Universitá degli Studi Rom Tre - Corso di Lure in Mtemtic Tutorto di GE0 AA 0-0 - Docente: Prof Angelo Felice Lopez Tutori: Drio Ginnini e Giuli Slustri Tutorto 7 4 Aprile 0 Si determinino esplicitmente, l vrire del prmetro k, tutte le soluzioni dei seguenti sistemi lineri, utilizzndo in cso di soluzione unic il metodo di Crmer: x + kz + w = y + kz = kx + z = k x + ky + z = x + y + kz + w = 0 () kx + y = (b) ky + z = k (c) 5x + ky + kz = 0 (d) z + w = y + kz = x + ky + z = k x + kz = x + kw = 0 Nell risoluzione dei sistemi denoteremo con A l mtrice dei coecienti del sistem e con b l colonn delle soluzioni ()Det(A) = k ( 6 Se k 0 si h che r(a) = e quindi! soluzione del tipo: k ; ; 5 ) k Se invece k = 0 il sistem risult essere incomptibile in qunto r(a) = e r(a b) = (b)det(a) = k(k + ) ( k Se k 0; llor! soluzione del tipo k + ; k ) k + ; k k + Se k = 0 llor il sistem è comptibile e mmette soluzioni del tipo (0; t; 0) Se k = llor il sistem risult incomptibile (c)det(a) = k(k ) ( Se k 0; llor! soluzione del tipo: k + 4 ) k 4 ; 5k + k(k 4) ; k 4 Se k = 0 il sistem risult incomptibile Se k = il sistem risult ugulmente incomptibile (d)det(a) = 6k ( Se k llor! k(k + ) soluzione del tipo: k ; ; k k ; k ) k Se k = il sistem risult incomptibile
Stbilire, l vrire del prmetro rele, qundo le seguenti mtrici sono invertibili Se invertibili, trovre l'invers, ltrimenti clcolrne il rngo A = det(a) = 4 Se ± llor A é invertibile e l su invers é: 0 + 4 4 + 6 4 4 Se invece = ± si h che r(a) =, quindi l mtrice non é invertibile B = 0 det(b) = Se ± llor B é invertibile e l su invers é: + Se invece = ± C = 0 si h che r(b) =, quindi B non é invertibile det(c) = ( )( + ) Se 0,, llor C é invertibile e l su invers é: + + + + Se invece = 0,, si h che r(c) =, quindi C non é invertibile 0 0 D = 0 0
det(d) = + + + = ( + )( + ) Se llor D é invertibile e l su invers é: + + ++ + ++ + + + ++ + + ++ + ++ + + ++ +++ + + ++ + + + ++ Se invece = llor r(d) =, quindi l mtrice D é invertibile Stbilire se i punti A,B,C A (R) sono llineti e, in cso ermtivo, trovre le equzioni crtesine dell rett che li contienequndo c'é un prmetro, discuterlo () A = (, 0), B = (, ), C = (, 6) ( ) AB Anché A, B e C sino llineti, deve essere det BC = 0; quindi in questo cso i punti sono llineti Per trovre l rett che li contiene, notimo innnzitutto che se tre punti sono llineti é suciente considerre l rett che ne contiene due qulunque distinti, sino P (x, y ) e P (x, y ) Bst imporre che per qulsisi punto (x, y) sull rett i vettori (x x, y y ) e (x x, y y ) sino llineti, ovvero: ( ) x x y y det = 0 x x y y In questo cso, prendendo P = A e P = B trovimo che l rett é x y = 0 (b) A = (5, 4), B = (4, 6), C = (, ) I punti non sono llineti (c) A = (, ), B = (, k + ), C = ( + k, ) Allineti per k = ± Per k = l rett é x y = 0; per k = l rett é x + y = 0 4 Si scrivno l'equzione del pino E soddisfcente lle seguenti proprietá: () pssnte per A(,, 0) e prllelo i vettori u = (, 0, ) e v = (0,, ) (b) pssnte per B(0,, ) e C(,, ) e prllelo w = (0, 0, 5) Per qunto rigurd il primo punto bbimo grtis tutte le informzioni necessrie per determinre le equzioni prmetriche del pino cercto che risult essere pssnte per A ed vere gicitur < u, v > Per qunto rigurd il secondo punto sceglimo B come punto noto ed ottenimo che l gicitur del pino é < (,, 0), w > e possimo procedere nel clcolre l'equzione crtesin in mnier usule Le soluzioni trovte sono:
() x + y z 5 = 0 (b) x y + = 0 5 Dti i seguenti sottospzi ni si trovi un bse dell loro gicitur: () {(x, x, x, x 4 ) R 4 x + x x 4 = e}; (b) {(x, y, z) R x + z 5y = } {(x, y, z) R x y = 5}; (c) {(x, y, z) R z = x = } () {(, 0, 0, ), (0,, 0, 0), (0, 0,, )}; (b) {(5, 0, 5)}; (c) {(0; ; 0)} 6 Si trovi per ogni coppi di punti A, B, C A (R) l rett pssnte per essi, e si trovi poi il pino in cui sono contenuti Qundo cè il prmetro, discuterlo A = (,, 0) B = (, 0, ) C = (, 0, 0) A = (0, 0, 0) B = (, k, k) C = (k, k, ) A = (, k, k) B = (, k, ) C = (k,, ) Trovimo dpprim l rett r pssnte per A e B Tle rett vrá gicitur v = (, 0, 0) = (0,, ) e psserá d esempio per A; le sue equzioni prmetriche srnno quindi: x = y = + t Allo stesso modo trovimo che l rett per B e C vrá z = t gicitur w = (, 0 0, 0 ) = (0, 0, ) e psserá d esempio per B; x = le sue equzioni prmetriche srnno y = 0 z = t Il pino per A, B e C vrá giciture v e w e psserá per A: x = y = t z = t s Come prim, v = (, k, k) e w = (k, k, ) Studimo per quli vlori di k i tre punti sono llineti; ció equivle studire i vlori di k per i quli le due giciture sono un multipl dell'ltr cioé per i quli il rngo ( dell) mtrice: k k é minimo Studindo tutti i minori di ordine notimo k k che non esiste un k che li nnull tutti e tre contempornemente pertnto r e s non sono mi prllele,dove bbimo indicto con r e s rispettivmente l rett per A,B con gicitur v e l rett per A e C con gicitur w Le loro equzioni prmetriche, pertnto, sono: 4
x = t x = kt r : y = kt,s : y = kt z = kt z = t A questo punto il pino che ci interess psserá d esempio per A e vrá giciture v e w x = t + ks y = kt + ks z = kt + s Il rgionmento é identico l precedente Per k = i tre punti risultno llineti e pertnto esisternno inti pini che li contengono tutti e tre Il cso k si f come l solito 5