : [, b[ R loclmente integrbile. Allor le seguenti ffermzioni sono equivlenti: (i) f è integrbile; (ii) per ogni ε > esiste δ (, b ) t.c. per ogni, R, b δ < < < b si h f() d < ε. Lemm 4.. Sino f, g : [, b[ R loclmente integrbili. Allor si h: (i) se f, g sono integrbili, per ogni α, β R αf + βg è integrbile e (αf() + βg()) d = α f() d + β g() d; (ii) se f() g() per ogni [, b[ e g è integrbile, f è integrbile e f() d g() d; (iii) se f(), g() > per ogni [, b[, g è integrbile e f() lim = l, l R, b g() f è integrbile; (iv) se f() è integrbile, f è integrbile.

3 A. IANNIZZOTTO Esempio 4.3. Usndo il Lemm 4. e l Esempio 4., si dimostr che: ln() non è integrbile in ], ], è integrbile in ], ], non è integrbile in ], ]. sin() Infine considerimo il cso misto: cos() Definizione 4.4. (Integrle generlizzto del terzo tipo) Sino R, f :], + [ R. L funzione f è integrbile se (i) f è integrbile in ], ] per ogni ], + [ (nel senso dell Definizione 4.9); (ii) lim + f(t) dt = l, l R. In questo cso l integrle di f è + f() d = l. Simili definizioni si introducono per funzioni definite su intervlli del tipo ], b[ e per funzioni definite in R e illimitte. Dgli Esempi 4., 4. deducimo che l funzione (α > ) α non è integrbile in ], + [ per lcun vlore di α. Esempio 4.5. Studimo l integrle generlizzto + ln() d. L funzione f :], + [ R definit per ogni R d f() = ln() è continu. Sppimo che lim f() =, + dunque f è integrbile (nel senso dell Definizione 4.9) in ], ]. D ltr prte, poiché lim f() = +, + dl Lemm 4.4 (v) segue che f non è integrbile (nel senso dell Definizione 4.) in [, + [. Dunque non è integrbile (nel senso dell Definizione 4.4) in ], + [, precismente si h + Esempio 4.6. Studimo l integrle generlizzto + ln() d = +. ln( + ) d. Prim verifichimo che l funzione f : [, + [ [, + [, f() = ln( +) si integrbile: f() ln( + ) lim = lim =, + 3 +

ln(t + ) t dt = CALCOLO INTEGRALE 3 dunque f è integrbile per il Lemm 4.4 (iii). Quindi clcolimo l integrle: per ogni > si h [ ] t ln(t + ) = ln() ln( + ) + t + dt + [ rctn(t) ] = ln() π + rctn() ln( + ). Pssndo l limite per + bbimo + ln( + ) d = ln() + π. Esercizio 4.7. Studire l convergenz dei seguenti integrli generlizzti: + sin() d, + 3 d, d, cos() 3, ln( 3 + ) 3 d, + ln() d, ln( ) d, cos() d, ln() ln() d. Riferimenti bibliogrfici [] M. Brmnti, C.D. Pgni, S. Sls, Anlisi mtemtic, Znichelli (4). 8, 7 [] A. Innizzotto, Pn di Vi per i corsi di Anlisi Mtemtic (5). 4 [3] A. Innizzotto, Insiemi numerici (5)., 9 [4] A. Innizzotto, Succesioni e serie numeriche (5)., 5, 8 [5] A. Innizzotto, Limiti e continuità (5). 5, 8, 5, 6 [6] A. Innizzotto, Clcolo differenzile (5). 6, 9,, 5, 3 [7] S. Sls, A. Squellti, Esercizi di nlisi mtemtic, Znichelli (). 7 Diprtimento di Mtemtic e Informtic Università degli Studi di Cgliri Vile L. Merello 9, 93 Cgliri, Itly E-mil ddress: ntonio.innizzotto@unic.it